20.1二次根式专题训练 2026-2027学年沪教版五四制八年级数学上册

**基本信息** 2026-2027学年沪教版五四制八年级数学上册第20章“20.1二次根式专题训练”同步练，以“概念理解—性质应用—综合拓展”分层设计，通过基础巩固与梯度提升，培养抽象能力、推理意识与创新意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|二次根式概念、有意义条件|以选择、填空题直接考查定义辨析，如判断二次根式、求简单取值范围，夯实抽象能力| |进阶层|双重非负性、基本化简|结合字母取值范围化简，如数轴与根式综合题，培养推理意识与运算能力| |提高层|规律探究、复合根式|通过数阵规律、复合根式构造化简，如分层讨论化简含参根式，发展创新意识与模型观念|

苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 西危先乡装 2026-2027学年沪教版五四制八年级数学上册 第20章二次根式 20.1二次根式专题训练 学校： 姓名： 班级： 考号： 【题型1二次根式的概念】 1.下列是二次根式的是() 1 A.2 B.2 C.3 D.-1 2.下列各式中，不一定是二次根式的是() A.√-a(a≤0)B.va2-2a+l c.va+1 D.va 3.给出下列式子：①8，②4：③a+1,④2a,⑤V2+少，⑥a+. ⑦Nr2-4⑧F ；其中一定是二次根式的有() A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 4,下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是二次根式？请说明理由 (1)8:2)压，3)a+1:(48；5)R+4x+4 o网，i- 【题型2二次根式有意义的条件】 5.若r-3 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 Vx+1 6.要使代数式x-3有意义，则x的取值范围是 7.若x+3+V2-少=0 0,则x+y的值为 试卷第1页，共21页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 便危光令装 x-6x-6 8.已知x为奇数，且满足等式V9-x9-x,则V+2x+x+√3x-1的值为 【题型3二次根式的双重非负性】 3 9.已知对所有实数，满足+一弓m--2,则m的最小值为 10.已知实数，'满足y=5+5+2,则心-"的值为 1.若a,b为实数，且满足l口-++3)=0，则a-b的立方根为， 12. 已知实数x满足V2012-4024++V-203=x,则x-2012 【题型4 a=lal】 13.若化简11-x-V2-8x+16 的结果为3，则x的取值范围是() A.x为任意实数B.x≤1 C.x21 D.x≤4 14已知1<x<2,化简V-2x+1+V2-4r+4_ 15。化简匠时，特别要关注字母的取值范围。若字母的取值范国不确定，往往需要分类 讨论.例如，化简： (x-3)+(x-5) (1)当x=2时，原式=；当x=3.5时，原式=；当x=8时，原式= (2)由(1)可知，此代数式的值随实数x取值的变化而变化，当x为任意实数时，化简此代 数式。 16.设M=20212-2020×2022,N=20212-4042×2020+20222,则M与N的关系是 () A.M>N B.M=N C.M<N D.M=±N 【题型5 (Wa)2=aa≥0)】 试卷第2页，共21页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 西危先乡装 17.若3x+2y-19旷+2x+y-1川=0，则x+y的平方根是（) A.8 B.8 C.22 D.25 18,实数a,b在数轴上的位置如图所示，化简a+-V6-+@-b了= -4-3-2-1012341 19.已知△ABC三条边的长度分别是x+1,Vx-5,4-(V4-x, 记△ABC的周长为 CABC (①)当x=2时，△ABC的最长边的长度是_（请直接写出答案）； (2)请求出 C,c(用含x的代数式表示，结果要求化简)； 20.设a,b,c是实数，若a+b+c=2a+1+4Wb+1+6Wc-2-14,求a+b+c的值. 【题型6规律探究】 21.下面是一个按某种规律排列的数阵： 1 √ 第1行 √3 5 √6 第2行 √万 2W5 3 √10 而 23 第3行 V13 v14 V15 4 V17 32 V19 25 第4行 … 根据数阵排列的规律，第5行从左向右数第3个数是 -,第n(n之3且n是 整数)行从左向右数第n-2个数是一（用含n的代数式表示）· 22.在一次科技展览会上，机器人利用编程展示了一组按规律排列的单项式形式信号代码， 试卷第3页，共21页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 西危先乡装 其单项式依次为： 2a42a2.63d,84d,105d,则第n个单项式是（) A.2nna" B.2nvn+la" 2(n+1)na" D 2(n-1)Vna"- 23.小明做数学题时，发现： 5,2-2x层.8-x周 6 6 ，11 24,小明做数学题时，发现①V12V2: 3-327 5 (1)按上述规律，猜想V°26等于什么，并通过计算验证你的猜想. (2)第个等式是什么？你能验证吗？来试试吧！ 【题型7化简求值】 25.计算：V7-5-V16-25= 26.实数a在数轴上的位置如图所示，则Va-4}-(a-1化简后一 试卷第4页，共21页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 西危先乡装 0 5a10→ 27.已知y=22x+3-2+,则vy 1+2x 28.(1)若-2x与3y-2互为相反数，求y的值： (2)已知x+2与- 互为相反数，求y的值： (3)已知天、y是实数，且K-与x-2川互为相反数，求2w+3 的值. 【题型8复合根式】 29.4-2人96-6…，像这样的根式叫做复合二次根武。有一些复合二次根式 可以借助构造完全平方式进行化简，如V4+25=V3+23+1=W⑤+2×3×1+1P =V5+1=V5+1,用上述方法可以将复合二次根式1-250化简为 30.阅读与思考： 形如Vm士2n的化简，只要我们找到两个数a,b,使得a+b=m,$=, 这样(a矿+(5矿=m,a6=a, 那么便有vm±2万=(a±6-a±ba>). 例如：化简V7+4W5 解：首先把V7+4W5化为7+2厄，这里m=7,n=12. 由于4+3=7,4x3=12,(4矿+(3矿=7,4x5=2 7+4W5-=7+22=4+5=2+5 试卷第5页，共21页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 西危先乡装 仿照上面的例题，解决下列问题. )V11-2V3o (2)V7+V40 31.阅读下面材料，回答问题： ①)在化简V5-26的过程中，小张和小李的化简结果不同： 小张的化简如下：5-26=V2-2W2×3+3=V2--2-5 小李的化简如下：5-26=2-23x2+3=5-2列=5-2 请判断谁的化简结果是正确的，谁的化简结果是错误的，并说明理由， (2②)请你利用上面所学的方法化简V7-210 (3)计算： V8-27-V8+2√万 32.【阅读材料】 小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如： 5-2W6=(2+3)-22x3=(2+(5-22x5=(N2-5. 8-27=1+7)-2x7=()+(N7-2×万=1-V7 【类比归纳】 (1)请你仿照小明的方法将 -2W10 化成另一个式子的平方的形式： (2)请运用小明的方法化简V1-62 3)将式子a+b-2Vb 化成另一个式子的平方的形式为. (a≥0b≥0 试卷第6页，共21页苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 · 2026-2027学年沪教版五四制八年级数学上册 · 第20章二次根式 · 20.1二次根式专题训练 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 【题型1 二次根式的概念】 1．下列是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】二次根式的识别 【分析】根据二次根式的定义形如的式子叫做二次根式，逐一判断选项是否满足二次根式的条件即可． 【详解】解：选项A：是带二次根号的形式，且被开方数，符合二次根式的定义； 选项B：是分数，不满足的形式，不是二次根式； 选项C：的被开方数，二次根式无意义，不是二次根式； 选项D：是整数，不满足的条件，不是二次根式． 2．下列各式中，不一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二次根式的识别 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式． 根据二次根式的定义逐一判断即可． 【详解】A． 当时，即是二次根式； B． ，，即是二次根式； C． ，即是二次根式； D． 当时，即不一定是二次根式； 故选：D． 3．给出下列式子：；；；；；；；；其中一定是二次根式的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【知识点】二次根式的识别 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如且的式子为二次根式． 根据二次根式的定义，逐一判断每个式子是否满足根指数为2且被开方数非负的条件，统计符合的个数即可． 【详解】解：①：被开方数，是二次根式； ②：被开方数，式子无意义，不是二次根式； ③：∵，∴，被开方数恒为非负数，是二次根式； ④：当时，，式子无意义，不一定是二次根式； ⑤：∵，，∴，被开方数为非负数，是二次根式； ⑥：当时，，式子无意义，不一定是二次根式； ⑦：当时，，式子无意义，不一定是二次根式； ⑧：根指数为3，是三次根式，不是二次根式； ∴一定是二次根式的有①③⑤，共3个． 故选：A． 4．下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是二次根式？请说明理由． （1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ； （6） ；（7） ． 【答案】，，，是二次根式；，），不是二次根式． 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题考查了二次根式的定义，根据二次根式的定义逐一排除即可，解题的关键是正确理解满足二次根式的条件有三个：含有根号；根指数是；被开方数是非负数，三个条件缺一不可． 【详解】解：（）是二次根式； （）中，不是二次根式； （）中，是二次根式； （）立方根，不是二次根式； （）中，是二次根式； （）中，是二次根式； （）中，不是二次根式； ∴，，，是二次根式；，，不是二次根式． 【题型2   二次根式有意义的条件】 5．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_______． 【答案】 【知识点】二次根式有意义的条件、求一元一次不等式的解集 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件以及解一元一次不等式，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 此题可根据二次根式有意义的条件“被开方数要为非负数”得到不等式求解． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， 解得：， 故答案为：． 6．要使代数式有意义，则x的取值范围是__________． 【答案】且 【知识点】分式有意义的条件、二次根式有意义的条件 【分析】本题考查了二次根式和分式有意义的条件，根据题意得出且，即可求解． 【详解】解：依题意，且， 解得：且， 故答案为：且． 7．若，则的值为______． 【答案】 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件以及非负数的性质，可得，，进而即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 8．已知为奇数，且满足等式，则的值为_______． 【答案】 【知识点】二次根式有意义的条件、利用二次根式的性质化简 【分析】此题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的化简求值．本题要先根据已知的等式，求出的取值范围，已知为奇数，可求出的值．然后将的值代入所求的式子中进行求解即可 【详解】解：∵ 解得： x为奇数， 原式 故答案为： 【题型3   二次根式的双重非负性】 9．已知对所有实数 ，满足 ，则 的最小值为__________． 【答案】3 【知识点】绝对值非负性、二次根式有意义的条件 【分析】本题主要考查了绝对值的性质和二次函数的性质， 先根据二次根式有意义的条件可得，再分两种情况讨论即可得出答案． 【详解】解：根据题意，得， 解得． 当时，， ∵， ∴； 当时，， ∴． 综上所述，m的最小值为3． 故答案为：3． 10．已知实数，满足，则的值为__________． 【答案】-1 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】直接利用二次根式有意义的条件进而分析得出答案． 【详解】∵与都有意义， ∴x=3，则y=2， 故（y-x）2011=-1． 故答案为：-1． 【点睛】此题考查二次根式有意义的条件，正确得出x的值是解题关键． 11．若a，b为实数，且满足，则的立方根为__________． 【答案】2 【知识点】绝对值非负性、利用算术平方根的非负性解题、求一个数的立方根 【分析】先根据非负数的性质求出，再求出的值，然后求的立方根即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴的立方根为． 12．已知实数x满足，则________． 【答案】2013 【知识点】二次根式有意义的条件、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的性质，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．先根据二次根式有意义的条件求出x的取值范围，再根据二次根式的性质化简得，然后两边平方即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 故． 故答案为：2013． 13．若化简 ︱1-x︱-的结果为-3，则x的取值范围是（    ） A．x为任意实数 B．x ≤1 C．x≥1 D．x ≤4 【答案】B 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、利用二次根式的性质化简 【分析】先将原式进行变形，再分三种情况去绝对值符号计算即可． 【详解】解：原式可变形为：︱1-x︱-， 开方运算得出：︱1-x︱-， 当时，去绝对值符号得 ，化简得：； 当时，去绝对值符号得 ，化简得：； 当时，去绝对值符号得 ，化简得：； ∵原式的化简结果为-3，因此可确定x的取值范围为：． 故选：B． 【点睛】本题考查的知识点是利用找零点法去绝对值，解决本题的关键是先将原式变形为︱1-x︱-，再分情况讨论，注意不要漏解． 14．已知，化简_______． 【答案】1 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，掌握成为解题的关键． 先运用完全平方公式对被开方数因式分解，然后再根据二次根式的性质化简即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：1． 15．化简时，特别要关注字母的取值范围，若字母的取值范围不确定，往往需要分类讨论．例如，化简：． (1)当时，原式______；当时，原式______；当时，原式______． (2)由（）可知，此代数式的值随实数取值的变化而变化，当为任意实数时，化简此代数式． 【答案】(1)；；； (2)当时，原式；当时，原式；当时，原式． 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查二次根式的性质，化简绝对值，掌握二次根式的性质，绝对值的性质是解题的关键． （）把的值代入求解即可； （）当时，当时，当时三种情况分析即可求解． 【详解】（1）解：当时， 原式 ； 当时， 原式 ； 当时， 原式 ； 故答案为：；；； （2）解：当时， 原式 ； 当时， 原式 ； 当时， 原式 ； ． 16．设，，则与的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】利用平方差公式和完全平方公式计算出的值，由此即可得出答案． 【详解】解：因为 ， ， 所以， 故选：C． 【点睛】本题考查了平方差公式和完全平方公式，熟记乘法公式是解题关键． 17．若，则的平方根是（    ） A．8 B． C． D． 【答案】C 【知识点】绝对值非负性、求一个数的平方根、利用二次根式的性质化简、加减消元法 【分析】本题考查非负性，解二元一次方程组，求一个数的平方根，利用二次根式的性质进行化简，先根据非负性，得到关于的二元一次方程组，两个方程相减后求出的值，再根据平方根的定义，进行求解即可．熟练掌握非负性，平方根的定义，是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ，得：， ∴的平方根是； 故选：C． 18．实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简______． 【答案】2 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】利用数轴可得出，进而化简求出答案． 【详解】解：由数轴可得：， 则 ∴ = = = =2． 故答案为：2． 【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出a，b的取值范围是解题关键． 19．已知三条边的长度分别是，，，记的周长为． (1)当时，的最长边的长度是 （请直接写出答案）； (2)请求出（用含x的代数式表示，结果要求化简）； 【答案】(1)3 (2) 【知识点】二次根式有意义的条件、利用二次根式的性质化简、一元一次不等式组的其他应用 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，二次根式有意义的条件，以及解不等式组，掌握三角形的三边关系和二次根式的化简和性质是解决本题的关键． （1）把代入三角形的三边中，化简后计算出三角形的周长； （2）把三角形的三边求和，利用二次根式的性质化简并确定x的取值范围． 【详解】（1）解：当， 则， ∵， ∴的最长边的长度是3； （2）解：由二次根式有意义的条件得， 解得：， ∴，， ∴ ． 20．设a，b，c是实数，若，求的值． 【答案】14 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了配方法的应用，非负数的性质，主要利用完全平方公式分组分解解决问题．先移项，再利用配方法得到，即有．然后根据非负数的性质解得，，，最后代入求得答案即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，，， 解得，，，， ∴． 【题型6   规律探究】 21．下面是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵排列的规律，第 行从左向右数第 个数是________，第 （ 且 是整数）行从左向右数第 个数是_______（用含 的代数式表示）． 【答案】 【知识点】数字类规律探索 【分析】根据每一行的最后一个数的被开方数是所在的行数乘比行数大1的数写出第（n-1）的最后一个数，然后被开方数加上（n-2）即可． 【详解】第5行从左向右数第3个数是=； ∵第（n-1）的最后一个数是， ∴第n（n≥3且n是整数）行从左向右数第n-2个数是=． 故答案为；． 【点睛】本题考查了数字变化规律，观察出被开方数是连续自然数并且每一行的最后一个数的被开方数是所在的行数乘比行数大1的数是解题的关键． 22．在一次科技展览会上，机器人利用编程展示了一组按规律排列的单项式形式信号代码，其单项 式依次为：，，，，……，则第n 个单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】单项式规律题、二次根式的识别 【分析】本题考查了单项式规律探索，根据题干所给单项式得出规律即可，正确得出规律是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：，，，，，…， ∴第n 个单项式是， 故选：A． 23．小明做数学题时，发现：；；；；…；按此规律，若（，为正整数），则______． 【答案】 【知识点】数字类规律探索、二次根式的应用 【分析】通过观察给定等式，发现规律为对于正整数n，有．根据此规律，令，求出a和b的值，进而计算． 【详解】解：由规律可得：， 当时，式子为， ∵， ∴，， ∴． 24．小明做数学题时，发现①； ②，即； ③，即； ④，即，… （1）按上述规律，猜想等于什么，并通过计算验证你的猜想． （2）第n个等式是什么？你能验证吗？来试试吧！ 【答案】（1）；见解析（2），见解析 【知识点】与实数运算相关的规律题 【分析】（1）参照题目中的计算方法计算即可； （2）依据题目给出的数字可发现规律，按照题目解题方法验证即可． 【详解】解：（1）， 验证：； （2）由① ②； ③； ④， …… 第n个等式是， 验证：． 【点睛】本题考查了算术平方根的化简，解题关键是理解题目中的解法并会运用． 【题型7   化简求值】 25．计算：_______． 【答案】 【知识点】复合二次根式的化简 【详解】解：∵， ∴ ． 26．实数a在数轴上的位置如图所示，则化简后 _____．    【答案】/ 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】利用数轴确定a的取值范围，然后结合二次根式的性质及整式加减运算法则进行化简求解． 【详解】解：由题意可得， ∴，， 原式 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次根式的化简，整式的加减运算，理解二次根式的性质，利用数形结合思想解题是关键． 27．已知，则___________ 【答案】 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、分母有理化 【分析】根据二次根式的性质知，则，代入求出y的值，即可求解. 【详解】根据二次根式的性质知，则，代入得，则. 【点睛】本题是对二次根式计算的考查，熟练掌握二次根式的非负性和二次根式化简是解决本题的关键. 28．（1）若与互为相反数，求的值； （2）已知与互为相反数，求的值； （3）已知x、y是实数，且与互为相反数，求的值． 【答案】（1）3；（2）；（3）7 【知识点】绝对值非负性、利用算术平方根的非负性解题、立方根概念理解 【分析】本题考查相反数的性质，二次根式的非负性，立方根定义；由二次根式有意义的条件得到方程是解题的关键． （1）根据立方根的定义、相反数的性质求解即可； （2）根据二次根式有意义的条件构建二元一次方程组，求解，进而求得代数式值． （3）根据非负数的性质得出，，然后代入求值即可． 【详解】解：（1）∵与互为相反数， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）∵与互为相反数， ∴， ∴，， 则． （3）根据题意，得， ∴，， ∴， ∴， 则． 【题型8   复合根式】 29．，像这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如   ，用上述方法可以将复合二次根式化简为________． 【答案】 【知识点】求一个数的绝对值、运用完全平方公式进行运算、复合二次根式的化简 【分析】观察题目给出的复合二次根式，构造完全平方的方法化简即可． 【详解】解：． 30．阅读与思考： 形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使得，， 这样，， 那么便有． 例如：化简． 解：首先把化为，这里，． 由于，，， ． 仿照上面的例题，解决下列问题． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】复合二次根式的化简 【分析】（1）令，根据，结合例题化简二次根式即可； （2）把所求式子变形为，令，根据结合例题化简二次根式即可． 【详解】（1）解：令， ∵，，， ∴； （2）解：， 令， ∵，，， ∴． 31．阅读下面材料，回答问题： (1)在化简的过程中，小张和小李的化简结果不同； 小张的化简如下： 小李的化简如下： 请判断谁的化简结果是正确的，谁的化简结果是错误的，并说明理由． (2)请你利用上面所学的方法化简． (3)计算：． 【答案】(1)小李化简正确，小张的化简结果错误，理由见解析 (2) (3)-2 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的加减运算 【分析】（1）根据的性质来进行判定得出答案； （2）将被开方数转化为完全平方式，从而得出答案． （3）将被开方数转化为完全平方式，进而根据二次根式的加减进行计算即可求解． 【详解】（1）解：小李化简正确，小张的化简结果错误． ； ∴小李化简正确，小张的化简结果错误． （2） ； （3） ． 【点睛】本题主要考查的是二次根式的化简，解决本题的关键就是将整数转化为两个实数的平方和，从而得出完全平方式． 32．【阅读材料】 小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：，． 【类比归纳】 (1)请你仿照小明的方法将化成另一个式子的平方的形式； (2)请运用小明的方法化简； (3)将式子化成另一个式子的平方的形式为______（，）． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】完全平方公式分解因式、利用二次根式的性质化简、复合二次根式的化简 【分析】（1）仿照小明的方法即可求解； （2）仿照小明的方法得到，再利用二次根式的性质化简即可； （3）根据完全平方公式即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ∴ ； （3）解： ． 试卷第20页，共21页 试卷第17页，共21页 学科网（北京）股份有限公司 $