1.3.2矩形的判定-课件-2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦矩形的判定，核心知识点为定义法、三个直角的四边形、对角线相等的平行四边形三种判定方法。通过类比菱形定义、性质定理逆命题猜想、平行四边形活动框架验证等方式导入，构建从性质到判定的知识支架，衔接平行四边形相关内容。 其亮点在于融合几何直观、推理能力与应用意识，如通过活动框架观察对角线变化培养几何直观，证明题分步推导（如用SSS证全等得直角）强化推理能力，随堂练习结合图形计算（如菱形中求OE长度）提升应用意识。助力学生深化判定定理理解，为教师提供系统练习设计与清晰教学流程，提升教学效率。

北师大版数学九年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 7年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月14日 1.3.2矩形的判定 第一章 特殊平行四边形 北师大版九年级上册1.3.2 矩形的判定 练习题 1.3.2 矩形的判定 同步练习题 知识点核心：矩形三种常用判定方法。1. 定义法：有一个角是直角的平行四边形是矩形；2. 角判定：有三个角是直角的四边形是矩形；3. 对角线判定：对角线相等的平行四边形是矩形。易错点：对角线相等的四边形不一定是矩形，必须先满足是平行四边形。 一、选择题（每题4分，共24分） 1. 下列条件中，能判定平行四边形为矩形的是（） A. 对边相等 B. 对角线相等 C. 对角线互相垂直 D. 邻边相等 2. 有三个角是直角的四边形是（） A. 平行四边形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形 3. 下列说法正确的是（） A. 有一个角是直角的四边形是矩形 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形 D. 邻角相等的四边形是矩形 4. 平行四边形ABCD中，添加哪个条件可变为矩形（） A. AB=BC B. AC⊥BD C. ∠ABC=90° D. AB∥CD 5. 四边形ABCD的对角线互相平分，若要判定为矩形，需添加（） A. AC=BD B. AC⊥BD C. AB=AC D. ∠BAC=90° 6. 下列图形一定是矩形的是（） A. 对角相等的四边形 B. 有两个直角的四边形 C. 四个角都相等的四边形 D. 对角线互相垂直的四边形 二、填空题（每题4分，共20分） 1. 有一个角是______的平行四边形是矩形。 2. 有______个角是直角的四边形是矩形。 3. 对角线______的平行四边形是矩形。 4. 对角线互相平分且______的四边形是矩形。 5. 平行四边形中，若一组邻角相等，则该平行四边形是______。 三、解答证明与计算题（共56分） 1. （12分）已知：在平行四边形ABCD中，∠A=90°。求证：四边形ABCD是矩形。 2. （14分）已知：四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°。求证：四边形ABCD是矩形。 3. （14分）如图，平行四边形ABCD中，AC=BD。求证：平行四边形ABCD是矩形。 4. （16分）已知：平行四边形ABCD，四个内角的角平分线相交形成四边形EFGH。求证：四边形EFGH是矩形。 四、拓展应用题（附加10分） 已知四边形ABCD对角线AC、BD互相平分，且AC=10cm，BD=10cm，求证：四边形ABCD是矩形。 参考答案 一、选择题 1.B 2.C 3.C 4.C 5.A 6.C 二、填空题 1.直角 2.三 3.相等 4.相等 5.矩形 三、解答题详细解析 1. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，∠B=∠D，邻角互补。∵∠A=90°，∴∠C=90°，∠B=∠D=90°，四个角均为直角，∴平行四边形ABCD为矩形。 2. 证明：∵∠A=∠B=∠C=90°，∴∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°，可得AD∥BC，AB∥CD，四边形ABCD是平行四边形。又∵有一个角为直角，∴该四边形是矩形。 3. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD。又AC=BD，BC为公共边，∴△ABC≌△DCB（SSS），∴∠ABC=∠DCB。∵AB∥CD，∴∠ABC+∠DCB=180°，得∠ABC=90°，∴平行四边形ABCD是矩形。 4. 证明：平行四边形邻角互补，内角和为180°，角平分线分得的两个角相加为90°，即四边形EFGH的内角均为90°，有三个直角的四边形为矩形，故EFGH为矩形。 拓展应用题答案 证明：∵对角线AC、BD互相平分，∴四边形ABCD是平行四边形。又∵AC=BD，对角线相等的平行四边形是矩形，∴四边形ABCD是矩形。 课时知识点总结 矩形判定分两类思路：优先判定四边形为平行四边形，再证明一个直角或对角线相等，即可判定矩形；若为普通四边形，只需证明三个内角为直角即可。做题务必看清题干前提，规避“对角线相等直接判定矩形”的典型错误，严格遵循判定定理步骤解题。 类比菱形，矩形的定义也是判定矩形的一种方法。 知识点 矩形的判定 除此之外，你认为还有什么条件可以判断一个平行四边形是矩形? A B C D 矩形的判定： 有一个角是直角的平行四边形是矩形。 几何语言： ∵四边形ABCD是平行四边形，∠B=90°， ∴四边形ABCD是矩形。 知识点 矩形的判定 问题1 你能写出矩形性质定理的逆命题吗? 矩形性质定理：矩形的四个角都是直角。 逆命题：四个角是直角的四边形是矩形。 矩形性质定理：矩形的对角线相等。 逆命题：对角线相等的平行四边形是矩形。 它们都是真命题吗? 知识点 矩形的判定 A B D C (有一个角是直角) A B D C (有二个角是直角) A B D C (有三个角是直角) 猜想：有三个角是直角的四边形是矩形。 验证猜想：有三个角是直角的四边形是矩形。 已知：如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°。 求证：四边形ABCD是矩形。 知识点 矩形的判定 A B C D 证明：∵ ∠A=∠B=∠C=90°， ∴∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°， ∴AD∥BC，AB∥CD。 ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵ ∠A=90°， ∴四边形ABCD是矩形（矩形的定义）。 矩形的判定定理1: 有三个角是直角的四边形是矩形。 几何语言： 在四边形ABCD中，∵∠A=∠B=∠C=90°， ∴ 四边形ABCD是矩形。 知识点 矩形的判定 ∠A=∠B=∠C=90° A B C D 矩形ABCD 四边形ABCD A B C D 知识点 矩形的判定 问题1 你能写出矩形性质定理的逆命题吗? 矩形性质定理：矩形的四个角都是直角。 逆命题：四个角是直角的四边形是矩形。 矩形性质定理：矩形的对角线相等。 逆命题：对角线相等的平行四边形是矩形。 它们都是真命题吗? 下图是一个平行四边形活动框架，拉动一对不相邻的顶点时，平行四边形的形状会发生变化。 (1)随着∠α的变化，两条对角线的长度将发生怎样的变化? 知识点 矩形的判定 当∠α 逐渐增大时，其中一条对角线逐渐变长，另一条对角线逐渐变短。 α α 下图是一个平行四边形活动框架，拉动一对不相邻的顶点时，平行四边形的形状会发生变化. (2)当两条对角线的长度相等时，平行四边形有什么特征?由此你能得到一个怎样的猜想? 知识点 矩形的判定 当两条对角线长度相等时，平行四边形的四个角都变成直角。 猜想：对角线相等的平行四边形是矩形。 验证猜想：对角线相等的平行四边形是矩形. 已知：在□ABCD中，AC，DB是两条对角线，AC=DB。 求证：□ABCD是矩形。 知识点 矩形的判定 知识点 矩形的判定 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB = DC，AB∥DC。 又∵BC = CB，AC = DB， ∴ △ABC≌△DCB 。 ∴∠ABC = ∠DCB。 ∵AB∥DC， ∴∠ABC + ∠DCB = 180°。 ∴ ∠ABC =∠DCB = × 180°= 90°。 ∴ □ ABCD是矩形（矩形的定义）。 矩形的判定定理2: 对角线相等的平行四边形是矩形。 几何语言：∵在□ABCD中，AC=BD， ∴ □ABCD是矩形。 知识点 矩形的判定 AC=BD A B D C 矩形ABCD A B C D □ABCD 如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，△ABO是等边三角形，AB = 4，求□ABCD的面积。 例1 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC，OB=OD。 又∵△ABO是等边三角形， ∴OA=OB=AB=4。 ∴OA=OB=OC=OD=4。 ∴AC=BD=2OA=2×4=8。 ∴□ABCD是矩形（对角线相等的 平行四边形是矩形）。 知识点 矩形的判定 ∴∠ABC=90°（矩形的四个角是直角）。 在Rt△ABC中，由勾股定理，得 ， ∴BC=。 ∴□ABCD的面积=AB·BC=4×=16 矩形的判定： 有三个角是 . 对角线 . 有一个角是 . A B C D □ABCD 四边形ABCD A B C D 直角 直角 相等 A B C D ∟ 矩形ABCD A B D C 矩形ABCD A B C D 矩形ABCD 知识点 矩形的判定 1. 如图，要使▱ABCD成为矩形，需添加的条件是 (　C　) A. AB＝BC B. AC⊥BD C. ∠ABC＝90° D. ∠1＝∠2 C 随堂练习 2. 判断(对的打“√”，错的打“×”)： (1)内角都相等的四边形是矩形. ⁠ (2)对角线相等的四边形是矩形. ⁠ (3)对角线互相平分且相等的四边形是矩形. ⁠ (4)一组邻角相等的平行四边形是矩形. ⁠ (5)对角互补的平行四边形是矩形. ⁠ √　 ×　 √　 √　 √　 随堂练习 3. 如图，点O是菱形ABCD对角线的交点， DE∥AC，CE∥BD，连接OE. 若AC＝12，BD ＝16，则OE的长为 ⁠. 10　 随堂练习 4. 如图，已知BA＝AE＝DC，AD＝EC， CE⊥AE，垂足为E. (1)求证：△DCA≌△EAC； (1)证明：在△DCA和△EAC中， ∴△DCA≌△EAC(SSS). (1)证明：在△DCA和△EAC中， ∴△DCA≌△EAC(SSS). (2)只需添加一个条件，即 ， 可使四边形ABCD为矩形.请说明理由. AD＝BC　 随堂练习 (2)解：理由如下：∵AB＝DC，AD ＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边 形.∵CE⊥AE， ∴∠E＝90°. ∵△DCA≌△EAC，∴∠D＝∠E＝ 90°. ∴四边形ABCD为矩形(答案不唯一). (2)解：理由如下：∵AB＝DC，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形. ∵CE⊥AE， ∴∠E＝90°. ∵△DCA≌△EAC， ∴∠D＝∠E＝90°. ∴四边形ABCD为矩形(答案不唯一). 随堂练习 5. 如图，▱ABCD中，P是AB边上的一点(不与点 A，B重合)，CP＝CD，过点P作PQ⊥CP，交 AD于点Q，连接CQ. (1)若CQ平分∠DCP，求证：四边形ABCD是矩 形； (1)证明：∵PQ⊥CP， ∴∠CPQ＝90°. ∵CQ平分∠DCP， ∴∠DCQ＝∠PCQ. 随堂练习 又∵CD＝CP，CQ＝CQ， ∴△DCQ≌△PCQ(SAS). ∴∠D＝∠QPC＝90°. 又∵四边形ABCD是平行四边形， ∴四边形ABCD是矩形. 随堂练习 (2)在(1)的条件下，当AP＝2，CB＝4时，求CD 的长. (2)解：∵CP＝CD， ∴设CP＝CD＝x，则PB＝x－2. 在Rt△BCP中，BP2＋BC2＝CP2， ∴(x－2)2＋42＝x2.∴x＝5.∴CD＝5. (2)解：∵CP＝CD， ∴设CP＝CD＝x，则PB＝x－2. 在Rt△BCP中，BP2＋BC2＝CP2， ∴(x－2)2＋42＝x2.∴x＝5.∴CD＝5. 5. 如图，▱ABCD中，P是AB边上的一点(不与点 A，B重合)，CP＝CD，过点P作PQ⊥CP，交 AD于点Q，连接CQ. 随堂练习 知识点1 有一个角是直角的平行四边形是矩形 1.如图，要使 成为矩形，需添加的条件可 以是( ) C A. B. C. D. 返回 中考考法 23 2.[教材P14随堂练习T1变式] 如图，在四边形 中， ，是边的中点， 。求证：四边形 是矩形。 中考考法 24 证明：是边 的中点， ， 在和 中， ， 。 ， 中考考法 25 , ， 四边形 是平行四边形， 又 ， 四边形 是矩形。 返回 中考考法 知识点2 有三个角是直角的四边形是矩形 3.在数学活动课上，老师让同学们判断一个由四根木条组成的四边形是 否为矩形，下面是一个学习小组拟定的方案，其中正确的方案是( ) A A.测量四边形的三个角是否为直角 B.测量四边形的两组对边是否分别相等 C.测量四边形的对角线是否互相平分 D.测量四边形的其中一组邻边是否相等 返回 中考考法 27 4.[成都模拟] 如图，点是射线 上的一点， ,平分交于点， 平分 ,于点 。 求证：四边形 是矩形。 中考考法 28 证明：平分,平分 ， , 。 , , ，即 。 ,平分 , ， 。 , , 四边形 是矩形。 返回 中考考法 29 知识点3 对角线相等的平行四边形是矩形 5.如图，在中，对角线，相交于点。若 ，则当 的长为___时， 为矩形。 3 （第5题） 返回 中考考法 30 矩形的判定 定义法 角：有三个角是直角的四边形是矩形 有一个角是直角的平行四边形是矩形 对角线：对角线相等的平行四边形是矩形 定理 课堂小结 $