山西大学附属中学校2025-2026学年第二学期3月月考高二数学试题

山西大学附中2025~2026学年第二学期3月月考 高二数学试题 考查时间：120分钟满分：150分命题人：孟洋 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的) 1.两个焦点的坐标分别为(-3,0)，(3,0)的椭圆上的任一点到两焦点的距离之和为8，则 椭圆的标准方程为() x2,y2 =1 B. ,y2 x2 x2 169 1671 C. 9161 D. 2 7*161 2.设{a}是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是() A.6 B.4 C.2 D.1 3.函数y=f(x)的导函数y=f'(x)图象如右图所示，则该函数y=∫(x)图象可能是() 小 4.设等比数列{a}的前n项和为3，若令=3，则 g=(） 1 7 B. 3 c. 1 5.已知数列{a}满足a+2a,+3a,++ng=(n+)2-1,设b,=na.,则数列 b.b+ 的 前2026项和（) A. 2024 2025 2026 2027 B. C. D. 12165 12165 12165 12165 ,y2 ,已知、g是椭圆十(a>b>0的左、右焦点，点P为抛物线y-8ar@ 准线上一点，若△FPE是底角为15°的等腰三角形，则椭圆的离心率为() V2-1 B.2-1 c.3-1 D.√5-1 2 2 ”,已知双曲线C号茶-1a>06>0)的左、有焦点分别为R,,离心率为5，过点 试卷第1页，共4页 且与该双曲线的一条渐近线平行的直线与C相交于点P，则 P到=() PE B.2 C.3 D.4 8.已知a=7血4，b=83,c=9血2，则a,b,c的大小关系正确的一项是() A.c>b>a B.a>c>b C.b>c>a D.a>b>c 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.下列命题正确的有() A若y=cos经则V=n牙 、π 4 B.已知西致f)=2+D,若fc)-1,则%月 C.若f(x)=f'(1)x2-x,则f"I)=1 D。曲线y=-x+3上点P处切线的领斜角心的取值范围是[0受 10.P为抛物线C:x2=4y上一点，F为C的焦点，直线1的方程为x+y+4=0,则() A.若A(2,2),则PA+PF的最小值为3 B.点P到直线I的距离的最小值为22 C.若存在点P,使得过点P可作两条相互垂直的直线与圆x2+(y-2)=r2(r>0)都相 切，则r的取值范围为√2，+∞) D.过直线1上一点Q作抛物线的两条切线，切点分别为M,N,则F到直线N距离 的最大值为√13 11.如图，曲线y2=x(0y≥0)上的点A与x轴非负半轴上的点B1,B(i=1,2,,m构成一 系列斜边在x轴上的等腰直角三角形，记为△BAB,△B,A,B2,,△Bn-1AnBn（B。为 坐标原点).设△Bn-1A,Bn的斜边长为a，点B(亿，0)，△B-1AnBn的面积为S(n∈N), 则下列说法中正确的是() y An A A Bo B B2 B- A.数列{a,}的通项公式a,=2n B.数列b}的通项公式bn=n(n+l) C.S1+S2+S3+…+S0=388 1,1 1 D.sS <2 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12己知方程，+少2 10-kk+4 =1表示椭圆，则实数k的取值范围为 13已知直线y=-2x+c与函数f(x)=1x2-3nx的图象相切，则实数c=」 14.抛物线镜面有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线 试卷第2页，共4页 的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点，己 知抛物线y2=4x的焦点为F,一条平行于x轴的光线从点M(2,)射入，经过抛物线上的 点A反射后，再经过抛物线上的另一点B反射后，平行于入射光线射出，则AB 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.己知数列{an}的前n项和为Sn,4=5,a2=17,且S+1=3Sn-2S-1+a.+2(n≥2) (1)求数列{a}的通项公式： (2)若数列{an}的前n项和. 6已如牺圆C答若=a>69的离学为 ,且经过点M0 2 (1)求C的方程： (2)若O为坐标原点，过点D(4,0)且斜率不为0的直线1与C交于A,B两点，求△OAB面 积的最大值 1.已知函数fx)=Inxg(x)=12+2x (1)求函数h(x)=f(x)-8(x)的单调性； (2)若函数h(x)=f(x)-g(x)在[L,4]上单调递减，求a的取值范围. 试卷第3页，共4页 设已数到红}清起：4=1.a,0-aeN) (1)求数列{a}的通项公式： (2)设b.=aan1,求数列bn}的前n项和Sn: 1 ③)设c,=20,记数列c,}的前n项和，求证：T<4. 19.古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲 线的统一定义，只可惜对这一定义欧几里得没有给出证明.古希腊数学家帕普斯完善了 欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定义进行了证明.他指出，到定点的距离 与到定直线的距离的比是常数e(离心率)的点的轨迹叫作圆锥曲线：当0<e<1时，轨 迹为椭圆；当e>1时，轨迹为双曲线.已知曲线C:m√x2+y2=3x+2W3 (1)分别求出曲线C表示椭圆、双曲线时的取值范围. (②)已知曲线C的离心率为y6 ,曲线C向右平移2√3个单位长度得到曲线C'. (1)求曲线C"的方程： (11)己知O为坐标原点，P,M,N是曲线C'上3个不同的点，OP+OM+4ON=0, 求△PMN的面积. 试卷第4页，共4页山西大学附中2025~2026学年第二学期3月月考 高二数学试题答案 考查时间：120分钟满分：150分命题人：孟洋 1.B 【详解】因为两个焦点的坐标分别是(-3,0)，(3,0)，所以椭圆的焦点在横轴上，并且c=3, 所以由椭圆的定义可得：2a=8,即a=4,所以由a,b,c的关系解得b=√万， 所以椭圆方程是r+y =1. 167 故选：B. 2.C 解析：设{a}的前三项为4，a2,4,则由等差数列的性质，可得4+4=2a2,所以 4+42+4=3a2, 解得4，=4，由题意得凸+a=8】 96或9s6 412，解得= 或。=2因为和}是递增的等差数列，所 以4=2,4=6，故选C. 3.B 【详解】由图可知：当x<-2或-1<x<1时，'(x)<0,所以f(x)的单调减区间为 (-∞，-2)，（-1,1)， 当-2<×-1或x>1时，f'(x)>0,所以f(x)的单调增区间为(-2，-1)，(1，+∞)， 故选：B 4.B 【详解】解法：因为等比数列a}的前n项和为S,令=3 则公比q≠1，否则S=3a,S。=64, 2,不符题意 41-q） 所以g.1g 1 2 S6a(1-q）1+q =3,解得q= 3 1-4 a4(1-q) (1+q)0-q）13 所登ag 3 3 2,47· 1-q 39 所以 =7 S63 解法二：由， =3，不妨设S,=3,5。=1,而S,S。-S,S-S,也成等比数列， 则(S。-S)'=S(S,-S),即(-2)2=3(S,-1), S613 求得8=了故87， 7 3 9=7 所以3.3 故选：B. 5.c 【详解】因为a+24,+30,++a,=(n+1)2-1①， 当n≥2时，4+2a2+3a+..+(n-1)a1=n2-1②， 由①.②得到na,=2r+1,得到a,=2+1, 又n=1时，4=3，满足4n= 2n+1 n, 所以a,=2+1,则b,=m.=2+1, 1 1 所以b,b.(21+1)2n+ 1(1-1 5=22n+12n+3' 1 的前2026项和为235+57 2026 则数列 b.ba 405340552(34055 12165 故选：C. 6.D 解析：如图，抛物线的准线与x轴的交点为M,因为R'B是椭圆的左、右焦点，所以F(c,0? E(c,0,抛物线y2=-&xa>0)准线为：直线x=2a,所以M2a,0), 因为△RPE是底角为15°的等腰三角形，则∠P耳E=∠RPE,=15°， 则 ∠PF,M=30° EEPF=2c 则 cos∠PrM=IEM_2a-c-3 ,整理得：2a=(3+1)c,所以离心 PF 2c 2 率e=二 2=5-1.故选：D. a3+1 7.C 【】已知双准线C号若16≥0b>0)离心率e=三5，所以：Ga a 又c2=a2+b2,代入c=V3a得：3ad=ad2+b2三b2=2a2,b=√2a, b 故渐近线方程为y=±Dx=±V2x, a 取右焦点乃(V3a,0),并作平行于渐近线y=√x的直线：y=√2(x-V5a), 联立直线与双曲钱方程得：又V(-v5_1 化简：2-5o1,-6-5a1 a 2m2 分子：x2-(x2-2W3am+3a）=23am-3a, 所以25m-3a=1→25am-3a=a2, a 25am=4a2→x=4a=25 2531 代入直线方程求，=治@=5”后 3 3 因此P 3，-3 点P位于双曲线右支， ,6 9 由双曲线定义P-PF=2a,得：P=2a+a=3a, l=30=3. 故 PF a 故选：C 8.D 【详解】因为a=7血4>0，b=83>0,c=92>0, In a=In 4In 7,Inb=In31n8,Inc In 21n 9, 设)=hh0-e毛》 则f'问)-血1-x-1-x)h11-y-nx x11-x x(11-x) 设g(x)=(11-x)n(11-x)-xlnx, 则g'(x)=-n(11-x)-1-hnx-1=-n(11-x)-lnx-2, 当1<x<号时，g(水0，所以g()在x=1)上单润递减。 则>8得)-0，眉以f>0,副在号》 上单调递增， 因为1<23<4<号所以f)>f倒>f2,即n47>h3n8>n2h9, 即lna>nb>nc,所以a>b>c. 故选：D 9.BC 【详解】对于A,易得y'=0,故A错误； 对B因女2品令w1,解得片酸B 对于C,f'(x)=2f")x-1,则f)=2f")-1,解得f")=1,故C正确： 对于D,y-3r-121,即ma2-l,而ae0,,则ae0孕U买)，故D错误 故选：BC 10.ACD 【详解】 OB 由C:x2=4y可得：P=P,焦点F(0,1),准线方程为y=-1, 过点A作准线的垂线，垂足为B, 则PA+PF=PA+P9≥AB=2+1=3,故A正确 设抛物线C:x2=4y上的动点P(m,n),则由点到直线的距离公式可得： m d=m+n+4到 m+ +4 4 (m+2)2+12 、123√2，故B错误： V2 √2 4W2 4W22 设存在点P,使得过点P可作两条垂直的直线与圆x2+(y-2)=r2相切，圆心E(0,2), 则∠BT年即P5, 从而把问题转化为抛物线上存在点P到点(0,2)的距离为√2r,设P(m,n), 则V2r=√m2+(n-2)2-V4n+(n-2}2=V+4≥2， 即√2r≥2→r≥√2，故C正确： x】 OM,ON的斜率为k,k2, 4 由题意知切线斜率存在，设为y=-t-t-4, 联立得x2-4x+4+4t+16=0, △=16(k2-t-t-4）)=0,即k2-t-t-4=0, k1+k2=t,kk2=-t-4, 原方程为x2-4x+4(t+t+4)=x2-4x+4k2=0, 所以切线0方程为：y=产-)+，即2y+2%=x, 同理切线NQ方程为：2y+2y2=x2x, 由于切线MQ与切线NQ相交于点Q(x,y), 所以有：2。+2y,=xx,与2y。+2y2=x,x。成立， 由于切点M(:,片)，N(x2,y2)满足直线方程2y。+2y=xx。, 即直线MN方程为：2y。+2y=xx。,因为x。+y。+4=0, 则xx。-2y+8+2x。=0,即x(x+2)-2(y-4)=0, 所以直线MN恒过定点(-2,4)， 故F到直线W距离的最大值为V(-2-0)+(4-1)2=√3，故D正确， 故选：ACD. 11.ABD 【详解】已知B(0,0),设A(,片)，因为△B。AB,为等腰直角三角形， 则直线B。A的斜率为an45°=1，直线B,A的方程为y=x, 联立广=，解得=1，则=1，即4，则4=风，B引2x1=2, y=x 设A代)则以a,x=A号等 +-a2 则a4=a=2-,4=24a， 2 、442 1 可得a+a=c-4),即(a+aa-a-2)=0, 由an>0，可得a+an-1>0,故得a-an1=2, 所以数列{a}是以2为首项，以2为公差的等差数列，则g=2+2(-1)=2n,故A正确： 对于B,-手号-号行=-8，则=+0，数BE陶： 对千C,因为s84,是等极直角三角形，共面积8=女-2m=成， 则S+S2+S++S。=12+22++102 由平方和公式12+2++n=m0+1)2n+少 6 可得9+8，+9++3.10x1x21=385,故C错误： 6 1-1,1-1<2 对于D,因为3’S 1-<1 11 当n22时，寸元<(m-)n1n 12.(-4,3)U(3,10) 【详解】因为方程上1表示椭同。 10-kk+4 [10-k>0 则k+4>0,解得-4<k<10且k≠3， 10-k≠k+4 所以实数k的取值范围为(4,3)U(3,10) 故答案为：(-4,3)U(3,10) 2 【详解】设函数()-x-3nx在点（化，）处的切线为y=-2+c, 函数f)-子-3nx的定义域为(0+o). 3=-2 由f)=方-3n,得r)=至所以了)= 所以x+2x。-3=0,解得x。=-3(舍去)或x。=1. 又0=-h1=分所以切点为》 又切点在直线y2x+c上，所以宁-2x1-e,解得c=号 故答案为：2 14 【详解】令y=1,得x=,即A日). 1 4 A →M 由抛物线的光学性质可知直线AB经过焦点F,设直线AB的方程为y=k(-), 代入y2=4x,消去y得k2x2-2(k2+2)x+k2=0,则x4x=1, 所以x。==4,所以AB卡X:++p=子 25 故答案为： 25 4 15.(1)4=2×3"-1 (2)Sn=3m-n-3. 【详解】(1)解：由Sn1=3Sn-2S1+an+2(n≥2)， 得Sn1-Sn=2(Sn-Sn-1)+an+2,得a1=3a+2(n≥2)，--1分 则a1+1=3(a.+1)(n≥2)，---3分 因为4=5,4，=17，所以4+1=3(4+1)，--5分 所以an1+1=3(a+1),neN,--6分 又4+1=6，所以数列{a.+1}是以6为首项，3为公比的等比数列. 所以a+1=6×3m-1=2×3”,4.=2×3-1.-7分 (2)由(1)得4.=2×3”-1 所以Sn=3*1-n-3.--13分 1605+y=1: 4 (2)1. 【详解】(1)由椭圆c+y +卫一1的离心率为3，得一=2，则4=2b,--1分 2 a 2 由点09在C,有宁存1，联立解得6=1a-2.3分 所以椭圆C的方程为 +y2=1.--5分 4 (2)设直线1的方程为x=y+4,A(x,y),B2,y2), 由/x=+4 x2+4产三4消去x得f+4到2+8+12=0，-6分 △=64t2-48t2+4)>0t2W3,---7分 & 12 乃+= +4%=+4' -9分 则△0AB的面积Se号oDI-y,上26+”-4 2 64t2 488P-12 8t2-12 P (e+4)+4+4(2-12)+16 VP-12+16-10分 V2-12 8 212.61 ，-12分 V2-12 当且仅当VP-12= -12即1=27时取等号，-13分 16 所以△OAB面积的最大值为1.--15分 17.【详解】(1)h)=lnx-am2-2x,x∈(0，+0）， 2 a=0时兮》上年调+上阿 ----2分 当a>0时，x)=1-2=1--2x -3分 令t(x)=-ax2-2x+1,△=4+4a>0, a 上单调递增，在 V1+a-1, a 、a,+上单调递减： -5分 当a<0时，△=4+4a 当a≤-1时，△≤0且不恒为0， 所以在(0，十∞)上单调递增；-7分 上单调递增，在 V1+a-1-1+a-1 a 上单调递减-9分 综上：当a=0时，在0，。 上单调递增，在)，十o可 上单调递减： 2 1+a-1 当a>0时，在 0, 上单调递增，在 1+a-1 ,十00 上单调递减： a 当a≤-1时，在(0，+o)上单调递增： 0,+a-1 W1+a-1 当-1<a<0时， 上单调递增.，在 上单调递减.---10分 (2)h(x)在[1,4上单调递减， x∈[l,4时，)=1-am-2≤0恒成立，--11分 即a≥1、 担废立，a6e·而c0=经-八-1,3分 x2 x x∈[l,4,∈ 故a的取值范围是 18.【详解】(1)由题设 1-301-3+1113,又=1， a+1an4a+14 所以数列 1 是首项为1，公差为3的等差数列，-2分 可得2-1+30n-1=3-2,4分 a 1 故a,3n-25分 1 1 11 1 (2)由(1)知a=3m-2所以66m-26m+D33n-23n+1 --7分 ----10分 3)由(2)得c,=3-2, 2”1 则子+之， 2之，-11分