第六讲 同角三角函数的基本关系及诱导公式 导学案-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考导学案系统梳理同角三角函数基本关系（平方关系、商数关系）及诱导公式（六组公式及“奇变偶不变”口诀），按知识点内在逻辑构建“必掌握知识点-解题方法-必考题型”三层认知体系，通过问题导向的真题分类解析，引导学生自主梳理弦切互化、知一求二等应用规律，形成结构化知识网络。 亮点在于真题驱动的自主诊断与分层提升设计，如“必考题型全归纳”涵盖充分必要条件判断、终边对称求值等五大高频题型，配2022-2026年高考真题实例，培养学生数学思维（推理能力）与数学语言（符号应用）素养。每个题型附解题方法总结，学生可通过真题演练定位薄弱点，教师依此实施精准辅导，助力个性化高效备考。

高三一轮复习 第六讲 同角三角函数的基本关系及诱导公式高考题分类解析 【学习目标】理解同角三角函数的基本关系，会用诱导公式化任意角的三角函数为锐角的三角函数. 【学习重点】同角三角函数的基本关系和诱导公式. 【学习难点】同角三角函数的基本关系和诱导公式的灵活准确运用. 必掌握知识点 1、同角三角函数的基本关系 （1）平方关系：． （2）商数关系：； 用途：弦切互化、知一求二、平方构造等式 2、三角函数诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 正弦 余弦 正切 口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限 用途：用于任意角三角函数化为锐角三角函数，角度平移、正负角化简 【记忆口诀】奇变偶不变，符号看象限，说明：（1）先将诱导三角函数式中的角统一写作； （2） 角度无论多大，一律视为锐角，判断所处的象限，并判断题设三角函数在该象限的正负； （3）当为奇数时，“奇变”，正变余，余变正；当为偶数时，“偶不变”函数名称保持不变即可． 【解题方法总结】 1、利用可以实现角的正弦、余弦的互化，利用可以实现角的弦切互化． 2、“”方程思想知一求二． 必考题型全归纳 题型一 充分、必要条件判断（结合同角三角等式） 1．（2023·全国甲卷·高考真题）设甲：，乙：，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件、必要条件的概念及同角三角函数的基本关系得解. 【详解】当时，例如但， 即推不出； 当时，， 即能推出. 综上可知，甲是乙的必要不充分条件.故选：B 2．（2022·浙江·高考真题）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由三角函数的性质结合充分条件、必要条件的定义即可得解. 【详解】因为可得： 当时，，充分性成立； 当时，，必要性不成立； 所以当，是的充分不必要条件.故选：A. 题型二 终边对称（x 轴 、 原点对称）求三角函数值、最值 3．（2025·北京·高考真题）已知，且，.写出满足条件的一组的值________，_________． 【答案】 （答案不唯一） （答案不唯一） 【分析】根据角的三角函数的关系可得角的等量关系，从而可得满足条件的一组解. 【详解】因为，， 所以的终边关于轴对称，且不与轴重合， 故且， 即，故取可满足题设要求； 故答案为：；（答案不唯一） 4．（2024·北京·高考真题）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于原点对称.若，则的最大值为________． 【答案】/ 【分析】首先得出，结合三角函数单调性即可求解最值. 【详解】由题意，从而， 因为，所以的取值范围是，的取值范围是， 当且仅当，即时，取得最大值，且最大值为. 故答案为：. 题型三 同角平方关系求值（已知单三角值求另一三角） 5．（2023·全国乙卷·高考真题）若，则________． 【答案】 【分析】根据同角三角关系求，进而可得结果. 【详解】因为，则，又因为，则， 且，解得或（舍去）， 所以.故答案为：. 方法二 画出直角三角形，小题小做 题型四 三角函数型偶函数求参数 6．（2023·全国甲卷·高考真题）若为偶函数，则________． 【答案】2 【分析】利用偶函数的性质得到，从而求得，再检验即可得解. 【详解】因为为偶函数，定义域为， 所以，即， 则，故， 此时， 所以， 又定义域为，故为偶函数，所以.故答案为：2. 题型五 三角集合交集运算 7．（2026·全国一卷·高考真题）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，，， 即集合，且集合，所以. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三一轮复习 第六讲 同角三角函数的基本关系及诱导公式高考题分类解析 【学习目标】理解同角三角函数的基本关系，会用诱导公式化任意角的三角函数为锐角的三角函数. 【学习重点】同角三角函数的基本关系和诱导公式. 【学习难点】同角三角函数的基本关系和诱导公式的灵活准确运用. 必掌握知识点 1、同角三角函数的基本关系 （1）平方关系：． （2）商数关系：； 用途：弦切互化、知一求二、平方构造等式 2、三角函数诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 正弦 余弦 正切 口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限 用途：用于任意角三角函数化为锐角三角函数，角度平移、正负角化简 【记忆口诀】奇变偶不变，符号看象限，说明：（1）先将诱导三角函数式中的角统一写作； （2） 角度无论多大，一律视为锐角，判断所处的象限，并判断题设三角函数在该象限的正负； （3）当为奇数时，“奇变”，正变余，余变正；当为偶数时，“偶不变”函数名称保持不变即可． 【解题方法总结】 1、利用可以实现角的正弦、余弦的互化，利用可以实现角的弦切互化． 2、“”方程思想知一求二． 必考题型全归纳 题型一 充分、必要条件判断（结合同角三角等式） 1．（2023·全国甲卷·高考真题）设甲：，乙：，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 2．（2022·浙江·高考真题）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 题型二 终边对称（x 轴 、 原点对称）求三角函数值、最值 3．（2025·北京·高考真题）已知，且，.写出满足条件的一组的值________，_________． 4．（2024·北京·高考真题）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于原点对称.若，则的最大值为________． 题型三 同角平方关系求值（已知单三角值求另一三角） 5．（2023·全国乙卷·高考真题）若，则________． 题型四 三角函数型偶函数求参数 6．（2023·全国甲卷·高考真题）若为偶函数，则________． 题型五 三角集合交集运算 7．（2026·全国一卷·高考真题）已知集合，，则（  ） A． B． C． D． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $