5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(1) 课时作业-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦正弦、余弦函数性质，通过基础辨析-中档计算-综合应用三层设计，实现从概念理解到问题解决的知识巩固路径，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|单一性质（周期、奇偶性）|选择1-4直接辨析函数奇偶性与周期，强化概念理解| |中档|性质综合计算|填空11-15结合参数求解周期与对称中心，提升运算能力| |综合|性质与图象综合应用|解答18-19周期函数解析式与方程求解，发展逻辑推理|

课时作业48　正弦函数、余弦函数的性质(1) 一、选择题 1．下列函数中最小正周期为π的偶函数是(　　) A.y＝sin B．y＝cos C．y＝cos x D．y＝cos 2x 2．函数y＝4sin (2x－π)的图象关于(　　) A．x轴对称 B．原点对称 C．y轴对称 D．直线x＝对称 3．函数y＝－x cos x的部分图象是(　　) 4．若函数f(x)＝sin (φ∈[0，2π])是偶函数，则φ＝(　　) A． B． C． D． 5．(多选)下列函数中，最小正周期为π的是(　　) A．y＝|sin x| B．y＝sin |x| C．y＝|cos 2x| D．y＝cos |2x| 6．函数f(x)＝在[－π，π]的图象大致为(　　) 7．已知函数y＝sin是奇函数，则φ的值可以是(　　) A．0 B．－ C. D．π 8．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)的最小正周期为4π，且对任意x∈R，都有f(x)≤f成立，则f(x)图象的一个对称中心的坐标是(　　) A. B. C. D. 9．已知函数f(x)＝ax＋bsinx＋1，若f(2 015)＝7，则f(－2 015)的值为(　　) A．5 B．－5 C．6 D．－6 10．(多选题)下列函数中，最小正周期为π的偶函数是(　　) A．y＝sin＋1 B．y＝cos C．f(x)＝＋ D．y＝cos 二、填空题 11．函数f(x)＝3cos (ωx－)(ω＞0)的最小正周期为，则f(π)＝________． 12．已知函数f(x)＝，若f(5)＝－2，则f(－5)＝________． 13．函数f(x)＝sin(ω>0)的最小正周期为，则ω＝ . 14．已知函数y＝sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝对称，则φ的值是 . 15．设函数f(x)＝3sin，ω>0，x∈(－∞，＋∞)，且以为最小正周期．若f ＝，则sinα的值为 . 三、解答题 16．判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝－2cos 3x； (2)f(x)＝x sin (x＋π)； (3)f(x)＝＋. 17．已知函数y＝sinx＋|sinx|. (1)画出函数的简图； (2)这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期． 18．已知f(x)是以π为周期的偶函数，且当x∈时，f(x)＝1－sinx，求当x∈时，f(x)的解析式． 19．已知函数f(x)＝cos. (1)判断f的奇偶性； (2)若函数g(x)的最小正周期是π，且当x∈时，g(x)＝f，求关于x的方程g(x)＝的解集． 课时作业48　正弦函数、余弦函数的性质(1) （答案） 一、选择题 1．下列函数中最小正周期为π的偶函数是(　　) A.y＝sin B．y＝cos C．y＝cos x D．y＝cos 2x 解析：A中函数是奇函数，B、C中函数的周期不是π，只有D符合题目要求． 答案：D 2．函数y＝4sin (2x－π)的图象关于(　　) A．x轴对称 B．原点对称 C．y轴对称 D．直线x＝对称 解析：y＝4sin (2x－π)＝－4sin 2x是奇函数，其图象关于原点对称． 答案：B 3．函数y＝－x cos x的部分图象是(　　) 解析：∵y＝－x cos x是奇函数，它的图象关于原点对称，∴排除A，C；当x∈(0，)时，y＝－x cos x＜0，排除B. 答案：D 4．若函数f(x)＝sin (φ∈[0，2π])是偶函数，则φ＝(　　) A． B． C． D． 解析：因为f(x)是偶函数，所以＝＋kπ(k∈Z)，所以φ＝＋3kπ(k∈Z).又φ∈[0，2π]，所以φ＝. 答案：C 5．(多选)下列函数中，最小正周期为π的是(　　) A．y＝|sin x| B．y＝sin |x| C．y＝|cos 2x| D．y＝cos |2x| 解析：对于A，y＝|sin x|的图象如下图所示，由此可知y＝|sin x|的最小正周期为π.故A符合要求； 对于B，令f(x)＝sin |x|，f(－)＝sin ＝－1，f(－＋π)＝f(－)＝sin ＝1， f(－)≠f(－＋π)，故B符合要求； 对于C，令g(x)＝|cos 2x|，g(x＋)＝＝|－cos 2x|＝|cos 2x|＝g(x)， 所以π不是y＝|cos 2x|的最小正周期．故C不符合要求； D选项，对于函数y＝cos |2x|，当2x≥0时，y＝cos 2x， 当2x<0时，y＝cos (－2x)＝cos 2x， 所以y＝cos |2x|＝cos 2x，其最小正周期为T＝＝π，故D符合要求．故选AD. 答案：AD 6．函数f(x)＝在[－π，π]的图象大致为(　　) 解析：方法一：任取x∈[－π，π]， ∵f(－x)＝＝－＝－f(x)， ∴f(x)在[－π，π]上为奇函数，故排除A；当x＝时，f＝＝>1，故排除B，C，故选D. 方法二：当x＝－π时，f(－π)＝＝<0，故排除A，C；当x＝π时，f(π)＝＝>0.3，故排除B.故选D. 7．已知函数y＝sin是奇函数，则φ的值可以是(　　) A．0 B．－ C. D．π 解析：y＝sin为奇函数， 则只需＋φ＝kπ，k∈Z，从而φ＝kπ－，k∈Z. 显然当k＝0时，φ＝－满足题意．故选B. 8．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)的最小正周期为4π，且对任意x∈R，都有f(x)≤f成立，则f(x)图象的一个对称中心的坐标是(　　) A. B. C. D. 解析：由f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为4π，得ω＝.因为f(x)≤f恒成立，所以f(x)max＝f，即×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，所以φ＝＋2kπ(k∈Z)．又|φ|<，所以φ＝，故f(x)＝sin. 令x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝2kπ－(k∈Z)，故f(x)图象的对称中心为(k∈Z)，当k＝0时，f(x)图象的一个对称中心的坐标为，故选A. 9．已知函数f(x)＝ax＋bsinx＋1，若f(2 015)＝7，则f(－2 015)的值为(　　) A．5 B．－5 C．6 D．－6 解析：由f(2 015)＝2 015a＋bsin2 015＋1＝7， 得2 015a＋bsin2 015＝6， ∴f(－2 015)＝－2 015a－bsin2 015＋1＝－(2 015a＋bsin2 015)＋1＝－6＋1＝－5. 故选B. 10．(多选题)下列函数中，最小正周期为π的偶函数是(　　) A．y＝sin＋1 B．y＝cos C．f(x)＝＋ D．y＝cos 解析：由y＝sin＋1＝cos2x＋1知，y＝sin＋1为偶函数，且周期为π，故A满足条件；由y＝cos＝－sin2x知，y＝cos为奇函数，故B不满足条件； 对任意x∈R，－1≤sin2x≤1，∴1＋sin2x≥0,1－sin2x≥0.∴f(x)＝＋的定义域是R，关于原点对称．∵f(－x)＝＋ ＝＋ ＝f(x)，∴f(x)是偶函数，且周期为π，故C满足条件； y＝cos是非奇非偶函数，故D不满足条件，故选AC. 二、填空题 11．函数f(x)＝3cos (ωx－)(ω＞0)的最小正周期为，则f(π)＝________． 解析：由已知＝得ω＝3，所以f(x)＝3cos (3x－)，所以f(π)＝3cos (3π－)＝－3cos ＝－. 答案：－ 12．已知函数f(x)＝，若f(5)＝－2，则f(－5)＝________． 解析：由cos x≠0，得x≠＋kπ，k∈Z，定义域关于原点对称，则f(－x)＝＝－＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．所以f(－5)＝－f(5)＝2. 答案：2 13．函数f(x)＝sin(ω>0)的最小正周期为，则ω＝ . 解析：＝，∴ω＝8. 答案：8. 14．已知函数y＝sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝对称，则φ的值是 . 解析：由题意可得sin＝±1， 所以＋φ＝＋kπ(k∈Z)，解得φ＝－＋kπ(k∈Z)． 因为－<φ<，所以k＝0，φ＝－. 答案：－. 15．设函数f(x)＝3sin，ω>0，x∈(－∞，＋∞)，且以为最小正周期．若f ＝，则sinα的值为 . 解析：由题意得＝，∴ω＝4， ∴f(x)＝3sin， ∴f＝3sin＝3cosα ＝.∴cosα＝， ∴sinα＝±＝±. 答案：±. 三、解答题 16．判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝－2cos 3x； (2)f(x)＝x sin (x＋π)； (3)f(x)＝＋. 解：(1)f(－x)＝－2cos 3(－x) ＝－2cos 3x＝f(x)，x∈R， 所以f(x)＝－2cos 3x为偶函数． (2)f(x)＝x sin (x＋π)＝－x sin x，x∈R， 所以f(－x)＝x sin (－x)＝－x sin x＝f(x)， 故函数f(x)为偶函数． (3)对任意x∈R，－1≤sin x≤1， 所以1＋sin x≥0，1－sin x≥0. 所以f(x)＝＋的定义域为R. 因为f(－x)＝＋＝＋＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数． 17．已知函数y＝sinx＋|sinx|. (1)画出函数的简图； (2)这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期． 解：(1)y＝sinx＋|sinx| ＝ 函数图象如图所示． (2)由图象知该函数是周期函数，其图象每隔2π重复一次，则函数的最小正周期是2π. 18．已知f(x)是以π为周期的偶函数，且当x∈时，f(x)＝1－sinx，求当x∈时，f(x)的解析式． 解：当x∈时，3π－x∈. ∵当x∈时，f(x)＝1－sinx， ∴f(3π－x)＝1－sin(3π－x)＝1－sinx. 又∵f(x)是以π为周期的偶函数， ∴f(3π－x)＝f(－x)＝f(x)， ∴f(x)的解析式为f(x)＝1－sinx，x∈. 19．已知函数f(x)＝cos. (1)判断f的奇偶性； (2)若函数g(x)的最小正周期是π，且当x∈时，g(x)＝f，求关于x的方程g(x)＝的解集． 解：(1)f＝cos ＝cos＝－sin2x. 令F(x)＝f＝－sin2x， 由于F(－x)＝－sin(－2x)＝sin2x＝－F(x)，所以F(x)是奇函数， 即f是奇函数． (2)当x∈时， g(x)＝f＝cos. 因为x＋∈， 所以由g(x)＝， 解得x＋＝－或x＋＝， 即x＝－或－.又因为g(x)的最小正周期为π，所以g(x)＝的解集为 . 学科网（北京）股份有限公司 $