精品解析：贵州遵义清华中学2025-2026学年第二学期第二次素养测试高二数学

遵义清华中学2025-2026学年第二学期第二次素养测试 高二数学 （考试时间：120分钟，试卷总分：150分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设平面向量，，则等于（ ） A. (5，4) B. (－5，－4) C. (1，6) D. (1，3) 3. 已知复数z满足（其中为虚数单位），则为（ ） A. B. 5 C. D. 4. 数列的前n项和，则等于（ ） A. 171 B. 21 C. 10 D. 161 5. 在等差数列中，，则（ ） A. 17 B. 19 C. 20 D. 21 6. 设数列的前n项和为，若，则（ ） A. 5 B. 8 C. 7 D. 6 7. 的展开式中，含项的系数为（ ） A. B. 13 C. D. 60 8. 已知数列的通项公式，则（ ） A. 81 B. 128 C. 146 D. 164 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全对的得部分分，有选错的得0分. 9. （多选）如图，这是某地2022年4月至2023年3月每月最低气温与最高气温（单位：℃）的折线统计图.已知每月最低气温与最高气温的样本相关系数，则下列结论正确的有（ ） A. 每月最低气温与最高气温有较强的线性相关性，且二者为线性正相关 B. 月温差（月最高气温一月最低气温）的最大值出现在10月 C. 月的月温差相对于月波动性更大 D. 每月最高气温与最低气温的值在前6个月逐月增加 10. 已知数列的前n项和为，且，，则（ ） A. B. C. D. 数列为等比数列 11. 下列说法正确的是（ ） A. 若随机变量服从正态分布，则 B. 若随机变量服从二项分布，则 C. 若事件和相互独立，则 D. 若事件和互斥，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设是等差数列的前项和，若，则_____． 13. 已知事件相互独立，且，则_____. 14. 等差数列的前项和为，且，，记，其中表示不超过的最大整数，如，，则_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 随着科技的发展，网络已逐渐融入了人们的生活.网购是非常方便的购物方式，为了了解网购在我市的普及情况，某调查机构进行了有关网购的调查问卷，并从参与调查的市民中随机抽取了男女各100人进行分析，从而得到下表（单位：人） 经常网购 偶尔或不用网购 合计 男性 50 100 女性 70 100 合计 （1）完成上表，并根据以上数据判断是否有99%的把握认为我市市民网购与性别有关？ （2）现从所抽取的女市民中利用分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机选取3人，选取的3人中经常网购的人数为X，求X的分布列. 参考公式： 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 16. 已知在等差数列中，. （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和. 17. 已知是等差数列的前项和，且，． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和为． 18. 如图，在正四棱锥中，，. （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值. 19. 若数列满足，且，则称是“摆动数列”．已知是“摆动数列”，且的前项和为． （1）若，列出所有可能的取值； （2）若，求的取值集合； （3）若，等可能地取定的正负号（即与发生的概率相等），求是整数的概率． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 遵义清华中学2025-2026学年第二学期第二次素养测试 高二数学 （考试时间：120分钟，试卷总分：150分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据交集的定义直接求解即可. 【详解】因为，， 所以， 故选：C 2. 设平面向量，，则等于（ ） A. (5，4) B. (－5，－4) C. (1，6) D. (1，3) 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量的坐标运算直接求解. 【详解】因为平面向量，， 所以＝(3，5)－(－2，1)＝(5，4)． 故选：A 3. 已知复数z满足（其中为虚数单位），则为（ ） A. B. 5 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的除法求出，进而求出其模. 【详解】依题意，， 所以. 故选：A 4. 数列的前n项和，则等于（ ） A. 171 B. 21 C. 10 D. 161 【答案】B 【解析】 【详解】. 5. 在等差数列中，，则（ ） A. 17 B. 19 C. 20 D. 21 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差中项的性质先求出，再结合条件求出，得到等差数列的公差，代入通项公式即可求得. 【详解】设等差数列的公差为，根据等差中项的性质，得， 又，所以，代入，得， 所以，因此等差数列的通项为， 所以. 6. 设数列的前n项和为，若，则（ ） A. 5 B. 8 C. 7 D. 6 【答案】D 【解析】 【详解】当时，，即，解得； 当时，，即，所以，解得. 7. 的展开式中，含项的系数为（ ） A. B. 13 C. D. 60 【答案】C 【解析】 【分析】利用二项式展开式的通项公式，令的幂指数等于3，求出的值，代入计算即可得到含项的系数. 【详解】二项式的展开式通项为：，其中且. 令，解得， 所以含项的系数为. 8. 已知数列的通项公式，则（ ） A. 81 B. 128 C. 146 D. 164 【答案】B 【解析】 【分析】利用对勾函数的性质得，再去绝对值符号化简为，即可求值. 【详解】由在上单调递减，在上单调递增， 对于且，在上单调递减，在上单调递增， 所以， 故 . 故选：B 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全对的得部分分，有选错的得0分. 9. （多选）如图，这是某地2022年4月至2023年3月每月最低气温与最高气温（单位：℃）的折线统计图.已知每月最低气温与最高气温的样本相关系数，则下列结论正确的有（ ） A. 每月最低气温与最高气温有较强的线性相关性，且二者为线性正相关 B. 月温差（月最高气温一月最低气温）的最大值出现在10月 C. 月的月温差相对于月波动性更大 D. 每月最高气温与最低气温的值在前6个月逐月增加 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据线性相关系数可判断A选项；计算各月的温差可判断B选项；观察月、月的月温差变化幅度，可判断选项；观察8月到9月的最高气温与最低气温的变化，可判断选项. 【详解】由每月最低气温与最高气温的样本相关系数，越接近1，线性相关性越强，且表示正相关， 可知每月最低气温与最高气温有较强的线性相关性，且二者为正线性相关，故正确. 由所给的折线图计算各月的月温差（月最高气温一月最低气温），比较得到的月温差， 可知最大值出现在10月，故正确. 观察折线统计图，月的月温差相对平稳，月的月温差变化幅度更大， 月的月温差相对于月，波动性更大，故正确. 从折线统计图可以看出，最高气温在8月到9月是下降的，最低气温在8月到9月也是下降的， 并不是在前6个月逐月增加，故错误. 故选：. 10. 已知数列的前n项和为，且，，则（ ） A. B. C. D. 数列为等比数列 【答案】A 【解析】 【详解】因为， 所以， 所以数列是等比数列，首项为，公比为， 所以，即，选项A正确. ，，选项B错误. ， 选项C错误. ，则是首项为，公差为的等差数列， 不是等比数列，选项D错误. 11. 下列说法正确的是（ ） A. 若随机变量服从正态分布，则 B. 若随机变量服从二项分布，则 C. 若事件和相互独立，则 D. 若事件和互斥，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据正态分布的性质即可判断选项A，根据二项分布的性质即可判断选项B，根据独立事件，仅能得到，不一定得到，C错误，根据互斥事件的定义即可判断选项D. 【详解】若随机变量服从正态分布，所以， 则，A正确； 若随机变量服从二项分布， 则，B正确； 若事件和相互独立，则， 且，C错误； 若事件和互斥，则，，D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设是等差数列的前项和，若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据等差数列的前项和公式求解. 【详解】设等差数列的公差为， 所以. 故答案为：. 13. 已知事件相互独立，且，则_____. 【答案】## 【解析】 【详解】因为事件相互独立，所以 14. 等差数列的前项和为，且，，记，其中表示不超过的最大整数，如，，则_________. 【答案】9 【解析】 【分析】 利用等差数列的通项公式与求和公式可得，再利用，可得，，，即可得出． 【详解】为等差数列的前项和，且，，． 可得，则公差，∴， ∴，则，，， ， ∴. 故答案为：. 【点睛】本题考查等差数列的通项公式与求和公式、对数运算性质、取整函数，考查推理能力与计算能力，属于中档题． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 随着科技的发展，网络已逐渐融入了人们的生活.网购是非常方便的购物方式，为了了解网购在我市的普及情况，某调查机构进行了有关网购的调查问卷，并从参与调查的市民中随机抽取了男女各100人进行分析，从而得到下表（单位：人） 经常网购 偶尔或不用网购 合计 男性 50 100 女性 70 100 合计 （1）完成上表，并根据以上数据判断是否有99%的把握认为我市市民网购与性别有关？ （2）现从所抽取的女市民中利用分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机选取3人，选取的3人中经常网购的人数为X，求X的分布列. 参考公式： 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）补全列联表见解析，有99%的把握认为我市市民网购与性别有关； （2）X的分布列为： 0 1 2 3 【解析】 【分析】（1）完成列联表，由列联表求出，根据独立性检验判断即可. （2）利用分层抽样求出经常网购的人数和偶尔或不用网购的人数，写出的可能取值，分别求出的每个取值的概率，列出的分布列即可. 【小问1详解】 补全列联表： 经常网购 偶尔或不用网购 合计 男性 50 50 100 女性 70 30 100 合计 120 80 200 其中，，，，， ， 因此有99%的把握认为我市市民网购与性别有关. 【小问2详解】 女市民中经常网购与偶尔或不用网购的人数比为，用分层抽样抽取10人， 则经常网购的人数为，偶尔或不用网购的人数为， 从10人中选3人，的可能取值为， ，， ，， 的分布列为： 0 1 2 3 16. 已知在等差数列中，. （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的通项公式的性质求解首项和公差，即可得的通项公式； （2）直接根据裂项相消法求前项和 【小问1详解】 设的公差为.由，可得. 因为，所以. 因为，所以，故. 【小问2详解】 因为，所以， 所以. 17. 已知是等差数列的前项和，且，． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和为． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，即可得到关于、的方程组，解得即可； （2）由（1）可得，利用错位相减法计算可得. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 因为，，所以，解得 ， 有，故数列的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）可得， 所以， 则， 两式作差得， 所以. 18. 如图，在正四棱锥中，，. （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析.（2） 【解析】 【分析】（1）为正四棱锥.所以为正方形，面，. 因为为正方形，所以 . ，所以面. （2）要求二面角的余弦值，通过建立空间直角坐标系，运用向量法即可得出答案. 【详解】（1）证明：联结. 在正四棱锥中，底面. 因为平面，所以. 在正方形中，， 又因为，所以面. （2）解：由（1）知，，，两两垂直， 以为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系. 在正方形中，因为， 所以. 又因为， 所以. 所以点的坐标为，点的坐标为， 点的坐标为. 则，. 由（1）知，平面. 所以平面的一个法向量为. 设平面的一个法向量. 则，即 令，则，. 故平面的一个法向量. 所以二面角的余弦值为. 【点睛】本题主要考查线面垂直及空间向量求面面角的应用，属于中档题目. 19. 若数列满足，且，则称是“摆动数列”．已知是“摆动数列”，且的前项和为． （1）若，列出所有可能的取值； （2）若，求的取值集合； （3）若，等可能地取定的正负号（即与发生的概率相等），求是整数的概率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由，得或0进行求解； （2）设，则，当时，取得最大值，当时，取得最小值，进行求解； （3）设是整数的概率为是整数的概率为是整数的概率为，则．所以．又，所以，构造等比数列进行求解． 【小问1详解】 当时，由，得或0． 当时，由，得或2； 当时，由，得或． 综上，所有可能的取值为． 【小问2详解】 由题意得，设． 当时，由， 得， 则 ． 当时，取得最大值，且最大值为． 当时，． 当时，． …… 当时，取得最小值，且最小值为． 综上，取遍－35到55之间（包括）的所有奇数，所以的取值集合为，即的取值集合为． 【小问3详解】 设是整数的概率为是整数的概率为是整数的概率为，则． 要使是整数，则必然不是整数． 当是整数时，只有当时，是整数； 当是整数时，只有当时，是整数． 所以． 又，所以，得， 则数列是首项为，公比为的等比数列． 故，即． 【点睛】关键点点睛：在第（3）问中，设是整数的概率为是整数的概率为是整数的概率为，则，所以．进行求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $