20.2 二次根式的运算（第1课时二次根式的乘除法）（题型专练）数学沪教版五四制2024八年级上册

20.2二次根式的运算（第1课时二次根式的乘除法） 题型1 同类二次根式 1．下列二次根式中与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．下列二次根式中能与合并的是（　　） A． B． C． D． 3．若最简二次根式能与合并，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．下列各式中，能与合并的是（    ） A． B． C． D． 5．若最简二次根式与可以合并，则 ． 6．如果最简二次根式与是同类二次根式，那么 ． 题型2 二次根式的乘法 1．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．若，，则的值是（ ） A． B． C． D． 3．若某矩形的长为、宽为，则这个矩形面积的值在（   ） A．2与3之间 B．3与4之间 C．4与5之间 D．5与6之间 4．若，则“”处应填的数字为（   ） A． B． C． D． 5．的有理化因式是（   ） A． B． C． D． 6．下列无理数中，与相乘积为有理数的是（    ） A． B． C． D． 题型3 二次根式的除法 1．计算的结果是（   ） A．4 B．2 C．3 D． 2．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 3．如方格，各行、各列及两条对角线上的三个数字之积均相等，则（   ） 2 6 3 A．6 B．2 C．2 D．3 4．方程的解为（    ） A． B． C． D． 5．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 6．等式成立的条件是（    ） A． B． C． D． 7．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 8．估计的值应在（   ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 9．化简等于（    ） A． B． C． D． 题型1 二次根式的混合运算 1．计算：． 2．计算：． 3．计算： 4．计算：． 5．计算：． 题型2 二次根式的运算的几何应用 1．若正三角形的边长为，则这个正三角形的周长是（　　） A． B． C． D． 2．已知长方形的面积为，其中一边长为，则另一边长为（  ） A． B． C． D． 3.如图，甲和乙均是体积为且高为的长方体容器，甲盒子底面是边长为的正方形，乙盒子底面是长为，宽为的长方形． (1)若，，．求乙容器的体积； (2)若，，求甲盒子的侧面积 4．超速驾驶是造成交通事故的重要原因之一．交警部门一般会根据刹车后滑行的距离判断车辆的行驶速度，公式为，其中v表示车速（单位：），d表示刹车后滑行的距离（单位：m），f表示摩擦因数．若交警在处理某次交通事故时，测得，，已知该路段限速，那么该汽车超速了吗？请说明理由．（已知∶，，结果保留一位小数） 1．甲、乙、丙三人手中各有一张如图所示的纸质卡片，卡片上分别写有一个算式，则这三张卡片中，算式的计算结果是有理数的有（    ）． A．3 B．2张 C．1张 D．0张 2．[新考法·规律探究]观察下列各式：应用运算规律化简的结果为（   ） A．2023 B．2024 C． D． 3．[新考法·数学思想]小明在进行二次根式运算时发现：；；；，由此猜想，上述探究过程蕴含的思想方法是（   ） A．特殊与一般 B．整体 C．转化 D．分类讨论 4．若，，则（   ） A． B．2 C．3 D．10 5.已知为正整数，若是整数，则根据可知有最小值．设为正整数，若是大于1的整数，则的最小值与最大值的和是 ． 试卷第1页，共3页 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 20.2二次根式的运算（第1课时二次根式的乘除法） 题型1 同类二次根式 1．下列二次根式中与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用二次根式的性质化简、同类二次根式 【分析】本题考查同类二次根式，将各数化简为最简二次根式，根据被开方数相等的两个最简二次根式为同类二次根式，进行判断即可． 【详解】解：A、与是同类二次根式，符合题意； B、与不是同类二次根式，不符合题意； C、与不是同类二次根式，不符合题意； D、与不是同类二次根式，不符合题意； 故选A． 2．下列二次根式中能与合并的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】化为最简二次根式、同类二次根式、二次根式的加减运算 【分析】本题考查了二次根式的加减，二次根式的性质，同类二次根式，几个二次根式，化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式，据此进行求解即可． 【详解】解：A、，与不是同类二次根式，不能合并，故本选项错误； B、，与不是同类二次根式，不能合并，故本选项错误； C、，与不是同类二次根式，不能合并，故本选项错误； D、，与是同类二次根式，能合并，故本选项正确； 故选：D． 3．若最简二次根式能与合并，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【知识点】利用二次根式的性质化简、已知最简二次根式求参数、同类二次根式 【分析】本题考查最简二次根式与同类二次根式，解题关键是理解同类二次根式的概念．两个最简二次根式能够合并的条件是它们的被开方数相同，先将化简为最简形式，再令的被开方数与之相等，结合最简二次根式的定义求解． 【详解】解：，被开方数为3， ∵最简二次根式能与合并， ∴， ∴． 故选：C． 4．下列各式中，能与合并的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】化为最简二次根式、同类二次根式 【分析】本题考查了同类二次根式，利用二次根式的性质进行化简． 要判断二次根式能否合并，需满足被开方数相同．将各选项化简后，观察是否与的被开方数一致． 【详解】解： 选项A：，被开方数为，与的被开方数不同，无法合并． 选项B：，被开方数为，与的被开方数不同，无法合并． 选项C：，化简为，与的被开方数均为，是同类二次根式，可以合并． 选项D：，被开方数为，与的被开方数不同，无法合并． 故选C． 5．若最简二次根式与可以合并，则 ． 【答案】1 【知识点】同类二次根式 【分析】本题考查同类二次根式及最简二次根式，根据同类二次根式及最简二次根式的定义可得，解得的值即可． 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并， ， 解得：， 当时，二次根式有意义， 故； 故答案为：1． 6．如果最简二次根式与是同类二次根式，那么 ． 【答案】1 【知识点】同类二次根式 【分析】本题考查同类二次根式，解题关键是得出． 根据同类二次根式可知，两个二次根式内的式子相等，从而得出a的值． 【详解】∵最简二次根式与是同类二次根式 ∴ 解得： 故答案为：1． 题型2 二次根式的乘法 1．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的乘法 【分析】此题主要考查了二次根式的性质以及二次根式的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 直接利用二次根式的性质以及二次根式的乘除运算法则计算，进而得出答案． 【详解】解：A选项：，错误． B选项：，平方根结果非负，错误． C选项：，与右边相等，正确． D选项：，而，显然不相等，错误． 综上，正确答案为C． 故选：C． 2．若，，则的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、运用平方差公式进行运算、二次根式的乘法 【分析】本题考查了因式分解的应用，二次根式的计算，代数式求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 利用平方差公式将分解为，直接代入已知条件计算即可． 【详解】，， ∴ 因此，的值为． 故选：D． 3．若某矩形的长为、宽为，则这个矩形面积的值在（   ） A．2与3之间 B．3与4之间 C．4与5之间 D．5与6之间 【答案】B 【知识点】无理数的大小估算、二次根式的乘法 【分析】本题考查了估算无理数的大小．先利用二次根式的乘法法则求矩形的面积，然后利用夹逼法估算无理数的大小，即可得出矩形面积的取值范围． 【详解】解：矩形的面积， ， ， 矩形面积的值在3与4之间， 故选：B． 4．若，则“”处应填的数字为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的乘法 【详解】解：， ∴“”处应填的数字为． 故选：A． 5．的有理化因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次根式的乘法 【分析】本题主要考查了有理化因式．根据有理化因式的定义“两个根式相乘的积不含根号”即可解答． 【详解】解：∵， ∴的有理化因式是． 故选：B． 6．下列无理数中，与相乘积为有理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二次根式的乘法、化为最简二次根式 【分析】先把二次根式化为最简二次根式，再进行判断． 【详解】解：∵，， ∴与相乘积为有理数的是， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，二次根式的乘法运算，化简是解题的关键． 题型3 二次根式的除法 1．计算的结果是（   ） A．4 B．2 C．3 D． 【答案】B 【知识点】二次根式的除法 【分析】本题考查了二次根式的除法，根据二次根式的除法法则计算即可． 【详解】解： ， 故选：B． 2．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的乘法、二次根式的除法 【分析】本题主要考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式运算法则是解题的关键． 依据二次根式的运算法则，对每个选项逐一进行分析，验证各选项的正确性． 【详解】A．中，，故，错误，该选项不符合题意； B．，但结果应为非负数，错误，该选项不符合题意； C．，错误，该选项不符合题意； D．，正确，该选项符合题意； 故选：D． 3．如方格，各行、各列及两条对角线上的三个数字之积均相等，则（   ） 2 6 3 A．6 B．2 C．2 D．3 【答案】A 【知识点】二次根式的乘法、二次根式的除法 【分析】本题考查了二次根式的乘法与除法运算，解题的关键是明确题意，列出相应的等式．根据各行、各列及各条对角线上的三个实数之积均相等可得，进一步即可求解． 【详解】解：各行、各列及各条对角线上的三个实数之积均相等， ， 解得：， 故选：A． 4．方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次根式的除法、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】通过等式变形，将的系数化为，再对根式进行化简计算．本题主要考查二次根式的运算及一元一次方程的求解，熟练掌握二次根式的化简与运算，通过系数化为求解方程是解题的关键． 【详解】解：由，两边同时除以， 得 ， ∴ , 故选：B． 5．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的除法 【分析】本题考查了二次根式的性质，二次根式的除法．根据二次根式的性质和二次根式的除法法则，即可得到答案． 【详解】解：； 故选：A． 6．等式成立的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次根式有意义的条件、二次根式的除法 【分析】本题考查了二次根式的除法，根据二次根式有意义的条件和分母不为求解即可，解题的关键是掌握二次根式有意义的条件． 【详解】解：由题意得： ，， 解得：， 故选：C． 7．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的除法 【分析】本题主要考查二次根式的除法，直接运用二次根式的除法法则和性质进行计算即可． 【详解】解： ， 故选：C 8．估计的值应在（   ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【答案】C 【知识点】无理数的大小估算、二次根式的除法 【分析】本题考查了二次根式的除法运算、无理数的估算等知识点，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先利用多项式除以单项式法则计算，然后估算其取值范围即可． 【详解】解： ， ∵， ∴，即， ∴的值应在4和5之间． 故选：C． 9．化简等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的除法 【分析】本题考查了二次根式的除法.根据二次根式的除法法则进行化简. 【详解】解：=. 故选：D. 题型1 二次根式的混合运算 1．计算：． 【答案】 【知识点】二次根式的乘除混合运算 【分析】本题主要考查了二次根式乘除混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式乘除混合运算法则．根据二次根式乘除混合运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 2．计算：． 【答案】． 【知识点】二次根式的乘除混合运算 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除法计算，根据二次根式的乘除法计算法则求解即可． 【详解】解： ． 3．计算： 【答案】 【知识点】二次根式的乘除混合运算 【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．直接根据二次根式的乘除计算法则进行计算求解即可． 【详解】解： ． 4．计算：． 【答案】 【知识点】二次根式的乘除混合运算 【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算，掌握相关运算法则是解题的关键． 根据二次根式的乘除混合运算法则求解即可． 【详解】解： ． 5．计算：． 【答案】 【知识点】二次根式有意义的条件、二次根式的乘除混合运算 【分析】本题考查二次根式的知识，解题的关键是掌握二次根式的乘法和除法运算法则． 根据二次根式的乘法法则和除法法则：，进行计算，即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ． 题型2 二次根式的运算的几何应用 1．若正三角形的边长为，则这个正三角形的周长是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】二次根式的乘法、等边三角形的性质 【分析】本题考查了正三角形的性质，二次根式的乘法，正三角形的周长等于其边长的3倍．题目中给出边长为，因此周长可直接通过边长乘以3计算得出． 【详解】解：正三角形的三条边长度相等，因此周长为：． 故选：A． 2．已知长方形的面积为，其中一边长为，则另一边长为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次根式的除法 【分析】根据题意可得算式，再计算即可． 【详解】解：， 故选：． 【点睛】此题主要考查了二次根式的除法，关键是掌握：． 3.如图，甲和乙均是体积为且高为的长方体容器，甲盒子底面是边长为的正方形，乙盒子底面是长为，宽为的长方形． (1)若，，．求乙容器的体积； (2)若，，求甲盒子的侧面积 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式乘法运算的应用，掌握长方体的体积和侧面积公式是解题关键． （1）利用长方体的体积公式计算即可求解； （2）由题意得甲、乙底面积相同，可得，据此即可求解． 【详解】（1）解：由题意得乙容器的体积； （2）解：∵长方体体积相同，高相同， ∴甲、乙底面积相同． ∴， ∴， ∴甲盒子的侧面积为：． 4．超速驾驶是造成交通事故的重要原因之一．交警部门一般会根据刹车后滑行的距离判断车辆的行驶速度，公式为，其中v表示车速（单位：），d表示刹车后滑行的距离（单位：m），f表示摩擦因数．若交警在处理某次交通事故时，测得，，已知该路段限速，那么该汽车超速了吗？请说明理由．（已知∶，，结果保留一位小数） 【答案】该汽车超速了，见解析 【分析】本题主要考查了二次根式乘法运算的应用，解题的关键是熟练掌握二次根式运算法则，根据二次根式性质进行运算即可． 【详解】解：该汽车超速了；理由： ∵，，， ∴ ． 故该汽车超速了． 1．甲、乙、丙三人手中各有一张如图所示的纸质卡片，卡片上分别写有一个算式，则这三张卡片中，算式的计算结果是有理数的有（    ）． A．3 B．2张 C．1张 D．0张 【答案】B 【知识点】有理数的定义、运用平方差公式进行运算、二次根式的乘法、二次根式的除法 【分析】本题主要考查了二次根式的运算、平方差公式、有理数的定义等知识点，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 先根据二次根式的运算法则求出每个算式的结果，再根据有理数的定义判断即可． 【详解】解：，5是有理数； ，不是有理数；，是有理数． 综上所述，三张卡片中，算式的计算结果是有理数的有2张． 故选：B． 2．[新考法·规律探究]观察下列各式：应用运算规律化简的结果为（   ） A．2023 B．2024 C． D． 【答案】C 【知识点】数字类规律探索、二次根式的乘法 【分析】本题考查二次根式规律问题，二次根式的乘法，解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型． 探究出规律，然后利用规律即可解决问题． 【详解】∵ ∴用含的等式表示为 ∴． 故选C． 3．[新考法·数学思想]小明在进行二次根式运算时发现：；；；，由此猜想，上述探究过程蕴含的思想方法是（   ） A．特殊与一般 B．整体 C．转化 D．分类讨论 【答案】A 【知识点】二次根式的除法 【分析】本题考查的是二次根式的除法、数学思想，根据题意确定蕴含的思想方法． 【详解】解：题目先是从特殊情况算起，再总结一般性的规律，探究过程蕴含的思想方法是特殊与一般， 故选：A． 4．若，，则（   ） A． B．2 C．3 D．10 【答案】C 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的立方根、二次根式的除法 【分析】本题考查了二次根式的除法、算术平方根与立方根，熟练掌握二次根式的运算是解题关键．先根据二次根式的除法法则可得，根据算术平方根可得，再代入计算立方根即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 5.已知为正整数，若是整数，则根据可知有最小值．设为正整数，若是大于1的整数，则的最小值与最大值的和是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除法，二次根式的性质与化简，先将化简为，可得最小为3，由是大于1的整数可得越小，越小，则越大，当时，即可求解，解题的关键是读懂题意，根据关键词“大于”，“整数”进行求解． 【详解】解：，且为整数， 最小为3， 是大于1的整数， 越小，越小，则越大， 当时，， ，即最大为75， 故的最小值与最大值的和是， 故答案为：． 试卷第1页，共3页 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$