第4章一次函数 优生辅导同步训练 2025-2026学年北师大版八年级数学上册

2025-2026学年北师大版八年级数学上册《第4章一次函数》优生辅导同步训练（附答案） 一、单选题 1．已知关于的一次函数．当时，函数有最大值7，则a的值为（   ） A． B． C．或 D．或 2．已知一次函数（是常数，且），若，则该一次函数的图象必经过点（   ） A． B． C． D． 3．在同一平面直角坐标系中，对于函数：①，②，③，④的图象，下列说法正确的是（   ） A．通过点的是①和③ B．交点在轴上的是②和④ C．①和③都与函数的图象平行 D．关于轴对称的是②和③ 4．在同一坐标系中，一次函数和的图象可能是（   ） A． B． C． D． 5．已知直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，M是上的一点，若将沿折叠，点B恰好落在x轴上的点处，则点M的坐标是（　　） A． B． C． D． 6．如图，直线分别与x轴、y轴交于点A，B，在y轴上有一点，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向左运动，设运动的时间为，连接．当运动到与全等时，t的值为（　　） A．2 B．4 C．2或4 D．2或6 7．、两地相距630千米，客车、货车分别从、两地同时出发，匀速相向行驶．货车两小时可到达途中站，客车需9小时到达站．货车的速度是客车的，客、货车到站的距离分别为、（千米），它们与行驶时间（小时）之间的函数关系如图．下列说法错误的是（   ） A．客、货两车的速度分别为60千米小时，45千米小时 B．点的坐标为 C．函数、的图象相交于点，则点的纵坐标为180 D．点横坐标为12 二、填空题 8．不论为何实数，直线恒过定点 ． 9．在平面直角坐标系中，点，点，直线，若A、B两点到直线l的距离相等，则k的值为 ． 10．某型号新能源纯电动汽车充满电后在行驶过程中，蓄电池剩余电量y（千瓦时）与行驶路程x（公里）之间的函数图象如图所示． （1）该新能源汽车蓄电池的总电量为 千瓦时，新能源汽车在行驶过程中，每公里的能耗为 千瓦时； （2）若该款新能源汽车在电量剩余一半时，系统会发出提醒，则此时行驶了 公里，按此能耗，这款新能源汽车充满电可以行驶 公里． 11．如图，直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C是线段的中点，点D是直线上的点，且点D的横坐标为2，点P为线段上的动点，连接，，当值最小时，点P的坐标为 ． 12．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点在一次函数的图象上运动，求的最大值 ． 13．正方形、、，…按如图方式放置，点和点分别在直线和轴上： （1）请写出点的坐标是 ； （2）的面积是 ． 14．甲、乙两车在笔直的公路上同起点、同终点、同方向匀速行驶，先到终点的车原地休息，已知甲车先出发小时，在整个行驶过程中，甲、乙两车的距离y（千米）与甲出发的时间t（时）之间的关系如图所示，下列结论：①甲车的速度为45千米/时；②乙行驶2小时追上甲；③乙车由A地到B地共用小时；④甲车的速度是乙车速度的；⑤A、B两地相距240千米，其中正确的结论有 （只填序号）． 三、解答题 15．李强用甲、乙两种具有恒温功能的热水壶同时加热相同质量的水，甲壶比乙壶加热速度快．在一段时间内，水温与加热时间之间近似满足一次函数关系，根据记录的数据，画函数图象如下： (1)加热前水温是__________． (2)求乙壶中水温关于加热时间的函数解析式． (3)当乙壶中加热时间为时，求此时乙壶中的水温． 16．为引导居民节约用水，某县出台了城镇居民用水阶梯水价制度（如下表）．每年水费的计算方法：年交水费第一阶梯水价第一阶梯用水量第二阶梯水价第二阶梯用水量第三阶梯水价第三阶梯用水量． 阶梯 用户年用水量 水价（元） 第一阶梯 5 第二阶梯 7 第三阶梯 9 (1)当时，求出水费（单位：元）与之间的关系式； (2)某户一年用水量是，求该户这一年的水费； (3)该市某同学家在实施阶梯水价制度后的第一年缴纳水费1730元，求该同学家这一年的用水量． 17．两架无人机、准备在米高空完成包头文旅宣传“北疆有情，包头有请”的拍摄任务，无人机从海拔米处以米/秒的速度匀速上升，无人机从海拔米处匀速上升．设无人机海拔高度（米）与时间（秒）的关系如图所示． (1)______； (2)求无人机与在上升过程中，海拔高度（米）与时间（秒）之间的函数关系式 无人机：_______； 无人机：_______． (3)求当为何值时，无人机和无人机竖直高度相距米． 18．如图，长方形摆放在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点C在y轴上，，，的平分线在直线上，且交于点P． (1)求直线的函数表达式； (2)如图①，若点D在线段上运动（不与点A，P重合），设点D的横坐标为x，在点D的运动过程中，试求出的面积S与x的函数关系式； (3)如图②，请在y轴上找一点N，使的周长最小，并求出此时点N的坐标和的周长． 19．如图，在平面直角坐标系中，直线的图象与轴轴分别交于，两点．直线的图象与轴交于．直线与直线交于点． (1)求点的坐标及直线的表达式； (2)若点在直线上，且为直角三角形，直接写出点的坐标； (3)在轴上是否存在点，使得，若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由． 20．已知，在中，， (1)如图1，若的两个顶点、分别为直线与坐标轴的交点． ①求出、的坐标； ②求出点的坐标； (2)如图2，，分别是坐标轴上两点，若的顶点是轴正半轴上的动点，顶点在第一象限内，过，两点作直线，交轴于点．在点的运动过程中，的长度是否发生变化？若不变，求的长度；若改变，请说明理由． 参考答案 1．D 【分析】本题考查了一次函数的性质．分类讨论：时，y随x的增大而增大，所以当时，y有最大值7，然后把代入函数关系式可计算出对应a的值；时，y随x的增大而减小，所以当时，y有最大值7，然后把代入函数关系式可计算对应a的值． 【详解】解：①时，y随x的增大而增大， 则当时，y有最大值7，把代入函数关系式得， 解得； ②时，y随x的增大而减小， 则当时，y有最大值7，把代入函数关系式得， 解得， 所以或， 故选：D． 2．B 【分析】本题考查了一次函数的图像与性质．熟练掌握一次函数的图像与性质是解题的关键． 由条件 得 ，代入一次函数 ，通过消元法找到点坐标使等式恒成立即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ． 当 时，， ∴ 无论 取何值（），函数图象必经过点 ． 故选：B． 3．C 【分析】本题考查一次函数的性质，利用一次函数与坐标轴的交点，两个一次函数的交点，一次函数平行条件k相同，一次函数关于坐标轴对称逐项判断解答即可． 【详解】A、点代入①，通过；②，通过；③，不通过；④，通过，通过的是①②④，该选项错误； B、交点在y轴上需时y值相等，时，①，②，③，④，②和④y值不相等，该选项错误； C、函数的，①，③，均与平行，该选项正确； D、②与③，关于x轴对称需x取相同值时，y值互为相反数，但时均为，不相反，该选项错误； 故选：C． 4．C 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质；根据一次函数的图象确定相应的系数，然后比较，找出矛盾即可求解． 【详解】解：A、中即，中，即，矛盾，不符合题意； B、 中即，中，即，矛盾，不符合题意； C、中即，中，即，符合题意； D、中即，中，即，矛盾，不符合题意； 故选：C． 5．B 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴交点问题，勾股定理，折叠的性质，熟练掌握以上知识点是关键． 由解析式求出点，点，再根据勾股定理即可得出的长，由折叠的性质，可求得与的长，，然后设，由在中，勾股定理，建立方程，解方程即可求出M的坐标． 【详解】解：令，可得，即，令时，，即， ∴， 由折叠的性质，得：， ∴， 设，则， 在中，， 即， 解得：， ∴， 故选：B． 6．D 【分析】本题考查了一次函数的性质，全等三角形的判定与性质，理解全等三角形的判定定理是关键．由直线的函数解析式，令求点坐标，求点坐标；根据题意可知，，则，所以，则时间内移动了，可算出值． 【详解】解：对于直线， 当时，；当时，， ，， ， ∵当运动到与全等时 ∴，分为两种情况： ①当在上时，， ， 动点从点以每秒1个单位的速度沿轴向左移动2个单位，所需要的时间是2秒钟； ②当在的延长线上时，， 则，此时所需要的时间（秒）， 故选：D． 7．D 【分析】本题考查了从函数图象获取信息、一元一次方程的应用，从函数图象正确获取信息是解题关键．设客车的速度为千米时，则货车的速度为千米时，根据题意列方程，即可判断；再求出、间距离即可判断，设两车在客车出发后y小时相遇，则由图可知两车到距离相等，列方程 ，即可判断，求出货车由到用的时间即可判断． 【详解】解：设客车的速度为千米时，则货车的速度为千米时， 由题意，得， 解得， 客车的速度为千米时，货车的速度为千米小时， 故正确； 货车2小时到达， 、间距离为千米， 则点的坐标为， 故正确； 客车9小时到达， 、间距离为千米， 设两车在客车出发后y小时相遇，则由图可知两车到距离相等， 则有， 解得， 此时距离为千米， 图中的纵坐标为180， 故正确． 货车由到用时为小时， 则货车一共行驶14小时， 点横坐标为14， 故错误； 故选：． 8． 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征． 根据题意可知的系数为，可得，从而可得，即可得定点坐标． 【详解】解：， ∵不论为何实数，直线恒过定点， ∴， ∴， ∴， ∴直线恒过定点． 故答案为：． 9．或 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，一次函数与几何等知识点． 分两种情况讨论，当点位于直线l的两侧，直线l交于点，通过证明进行求解；当点位于直线l的同侧，此时，那么根据一次函数的相同求解． 【详解】解：当点位于直线l的两侧，直线l交于点，如图： 由题意得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点，点， ∴， 将代入，则， 解得； 当点位于直线l的同侧，此时， 设直线，则代入点，点， ， 解得， ∴， 故的值为或 故答案为：或． 10． 60 / 150 300 【分析】本题考查了一次函数的应用，求一次函数的解析式，正确理解题意是解题的关键． （1）根据图象可知第一空答案；根据，计算能耗除以行驶的公里数即可； （2）先由函数图象判断y与x满足一次函数关系式，用待定系数法求出函数关系式，令和，分别列方程求解即可． 【详解】解：（1）根据图象可知，该新能源汽车蓄电池的总电量为60千瓦时， 新能源汽车在行驶过程中，每公里的能耗为（千瓦时）． 故答案为：60；． （2）由图可知，函数图象经过点，， 由于蓄电池剩余电量y（千瓦时）与行驶路程x（公里）之间的函数图象是直线，所以满足一次函数关系式， 设y与x之间的函数关系式为， ， 解得， ， 令，则， 解得， 此时行驶了150公里， 令，则， 解得， 按此能耗，这款新能源汽车充满电可以行驶300公里． 故答案为：150；300． 11． 【分析】本题考查了轴对称的性质，一次函数的应用，作点关于轴对称的点，连接交轴于点，此时值最小，先求出，，从而可得，进而可得，求出直线的解析式为，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，作点关于轴对称的点，连接交轴于点， 根据轴对称可知：， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即最小， 在中，当时，，即， 当时，，即， ∵点C是线段的中点， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，，解得， ∴， 故答案为：． 12．4 【分析】本题考查一次函数图象上的点的特征、轴对称等知识，解题的关键是学会利用对称解决最值问题． 作点关于直线的对称点，连接交直线于点，连接．首先确定点的坐标，当点在的延长线上时，的值最大． 【详解】解：作点关于直线的对称点，连接交直线于点，连接． ，， 直线的解析式为：． 联立解得 ． ， ． ． 当点在的延长线上时，的值最大，最大值为4． 故答案为：4． 13． 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、坐标与图形．由一次函数与坐标轴的交点得出点的坐标为，再由正方形的性质得出点的坐标为，同理即可得出点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，…，总结出规律，即可得解． 【详解】解：在直线中，当时，， ∴点的坐标为， ∵四边形为正方形， ∴点的坐标为， ∴点的坐标为， 当时，， ∴点的坐标为， ∵四边形为正方形， ∴点的坐标为，点的坐标为， 当时，， ∴点的坐标为， 同理可得：点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，…， ∴点的坐标为（为正整数） ∴的面积是， 故答案为：，． 14．①②④ 【分析】本题考查利用图象表示变量之间的关系，由图象可知，甲车小时行驶了30千米，甲车行驶小时时，乙车追上甲车，甲车行驶小时时，乙车到达终点，甲车行驶4小时时，甲车到达终点，再逐一进行计算分析，判断即可． 【详解】解：由题意和图象可知，甲车小时行驶了30千米，甲车行驶小时时，乙车追上甲车，甲车行驶小时时，乙车到达终点，甲车行驶4小时时，甲车到达终点， ∴甲车的速度为千米/时；故①正确； 乙车行驶小时追上甲；故②正确； 乙车由A地到B地共用小时；故③错误； A、B两地相距千米；故⑤错误； 乙车的速度为千米/时；故甲车的速度是乙车速度的；故④正确； 故答案为：①②④ 15．(1)20 (2) (3)65 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，读懂函数图象，并熟练掌握待定系数法是解题关键． （1）根据时，即可得； （2）先判断出乙壶对应的函数图象经过点，再利用待定系数法即可得； （3）将代入乙壶中与的函数解析式即可得． 【详解】（1）解：由函数图象可知，当时，， 则加热前水温是， 故答案为：20． （2）解：因为甲壶比乙壶加热速度快， 所以乙壶对应的函数图象经过点， 设乙壶中水温关于加热时间的函数解析式为， 将点代入得：，解得， 则乙壶中水温关于加热时间的函数解析式为， 自变量x的取值范围是． （3）解：将代入得：， 即乙壶中加热时间为时，乙壶中水温是． 16．(1) (2)1040元 (3) 【分析】本题考查了一次函数的应用，正确掌握一次函数的性质是解题的关键． （1）理解题意，根据用水量及分档计费标准且结合列出寒素解析式即可． （2）结合（1），得当时，，故代入进行计算，即可作答． （3）先充分分析题意，得出水费在第三档，再结合第三档的计费方式进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，当时，； （2）解：由（1）得当时， 当时，， 答：该户这一年的水费是1040元； （3）解：依题意，；； ∵ ∴水费在第三档， 当时，可知， 令，即， 解得， 答：该户这一年的用水量是． 17．(1)60 (2)；； (3)或或时，无人机和无人机相距米． 【分析】本题考查的是从函数图象中获取信息，一次函数的应用，理解函数图象中点的坐标含义是解本题的关键． （1）由无人机A从海拔10米处以5米/秒的速度匀速上升，列式计算求解，再利用两个无人机在同一高度列方程求解， 从而可得答案； （2）分别利用待定系数法求解即可； （3）根据无人机和无人机相距米，列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵无人机A从海拔10米处以5米/秒的速度匀速上升， ∴ 故答案为：； （2）解：设无人机B在上升过程中，海拔高度y米与时间x秒之间的函数关系式为， 把代入，得 ， 解得：， ∴无人机B在上升过程中，海拔高度y米与时间x秒之间的函数关系式为 设无人机在上升过程中，海拔高度y米与时间x秒之间的函数关系式为 把代入可得： ， 解得：， ∴， 故答案为：；； （3）依题意，， 解得：或， 当无人机达到米停止后，无人机需达到米时与无人机距离米， ∴， 解得：， ∴或或时，无人机和无人机相距米． 18．(1) (2) (3)， 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，坐标与轴对称，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键： （1）长方形的性质，得到，，平行线的性质结合角平分线的定义推出，进而求出点坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （2）过点作轴，交轴于点，交于点，进而得到，用含的表达式表示出的长，三角形的面积公式求出S与x的函数关系式即可； （3）作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为点，求出的解析式，进而求出点的坐标，求出的长，进而求出的周长即可． 【详解】（1）解：∵长方形， ∴，， ∴， ∵的平分线在直线上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设直线的解析式为，则：， 解得：， ∴； （2）过点作轴，交轴于点，交于点，则：， 由（1）知，直线的解析式为， ∵点在线段上，且不与点A，P重合，横坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴， 即：； （3）作点关于轴的对称点，连接，则：， ∵的周长， ∴当点在线段上时，的周长最小为的长， 同（1）法可得直线的解析式为， ∴当时，， ∴， 作轴于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴周长的最小值为． 19．(1)点，直线的表达式为：． (2)点E的坐标为或； (3)存在，点P的坐标为或 【分析】本题考查的是一次函数综合运用，坐标与图形，一次函数的图象及性质，勾股定理，直角三角形的性质，数形结合和分类求解是解题的关键． （1）当时，，得到点，再由待定系数法即可求解； （2）分时，时两种情况，分别求出点E的坐标； （3）设点的坐标为，根据题意可得，即可求解． 【详解】（1）解：当时，， 解得：，即点， ∵直线经过点， ∴， 解得：， 则直线的表达式为：． （2）当中时，，解得 ∴， 当中时，，解得 ∴， 当时，为直角三角形， 此时，则， 故； 当时，为直角三角形，过作于F， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，，得， ∴， 综上，点E的坐标为或； （3）存在，理由： 当点P在y轴左侧时， ∵，则， 即， 设， 由点A，P，C的坐标得，，， 得，即点； 当点在y轴右侧时，则与左侧时的点P关于点H对称，故此时 综上，存在，点的坐标为或 20．(1)点的坐标是，点的坐标是； ； (2)． 【分析】本题主要考查一次函数与几何的综合、全等三角形的性质与判定． 根据直线的解析式求出点、的坐标； 过点作轴，可证，根据全等三角形的性质可以求出，，根据线段之间的关系求出的长度，即可求出点的坐标； 过点作轴，可证，设点的坐标是，即可求出点的坐标是，利用待定系数法求出直线的解析式，根据解析式求出点的坐标，即可得到的长度． 【详解】（1）解：当时，， 点的坐标是， 当时， 可得：， 解得：， 点的坐标是； 解：如下图所示，过点作轴， ， ， ， ， ， 在和中，， ， ，， 点的坐标是，点的坐标是， ，， ，， ， 点的坐标是； （2）解：， 理由如下： 如下图所示，过点作轴， ， ， ， ， ， 在和中，， ， ，， 设点的坐标是， 则， ， 点的坐标是， ， ， 点的坐标是， 设直线的解析式是， 把点和点的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式是， 当时， ， 点的坐标是， . 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