山西太原市山西大学附属中学校2026年高二数学暑假作业一函数

**基本信息** 聚焦函数概念与性质综合应用，通过基础辨析、性质迁移及实际建模，培养数学抽象、逻辑推理与模型意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |函数综合|16题（选择8+填空4+解答2）|概念辨析（定义域、同一函数）、性质应用（单调性、奇偶性）、实际建模（浓度变化）、创新定义（次可加函数）|从函数定义到性质（单调性/奇偶性/周期性），再到图像变换与实际应用，形成概念-性质-应用的逻辑链条|

山西大学附中高二数学暑假作业 编号一 函数 1. 下列命题正确的是（   ） A．命题“”的否定是“” B．若函数，则与是同一个函数 C．若关于的不等式对任意实数都成立，则实数的取值范围是 D．函数（，且）的图象恒过点 【答案】C 【解】命题“”的否定是“，A错； ，两函数定义域不同，B错误； 若不等式对任意实数都成立，则，即，C对； 对于D：函数（且）的图象恒过点， 函数（，且）的图象由函数 向右平移个单位，再向下平移个单位，所以函数恒过点，D选项错误故选：C 2．下列说法不正确的是（    ） A．函数的定义域为，则函数的定义域是 B．图象关于点成中心对称 C．若函数，则 D．若函数，则对任意，有 【答案】D 【解答】选项A，因为函数的定义域为，所以函数的定义域为， 所以函数的定义域是，即选项A正确；选项B，， 因为的图象关于点对称，而的图象是由的图象先向左平移个单位，再向上平移个单位， 所以的图象关于点对称，即选项B正确； 选项C，令，则，所以，其中， 所以，即选项C正确；选项D，因为是上凸函数，所以对任意，有，即选项D错误．故选：D. 3．已知是上的单调函数，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解】因为当时，为减函数，且时，. 又因为在上为单调函数，所以只能为单调递减函数，所以解得，故选:D. 4．夏季天气炎热，某教室上课关门窗开空调，造成二氧化碳含量增加，按照《中小学校教室换气卫生要求》（GB/T177226-2017）规定，中小学校教室内二氧化碳日均最高容许浓度不得超过0.10%，经检测，该教室某日刚下课时，空气中二氧化碳浓度为0.14%，记下课开窗通风分钟后教室内的二氧化碳浓度为，且随时间（单位：分钟）的变化规律可以用函数描述，%是二氧化碳初始浓度，，则该教室内的二氧化碳浓度不超过需要的时间的最小整数值为（    ） （参考数据：） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解】由题意可知，，解，即， 得 ， 该教室内的二氧化碳浓度不超过需要的时间的最小整数值为.故选：C 5．已知函数，若存在，满足，，则的值可以为（   ）． A．20 B．26 C．32 D．36 【答案】B 【解】作出草图，如图，由得，故（舍去）或， 得关于直线对称，由图可得，，记，则， 所以 故选：B． 6．已知是定义在上的奇函数，当、且时，都有成立，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】构造函数，其中，则，故函数为偶函数， 当、且时，都有成立， 不妨设，则，即， 故函数在上为增函数，即该函数在上为减函数，因为，则，当时，由得，即，解得；当时，由得，即，解得. 综上所述，不等式的解集为.故选：B. 7．已知函数，则下列选项不正确的是（   ） A．，为增函数 B．，对，为偶函数 C．，对，有最大值 D．，对，有最大值 【答案】A 【详解】对于A：，设,且，则， 令， 所以， 因为，所以. 要使为增函数，只需恒成立， 所以，即， 而，所以矛盾，故A错误； 对于B：要使对为偶函数，按偶函数的定义，只需，即 ，解得：b=0.即，对为偶函数.故B正确； 对于C、D：定义域为R，所以关于x的方程有解， 当时，存在，使得有解，此时， 当时，只需，即， 而，所以关于y的一元二次不等式有解，故C、D正确； 故选：A. 8．已知函数的定义域为D，若，，都有，则称是次可加函数，则下列说法不正确的是（    ） A．（）是次可加函数 B．（）是次可加函数 C．若，，，则次可加函数可以是周期函数 D．若，，，则次可加函数的表达式不唯一 【答案】C 【分析】根据“次可加函数”定义，判断四个选项即可. 【详解】对于和，有， 由， 所以，所以， 得，故A正确； 对于和，有， 由m，n的范围，有，所以．又， 所以，所以，故B正确； 由于，所以不是常函数．若是周期函数， 设T是的一个周期，，考虑，，…，这T个函数值. 设是其中的最大值，则，，由周期性可知的最大值也是． 取，则有，这与的最大值是矛盾， 所以不是周期函数，故C错误；令，下面证明是次可加函数． 若，成立，只需考虑．若，， 而，成立；只需考虑，则， ，故，故其表达式不唯一，故D正确. 故选：C． 9．下列计算正确的是（   ） A． B．=25 C． D． 【答案】ABD 【解】由，知A正确对于B，，故B正确； 由，知C错误；对于D，，放D正确 10．已知函数，函数满足，则（   ） A． B．函数的图象关于点中心对称C．若实数、满足，则 D．若函数与图象的交点为，，…，，则. 【答案】BD 【解】对A：因为，且， 所以，故A错误； 对B：设，由A可知：， 所以函数的图象关于点中心对称，故B正确； 对C：因为，，但，故C错误； 对D：由以上可知，函数与的图象都关于点对称. 若函数在处无定义，则函数与的图象的交点个数为偶数， 若，则与，与，都关于点对称， 所以，， 所以. 若数在处有意义，则，则函数与的图象的交点个数为奇数， 若，则与，与，都关于点对称，且，， 所以，，， 所以，故D正确.故选：BD 11．若定义在R上的函数，满足，，，则下列结论中正确的是（   ） A．是偶函数 B．是周期为4的周期函数 C． D． 【答案】ABC 【分析】利用与得到，然后利用，得到的周期性，然后得到周期；再利用与得到为偶函数；利用得到，最后利用得到的值即可. 【解】因为，所以． 又因为，所以．又，则， 即，所以，故是周期为4的周期函数． 因为，所以也是周期为4的周期函数，选项B正确； 因为，则，则， 所以，所以为偶函数，选项A正确；因为，令，得，即，令，得，即， 故，选项C正确；由， 得 ， 所以，选项D错误．故选：ABC． 12．已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【解】由条件得，解得或，当时，，该函数是定义域为的奇函数，不符合题意；当时，，该函数是定义域为的偶函数，符合题意．所以，则，其对称轴方程为，因为在区间上单调递减，则，解得． 13．已知函数，，对函数，，定义关于的“对称函数”为函数，，满足：对任意，两个点，关于点对称.若是关于的“对称函数”，且恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 解：根据两个函数与关于的对称定义知， 函数，， 函数；恒成立，即恒成立，化简为恒成立；在同一坐标系内画出和的图象，如图所示 由图形知，圆心到直线的距离，即，解得或（不合题意，舍去）；综上所述，实数的取值范围是．故答案为，． 14．已知函数和，其中，且是定义在上的函数，其图像关于原点对称，当时，．若对任意的，存在，使得，则的取值范围是 ． 【答案】 【解】对任意的，存在，使得，的值域是值域的子集， 当时，的值域为，是定义在上的函数，其图像关于原点对称， 是奇函数，且，当时，，的对称轴方程为， 当时，在上单调递增，在时的范围是，，， 在上的值域为， 此时的值域不可能为值域的子集，舍去； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 在时的范围是，，， 在上的值域为， 此时的值域不可能为值域的子集，舍去； 当即时，在上单调递减，在上单调递增， 在时的范围是，，， 在上的值域为， 此时的值域不可能为值域的子集，舍去； 当，即时，在上单调递减， 在时的范围是， 若，则，， 在上的值域为， 此时的值域不可能为值域的子集，舍去； 若，则，， ，或解得，或，； 若，则，， 在上的值域为， 此时的值域不可能为值域的子集，舍去；综上，的取值范围是.故答案为：. 15．已知为奇函数，． (1)求实数的值； (2)求函数的值域； (3)若函数有两个零点，求实数的取值范围． 【详解】（1）函数定义域为，因为为奇函数，所以当时，，所以，故，则，经检验，满足条件，故． （2）因为，所以， 所以，即，所以，所以函数的值域． （3）因为为增函数，所以为增函数，为减函数， 所以为增函数．令，则． 由（2）可知，当时，仅一根， 所以在上有两不等根，所以，解得，所以． 16．已知函数． (1)若为偶函数； ①求实数的值； ②若函数在区间上的最小值为，求实数的值； (2)若为奇函数，不等式在上有解，求实数的取值范围． 【解】（1）①函数的定义域为R，由为偶函数，得， 则，整理得，即， 而不恒为0，所以. ②由①得，令，， ，由，得，， 因此，即，函数在上单调递增， 当时，，令，，由函数在区间上的最小值为－11，得函数在上的最小值为－11， ①当时，在上单调递增，，解得，不满足题意； ②当时，，则，所以． （2）由为奇函数，得，则，此时， 而，即函数是奇函数， 不等式 ，函数在R上递增， 则在R上递增，当时，， 不等式，由不等式在上有解， 得不等式在上有解，由（1）知在上单调递增， 当时，，， 函数在上单调递增，当时，，则，所以实数的取值范围是. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 山西大学附中高二数学暑假作业 编号一 函数 1. 下列命题正确的是（   ） A．命题“”的否定是“” B．若函数，则与是同一个函数 C．若关于的不等式对任意实数都成立，则实数的取值范围是 D．函数（，且）的图象恒过点 2．下列说法不正确的是（    ） A．函数的定义域为，则函数的定义域是 B．图象关于点成中心对称 C．若函数，则 D．若函数，则对任意，有 3．已知是上的单调函数，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．夏季天气炎热，某教室上课关门窗开空调，造成二氧化碳含量增加，按照《中小学校教室换气卫生要求》（GB/T177226-2017）规定，中小学校教室内二氧化碳日均最高容许浓度不得超过0.10%，经检测，该教室某日刚下课时，空气中二氧化碳浓度为0.14%，记下课开窗通风分钟后教室内的二氧化碳浓度为，且随时间（单位：分钟）的变化规律可以用函数描述，%是二氧化碳初始浓度，，则该教室内的二氧化碳浓度不超过需要的时间的最小整数值为（    ） （参考数据：） A．3 B．4 C．5 D．6 5．已知函数，若存在，满足，，则的值可以为（   ）． A．20 B．26 C．32 D．36 6．已知是定义在上的奇函数，当、且时，都有成立，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 7．已知函数，则下列选项不正确的是（   ） A．，为增函数 B．，对，为偶函数 C．，对，有最大值 D．，对，有最大值 8．已知函数的定义域为D，若，，都有，则称是次可加函数，则下列说法不正确的是（    ） A．（）是次可加函数 B．（）是次可加函数 C．若，，，则次可加函数可以是周期函数 D．若，，，则次可加函数的表达式不唯一 9．（多选）下列计算正确的是（   ） A． B．=25 C． D． 10．（多选）已知函数，函数满足，则（   ） A． B．函数的图象关于点中心对称 C．若实数、满足，则 D．若函数与图象的交点为，，…，，则. 11．（多选）若定义在R上的函数，满足，，，则下列结论中正确的是（   ） A．是偶函数 B．是周期为4的周期函数 C． D． 12．已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是 ． 13．已知函数，，对函数，，定义关于的“对称函数”为函数，，满足：对任意，两个点，关于点对称.若是关于的“对称函数”，且恒成立，则实数的取值范围是 . 14．已知函数和，其中，且是定义在上的函数，其图像关于原点对称，当时，．若对任意的，存在，使得，则的取值范围是 ． 15．已知为奇函数，． (1)求实数的值； (2)求函数的值域； (3)若函数有两个零点，求实数的取值范围． 16．已知函数． (1)若为偶函数； ①求实数的值； ②若函数在区间上的最小值为，求实数的值； (2)若为奇函数，不等式在上有解，求实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $