2.3 一元一次不等式与一次函数（分层题型专练，3夯基题型+3进阶题型+拓展培优）2025-2026学年北师大版数学八年级下册

第二章 不等式与不等式组 2.3 一元一次不等式与一次函数 （分层题型专练） 题型一 根据一次函数与坐标轴的交点求不等式的解集 1．一次函数的图象与轴的交点的横坐标为2，与轴的交点的纵坐标为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，关键是理解不等式的解集就是函数的图象在轴上方时的取值范围． 【详解】解：∵一次函数的图象与轴的交点横坐标为2， ∴当时，， 又∵由图象可知该一次函数随的增大而增大， ∴当时，，即不等式的解集为； 故选：C． 2．一次函数的图象如图所示，当时，x的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查一次函数的性质、一次函数的图象，解答本题的关键是明确一次函数的性质，利用数形结合的思想解答．依据题意，由函数的图象，可以得到该函数时x的值和该函数的增减性，从而可以得到当时，x的取值范围． 【详解】解：根据函数图象可知：当时，， 故选：B． 3．如图，一次函数的图象经过第二、三、四象限，且与x轴交于点，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式、一次函数的性质，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．根据图象，可以得到当时，，y随x的增大而减小，即可得到不等式的解集． 【详解】解：由图象可得， 当时，，y随x的增大而减小， ∴不等式的解集为， 故选：A． 4．如图，一次函数的图象与轴的正半轴交于点，与轴的正半轴交于点，若，则关于的不等式的解集是__________． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象解不等式的解集，根据题意得到，结合图形即可求解． 【详解】解：， ∴， 关于的不等式，即函数图象在轴上方， ∴当时，， 故答案为： ． 题型二 不等式与一次函数的综合判断 1．若一次函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C．随的增大而减小 D．当时， 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的图象与性质．根据一次函数的图象与性质判断即可． 【详解】解：由图象知，，且随的增大而增大，故A、C选项错误； 图象与y轴负半轴的交点坐标为，所以，B选项正确； 当时，图象位于x轴的上方，则有，D选项错误， 故选：B． 2．在直角坐标平面内，一次函数的图像如图所示，那么下列说法正确的是（   ） A．当时， B．方程的解是 C．当时， D．不等式的解集是 【答案】C 【分析】本题考查的是一次函数的图像，利用数形结合求解是解答此题的关键．根据函数的图像直接进行解答即可． 【详解】解：由函数的图像可知， 当时，，故A选项错误，不符合题意； 方程的解是，故B选项错误，不符合题意； 当时，，故C正确，符合题意； 不等式的解集是，故D错误，不符合题意． 故选：C． 3．如图，已知一次函数（k，b是常数，且）的图象与x轴、y轴分别交于点和，下列结论正确的是（    ） A．关于x的方程的解为 B．关于x的方程的解为 C．关于x的不等式的解集为 D．关于x的不等式的解集为 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的性质，一次函数与一元一次方程，一次函数与一元一次不等式，数形结合是解题的关键．根据函数的图象判断即可． 【详解】解：如图，直线（和是常数且）交轴，轴分别于点， ， ， ∴直线的解析式为， 当时，则， 解得，故B错误，不合题意； 由图象可知方程的解是，故A错误，不合题意； 不等式的解集是，故 C 错误，不合题意； 当时，则， 解得， 等式的解集是，故D正确，符合题意； 故选：D． 4．已知函数的图象如图，根据图象，下列结论正确的是（   ） A．点A的坐标为 B．直线的解析式为 C．不等式的解集为 D．当时，y随x的增大而减小 【答案】B 【分析】去绝对值化简得当时，，，当时，，结合图象逐项判断即可求解． 【详解】解：当时， ，令，则，解得：； 当时，，则； 当时， ，令，则，解得； A、当时，，则，解得，则，故此项错误，不符合题意； B、当时，，即直线的解析式为，故此项正确，符合题意； C、不等式的解集为，故此项错误，不符合题意； D、当时，y随x的增大而减小，故此项错误，不符合题意． 题型三 利用两条直线的交点求不等式的解集 1．如图，一次函数的图像经过点和点，正比例函数的图像经过点，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了根据函数图象求不等式组的解集． 直接根据函数图象作答即可． 【详解】解：由函数图象可知，不等式的解集为． 故选：B． 2．如图，直线交轴于点，直线y=mx+n交x轴于点，这两条直线相交于点，则不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 结合函数图象，写出对应的自变量的范围即可． 【详解】解：根据函数图象，当时，， 所以不等式的解集为． 故选：A． 3．如图，一次函数为常数，且与正比例函数为常数，且的图象交于点，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是一次函数与一元一次不等式，能利用函数图象直接得出不等式的取值范围是解答此题的关键． 直接根据两函数图象的交点即可得出结论． 【详解】解：由函数图象可知，当时，函数的图象不在直线的上方， ∴关于的不等式的解集是． 故选：C． 4．一次函数（，为常数，且）和一次函数（，为常数，且）在同一坐标系中的图象如图所示，若这两个函数的交点C的坐标为，则关于x的不等式的解集是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与不等式之间的关系，根据函数图象找到一次函数的图象在一次函数的图象上方时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】解：由函数图象可得关于x的不等式的解集是， 故答案为：． 题型一 根据两直线相交逐一判断序号的对错 1．已知一次函数和的图象如图所示，有下列结论： ①； ②； ③，是直线上不重合的两点，则； ④． 其中正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质、一次函数与一元一次不等式的关系．由图象得出，，利用数形结合的思想以及一次函数与一元一次不等式的关系，逐项判断即可得出答案． 【详解】解：∵的图象经过第二、三、四象限， ∴，， ∴，故①错误； 将分别代入和得：，， 观察图象可得点在点的上方， ∴，故②错误； ∵，是直线上不重合的两点， ∴由图象可得：当时，，则，当时，，则，故③错误； 由图象可得，与交点的横坐标为， ∴当时，， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有④， 故选：A． 2．如图，已知一次函数与图象的交点坐标为，现有下列四个结论：①；；②方程的解是；③；④若，则；其中正确的结论是 _______ （填写序号）． 【答案】②④ 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，一次函数和一元一次方程的关系等，解题的关键是掌握一次函数的图象和性质． 直接利用一次函数的性质对①进行判断； 利用一次函数与的图象的交点坐标为得到时，，从而可对②进行判断； 结合函数图象，当时，，所以，从而可对③进行判断； 先把代入中求出，则一次函数的解析式为，接着求出一次函数与轴的交点坐标为，，然后结合函数图象，写出在轴下方且直线在直线的上方所对应的自变量的范围，从而可对④进行判断． 【详解】解：一次函数的图象经过第一、三象限， ， 一次函数经过第一、三象限，与轴的交点在轴的负半轴上， ，， ，所以①错误； 一次函数与图象的交点坐标为， 时，， 即方程的解是，所以②正确； 当时，，即， 即，所以③错误； 把代入得， 解得， 一次函数的解析式为， 一次函数与轴的交点坐标为，， 当时，，所以④正确． 故答案为：②④． 3．如图，已知一次函数与图象的交点坐标为现有下列四个结论：①；②；③方程的解是；④若，则其中正确的结论是_______________．(填写序号） 【答案】①③④ 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，认真体会一次函数与一元一次不等式（组）之间的内在联系及数形结合思想．理解一次函数的增减性是解决本题的关键．也考查了一次函数的性质和一次函数与一元一次方程． 直接利用一次函数的性质对①②进行判断；利用一次函数与的图象的交点坐标为得到时，，于是可对③进行判断；先确定一次函数的解析式为，再求出一次函数与x轴的交点坐标为，然后结合函数图象，写出在x轴下方，直线在直线的上方所对应的自变量的范围，从而可对④进行判断． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、三象限， ∴，所以①正确； ∵一次函数的图象经过第一、三象限，且与y轴的负半轴相交， ∴， ∴，所以②错误； ∵一次函数与的图象的交点坐标为， ∴时，，所以③正确； 把代入得， 解得， ∴一次函数的解析式为， 当时，， 解得：， ∴一次函数与x轴的交点坐标为， ∴当时，， ∴当时，，所以④正确． 故答案为：①③④． 4．如图，正比例函数与一次函数的图象交于点．下面四个结论： ①； ②； ③不等式的解集是； ④当时，． 其中正确的是________．    【答案】②③④ 【分析】本题主要考查了正比例函数的性质、一次函数的性质以及一次函数与一元一次不等式的关系．根据正比例函数与一次函数的图象性质，通过观察图象的位置判断、的正负，根据函数图象的位置关系确定不等式的解集以及的正负情况． 【详解】①由图象可知正比例函数的图象从左到右下降，根据正比例函数的性质，当时，图象从左到右下降，所以，故①错误； ②一次函数的图象与轴的交点在轴正半轴，根据一次函数的性质，当时，图象与轴交于正半轴，所以，故②正确； ③不等式的解集是就是正比例函数的图象在一次函数图象上方部分对应的的取值范围，由图象可知，此时，故③正确； ④当时，，，根据有理数乘法法则，异号得负，所以，故④正确； 故答案为：②③④． 题型二 两直线相交与不等式解决实际问题 1．如图所示的是甲、乙两个探测气球所在位置的海拔（单位：）关于上升时间（单位：）的函数图象．下列结论：①当时，两个探测气球位于同一高度；②当时，；③当时，甲气球位置高．其中正确的有（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，解题的关键是根据图象进行解答． 根据图象进行解答即可． 【详解】解：①当时，两个探测气球位于同一高度，说法正确，符合题意； ②当时，，说法正确，符合题意； ③当时，甲气球位置高，说法正确，符合题意； 其中正确的有①②③，是个， 故选：A． 2．小明准备购买迎新春贺卡送给同学，他可以在甲、乙两个商店买到同款贺卡，两个商店的标价均为每张5元．其中甲商店的优惠条件是：从第1张开始就按标价的八五折销售；乙商店的优惠条件是：购买10张以上，从第11张开始按标价的七折销售．设小明购买贺卡的数量为张（为正整数），在甲商店购买的总费用为元，在乙商店购买的总费用为元． (1)求与之间的函数关系式，以及当时与之间的函数关系式； (2)若小明购买的贺卡数量大于10张，选择哪一家商店更划算？ 【答案】(1)； (2)当时，甲、乙两家商店的费用相同，选择哪家商店都可以；当时，选择甲商店；当时，选择乙商店 【分析】本题考查了一次函数的应用： （1）根据甲乙商店的优惠条件，分别列出函数关系式； （2）通过比较和的大小，确定在不同购买数量下选择的情况． 【详解】（1）解：甲商店：； 乙商店：时，； （2）解：由，得， 解得； 由，得， 解得； 由，得， 解得． ， 当时，甲、乙两家商店的费用相同，选择哪家商店都可以； 当时，选择甲商店； 当时，选择乙商店． 3．甲、乙两家超市举行为期一个月的感恩回馈客户活动，活动期间，两家超市将对销售的同品种同价格的耙耙柑推出优惠方案．甲超市的优惠方案：顾客可以先办理会员卡，购买的耙耙柑六折优惠；乙超市的优惠方案：顾客购买的耙耙柑超过一定数量后，超过部分打折优惠．活动期间，某顾客购买耙耙柑的质量为x千克，在甲超市所需总费用为元，在乙超市所需总费用为元，，与x之间的函数关系的图象如图所示，折线表示与x之间的函数关系图象． (1)甲超市办理会员卡的费用是______元，两家超市优惠前的耙耙柑的单价是______元． (2)当时，求关于x的函数解析式． (3)当顾客在活动期间一次性购买m千克耙耙柑时，该怎样选择花费较少？ 【答案】(1)60，30 (2) (3)当或时，选择乙超市花费较少；当时，选择甲超市花费较少；当或时，选择甲、乙超市花费一样． 【分析】对于（1），观察图象可知甲超市办理会员卡的费用，根据图象可知10千克的粑粑柑费用为300元可得单价； 对于（2）观察图象得出两个点的坐标，再代入关系式，求出解即可； 对于（3），先求出甲超市的函数关系式，再求出甲乙两个超市费用相等时的m的值，然后结合图象可得答案． 【详解】（1）解：观察图象可知当时，（元）， 所以甲超市办理会员卡的费用是60元； 根据图象可知10千克的粑粑柑费用为300元， 所以优惠前粑粑柑的单价为（元）． 故答案为：60，30； （2）解：当时,设关于x的函数解析式是， 将分别代入，得 得 解得 即当时，关于x的函数解析式是； （3）解：由题意可得，． 当时，令，解得； 当时，令，解得． 结合图象可知： 当或时，选择乙超市花费较少； 当时，选择甲超市花费较少； 当或时，选择甲、乙超市花费一样． 4．春节期间，某移动公司推出三种手机流量套餐的优惠方案，具体如下表所示： 每月基本 费用（元） 每月免费 使用流量（） 超出流量 每收费（元） 套餐 20 10 套餐 56 30 套餐 188 无限 其中，，，三种套餐每月所需的费用、、（元）与每月使用的流量之间的函数关系如图所示． (1)写出表中的值_________； (2)在套餐中，若每月使用的流量不少于，直接写出每月所需的费用（元）与每月使用的流量之间的函数表达式___________； (3)如果从节省费用的角度考虑，根据图象与表达式可知：当且时，每月使用的流量的取值范围是__________． 【答案】(1)3 (2) (3) 【分析】本题考查一次函数的应用，涉及求一次函数表达式、由函数图象解不等式等知识，解题的关键是读懂题意，能从函数图象中获取有用的信息． （1）由（元）与每月使用的流量之间的函数图象可知，当流量从增加到时，费用从增加到，列式计算可得的值； （2）由超出流量每收费3元，可得出，化简即可得到每月所需的费用（元）与每月使用的流量之间的函数表达式； （3）先求出套餐每月使用的流量不少于，每月所需的费用（元）与每月使用的流量之间的函数表达式，再求出当套餐的收费等于套餐收费时的值，结合图象可得答案． 【详解】（1）解：由（元）与每月使用的流量之间的函数图象可知，当流量从增加到时，费用从增加到，则超出流量每收费， ∴， 故答案为：3； （2）解：由（1）知，在套餐中，若每月使用的流量不少于，超出流量每收费3元， ∴， ∴每月所需的费用（元）与每月使用的流量之间的函数表达式为， 故答案为：； （3）解：由（1）知，在套餐中，若每月使用的流量不少于，超出流量每收费3元， ∴， 当套餐的收费等于套餐收费时，， 解得， ∴结合函数图象知，当且时，每月使用的流量的取值范围是， 故答案为：． 题型三 两直线与坐标轴相交问题 1．如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点，与轴相交于点C． (1)求直线的解析式； (2)根据图象，写出关于的不等式的解集； (3)求的面积． 【答案】(1)直线解析式为 (2) (3)的面积是 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，待定系数法求一次函数的解析式以及两条直线相交或平行问题，解题的关键是掌握待定系数法，能求出两条直线的交点坐标． （1）用待定系数法即可得直线的解析式； （2）根据交点坐标解答即可； （3）根据三角形面积公式解答即可． 【详解】（1）解：将代入直线解析式为， ， 解得， ∴直线解析式为； （2）由交点A可知，不等式的解集是； （3）当时，， ， ∴的面积为：． 2．如图，已知直线（和是常数且）经过点，，直线（是常数）与直线相交于点，与轴交于点，点的横坐标为-3． (1)当时，直接写出的取值范围为_______； (2)求直线的表达式和的值； (3)若点在直线上，且，求点的坐标． 【答案】(1) (2)直线的表达式为， (3)点或 【分析】本题考查了求一次函数解析式以及一次函数与几何综合问题，掌握函数相关性质是解题关键． （1）由图可知：当时，直线的图象在直线的上方；即可求解； （2）把和代入直线可求得直线的表达式为．把代入，求得点．把点代入，可解得． （3）设点，求出点．根据．即可求解； 【详解】（1）解：由图可知：当时，直线的图象在直线的上方； 即：当时，直接写出的取值范围为：； （2）解：把和代入直线， 得 解得 直线的表达式为． 把代入，得， 点． 把点代入，得，解得． （3）解：设点． 由（2）知，点． 当时，，解得， 点． ． ， ． 或． 点或 3．如图，已知函数的图象与x轴交于点A，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点B，C，且与的图象交于点． (1)求m，b的值； (2)若，求x的取值范围； (3)求四边形的面积． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式，一次函数与不等式，一次函数的图象与几何，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）将代入，求出的值，再将点代入，进行求解即可； （2）利用图象法解不等式即可； （3）利用求面积即可． 【详解】（1）解：将点代入中， 可得， 解得， ∴， 将代入中， 得， 解得， 故，； （2）解：由图可知，函数的图象在函数的图象下方时，对应的自变量的取值范围是， ∴若，x的取值范围为； （3）解：当时，， ∴， 当时，， 解得， ∴， 当时，， 解得， ∴， ∴ ． 4．如图，直线与直线相交于点． (1)求a的值． (2)直线与直线与x轴分别相交于A、B两点，求的面积． (3)直接写出关于x的不等式的解集． 【答案】(1) (2)9 (3) 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的知识，解题的关键是能够根据题意确定直线的解析式，再结合图象解不等式． （1）将代入，得出； （2）分别求得的坐标，然后根据三角形的面积公式，即可求解； （3）根据函数的图象确定不等式的解集即可． 【详解】（1）解：将代入， ∴ ∴； （2）解：∵，∴， 在中，当时，，则， 在中，当时，，则， ∴， 又∵， ∴的面积为； （3）解：根据函数图象可得不等式的解集为． 1．在平面直角坐标系中，一次函数和 ，无论 取何值，始终有 ，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数综合问题， 充分掌握一次函数的图象和性质是求解本题的关键．先判断两直线平行，始终有 ，求解当过时，，再利用数形结合的方法解题即可． 【详解】解：由题意可知：∵一次函数 的图象过定点 ， 一次函数 过定点 ， ∵无论 取何值，始终有 ， ∴两直线平行，才会始终有 ， ∴， 当过时， ∴， 解得：， 此时两条直线相交， 如图，    ∴且， 当时，如图，不符合题意；    故选：D 2．已知直线：与直线：都经过，直线交轴于点，交轴于点，直线交轴于点，为轴上任意一点，连接、，有以下说法：①方程组的解为；②为直角三角形；③；④当的值最小时，点的坐标为．其中正确的说法个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据一次函数图象与二元一次方程的关系，利用交点坐标可得方程组的解；求出，，，得到，得到为直角三角形；求得和的长，根据三角形面积计算公式，即可得到的面积；根据轴对称的性质以及两点之间，线段最短，即可得到当的值最小时，点P的坐标为． 【详解】解：①∵直线：与直线：都经过， ∴方程组的解为， 故①正确，符合题意； ②把，代入直线：，可得， 解得， ∴直线：， 把代入直线：，可得， 中，令，则， ∴， ∴，，， ∴， ∴为直角三角形，， 故②正确，符合题意； ③在直线：中，令，则， ∴， ∴， ∴， 故③正确，符合题意； ④点A关于y轴对称的点为， 由点C、的坐标得，直线的表达式为：， 令，则， ∴当的值最小时，点P的坐标为， 故④正确，符合题意； 综上所述，正确的有①②③④，一共4个． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象与性质，三角形面积以及最短距离问题，解答本题的关键要明确：凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 3．我们规定：a、b两个数中最小的数记作，例如，则函数的最大值是_________． 【答案】/ 【分析】本题考查了分段函数的最值问题．通过解方程求两个一次函数的交点，利用数形结合思想确定函数的最大值，涉及一次函数的图象和性质． 【详解】解：令，解得． 当时，； 当时，，故，随着增大而增大； 当时，，故 ，随着增大而减小． 因此函数在处取得最大值． 故答案为：． 4．一次函数与的图象如图所示，下列结论中正确的是___________．（填写序号） ①对于函数来说，随的增大而增大； ②函数的图象不经过第一象限； ③； ④． 【答案】②③④ 【分析】本题考查了一次函数的图像与性质．熟练掌握一次函数的图像与性质是解题的关键． 根据一次函数的图像与性质，对每个结论逐一进行分析即可． 【详解】解：对于，观察图像可知，从左到右呈下降趋势，可知， 随的增大而减小，故①错误； 由可知，， 由可知，， 对于函数，，，函数图像经过第二、三、四象限，不经过第一象限， 故②正确； 一次函数与的图像交点的横坐标为3， 当时，，化简得， 将代入，得到 ， 故③正确； 由得图像可知，当时，， 此时，即， 移项可得， 故④正确． 故答案为②③④． 5．大山开车从A地出发前往B地，同时小李从B地出发前往A地，出发一段时间后，小李将车速提高为原来的2倍，如图，图象分别表示两人与A地的距离和行驶时间之间的函数关系． (1)求小李提速后与A地的距离和行驶时间之间的函数表达式； (2)何时大山与B地的距离大于小李与B地的距离？ 【答案】(1) (2)当时，大山与B地的距离大于小李与B地的距离． 【分析】（1）先求出小李提速前的平均车速为，得到小李提速后平均速度为．进而求出小李达到A地时间为．利用待定系数法即可求解； （2）求出大山匀速行驶的函数表达式为，解方程组得，结合图象即可得到当时，大山与B地的距离大于小李与B地的距离． 【详解】（1）解：根据题图可得，小李提速前的平均车速为， ∴小李提速后平均速度为． 由题意得A、B之间距离为， ∴提速后行驶时间为， ∴小李到达A地时间为． 设小李提速后的函数表达式为， 把点，点代入得 ， 解得， ∴小李提速后的函数表达式为； （2）解：设大山匀速行驶的函数表达式为， 把点代入得， ∴， ∴大山匀速行驶的函数表达式为． 解方程组得， 所以当时，大山与B地的距离大于小李与B地的距离． 6．如图1，正方形的边长为4，动点从点出发，沿路线向点运动，设点的运动路程是．点是射线上一动点，且，当点到达终点时，点停止运动，连接，．记的面积为，的面积为． (1)请分别写出，关于的函数解析式，并注明的取值范围； (2)在图2中画出，关于的函数图象；并结合函数图象，直接写出时，的取值范围． 【答案】(1)， (2)图像见解析， 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，求函数解析式，画函数图象，一次函数与反比例函数交点问题． （1）分两种情况讨论，根据点在上，分别根据三角形的面积公式列出函数关系式，即可求解． （2）根据（1）中的解析式画出函数图象，进而结合函数图象，即可求解． 【详解】（1）解：当时，； 当时，； ， ． （2）和的图象如图所示： 由函数图象知，当时，的取值范围为：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 不等式与不等式组 2.3 一元一次不等式与一次函数 （分层题型专练） 题型一 根据一次函数与坐标轴的交点求不等式的解集 1．一次函数的图象与轴的交点的横坐标为2，与轴的交点的纵坐标为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．一次函数的图象如图所示，当时，x的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 3．如图，一次函数的图象经过第二、三、四象限，且与x轴交于点，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 4．如图，一次函数的图象与轴的正半轴交于点，与轴的正半轴交于点，若，则关于的不等式的解集是__________． 题型二 不等式与一次函数的综合判断 1．若一次函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C．随的增大而减小 D．当时， 2．在直角坐标平面内，一次函数的图像如图所示，那么下列说法正确的是（   ） A．当时， B．方程的解是 C．当时， D．不等式的解集是 3．如图，已知一次函数（k，b是常数，且）的图象与x轴、y轴分别交于点和，下列结论正确的是（    ） A．关于x的方程的解为 B．关于x的方程的解为 C．关于x的不等式的解集为 D．关于x的不等式的解集为 4．已知函数的图象如图，根据图象，下列结论正确的是（   ） A．点A的坐标为 B．直线的解析式为 C．不等式的解集为 D．当时，y随x的增大而减小 题型三 利用两条直线的交点求不等式的解集 1．如图，一次函数的图像经过点和点，正比例函数的图像经过点，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．如图，直线交轴于点，直线y=mx+n交x轴于点，这两条直线相交于点，则不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 3．如图，一次函数为常数，且与正比例函数为常数，且的图象交于点，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 4．一次函数（，为常数，且）和一次函数（，为常数，且）在同一坐标系中的图象如图所示，若这两个函数的交点C的坐标为，则关于x的不等式的解集是______． 题型一 根据两直线相交逐一判断序号的对错 1．已知一次函数和的图象如图所示，有下列结论： ①； ②； ③，是直线上不重合的两点，则； ④． 其中正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，已知一次函数与图象的交点坐标为，现有下列四个结论：①；；②方程的解是；③；④若，则；其中正确的结论是 _______ （填写序号）． 3．如图，已知一次函数与图象的交点坐标为现有下列四个结论：①；②；③方程的解是；④若，则其中正确的结论是_______________．(填写序号） 4．如图，正比例函数与一次函数的图象交于点．下面四个结论： ①； ②； ③不等式的解集是； ④当时，． 其中正确的是________．    题型二 两直线相交与不等式解决实际问题 1．如图所示的是甲、乙两个探测气球所在位置的海拔（单位：）关于上升时间（单位：）的函数图象．下列结论：①当时，两个探测气球位于同一高度；②当时，；③当时，甲气球位置高．其中正确的有（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 2．小明准备购买迎新春贺卡送给同学，他可以在甲、乙两个商店买到同款贺卡，两个商店的标价均为每张5元．其中甲商店的优惠条件是：从第1张开始就按标价的八五折销售；乙商店的优惠条件是：购买10张以上，从第11张开始按标价的七折销售．设小明购买贺卡的数量为张（为正整数），在甲商店购买的总费用为元，在乙商店购买的总费用为元． (1)求与之间的函数关系式，以及当时与之间的函数关系式； (2)若小明购买的贺卡数量大于10张，选择哪一家商店更划算？ 3．甲、乙两家超市举行为期一个月的感恩回馈客户活动，活动期间，两家超市将对销售的同品种同价格的耙耙柑推出优惠方案．甲超市的优惠方案：顾客可以先办理会员卡，购买的耙耙柑六折优惠；乙超市的优惠方案：顾客购买的耙耙柑超过一定数量后，超过部分打折优惠．活动期间，某顾客购买耙耙柑的质量为x千克，在甲超市所需总费用为元，在乙超市所需总费用为元，，与x之间的函数关系的图象如图所示，折线表示与x之间的函数关系图象． (1)甲超市办理会员卡的费用是______元，两家超市优惠前的耙耙柑的单价是______元． (2)当时，求关于x的函数解析式． (3)当顾客在活动期间一次性购买m千克耙耙柑时，该怎样选择花费较少？ 4．春节期间，某移动公司推出三种手机流量套餐的优惠方案，具体如下表所示： 每月基本费用（元） 每月免费使用流量（） 超出流量每收费（元） 套餐 20 10 套餐 56 30 套餐 188 无限 其中，，，三种套餐每月所需的费用、、（元）与每月使用的流量之间的函数关系如图所示． (1)写出表中的值_________； (2)在套餐中，若每月使用的流量不少于，直接写出每月所需的费用（元）与每月使用的流量之间的函数表达式___________； (3)如果从节省费用的角度考虑，根据图象与表达式可知：当且时，每月使用的流量的取值范围是__________． 题型三 两直线与坐标轴相交问题 1．如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点，与轴相交于点C． (1)求直线的解析式； (2)根据图象，写出关于的不等式的解集； (3)求的面积． 2．如图，已知直线（和是常数且）经过点，，直线（是常数）与直线相交于点，与轴交于点，点的横坐标为-3． (1)当时，直接写出的取值范围为_______； (2)求直线的表达式和的值； (3)若点在直线上，且，求点的坐标． 3．如图，已知函数的图象与x轴交于点A，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点B，C，且与的图象交于点． (1)求m，b的值； (2)若，求x的取值范围； (3)求四边形的面积． 4．如图，直线与直线相交于点． (1)求a的值． (2)直线与直线与x轴分别相交于A、B两点，求的面积． (3)直接写出关于x的不等式的解集． 1．在平面直角坐标系中，一次函数和 ，无论 取何值，始终有 ，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．已知直线：与直线：都经过，直线交轴于点，交轴于点，直线交轴于点，为轴上任意一点，连接、，有以下说法：①方程组的解为；②为直角三角形；③；④当的值最小时，点的坐标为．其中正确的说法个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．我们规定：a、b两个数中最小的数记作，例如，则函数的最大值是_________． 4．一次函数与的图象如图所示，下列结论中正确的是___________．（填写序号） ①对于函数来说，随的增大而增大；②函数的图象不经过第一象限； ③；④． 5．大山开车从A地出发前往B地，同时小李从B地出发前往A地，出发一段时间后，小李将车速提高为原来的2倍，如图，图象分别表示两人与A地的距离和行驶时间之间的函数关系． (1)求小李提速后与A地的距离和行驶时间之间的函数表达式； (2)何时大山与B地的距离大于小李与B地的距离？ 6．如图1，正方形的边长为4，动点从点出发，沿路线向点运动，设点的运动路程是．点是射线上一动点，且，当点到达终点时，点停止运动，连接，．记的面积为，的面积为． (1)请分别写出，关于的函数解析式，并注明的取值范围； (2)在图2中画出，关于的函数图象；并结合函数图象，直接写出时，的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $