精品解析：福建莆田市荔城区黄石镇沙堤初级中学2025-2026学年九年级下学期第二次数学阶段学情自测

2025-2026学年沙堤中学九年级（下）第二次月考 一、单选题 1. 下面的图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； B、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故不符合题意； C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意； D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意． 2. 下列事件中，属于必然事件的是（　　） A. 任意买一张电影票，座位号是奇数 B. 太阳东升西落 C. 明天是晴天 D. 过马路时恰好遇到红灯 【答案】B 【解析】 【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念判断即可． 【详解】任意买一张电影票，座位号是奇数，是随机事件，故A不符合题意； 太阳东升西落，是必然事件，故B符合题意； 明天是晴天，是随机事件，故C不符合题意； 过马路时恰好遇到红灯是随机事件，故D不符合题意． 故选B． 【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 3. 平面直角坐标系中，点P（2，-3）关于原点对称的点的坐标是（　　） A. (2, 3) B. (2, -3) C. (-2,3） D. (-2, -3) 【答案】C 【解析】 【分析】根据“平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（-x，-y）详解． 【详解】解：根据中心对称的性质，得点P（2，-3）关于原点对称的点的坐标是（-2，3）． 故选C． 【点睛】关于原点对称的点坐标的关系，是需要识记的基本问题．记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆． 4. 一元二次方程的常数项是（ ） A. B. 1 C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式：（a、b、c是常数且），特别要注意的条件．在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中a、b、c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．据此作答即可． 【详解】解：一元二次方程化为一般形式为， 则常数项是， 故选：D． 5. 若，相似比为，的周长为10，则的周长是（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，解题的关键在于熟知相似三角形的周长之比等于相似比． 【详解】解：∵，相似比为， ∴的周长与的周长之比为， ∵的周长为10， ∴的周长是20， 故选D． 6. 如图，绕点逆时针旋转到的位置，已知，则等于（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题旋转中心为点O，旋转方向为逆时针，观察对应点与旋转中心的连线的夹角∠BOD即为旋转角，利用角的和差关系求解． 【详解】解：根据旋转的性质可知，D和B为对应点，∠DOB为旋转角， 即∠DOB=80°， 所以∠AOD=∠DOB-∠AOB=80°-45°=35°． 故选：D． 【点睛】本题考查旋转两相等的性质：即对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等． 7. 将长方形绕着它的一边旋转一周得到的立体图形是（　　） A. 正方体 B. 长方体 C. 棱柱 D. 圆柱 【答案】D 【解析】 【分析】本题是一个矩形绕着它的一边旋转一周，根据面动成体的原理即可解. 【详解】解：以矩形的一边所在直线为旋转轴，形成的旋转体叫做圆柱体． 故选：D． 【点睛】本题的考点是点、线、面、体；方法：一般来说，本节的内容只有圆柱，圆锥，球，圆柱是由长方形或正方形沿着一边旋转一周而成，圆锥是由直角三角形沿着一条直角边为旋转轴形成，球是由半圆沿着直径为旋转轴形成. 8. 进入12月份来，甲型流感频发．某校有1名学生感染了甲型流感病毒，经过两轮传染后，一共有81人感染了此病毒．设每轮传染中一人可以传染x个人，则所列方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据设每轮传染中一人可以传染x个人，可得出在第一轮及第二轮传染中的感染人数，结合“经过两轮传染，共有81名感染者”，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设每轮传染中一人可以传染x个人， 第一轮传染中有x人被感染，第二轮传染中有人被感染． 根据题意得：． 故选：A． 9. 根据下面表格中的对应值判断关于x的方程的一个解x的范围是（　　） x A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解，解题的关键是根据表中数据得到时，；时，，则取2.24到2.25之间的某一个数时，使，于是可判断关于的方程的一个解的范围是． 【详解】解：时，；时，， 关于的方程的一个解的范围是． 故选：B． 10. 如图,在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，则的值是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】延长到点D，连接，由网格可得即，即可求出答案． 【详解】解：延长到点D，连接，如图： ，， ， ， 故选A． 【点睛】本题考查网格中的锐角三角函数、解题的关键是作辅助线，构造直角三角形． 二、填空题 11. 若，则锐角________． 【答案】 60 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数，直接利用特殊角的三角函数值求出答案即可． 【详解】解：∵，且A是锐角， ∴． 故答案为：60． 12. 如图，在中，，则的度数为______． 【答案】##90度 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，根据圆周角定理直接计算即可，掌握圆周角定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 13. 若二次函数y＝2（x﹣1）2＋1的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到函数的解析式为_____． 【答案】y＝2（x＋1）2﹣1 【解析】 【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答． 【详解】解：将抛物线y＝2（x﹣1）2＋1向左平移2个单位，再向下平移2个单位得到y＝2（x﹣1＋2）2＋1﹣2．故得到抛物线的解析式为y＝2（x＋1）2﹣1． 故答案为：y＝2（x＋1）2﹣1． 【点睛】本题考查二次函数平行问题，熟记口诀是解题的关键． 14. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小兰购买了六张“二十四节气”主题邮票，其中“立春”“雨水”和“惊蛰”各两张，每张邮票形状、大小都相同．将它们背面朝上放置，从中随机抽取一张，恰好抽到“立春”的概率是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查概率的计算，掌握概率计算公式是解题的关键． 根据题意，共有6种等可能的结果，其中恰好抽到“立春”结果有2种，由概率公式计算即可． 【详解】解：由题意知，共有6种等可能的结果，其中恰好抽到“立春”结果有2种， ∴从中随机抽取一张，恰好抽到“立春”的概率是． 故答案为：． 15. 从某小麦新品种的种子中抽取6批，在相同条件下进行发芽实验，数据统计如表： 种子粒数 100 400 800 1000 2000 5000 发芽种子粒数 95 358 744 893 1804 4505 发芽频率 0.950 0.895 0.930 0.893 0.902 0.901 据此可知，该种子发芽的概率为 _____（精确到0.1）． 【答案】 【解析】 【分析】仔细观察表格，发现大量重复试验发芽的频率逐渐稳定在0.9左右，从而得到结论． 【详解】解：∵观察表格，发现大量重复试验发芽的频率逐渐稳定在0.9左右， ∴该小麦种子发芽的概率为0.9， 故答案为：0.9． 【点睛】考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比． 16. 一个圆锥的底面半径是，母线长是，则圆锥侧面积展开图的扇形圆心角是____________． 【答案】##180度 【解析】 【分析】本题考查了圆锥侧面展开图，根据题意利用公式(其中C为底面周长，l为母线长，r为底面半径，n为侧面展开图的圆心角)，代入计算即可． 【详解】设其中底面周长为C，母线长为l，底面半径为r，侧面展开图的圆心角为， 根据题意，得， ， 解得， 故答案为：． 三、解答题 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式 ． 18. 已知抛物线y=ax2+bx-1的图象经过点（-1，2），其对称轴为x=-1．求抛物线的解析式． 【答案】y=-3x2-6x-1． 【解析】 【分析】利用待定系数法求出抛物线的解析式． 【详解】由题意得，， 解得：， 则抛物线的解析式为y=-3x2-6x-1． 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数的性质，待定系数法求解析式的一般步骤是解题的关键． 19. 如图，，是的切线，A，B为切点，是⊙O的直径，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据切线的性质和切线长定理得到，，然后根据直角三角形的性质得到，最后根据三角形内角和定理得到． 【详解】解：∵，是的切线，A，B为切点， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了切线的性质和切线长定理，三角形内角和定理，等腰三角形性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 20. 如图，是的边上的一点，连接，已知． （1）求证： （2）若，，求线段的长 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】利用相似三角形的判定定理证明，再根据相似三角形对应边成比例进行计算即可． 【小问1详解】 ，， ； 【小问2详解】 ， ， 得， 解得， ， 即． 【点睛】本题考查基础的相似三角形判定及性质，利用两个对应角相等进行三角形相似的判定是最常考的类型． 21. 有四张正面标有数字，，，，背面完全相同助卡片，将它们正面朝下洗匀放在桌面上，小英先从中随机抽取一张记下数字为，小兰再从剩余的卡片中随机抽取一张记下数字为． （1）请用列表或画树状图的方法表示出所有可能的结果； （2）规定：若点在第一象限或第三象限，则小英获胜；若点在第二象限或第四象限，则小兰获胜．请分别求出小英和小兰获胜的概率． 【答案】（1）共有种等可能的情况数 （2）小兰获胜的概率是 【解析】 【分析】(1)直接根据题意画出树状图即可； (2)根据画出的树状图，找出点在第一象限或第三象限可能情况数及点在第二象限或第四象限的可能情况数，分别与共有的可能数相比即可求解． 【小问1详解】 根据题意画图如下： 共有种等可能的情况数：（1，2）、（1，-3）、（1，-4）、（2，1）、（2，-3）、（2，-4）、（-3，1）、（-3，2）、（-3，-4）、（-4，-1）、（-4，2）、（-4，-3）． 【小问2详解】 共有种等可能的情况数，其中点在第一象限或第三象限有种，在第二象限或第四象限有种， 小英获胜的概率是，小兰获胜的概率是． 【点睛】本题考查了画树状图求概率问题，正确地画出树状图是解题的关键． 22. 已知△ABC的三个顶点的坐标分别为，，． （1）点A关于y轴对称的点的坐标是 ； （2）将△ABC绕坐标原点O顺时针旋转180°，画出图形，直接写出点B的对应点的坐标； （3）请直接写出：以A，B，C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标． 【答案】（1）点A关于y轴对称的点坐标（2，3）；（2）图详见解析，点B的对应点的坐标为（6，0）；（3）D（-5，-3）或（-7，3）或（3，3）． 【解析】 【分析】（1）根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同解答即可； （2）根据网格结构找出点A、B、C绕点O旋转180°的对应点A′、B′、C′的位置，然后顺次连接即可； （3）分以AB、BC、AC为对角线，分别写出即可． 【详解】解：（1）∵关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同， ∴点A关于y轴对称的点坐标（2，3）； （2）△ABC绕坐标原点O旋转180°的三角形如图所示，点B的对应点的坐标为（6，0）； （3）以AB为对角线时，第四个顶点D的坐标（-7，3）， 以BC为对角线时，第四个顶点D的坐标（-5，-3）， 以AC为对角线时，第四个顶点D的坐标（3，3）， ∴D（-5，-3）或（-7，3）或（3，3）． 【点睛】本题考查利用旋转变换作图，轴对称的性质，以及平行四边形的性质，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键． 23. 实验是培养学生的创新能力的重要途径之一．如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管， ，试管倾斜角为．（参考数据：） （1）求酒精灯与铁架台的水平距离的长度（结果精确到）； （2）实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点F，且（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：，求线段的长度（结果精确到）． 【答案】（1）． （2）的长度约为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，作垂线构造直角三角形是解题关键． （1）过点E作于点G．可得四边形为矩形，推出．根据题意得，．结合，即可求解； （2）过点B分别作于点H，于点P．可推出四边形是矩形，得∴．在中，根据，，即可求解； 【小问1详解】 解：如图，过点E作于点G． ∵， ∴四边形为矩形， ∴． ∵， ， ∴， ∴． 在中，， ∴． 【小问2详解】 解：如图，过点B分别作于点H，于点P． ∵， ∴四边形是矩形， ∴． 易知， 在中， ， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴（）． 答：的长度约为． 24. 如图，点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，相似比是：2，连接EB，GD． （1）求证：EB＝GD； （2）若∠DAB＝60°，AB＝2，求GD的长． 【答案】（1）见解析；（2）GD＝ 【解析】 【分析】（1）利用相似多边形的对应角相等和菱形的四边相等证得三角形全等后即可证得两条线段相等； （2）连接BD交AC于点P，则BP⊥AC，根据∠DAB＝60°得到BP＝AB＝1，然后求得EP＝2，最后利用勾股定理求得EB的长即可求得线段GD的长即可． 【详解】（1）证明：∵菱形AEFG∽菱形ABCD，∴∠EAG＝∠BAD， ∴∠EAG+∠GAB＝∠BAD+∠GAB， ∴∠EAB＝∠GAD， ∵AE＝AG，AB＝AD， ∴△AEB≌△AGD， ∴EB＝GD； （2）连接BD交AC于点P，则BP⊥AC， ∵∠DAB＝60°， ∴∠PAB＝30°， ∵菱形AEFG∽菱形ABCD，相似比是：2，AB＝2， ∴AE＝，BP＝AB＝1， ∴ ∴EP＝2 ∴ ∴GD＝． 【点睛】本题考查了相似多边形的性质，解题的关键是了解相似多边形的对应边的比相等，对应角相等． 25. 如图，AB是⊙O的一条弦，E是AB的中点，过点E作EC⊥OA于点C，过点B作⊙O的切线交CE的延长线于点D． （1）求证：DB=DE； （2）若AB=12，BD=5，过D点作DF⊥AB于点F， ①则cos∠EDF= 　； ②求⊙O的半径． 【答案】（1）证明见解析；（2）①；② 【解析】 【详解】分析：（1）欲证明DB=DE，只要证明∠DEB=∠DBE； （2）①连接OE，有线段垂直平分线的性质，可得EF=BE=3， 在Rt△DEF中，由勾股定理DF=4，则cos∠EDF==； ②只要证明∠AOE=∠DEF，可得sin∠DEF=sin∠AOE=，由此求出AE即可解决问题． 详解：（1）∵BD为切线， ∴OB⊥BD， ∴∠OBD=90°，即∠OBE+∠DBE=90°， ∵CD⊥OA， ∴∠A+∠AEC=90°， 而OA=OB， ∴∠A=∠OBE， ∴∠AEC=∠DBE， ∵∠AEC=∠DEB， ∴∠DEB=∠DBE， ∴DB=DE； （2）①连接OE，如图， ∵E是AB的中点， ∴AE=BE=6， ∵DE=DB=5，DF⊥BE， ∴EF=BE=3， 在Rt△DEF中，DF==4， cos∠EDF==； 故答案为； ②连接OE， ∵E是AB的中点， ∴OE⊥AB， ∴∠OEB=90° ∴∠EOB+∠EBO=90°， 而∠OBE+∠DBE=90°， ∴∠EOB=∠DBF， 在Rt△OBE中，sin∠EOB==sin∠DBF=， ∴OB==， 即⊙O的半径为． 点睛：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径.若出现圆的切线，必连过切点的半径，得出垂直关系.简记作：见切点，连半径，见垂直.也考查了直角三角形. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年沙堤中学九年级（下）第二次月考 一、单选题 1. 下面的图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列事件中，属于必然事件的是（　　） A. 任意买一张电影票，座位号是奇数 B. 太阳东升西落 C. 明天是晴天 D. 过马路时恰好遇到红灯 3. 平面直角坐标系中，点P（2，-3）关于原点对称的点的坐标是（　　） A. (2, 3) B. (2, -3) C. (-2,3） D. (-2, -3) 4. 一元二次方程的常数项是（ ） A. B. 1 C. 3 D. 5. 若，相似比为，的周长为10，则的周长是（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 6. 如图，绕点逆时针旋转到的位置，已知，则等于（　　） A. B. C. D. 7. 将长方形绕着它的一边旋转一周得到的立体图形是（　　） A. 正方体 B. 长方体 C. 棱柱 D. 圆柱 8. 进入12月份来，甲型流感频发．某校有1名学生感染了甲型流感病毒，经过两轮传染后，一共有81人感染了此病毒．设每轮传染中一人可以传染x个人，则所列方程是（ ） A. B. C. D. 9. 根据下面表格中的对应值判断关于x的方程的一个解x的范围是（　　） x A. B. C. D. 10. 如图,在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，则的值是（ ）． A. B. C. D. 二、填空题 11. 若，则锐角________． 12. 如图，在中，，则的度数为______． 13. 若二次函数y＝2（x﹣1）2＋1的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到函数的解析式为_____． 14. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小兰购买了六张“二十四节气”主题邮票，其中“立春”“雨水”和“惊蛰”各两张，每张邮票形状、大小都相同．将它们背面朝上放置，从中随机抽取一张，恰好抽到“立春”的概率是___________． 15. 从某小麦新品种的种子中抽取6批，在相同条件下进行发芽实验，数据统计如表： 种子粒数 100 400 800 1000 2000 5000 发芽种子粒数 95 358 744 893 1804 4505 发芽频率 0.950 0.895 0.930 0.893 0.902 0.901 据此可知，该种子发芽的概率为 _____（精确到0.1）． 16. 一个圆锥的底面半径是，母线长是，则圆锥侧面积展开图的扇形圆心角是____________． 三、解答题 17. 计算：． 18. 已知抛物线y=ax2+bx-1的图象经过点（-1，2），其对称轴为x=-1．求抛物线的解析式． 19. 如图，，是的切线，A，B为切点，是⊙O的直径，，求的度数． 20. 如图，是的边上的一点，连接，已知． （1）求证： （2）若，，求线段的长 21. 有四张正面标有数字，，，，背面完全相同助卡片，将它们正面朝下洗匀放在桌面上，小英先从中随机抽取一张记下数字为，小兰再从剩余的卡片中随机抽取一张记下数字为． （1）请用列表或画树状图的方法表示出所有可能的结果； （2）规定：若点在第一象限或第三象限，则小英获胜；若点在第二象限或第四象限，则小兰获胜．请分别求出小英和小兰获胜的概率． 22. 已知△ABC的三个顶点的坐标分别为，，． （1）点A关于y轴对称的点的坐标是 ； （2）将△ABC绕坐标原点O顺时针旋转180°，画出图形，直接写出点B的对应点的坐标； （3）请直接写出：以A，B，C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标． 23. 实验是培养学生的创新能力的重要途径之一．如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管， ，试管倾斜角为．（参考数据：） （1）求酒精灯与铁架台的水平距离的长度（结果精确到）； （2）实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点F，且（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：，求线段的长度（结果精确到）． 24. 如图，点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，相似比是：2，连接EB，GD． （1）求证：EB＝GD； （2）若∠DAB＝60°，AB＝2，求GD的长． 25. 如图，AB是⊙O的一条弦，E是AB的中点，过点E作EC⊥OA于点C，过点B作⊙O的切线交CE的延长线于点D． （1）求证：DB=DE； （2）若AB=12，BD=5，过D点作DF⊥AB于点F， ①则cos∠EDF= 　； ②求⊙O的半径． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $