4.2 同角三角函数的基本关系及诱导公式讲义-2027届高三数学一轮复习（全国通用）

该高中数学高考复习讲义聚焦同角三角函数基本关系及诱导公式核心考点，以平方关系、商数关系为基础，结合诱导公式“奇变偶不变，符号看象限”规律及常用变形结论构建知识体系，通过知识复习梳理、分典例类型（弦切互化等）精讲方法、真题训练突破难点，体现复习的系统性和针对性。 资料采用分层典例设计与方法提炼策略，如正余弦齐次式问题通过商数关系转化为正切运算，培养学生数学思维中的运算能力与推理意识，设置从基础到综合的真题练习，助力学生在有限时间内掌握公式变形与综合应用技巧，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有效支撑。

4.2 同角三角函数的基本关系及诱导公式（精讲） 第一部分：知识复习 1．同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1； (2)商数关系：tan α＝. 2．诱导公式 角 2kπ＋ α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α 正切 tan α tan α －tan α －tan α 口诀 奇变偶不变，符号看象限 [常用结论] 基本关系 常用变形 平方关系 sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)，cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α) 商数关系 sin α＝tan αcos α 和积互化 (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α 弦切互化 sin2α＝＝， cos2α＝＝， sin αcos α＝＝，其中α≠＋kπ，k∈Z 第二部分：典型例题 典例一：弦切互化 1．（吉林长春市柏辰艺术中学等校2026届高三普通高校招生模拟5月联考数学试题）已知为第二象限角，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用同角三角函数基本关系化简所求表达式，再结合的象限求出的值，代入计算即可得到结果. 【详解】， 已知为第二象限角，故， 因为，所以 ， 将，代入得： . 2．（25-26高三上·广东河源·阶段检测）已知，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以，故. 3．（25-26高三上·北京西城·期中）已知角的终边在第三象限，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵ 角的终边在第三象限，        ∴ . ∵ ，， ∴ . ∴ . 4．（2026·福建厦门·二模）已知为第四象限角，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同角三角函数的关系，结合角的范围，即可得答案. 【详解】由题意得，解得， 又为第四象限角，则，所以. 5．（25-26高三上·全国·课后作业）若的终边不在轴上，且，则_____． 【答案】/ 【分析】利用诱导公式化简，结合同角三角函数关系解出即可. 【详解】由已知结合诱导公式得， 又，将代入解得，， 所以， 故答案为： 6．（25-26高三上·上海静安·期末）已知，则的值为________． 【答案】 【分析】使用同角三角函数关系计算正切值，再使用二倍角公式求解. 【详解】因为，所以， 则，可得. 典例二：①②③之间的关系 7．（25-26高三上·福建泉州·阶段检测）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用同角三角函数的平方关系对所求式平方，结合已知条件计算平方结果，再根据的范围判断所求式的符号，开方后得到最终值. 【详解】， 已知，因此，结合，可得， 故，开方得. 8．（25-26高三上·贵州遵义·阶段检测）已知为第二象限角，且，则___________． 【答案】 【分析】对等式同时平方求出，然后求出，即可联立方程求出正、余弦值，从而根据同角三角函数商的关系求出正切值. 【详解】同时平方可得，， 因为为第二象限角，所以， ，解得， 所以. 故答案为： 9．（25-26高三上·四川资阳·阶段检测）已知，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由同角三角函数的平方关系得到，再由两角和的余弦公式即可求解. 【详解】因为 又， 代入，得， 又，得， 因此， 代入得： . 10．（25-26高三上·广东佛山·阶段检测）已知，则的值为______． 【答案】/ 【详解】已知， 两边同时平方可得， 由于，则，所以. 11．（25-26高三上·云南·开学考试）（多选）已知为锐角，且，则下列选项正确的有（    ）． A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】∵， ∴， ∵为锐角， ∴，A正确； ∵，两边同时平方得， ∴，B正确； ∵，又为锐角， ∴，C错误； 联立与可得，，故，D正确． 12．（25-26高三上·江苏镇江·开学考试）（多选）已知，，则下列等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】应用，的关系，结合平方关系判断各项正误. 【详解】因为，则. 对于A，，可得，A正确； 对于B，由A可知，，则， 所以，则，B正确； 对于C，，可得则，C错误； 对于D，，D正确. 故选：ABD. 典例三：正余弦齐次式问题 13．（25-26高三上·上海·期中）已知，则 ______． 【答案】 【详解】因为， 所以. 14．（25-26高三上·湖南衡阳·期中）若，则______． 【答案】 【分析】先用二倍角公式及和差公式化简，再结合商数关系求值即可． 【详解】解：由题意可得 15．（25-26高三上·江西萍乡·期中）已知，则__________． 【答案】 【详解】. 16．（2026·陕西咸阳·三模）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出，再根据结合商数关系化弦为切即可得解. 【详解】因为， 所以，即， 所以， . 17．（25-26高三上·贵州遵义·阶段检测）已知，则______. 【答案】/ 【分析】根据齐次式问题结合运算求解即可. 【详解】因为， 所以. 18．（25-26高三上·上海·阶段检测）（1）已知角的终边落在直线上，求； （2）已知，求的值； 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用三角函数的定义求解； （2）利用正余弦的齐次式的解法计算求解. 【详解】（1）因为已知角的终边落在直线上，所以设点在直线上， 则，则，同理，则 （2），因为，则. 典例四：诱导公式的应用 19．（25-26高三上·上海静安·期末）化简：______． 【答案】1 【详解】 20．（25-26高三上·上海·期中）（1）已知角的终边经过点，求的值； （2）化简：. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据三角函数的定义即可求解； （2）根据三角函数的诱导公式化简即可. 【详解】（1）角的终边经过点， 则， ； （2）原式. 21．（25-26高三上·广东江门·期中）已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点 (1)求； (2)若，，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，利用三角函数的定义，求得，结合诱导公式，即可求解； （2）由，求得，结合两角差的余弦公式，即可求解. 【详解】（1）因为角的终边过点，可得， 所以， 则. （2）因为，可得， 因为，可得， 所以 . 22．（25-26高三上·北京·期中）已知角的顶点与原点O重合，始边与x轴的正半轴重合，它的终边过点，且． (1)求m及的值； (2)化简：，并求值． 【答案】(1)m＝1， (2) 【分析】（1）由三角函数的定义可得，由此解出m，再由三角函数的定义求出的值； （2）由诱导公式化简代入的值即可得出答案； 【详解】（1）由题意可知：， 平方可得：，化简得：，又因为， 所以m＞0，故m＝1．因此． （2）原式 23．（25-26高三上·河南南阳·期中）（1）一个扇形的周长的数值为4，面积的数值为1，求这个扇形圆心角的弧度数； （2）已知角的顶点在坐标原点，始边在x轴非负半轴，终边过点，，求的值． 【答案】（1）弧度数为2；（2）. 【分析】（1）由扇形周长和面积公式列方程组，解出半径和圆心角弧度数； （2）利用诱导公式化简三角函数式得正切，再根据终边上点坐标求出正切值. 【详解】（1）设一个扇形的半径为r，圆心角的弧度数为， 由题意可得：，解得：， 所以这个扇形圆心角的弧度数为2． （2）． 因为角的终边过点， 所以，所以． 24．（25-26高三上·辽宁·期中）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴正半轴重合，终边经过点. (1)求，； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角函数的定义求解； （2）利用诱导公式化简，再求解； 【详解】（1）； （2）. 典例五：同角关系式和诱导公式的综合应用 25．（25-26高三上·江西南昌·期中）已知， (1)先化简，再求的值； (2)若已知，且，求的值． 【答案】(1)且 (2) 【分析】（1）利用诱导公式化简求值； （2）利用半角公式和两角和的正弦公式求解. 【详解】（1），且， （2）， 因为，所以，又， 所以，所以， 所以，， 所以 26．（25-26高三上·福建泉州·阶段检测）以轴为始边作终边落在第二象限的角，且与单位圆交于点． (1)求、的值，并求的值； (2)化简求值：． 【答案】(1) ，， (2) 【分析】由单位圆交点的坐标确定正弦、余弦，结合第二象限确定余弦符号；再利用两角和正切公式及诱导公式化简计算． 【详解】（1）因为角的终边与单位圆交于点，所以． 由，得． 又角的终边落在第二象限，所以，即． 所以，． 因此． （2）由诱导公式得，，． 所以原式化为． 将，，代入，得分子为，分母为． 所以原式的值为． 27．（25-26高三上·安徽阜阳·期末）已知角以轴的非负半轴为始边，为终边上一点. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据角α终边上点的坐标，结合任意角三角函数定义求出、，代入目标式计算即可； （2）利用三角函数诱导公式化简原式为，再结合终边上点的坐标求的值. 【详解】（1）点到坐标原点的距离， 根据任意角三角函数的定义： ，， 代入得； （2）利用诱导公式化简原式： 分子部分：，， ，， 因此分子， 分母部分：，，， 因此分母， 约分化简得原式， 根据定义. 28．（2026高一·全国·专题练习）求证：． 【答案】证明见解析. 【分析】利用三角函数的诱导公式和同角三角函数基本关系式证明. 【详解】左边==–tanα=右边， ∴等式成立． 29．（2026·河南信阳·三模）已知，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】由诱导公式、同角三角函数商的关系即可求解. 【详解】 30．（25-26高三上·辽宁沈阳·期中） (1)化简 (2)若是第四象限角，求的值 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据诱导公式即可化简， （2）根据同角关系以及二倍角公式，即可代入正弦的和角公式中求解. 【详解】（1）， （2）， 由于是第四象限角，故， 所以， 故 31．（25-26高三上·北京·期中）已知角的始边与轴的正半轴重合，终边过定点． (1)求 (2)求的值． (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据三角函数的定义求出，再利用二倍角的正切公式求出; （2）先利用诱导公式对原式进行化简，再结合三角函数的定义求出和的值，最后代入化简后的式子求值; （3）利用诱导公式将和进行变形，再结合已知条件求解. 【详解】（1）已知角的终边过定点，所以, . （2）角的始边与轴的正半轴重合，终边过定点，则， 所以． 所以 （3）因为， 所以 所以． 32．（25-26高三上·四川南充·期中）已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与轴的非负半轴重合，角的终边过点． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）由题意角的终边过点，则， 根据任意角三角函数的定义可得，． （2）由诱导公式得． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.2 同角三角函数的基本关系及诱导公式（精讲） 第一部分：知识复习 1．同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1； (2)商数关系：tan α＝. 2．诱导公式 角 2kπ＋ α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α 正切 tan α tan α －tan α －tan α 口诀 奇变偶不变，符号看象限 [常用结论] 基本关系 常用变形 平方关系 sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)，cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α) 商数关系 sin α＝tan αcos α 和积互化 (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α 弦切互化 sin2α＝＝， cos2α＝＝， sin αcos α＝＝，其中α≠＋kπ，k∈Z 第二部分：典型例题 典例一：弦切互化 1．（吉林长春市柏辰艺术中学等校2026届高三普通高校招生模拟5月联考数学试题）已知为第二象限角，，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·广东河源·阶段检测）已知，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·北京西城·期中）已知角的终边在第三象限，且，则（   ） A． B． C． D． 4．（2026·福建厦门·二模）已知为第四象限角，，则（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·全国·课后作业）若的终边不在轴上，且，则_____． 6．（25-26高三上·上海静安·期末）已知，则的值为________． 典例二：①②③之间的关系 7．（25-26高三上·福建泉州·阶段检测）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高三上·贵州遵义·阶段检测）已知为第二象限角，且，则___________． 9．（25-26高三上·四川资阳·阶段检测）已知，，则（ ） A． B． C． D． 10．（25-26高三上·广东佛山·阶段检测）已知，则的值为______． 11．（25-26高三上·云南·开学考试）（多选）已知为锐角，且，则下列选项正确的有（    ）． A． B． C． D． 12．（25-26高三上·江苏镇江·开学考试）（多选）已知，，则下列等式正确的是（   ） A． B． C． D． 典例三：正余弦齐次式问题 13．（25-26高三上·上海·期中）已知，则 ______． 14．（25-26高三上·湖南衡阳·期中）若，则______． 15．（25-26高三上·江西萍乡·期中）已知，则__________． 16．（2026·陕西咸阳·三模）若，则（    ） A． B． C． D． 17．（25-26高三上·贵州遵义·阶段检测）已知，则______. 18．（25-26高三上·上海·阶段检测）（1）已知角的终边落在直线上，求； （2）已知，求的值； 典例四：诱导公式的应用 19．（25-26高三上·上海静安·期末）化简：______． 20．（25-26高三上·上海·期中）（1）已知角的终边经过点，求的值； （2）化简：. 21．（25-26高三上·广东江门·期中）已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点 (1)求； (2)若，，求. 22．（25-26高三上·北京·期中）已知角的顶点与原点O重合，始边与x轴的正半轴重合，它的终边过点，且． (1)求m及的值； (2)化简：，并求值． 23．（25-26高三上·河南南阳·期中）（1）一个扇形的周长的数值为4，面积的数值为1，求这个扇形圆心角的弧度数； （2）已知角的顶点在坐标原点，始边在x轴非负半轴，终边过点，，求的值． 24．（25-26高三上·辽宁·期中）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴正半轴重合，终边经过点. (1)求，； (2)求的值. 典例五：同角关系式和诱导公式的综合应用 25．（25-26高三上·江西南昌·期中）已知， (1)先化简，再求的值； (2)若已知，且，求的值． 26．（25-26高三上·福建泉州·阶段检测）以轴为始边作终边落在第二象限的角，且与单位圆交于点． (1)求、的值，并求的值； (2)化简求值：． 27．（25-26高三上·安徽阜阳·期末）已知角以轴的非负半轴为始边，为终边上一点. (1)求的值； (2)求的值. 28．（2026高一·全国·专题练习）求证：． 29．（2026·河南信阳·三模）已知，则（    ） A． B． C．1 D． 30．（25-26高三上·辽宁沈阳·期中） (1)化简 (2)若是第四象限角，求的值 31．（25-26高三上·北京·期中）已知角的始边与轴的正半轴重合，终边过定点． (1)求 (2)求的值． (3)若，求的值． 32．（25-26高三上·四川南充·期中）已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与轴的非负半轴重合，角的终边过点． (1)求的值； (2)求的值． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $