1.2 菱形的性质与判定 第2课时 课件 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦菱形的判定，通过动手操作让学生将平行四边形剪成菱形，结合测量、折叠及视频演示，依据“一组邻边相等”建立平行四边形与菱形的联系，搭建学习支架。 其亮点是注重探究式学习，引导学生猜想“四边相等的四边形是菱形”并完成证明，培养推理能力，通过尺规作图和例题规范几何语言。课堂小结结构化呈现判定方法，助力学生发展几何直观与创新意识，为教师提供系统教学资源和多样化练习设计。

1.2 菱形的性质与判定 北师版九年级上册 第一章 特殊平行四边形 第2课时 菱形的判定 1 复习导入 动手操作，两人一组，将课前准备好的平行四边形剪成菱形。 说一说，你这么操作的依据是什么？ 2 测量 折叠 重合 平行四边形 一组邻边相等 菱形 【单击图片播放视频】 几何语言： 菱形的判定方法 ∵四边形 ABCD 是平行四边形， AB = BC ∴四边形 ABCD 是菱形 有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 A B D C 根据菱形的定义，有一组邻边相等的平行四边形是菱形。除此之外，你认为还有什么条件可以判断一个平行四边形是菱形？先想一想，再与同伴交流。 探究新知 (1)由菱形的性质定理可知，如果一个四边形是菱形，那么它的四条边相等。反过来，四条边相等的四边形一定是菱形吗？为什么？与同伴进行交流。 猜想：四边相等的四边形是菱形 思考·交流 已知：如图，在四边形 ABCD 中，AB = BC = CD = DA， 求证：四边形 ABCD 是菱形。 证明：∵AB = CD，BC = DA， ∴四边形 ABCD 是平行四边形， 又∵AB = BC， ∴四边形 ABCD 是菱形。 A B D C 定理 四边相等的四边形是菱形. ∵四边形 ABCD 是平行四边形， AB = BC = CD = DA， ∴四边形 ABCD是菱形。 几何语言： 逆命题：如果一个四边形是平行四边形，它的对角线互相垂直，那么这个平行四边形是菱形。 (2)菱形的对角线具有怎样的性质？写出它的逆命题，这个逆命题成立吗？为什么？与同伴进行交流。 思考·交流 A B C D 性质：菱形的对角线互相垂直 猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 已知：如图，在□ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点 O，AC⊥BD。 求证：□ABCD 是菱形 证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴OA = OC。 又∵AC⊥BD， ∴BD是线段 AC 的垂直平分线。 ∴BA = BC。 ∴四边形 ABCD 是菱形(菱形定义)。 定理 对角线互相垂直的平行四边形是菱形. ∵四边形 ABCD 是平行四边形， AC⊥BD， ∴四边形 ABCD是菱形。 几何语言： (1)如图，已知线段 a，请用尺规作菱形 ABCD，使它的对角线 AC = a。 如图，利用尺规作出线段AC = a，分别以 A，C 为圆心，以大于 AC 为半径作弧，两弧交于 B、D，依次连接 A，B，C，D。 尝试·交流 a (2)满足(1)中条件的菱形唯一吗？如果不唯一，那么你认为添加怎样的条件，就可以使作出的菱形是唯一的？与同伴进行交流。 尝试·交流 答： 不唯一。 因为在垂直平分线上取点 B、D 时，只要 OB = OD，无论 OB 取多长，都能构成菱形，所以这样的菱形有无数个。 给定另一条对角线的长度 给定菱形的边长 给定菱形的一个内角 例2 已知：如图，在□ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，AB = ，OA=2，OB=1。 求证：□ABCD 是菱形。 证明：在△AOB 中， ∵AB = ，OA=2，OB=1， ∴AB2 = AO2 + OB2。 ∴△AOB 是直角三角形，∠AOB 是直角。 ∴AC⊥BD。 ∴□ABCD 是菱形（对角线垂直的平行四边形是菱形）。 课堂小结 四边形 四边相等 菱形 平行四边形 对角线互相垂直 有一组邻边相等 菱形 菱形 1. 如图,把等腰三角形ABC沿底边BC翻折,得到△DBC,那么四边形ABDC(　C　) A. 是中心对称图形,不是轴对称图形 B. 是轴对称图形,不是中心对称图形 C. 既是中心对称图形,又是轴对称图形 D. 既不是轴对称图形,也不是中心对称图形 C —— 课堂练习 —— 2. 新考向 探究题 如图,在∠AOB中,以点O为圆心,任意长为半径作弧,交射线OA于点C,交射线OB于点D,再分别以点C,D为圆心,OC的长为半径作弧,两弧在∠AOB的内部交于点E,作射线OE,连接CE,DE. 四边形OCED的形状为 　菱形　.若OC＝10,OE＝16,则C,D两点之间的距离为 　12　. 菱形　 12　 解:∵ AB＝AC,AD是边BC上的中线, ∴ AD垂直平分BC,BD＝CD. ∴ BE＝CE,BF＝CF. ∵ CF∥BE,∴ ∠BED＝∠CFD,∠EBD＝∠FCD. ∵ BD＝CD,∴ △EBD≌△FCD. ∴ BE＝CF. ∴ BE＝BF＝CF＝CE. ∴ 四边形BECF是菱形 3. 如图,在△ABC中,AB＝AC,AD是边BC上的中线,点E在DA的延长线上,连接BE,过点C作CF∥BE,交AD的延长线于点F,连接BF,CE. 求证:四边形BECF是菱形. (第3题) 4. 下列平行四边形中,不能判定是菱形的为(　C　) C 5. (易错题)如图,在四边形ABCD中,AD＝BC,AC⊥BD于点O. 有下列条件:① AB∥CD;② AB⊥BC;③ AD∥BC;④ ∠ABC＝∠ADC. 添加一个条件使四边形ABCD成为菱形,则可以是(　C　) A. ① B. ② C. ③ D. ④ C 6. [2025龙东地区]如图,在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,请添加一个条件: 　答案不唯一,如AC⊥BD　,使▱ABCD为菱形. 答案不唯一,如AC⊥BD　 解:(1) ∵ 四边形ABCD是平行四边形, ∴ AD＝CB,AD∥CB. ∴ ∠ADE＝∠CBF. 在△ADE和 △CBF中, ∴ △ADE≌△CBF. ∴ ∠1＝∠2 (第7题) 7. 教材变式题 如图,在▱ABCD中,E,F是对角线BD上的点,且DE＝BF,连接AE,CF. (1) 求证:∠1＝∠2. (2) 连接CE,AF. 请添加一个与线段有关的条件,使四边形AECF是菱形,并说明理由. 解:(2) 答案不唯一,如当AD＝CD时,四边形AECF是菱形　理由: 连接AC. ∵ 四边形ABCD是平行四边形,且AD＝CD, ∴ 四边形ABCD是菱形. ∴ AC⊥BD. 由(1),得△ADE≌△CBF, ∴ AE＝CF,∠1＝∠2. ∴ 180°－∠1＝180°－∠2,即∠AEF＝∠CFE. ∴ AE∥CF. ∴ 四边形AECF是平行四边形.∵ AC⊥BD,即AC⊥EF,∴ 四边形AECF是菱形. (第7题) 8. 如图,在△ABC中,D是BC的中点,点E,F分别在线段AD及其延长线上,且DE＝DF. 添加下列条件能使四边形BECF为菱形的是(　D　) A. BE⊥CE B. BF∥CE C. BE＝CF D. AB＝AC D 9. 如图,在▱ABCD中,AC与BD交于点O,E是边AB上的中点,连接OE,OE＝2.5,AC＝8,BD＝6.有下列结论:① △ABD是等边三角形; ② ▱ABCD的周长是20;③ ▱ABCD的边BC上的高是4.8;④ ▱ABCD是菱形;⑤ ▱ABCD的面积是48.其中,正确的是 　②③④　(填序号). ②③④　 10. 如图,在▱ABCD和▱BFDE中,∠A＝∠F,AD与BE交于点M,BC与DF交于点N. (1) 求证:四边形BNDM是平行四边形. 解:(1) ∵ 四边形ABCD和四边形BFDE都是平行四边形,∴ BC∥AD,BE∥DF. ∴ 四边形BNDM是平行四边形 (第10题) (2) 当AB与BF满足什么数量关系时,四边形BNDM是菱形?请说明理由. 解:(2) 当AB＝BF时,四边形BNDM是菱形　理由: ∵ 易得∠A＋∠ABC＝180°,∠EBF＋∠F＝180°, ∠A＝∠F, ∴ ∠ABC＝∠EBF. ∴ ∠ABC－∠EBC＝∠EBF－∠EBC, 即∠ABM＝∠FBN. 在△ABM和△FBN中,∠ABM＝∠FBN,AB＝FB,∠A＝∠F, ∴ △ABM≌△FBN. ∴ BM＝BN. 又∵ 四边形BNDM是平行四边形, ∴ 四边形BNDM是菱形. (第10题) 解:(1) ∵ 点B,D关于对角线AC所在直线对称, ∴ BD⊥AC,BO＝DO. ∵ AB∥CD,∴ ∠ABO＝ ∠CDO. 在△ABO和△CDO中, ∴ △ABO≌△CDO. ∴ AB＝CD.又∵ AB∥CD, ∴ 四边形ABCD是平行四边形.又∵ BD⊥AC,∴ 四边形ABCD是菱形 (第11题) 11. [2025大庆]如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,对角线AC与BD相交于点O,点B,D关于对角线AC所在直线对称. (1) 求证:四边形ABCD是菱形. (2) 过点D作BC的垂线,交BC的延长线于点E. 若CE＝3,AD＝5,求线段OC的长. 解:(2) 由(1)得,四边形ABCD是菱形, ∴ OC＝OA＝ AC,AD＝BC＝CD＝5. ∴ BE＝BC＋CE＝5＋3＝8. ∵ DE⊥BC,∴ ∠DEB＝90°. 在Rt△CED中,由勾股定理, 得DE＝ ＝ ＝4; 在Rt△BED中,由勾股定理,得BD＝ ＝ ＝4 . ∵ S菱形ABCD＝DE·BC,S菱形ABCD＝ AC·BD＝OC·BD, ∴ DE·BC＝OC·BD. ∴ OC＝ ＝ ＝ (第11题) 12. 如图,在等腰三角形ABC中,AB＝AC,AD是∠BAC的平分线,P是AD上任意一点,过点P作EF∥AB,分别交BC,AC于点E,F,作PM∥AC,交AB于点M,连接MF. (1) 求证:四边形PFAM为菱形. 解:(1) ∵ EF∥AB,PM∥AC, ∴ 四边形PFAM为平行四边形. ∵ AD是∠BAC的平分线,∴ ∠CAD＝∠BAD. ∵ EF∥AB,∴ ∠BAD＝∠FPA. ∴ ∠CAD＝∠FPA. ∴ FA＝FP. ∴ 四边形PFAM为菱形 (第12题) 解:(2) AP＝ AD　过点F作FH⊥BC于点H. 设MF与AD交于点G. 由(1),知四边形PFAM为菱形, ∴ AD⊥MF,AP＝2GP. ∵ AB＝AC,AD是∠BAC的平分线, ∴ AD⊥BC. ∴ MF∥BC. 又∵ EF∥AB,∴ 四边形BEFM为平行四边形. ∴ S四边形PFAM＝ MF·AP＝MF·GP,S四边形BEFM＝MF·FH. 当S四边形PFAM＝ S四边形BEFM时,GP＝ FH. ∵ 易得GD＝FH,∴ GP＝ GD. ∴ AG＝GP＝PD. ∴ AP＝ AD (第12题) (2) 当四边形PFAM的面积为四边形BEFM面积的一半时,AP与AD满足什么数量关系?请证明你的结论. EVCapture4.0.2软件录制 Lavf56.38.102 本视频由湖南一唯信息科技开发的EV录屏软件录制，www.ieway.cn EVCapture4.0.2软件录制 Lavf56.38.102 本视频由湖南一唯信息科技开发的EV录屏软件录制，www.ieway.cn EVCapture4.0.2软件录制 Lavf56.38.102 本视频由湖南一唯信息科技开发的EV录屏软件录制，www.ieway.cn $