第一章 特殊平行四边形 单元测试题 2026—2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 北师大版九年级数学上册第一章特殊平行四边形单元测试卷，分A/B卷（150分），全面覆盖菱形、矩形、正方形的性质与判定，注重几何直观与推理能力考查，适配单元复习巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8题32分|特殊四边形判定（第1题）、直角三角形斜边中线（第2题）|基础概念辨析，选项设置易混点| |填空题|10题40分|菱形周长与对角线（第9题）、矩形性质（第11题）|结合计算与性质应用，如第13题千斤顶实际情境| |解答题|8题78分|正方形证明（第14题）、旋转探究（B卷26题）|分层设计，从基础证明到动态几何，如26题三问递进考查推理与创新|

第一章 特殊平行四边形 单元测试题 2026—2027学年北师大版九年级数学上册 满分：150分 时间：120分钟 A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 1．下列说法中，正确的是（　　） A．对角线互相垂直的平行四边形是矩形 B．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 C．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 D．四条边都相等的四边形是菱形 2．在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点D为斜边BC中点，则AD长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．3 3．在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若要使▱ABCD为矩形，可以添加下列哪个条件？（　　） A．AC⊥BD B．∠ACB＝∠ACD C．AB＝AD D．OA＝OB 4．如图，在△ABC中，点E，D，F分别在边AB，BC，CA上，且DE∥CA，DF∥BA．下列四个判断中，不正确的是（　　） A．四边形AEDF是平行四边形 B．如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形 C．如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形 D．如果AD⊥BC且AB≠AC，那么四边形AEDF是菱形 5．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在CD、BC上，且BF＝CE，连接BE、AF相交于点G，则下列结论不正确的是（　　） A．BE＝AF B．∠DAF＝∠BEC C．∠AFB+∠BEC＝90° D．AG⊥BE 6．如图，AC为菱形ABCD的对角线，∠ACD＝30°，菱形ABCD的面积是，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，则△CDE的面积是（　　） A．2 B． C．3 D． 7．如图，在矩形ABCD中，AE平分∠BAC交BC于点E，EF垂直平分AC交AC于点O，交AD于点F，若EO＝1，则四边形AECF的面积为（　　） A． B． C． D． 8．如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC＝2AE，直角三角形FEG的两直角边EF、EG分别交BC、DC于点M、N．若正方形ABCD的边长为a，则重叠部分四边形EMCN的面积为（　　） A．a2 B．a2 C．a2 D．a2 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 9．已知菱形的周长为30cm，两个相邻内角的度数之比为1：2，则较短对角线的长为　 ． 10．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝8，点D是AC的中点，则BD＝ 　　 ． 11．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AB＝4，BC＝3，则四边形CODE的周长是 　　 ． 12．如图，在正方形ABCD中，点E是DC边的中点，FG⊥AE分别交AD，BC边于点F，G．若AB＝4，则FG的长为 　　 ． 13．图（1）是一种利用了四边形不稳定性设计的千斤顶．如图（2）所示，该千斤顶的基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变∠ADC的大小（菱形的边长不变），从而改变千斤顶的高度（即A，C之间的距离）．已知AB＝40cm，∠ADC＝60°，当千斤顶升高 　　 cm时，四边形ABCD为正方形．（参考数据：1.414，1.732，结果保留整数） 三、解答题（本大题共5小题，14题-15题每小题8分，16-17题每小题10分，18题12分，共48分） 14．如图，在Rt△ABC中，两锐角的平分线AD，BD相交于点D，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F．求证：四边形DECF是正方形． 15．如图，在矩形ABCD中，对角线AC和BD相交于O点，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠CAE＝15°． （1）求证：△AOB为等边三角形； （2）求∠COE的度数． 16．如图，Rt△FBC中，∠FBC＝90°，∠BFC＝30°，点E，A分别是FB，FC的中点，过点C作AB的平行线与EA的延长线交于点D． （1）证明：四边形ABCD是菱形； （2）若BC＝2，求DF的长． 17．如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC交DC的延长线于点E． （1）求证：BD＝BE； （2）若∠DBC＝30°，BO＝1，求四边形ABED的面积． 18．如图1，在等边三角形ABC内有一点P． （1）若PA＝2，PB，PC＝1，求∠BPC的度数； （2）若等边三角形边长为4，求PA+PB+PC的最小值； （3）如图2，在正方形ABCD内有一点P，且PA，PB，PC＝1，求正方形ABCD的边长． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 19．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且DE∥AC，CE∥BD，若AC＝6，则四边形OCED的周长为 　　 . 20．如图所示，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过正方形的顶点B、D作BF⊥a于点F，DE⊥a于点E，若DE＝5，BF＝8，则EF的长为　　 ． 21．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F，连接CF．若AC＝4，AB＝5，则四边形ADCF的面积是　　 ． 22．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG＝BD，连接BG、DF．若AG＝13，CF＝6，则四边形BDFG的周长为　　 ． 23．如图，在正方形ABCD中，AB＝11，E在AB边上，F在BC边上，且BF＝3，将EF绕着点F顺时针旋转90°得到GF，连接DG，则DG的长的最小值为　　 ． 二、解答题（本大题共3小题，24题8分，25题10分，26题12分，共30分） 24．如图，菱形ABCD边长为10，对角线AC和BD相交于点O，AC＝12，P是线段BC上一动点（不与点B、C重合），连接PO并延长交线段AD于点Q． ①四边形PQDC的面积是否随点P的运动而发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出四边形PQDC的面积； ②若∠OCB＝∠OPC，求BP的长度． 25．学完了勾股定理相关知识，王老师带领大家研究长方形纸片的折叠问题： 请你运用所学知识，解决下面的问题： （1）如图1，长方形纸片ABCD中，AB＝5，AD＝12，将纸片折叠，使AB落在对角线AC上，折痕为AE（点E在边BC上），点B落在点B′处，求CE的长度； （2）如图2，有一张长方形纸片ABCD，AB＝6，AD＝13，F为AD边上一点，AF＝3，E为BC上一点．将纸片折叠，折痕为EF，使点B恰好落在线段DE上的点B′处，点A落在点A′处．求线段B′D的长度． 26．在图1﹣3中，四边形ABCD和CGEF都是正方形，M是AE的中点． （1）如图1，点G在BC延长线上，求证：DM＝MF； （2）在图1的基础上，将正方形CGEF绕点C顺时针旋转到图2位置，此时点E在BC延长线上．求证：DM＝MF； （3）在图2的基础上，将正方形CGEF绕点C在任一旋转一个角度到如图3位置，此时DM和MF还相等吗？（不必说明理由） 参考答案 第一章 特殊平行四边形 单元测试题 2026—2027学年北师大版九年级数学上册 满分：150分 时间：120分钟 A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 1．下列说法中，正确的是（　　） A．对角线互相垂直的平行四边形是矩形 B．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 C．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 D．四条边都相等的四边形是菱形 【解答】解：A、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，不符合题意； B、一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，可能是等腰梯形，不符合题意； C、对角线互相垂直且相等的四边形不一定是正方形，可能是等腰梯形，不符合题意； D、四条边都相等的四边形是菱形，符合题意． 故选：D． 2．在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点D为斜边BC中点，则AD长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．3 【解答】解：如图， ∵∠A＝90°，AB＝6，AC＝8， ∴BC10， ∵点D为斜边BC中点， ∴ADBC＝5， 故选：B． 3．在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若要使▱ABCD为矩形，可以添加下列哪个条件？（　　） A．AC⊥BD B．∠ACB＝∠ACD C．AB＝AD D．OA＝OB 【解答】解：若使▱ABCD变为矩形，可添加的条件是：OA＝OB（对角线相等的平行四边形是矩形）， 故选：D． 4．如图，在△ABC中，点E，D，F分别在边AB，BC，CA上，且DE∥CA，DF∥BA．下列四个判断中，不正确的是（　　） A．四边形AEDF是平行四边形 B．如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形 C．如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形 D．如果AD⊥BC且AB≠AC，那么四边形AEDF是菱形 【解答】解：根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形AEDF是平行四边形，故不合题意； 根据有一角是直角的平行四边形是矩形，可得四边形AEDF是矩形，故不合题意； 如果AD平分∠BAC，那么∠EAD＝∠FAD，由DF∥BA，可得∠EAD＝∠ADF， ∴∠FAD＝∠ADF， ∴AF＝FD， 根据邻边相等的平行四边形是菱形，可得四边形AEDF是菱形，故不合题意； 如果AD⊥BC且AB≠AC，无法得到AD平分∠BAC，所以不能得到四边形AEDF是菱形，故符合题意． 故选：D． 5．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在CD、BC上，且BF＝CE，连接BE、AF相交于点G，则下列结论不正确的是（　　） A．BE＝AF B．∠DAF＝∠BEC C．∠AFB+∠BEC＝90° D．AG⊥BE 【解答】解：∵ABCD是正方形 ∴∠ABF＝∠C＝90°，AB＝BC ∵BF＝CE ∴△ABF≌△BCE ∴AF＝BE（第一个正确） ∠BAF＝∠CBE，∠BFA＝∠BEC（第三个错误） ∵∠BAF+∠DAF＝90°，∠BAF+∠BFA＝90° ∴∠DAF＝∠BEC（第二个正确） ∵∠BAF＝∠CBE，∠BAF+∠AFB＝90° ∴∠CBE+∠AFB＝90° ∴AG⊥BE（第四个正确） 所以不正确的是C，故选C． 6．如图，AC为菱形ABCD的对角线，∠ACD＝30°，菱形ABCD的面积是，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，则△CDE的面积是（　　） A．2 B． C．3 D． 【解答】解：连接BD， ∵四边形ABCD是菱形， ∴CD＝BC，∠BCD＝2∠ACD＝2×30°＝60°， ∴△BCD是等边三角形， ∵DE⊥BC， ∴ECBC， ∵△DEC的面积EC•DEBC•DE，菱形ABCD的面积＝BC•DE， ∴△CDE的面积菱形ABCD的面积123． 故选：D． 7．如图，在矩形ABCD中，AE平分∠BAC交BC于点E，EF垂直平分AC交AC于点O，交AD于点F，若EO＝1，则四边形AECF的面积为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：设OA＝a，则a＞0， ∵EF垂直平分AC交AC于点O， ∴AE＝CE，AF＝CF，OA＝OC＝a，∠AOF＝∠COE＝90°， 在矩形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°， ∴∠OAF＝∠OCE， 在△OAF和△OCE中， ， ∴△OAF≌△OCE（ASA）， ∴AF＝CE， ∴AE＝CE＝AF＝CF， ∴四边形AECF是菱形， ∵AE平分∠BAC交BC于点E，EO⊥AC，∠B＝90°，EO＝1， ∴EB＝EO＝1， 在Rt△ABE和Rt△AOE中， ， ∴Rt△ABE≌Rt△AOE（HL）， ∴AB＝OA＝a， 在Rt△ABC中，AC＝OA+OC＝2a， 由勾股定理得：BC， ∴CE＝BC﹣BE， 在Rt△COE中，由勾股定理得：CE2＝EO2+OC2， ∴， 整理得：， ∵a＞0， ∴a， ∴AB＝a，CE2， ∴四边形AECF的面积为：CE•AB． 故选：C． 8．如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC＝2AE，直角三角形FEG的两直角边EF、EG分别交BC、DC于点M、N．若正方形ABCD的边长为a，则重叠部分四边形EMCN的面积为（　　） A．a2 B．a2 C．a2 D．a2 【解答】解：过E作EP⊥BC于点P，EQ⊥CD于点Q， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BCD＝90°， 又∵∠EPM＝∠EQN＝90°， ∴∠PEQ＝90°， ∴∠PEM+∠MEQ＝90°， ∵三角形FEG是直角三角形， ∴∠NEF＝∠NEQ+∠MEQ＝90°， ∴∠PEM＝∠NEQ， ∵AC是∠BCD的角平分线，∠EPC＝∠EQC＝90°， ∴EP＝EQ，四边形PCQE是正方形， 在△EPM和△EQN中， ， ∴△EPM≌△EQN（ASA） ∴S△EQN＝S△EPM， ∴四边形EMCN的面积等于正方形PCQE的面积， ∵正方形ABCD的边长为a， ∴ACa， ∵EC＝2AE， ∴ECa， ∴EP＝PCa， ∴正方形PCQE的面积aaa2， ∴四边形EMCN的面积a2， 故选：D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 9．已知菱形的周长为30cm，两个相邻内角的度数之比为1：2，则较短对角线的长为　7.5cm ． 【解答】解：相邻两个内角的度数之比是1：2， ∴两个相邻角度分别为60°、120°， ∵较长的对角线所对的角为120°， ∴较短的对角线所对的角为60°，较短的对角线与菱形的一组邻边构成的是等边三角形， 那么较短的对角线长为30÷4＝7.5（cm）． 故答案为：7.5cm． 10．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝8，点D是AC的中点，则BD＝ 　4　 ． 【解答】解：∵∠ABC＝90°，点D是AC的中点， ∴BDAC8＝4． 故答案为：4． 11．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AB＝4，BC＝3，则四边形CODE的周长是 　10　 ． 【解答】解：∵CE∥BD，DE∥AC， ∴四边形CODE是平行四边形， ∵四边形ABCD是矩形，AB＝4，BC＝3， ∴AC＝BD5，OA＝OC，OB＝OD， ∴OD＝OCAC， ∴四边形CODE是菱形， ∴四边形CODE的周长为＝4OC＝410． 故答案为：10． 12．如图，在正方形ABCD中，点E是DC边的中点，FG⊥AE分别交AD，BC边于点F，G．若AB＝4，则FG的长为 　2　 ． 【解答】解：过点B作BN∥GF交AD于点N，如图所示： ∵四边形ABCD是正方形，AB＝4， ∴AD∥BC，AD＝AB＝CD＝4，∠BAN＝∠D＝90°， ∴四边形BGFN是平行四边形， ∴BN＝GF， ∵AE⊥FG，BN∥GF， ∴BN⊥AE， ∴∠BNA+∠EAD＝90°， ∵∠AED+∠EAD＝90°， ∴∠BNA＝∠AED， 在△AED和△BNA中， ， ∴△AED≌△BNA（AAS）， ∴AE＝BN＝FG， ∵点E是DC边的中点， ∴DE＝CD＝2， ∴， ∴． 13．图（1）是一种利用了四边形不稳定性设计的千斤顶．如图（2）所示，该千斤顶的基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变∠ADC的大小（菱形的边长不变），从而改变千斤顶的高度（即A，C之间的距离）．已知AB＝40cm，∠ADC＝60°，当千斤顶升高 　17　 cm时，四边形ABCD为正方形．（参考数据：1.414，1.732，结果保留整数） 【解答】解：连接AC，与BD相交于点O． ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠ADB＝∠CDB，AC＝2AO，AC⊥BD， 当∠ADC＝60°时，△ADC是等边三角形． ∴AD＝AC＝AB＝40； 当∠ADC＝90°时，∠ADO＝45°， ∴∠ADO＝∠DAO＝45°， ∴AO＝ODAD＝20， ∴AC＝40， 因此增加的高度为4040＝40×（1）≈17（cm）， 答：千斤顶升高了17（cm）； 故答案为：17． 三、解答题（本大题共5小题，14题-15题每小题8分，16-17题每小题10分，18题12分，共48分） 14．如图，在Rt△ABC中，两锐角的平分线AD，BD相交于点D，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F．求证：四边形DECF是正方形． 【解答】证明：过点D作DH⊥AB于点H，如图所示： ∵DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F， ∴∠DEC＝∠DFC＝∠C＝90°， ∴四边形DECF是矩形， ∵BD平分∠ABC，AD平分∠BAC，DE⊥BC，DF⊥AC，DH⊥AB， ∴DE＝DH，DH＝DF， ∴DE＝DF， ∴矩形DECF是正方形． 15．如图，在矩形ABCD中，对角线AC和BD相交于O点，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠CAE＝15°． （1）求证：△AOB为等边三角形； （2）求∠COE的度数． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD，∠BAD＝90°， ∴OA＝OB，∠DAE＝∠AEB， ∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠DAE＝45°＝∠AEB， ∴AB＝BE， ∵∠CAE＝15°， ∴∠DAC＝45°﹣15°＝30°， ∴∠BAC＝60°， ∴△BAO是等边三角形． （2）解：∵△AOB是等边三角形， ∴AB＝OB，∠ABO＝60°， ∴∠OBC＝90°﹣60°＝30°， ∵AB＝OB＝BE， ∴∠BOE＝∠BEO（180°﹣30°）＝75°， ∴∠COE＝45°． 16．如图，Rt△FBC中，∠FBC＝90°，∠BFC＝30°，点E，A分别是FB，FC的中点，过点C作AB的平行线与EA的延长线交于点D． （1）证明：四边形ABCD是菱形； （2）若BC＝2，求DF的长． 【解答】（1）证明：∵点E，A分别是FB，FC的中点， ∴EA是△FBC的中位线， ∴EA∥BC， ∵AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵∠FBC＝90°，∠BFC＝30°， ∴BCCF， ∵点A是FC的中点，∠FBC＝90°， ∴ABCF， ∴AB＝BC， ∴四边形ABCD是菱形； （2）解：∵四边形ABCD是菱形， ∴BC＝DC，∠BCA＝∠DCA， 又CF＝CF， ∴△BCF≌△DCF（SAS）， ∴DF＝BF， ∵∠FBC＝90°，∠BFC＝30°，BC＝2， ∴BFBC＝2， ∴DF＝2． 17．如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC交DC的延长线于点E． （1）求证：BD＝BE； （2）若∠DBC＝30°，BO＝1，求四边形ABED的面积． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD． AB∥CD． ∵BE∥AC， ∴四边形ABEC是平行四边形． ∴AC＝BE， ∴BD＝BE． （2）解：在矩形ABCD中，BO＝1， ∴2×1＝2， ∵∠DBC＝30°， ∴∠BDC＝90°﹣30°＝60°， ∴△OCD是等边三角形． ∴CD＝OD＝1． ∴AB＝CD＝1．DE＝CD+CE＝CD+AB＝1+1＝2． 在Rt△BCD中，， ∴四边形ABED的面积． 18．如图1，在等边三角形ABC内有一点P． （1）若PA＝2，PB，PC＝1，求∠BPC的度数； （2）若等边三角形边长为4，求PA+PB+PC的最小值； （3）如图2，在正方形ABCD内有一点P，且PA，PB，PC＝1，求正方形ABCD的边长． 【解答】解：（1）如图所示， 将线段BP绕点B逆时针旋转60°得到线段BP′，连接AP′、PP′， ∴△BPC≌△BP′A， ∴BP＝BP′，AP′＝PC＝1，∠PBP′＝60°，∠AP′B＝∠BPC， ∴△BP′P是等边三角形， ∴∠BP′P＝∠PBP′＝60°，PP′＝BP， ∵AP′2+PP′2＝1+3＝4＝AP2， ∴△AP′P是直角三角形，∠AP′P＝90°， ∴∠AP′B＝∠APP′+∠BP′P＝150°， ∴∠BPC＝150°， （2）如图所示，将△ABP绕点A逆时针旋转60°得到△ACD， 则△ABP≌△ACD，PA＝DA，∠PAD＝60°，则△APD是等边三角形， ∴AP＝PD， 再将△APC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，则△APC≌△ADE， ∴PC＝DE，∠CAE＝60°，CA＝EA， ∴PA+PB+PC＝BP+PD+DE≥BE， 当B，P，D，E四点共线时，PA+PB+PC取得最小值，即BE的长， 设BE，AC交于点F， ∵AB＝AC＝AE，∠BAF＝∠EAF，∠BAE＝∠BAF+∠EAF＝120°， ∴BE⊥AF，， ∴∠ABF＝30°， ∴， 在Rt△ABF中，， ∴， 即PA+PB+PC的最小值为； （3）如图，将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BEA， ∴△BPC≌△BEA， ∴BE＝BP，AE＝PC＝1，∠PBE＝90°，∠AEB＝∠BPC， ∴△BEP是等腰直角三角形， ∴∠BEP＝∠EPB＝45°，， ∵AE2+PE2＝1+4＝5＝AP2， ∴△AEP是直角三角形，∠AEP＝90°， 如图，延长AE，过点B作BF⊥AE于F，则∠F＝90°， ∵∠AEP＝90°，∠BEP＝45°， ∴∠BEF＝45°＝∠EBF， ∴BF＝EF＝1， ∴AF＝AE+EF＝2， ∴，即正方形的边长为． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 19．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且DE∥AC，CE∥BD，若AC＝6，则四边形OCED的周长为 　12　 . 【解答】解：∵DE∥AC，CE∥BD， ∴四边形OCED是平行四边形， 又∵ABCD是矩形， ∴OC＝OD3， ∴四边形OCED是菱形， ∴四边形OCED的周长为3×4＝12． 故答案为：12． 20．如图所示，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过正方形的顶点B、D作BF⊥a于点F，DE⊥a于点E，若DE＝5，BF＝8，则EF的长为　13　 ． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DAB＝90°，AB＝AD， ∵BF⊥a于点F，DE⊥a于点E， ∴∠DEA＝∠BFA＝∠BAD＝90°， ∴∠BAF+∠DAE＝90°，∠BAF+∠ABF＝90°， ∴∠DAE＝∠ABF，且AB＝AD，∠DEA＝∠BFA， ∴△ABF≌△DAE（SAS） ∴DE＝AF＝5，BF＝AE＝8， ∴EF＝AF+AE＝13， 故答案为：13． 21．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F，连接CF．若AC＝4，AB＝5，则四边形ADCF的面积是　10　 ． 【解答】解：∵AF∥BC， ∴∠AFE＝∠DBE， ∵E是AD的中点， ∴AE＝DE， 在△AEF和△DEB中， ， ∴△AEF≌△DEB（AAS）， ∴AF＝DB， ∵AD为BC边上的中线， ∴DB＝DC， ∴AF＝CD， ∵AF∥BC， ∴四边形ADCF是平行四边形， ∵D是BC的中点， ∴S菱形ADCF＝2S△ADC＝S△ABCAB•AC5×4＝10． 故答案为：10． 22．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG＝BD，连接BG、DF．若AG＝13，CF＝6，则四边形BDFG的周长为　20　 ． 【解答】解：∵AG∥BD，BD＝FG， ∴四边形BGFD是平行四边形， ∵CF⊥BD， ∴CF⊥AG， 又∵点D是AC中点， ∴BD＝DFAC， ∴四边形BGFD是菱形， 设GF＝x，则AF＝13﹣x，AC＝2x， ∵在Rt△ACF中，∠CFA＝90°， ∴AF2+CF2＝AC2，即（13﹣x）2+62＝（2x）2， 解得：x＝5， 故四边形BDFG的周长＝4GF＝20． 故答案为：20． 23．如图，在正方形ABCD中，AB＝11，E在AB边上，F在BC边上，且BF＝3，将EF绕着点F顺时针旋转90°得到GF，连接DG，则DG的长的最小值为　8　 ． 【解答】解：过点G作GH⊥BC，垂足为H， ∴∠GHF＝90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝CD＝11，∠B＝90° ∴∠B＝∠GHF＝90°， 由旋转得：EF＝FG，∠EFG＝90°， ∴∠EFB+∠GFH＝90°， ∵∠BEF+∠BFE＝90°， ∴∠BEF＝∠GFH， ∴△EBF≌△FHG（AAS）， ∴BF＝GH＝3， ∴点G在与BC平行且与BC的距离为3的直线上， ∴当点G在CD边上时，DG最小且DG＝11﹣3＝8， ∴DG的最小值为8， 故答案为：8． 二、解答题（本大题共3小题，24题8分，25题10分，26题12分，共30分） 24．如图，菱形ABCD边长为10，对角线AC和BD相交于点O，AC＝12，P是线段BC上一动点（不与点B、C重合），连接PO并延长交线段AD于点Q． ①四边形PQDC的面积是否随点P的运动而发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出四边形PQDC的面积； ②若∠OCB＝∠OPC，求BP的长度． 【解答】解：①不变， ∵四边形ABCD是边长为10的菱形，对角线AC和BD相交于点O，AC＝12， ∴BC＝10，BC∥AD，AC⊥BD于点O，OB＝OD，OC＝OAAC＝6， ∴∠OBP＝∠ODQ，∠BOC＝90°， ∴OB8， ∴BD＝2OB＝16， 在△BOP和△DOQ中， ， ∴△BOP≌△DOQ（ASA）， ∴S△BOP＝S△DOQ， ∴S四边形PQDC＝S四边形PODC+S△DOQ＝S四边形PODC+S△BOP＝S△BCDBC•OC16×6＝48， ∴四边形PQDC的面积不变，四边形PQDC的面积为48． ②作OE⊥BC于点E，则∠OEC＝90°， ∵S△BOC10OE6×8， ∴OE， ∴CE， ∵∠OCB＝∠OPC， ∴OP＝OC， ∴PE＝CE， ∴BP＝BC﹣PE﹣CE＝10， ∴BP的长度是． 25．学完了勾股定理相关知识，王老师带领大家研究长方形纸片的折叠问题： 请你运用所学知识，解决下面的问题： （1）如图1，长方形纸片ABCD中，AB＝5，AD＝12，将纸片折叠，使AB落在对角线AC上，折痕为AE（点E在边BC上），点B落在点B′处，求CE的长度； （2）如图2，有一张长方形纸片ABCD，AB＝6，AD＝13，F为AD边上一点，AF＝3，E为BC上一点．将纸片折叠，折痕为EF，使点B恰好落在线段DE上的点B′处，点A落在点A′处．求线段B′D的长度． 【解答】解：（1）∵AB＝5，AD＝12，四边形ABCD是长方形， ∴∠B＝90°，AD＝BC＝12， ∴， 由折叠得∠AB′E＝∠B＝90°，AB′＝AB＝5，BE＝B′E＝12﹣CE， ∴∠EB′C＝90°，B′C＝AC﹣AB′＝13﹣5＝8， 在Rt△EB′C中，由勾股定理得B′E2+B′C2＝CE2， 即（12﹣CE）2+82＝CE2， 解得：， ∴CE的长是； （2）∵AB＝6，AD＝13，AF＝3，四边形ABCD是长方形， ∴AD∥BC，∠C＝90°，DF＝AD﹣AF＝13﹣3＝10，AB＝CD＝6，AD＝BC＝13， ∴∠DFE＝∠BEF， 由折叠得∠DEF＝∠BEF，B′E＝BE， ∴∠DFE＝∠DEF， ∴DE＝DF＝10， 在Rt△ECD中，， ∴B′E＝BE＝BC﹣CE＝13﹣8＝5， ∴B′D＝DE﹣B′E＝10﹣5＝5， ∴B′D的长是5． 26．在图1﹣3中，四边形ABCD和CGEF都是正方形，M是AE的中点． （1）如图1，点G在BC延长线上，求证：DM＝MF； （2）在图1的基础上，将正方形CGEF绕点C顺时针旋转到图2位置，此时点E在BC延长线上．求证：DM＝MF； （3）在图2的基础上，将正方形CGEF绕点C在任一旋转一个角度到如图3位置，此时DM和MF还相等吗？（不必说明理由） 【解答】解：（1）MD＝MF 证明：延长DM交FE于N． ∵正方形ABCD、CGEF， ∴CF＝EF，AD＝DC，∠CFE＝90°，AD∥FE， ∴∠MAD＝∠NEM． 又∵MA＝ME，∠AMD＝∠NME， ∴△AMD≌△EMN， ∴DM＝MN， ∴M为直角三角形DFN的中点， ∴2FM＝DN ∴MF＝MD． （2）延长DM到N， 使MN＝MD，连接FD、FN、EN， 延长EN与DC延长线交于点H． ∵MA＝ME，∠AMD＝∠EMN，MD＝MN， ∴△AMD≌△EMN， ∴∠DAM＝∠MEN，AD＝NE． 又∵正方形ABCD、CGEF， ∴CF＝EF，AD＝DC，∠ADC＝90°， ∠CFE＝∠ADC＝∠FEG＝∠FCG＝90°． ∴DC＝NE． ∵∠DAM＝∠MEN， ∴AD∥EH． ∴∠H＝∠ADC＝90°． ∵∠G＝90°，∠HIC＝∠GIE， ∴∠HCI＝∠IEG． ∵∠HCI+∠DCF＝∠IEG+∠FEN＝90°， ∴∠DCF＝∠FEN． ∵FC＝FE， ∴△DCF≌△NEF， ∴FD＝FN，∠DFC＝∠NFE． ∵∠CFE＝90°， ∴∠DFN＝90°， ∴FM⊥MD，MF＝MD． 解法二：延长DM交CE于N，连接DF，FN ∵AD∥CE， ∴∠DAM＝∠NEA， 在△ADN与△ENM中， ∴△ADE≌△ENM， AD＝NE；又AD＝DC， ∴CD＝NE， 在△DCF与△FNE中 ∴△CDF≌△ENF， ∴∠DFC＝∠EFN， ∴∠DFN＝∠EFN+∠NFC＝90°，且FN＝DF， MF是Rt△DFN斜边中线， ∴DM＝MF． （3）相等． 学科网（北京）股份有限公司 $