精品解析：福建省莆田市荔城区田中山中学2024-2025学年九年级下学期第四次月考考试卷

2024-2025学年中山中学九年级下学期第四次月考考试卷 数学试题 一、选择题 1. 两千多年前，中国人就开始使用负数，如果支出150元记作元，那么80元表示（ ） A. 支出150 B. 收入150元 C. 支出80元 D. 收入80元 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了正数和负数，掌握正负数的相反意义成为解题的关键． 利用正数负数的意义解答即可． 【详解】解：∵支出150元记作元， ∴80元表示收入80元． 故选：D． 2. 据报道，2025年春节假期莆田接待游客约万人次，同比增长约．将万用科学记数法表示应为（     ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：万， 故选：． 3. 如图为正六棱柱与圆锥组成的几何体，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】试题解析：从几何体上面看，得到的几何图形是 故选D． 考点：简单组合体的三视图． 4. 中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量．下面有关我国航天领域的图标，其图标既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的识别，根据中心对称图形与轴对称图形的定义进行逐一判断即可：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 【详解】解：A．不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B．是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意； C．不是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D．不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 5. 下列运算正确的是（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查算术平方根，幂的乘方与同底数幂的除法和完全平方公式．掌握各运算法则是解题关键．根据相关运算逐项判断即可． 【详解】解：A．，故本选项错误； B．，故本选项正确； C．，故本选项错误； D．，故本选项错误． 故选：B． 6. 如图，中，，．将绕点逆时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解决本题的关键是掌握旋转的性质． 根据旋转可得，，得，根据，进而可得的度数． 【详解】解：，， ， 将绕点逆时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上， ，， ， ． 故选：D． 7. 如图，小明在A时测得某树的影长为，B时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（     ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的实际应用，证明，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：如图，由题意，得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即：树的高度为； 故选：C． 8. 如图，在扇形中，，点是的中点．过点作交于点，过点作，垂足为点．在扇形内随机选取一点，则点落在阴影部分的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是求不规则图形的面积，几何概率，根据阴影部分面积等于扇形的面积，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴四边形是矩形， ∴ ∴ ∵点是的中点 ∴ ∴ ∴ ∴，， 点落在阴影部分的概率是 故选：B． 9. 如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为．求车道的宽度（单位：）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解答本题的关键． 由停车场的长、宽及停车场内车道的宽度，可得出停车位（图中阴影部分）可合成长为，宽为的矩形，结合停车位的占地面积为，即可列出关于的一元二次方程，即可求解． 【详解】解：若设停车场内车道的宽度为，则停车位（图中阴影部分）可合成长为，宽为的矩形， 根据题意得：， 故选：C． 10. 如图，已知正方形的面积为9，它的两个顶点B，D是反比例函数的图象上两点，且轴，轴，若点D的坐标是，则的值为（ ） A. B. C. 3 D. －3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，正方形的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．利用正方形的性质求得点B坐标是，根据点D、点B在反比例函数上，列式计算即可求解． 【详解】解：∵正方形的面积等于9， ∴， ∵轴，轴，点D坐标是， ∴点A坐标是，点B坐标是， ∵点D、点B在反比例函数上， ∴， ∴， ∴，故D正确． 故选：D． 二、填空题 11. 函数y＝的自变量x的取值范围为____________． 【答案】x≥－1 【解析】 【详解】由题意得，x+1≥0， 解得x≥﹣1． 故答案为x≥﹣1． 12. 如图，在菱形中，为菱形的对角线，，点为中点，则的长为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得出是等边三角形，进而得出，根据中位线的性质即可求解． 【详解】解：∵在菱形中，为菱形的对角线， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∵是的中点，点为中点， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，中位线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 13. 因式分解：_____． 【答案】 2 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式完成二次分解. 【详解】解：原式. 14. 如图，一次函数的图像经过点，则关于的不等式的解集是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了利用一次函数图像解不等式，熟练掌握一次函数的图像与性质是解题关键．根据图像可知，当时，函数，据此即可获得答案． 【详解】解：由图像可知，当时，， ∴关于的不等式的解集是． 故答案为：． 15. 已知非零实数x，y满足且，则的值等于___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的求值，根据已知条件求出是解题的关键， 通过变形可得，再代入所求式子里化简求值即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ ． 16. 如图，正方形边长为a，点E是正方形内一点，满足，连接．给出下面四个结论：①；②；③的度数最大值为；④当时，．上述结论中，所有正确结论的序号为___________． 【答案】②④##④② 【解析】 【分析】取中点O，连接，，由勾股定理得，然后根据三角形三边关系可判断①不正确；证明点E在以点O为圆心，为直径的圆上运动，当三点共线，当三点共线时，有最小值，据此可判断②；当与相切时有最大值，证明，得到，，则，再证明，得到，即可判断③④． 【详解】解：取中点O，连接，， ∵四边形是正方形， ∴，． ∴，故①错误； ∵， ∴点E在以点O为圆心，为直径的圆上运动， ∴当三点共线时，有最小值， 在中，由勾股定理得， ∴的最小值为，故②正确； 当与相切时,有最大值， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的度数最大值不是，故③错误； ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴，故④正确； 故答案为：②④． 【点睛】本题考查了圆周角定理，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理等等，根据题意得到点E的运动轨迹是解题的关键． 三、解答题 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，根据零指数幂、绝对值的性质及算术平方根的定义分别运算，再合并即可，掌握实数的运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 18. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，先分别求出每个不等式的解集，再取公共部分的解集为不等式组的解集，即可作答． 【详解】解：． 解不等式得：， 解不等式得：， ∴不等式组：的解集为． 19. 先化简，再求值：  ，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，分母有理化，先根据分式的运算法则进行化简，然后将代入化简结果，即可求解． 【详解】解：  ， 当时，原式． 20. 已知关于x的一元二次方程有两实数根． （1）求实数的取值范围； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的根的判别式，解本题的关键在于熟练掌握若，是一元二次方程的两根时，则，． （1）若一元二次方程有两实数根，则根的判别式，建立关于的不等式，求出的取值范围； （2）由一元二次方程根与系数的关系，得出，，根据题意，建立关于的一元二次方程，解出即可求得的值． 【小问1详解】 解：由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵方程两实数根分别为， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）． ∴m的值为． 21. 文旦柚是莆田特产，某中学为了加强劳动教育，计划组织学生去某教育基地体验文旦柚种植，为了方便开展活动，需要采购一批文旦柚树苗，现有两个采购地可供选择，具体信息如下： 信息一： 树苗品种 单价/（元/棵） 采购地 A B 市场 55 园艺基地 a 50 信息二：用540元在市场上购买A种树苗的棵数恰好与用400元在园艺基地购买A种树苗的棵数相同． （1）请分别求出园艺基地、市场上A种树苗的单价． （2）学校决定在园艺基地购买A，B两种树苗共300棵，且A种树苗的棵数不超过B种树苗的棵数的，园艺基地为了支持该学校的活动，对A，B两种树苗均降价销售，已知两种树苗每棵均降价4元，则学校最少花费多少元？ 【答案】（1）园艺基地、市场上A种树苗的单价分别为40元，54元 （2）购进A种树苗112棵，B种树苗为188棵，花费最少为12680元． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，不等式的应用，一次函数的应用． （1）根据题意，园艺基地的单价为a元，市场的单价为元，根据题意，得，解方程即可． （2）设购进A种树苗m棵，则B种树苗为棵，总花费为w元，根据题意，得，结合，建立不等式计算即可． 【小问1详解】 解：根据题意，园艺基地的单价为a元，市场的单价为元，根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的根， 故， 答：园艺基地、市场上A种树苗的单价分别为40元，54元； 【小问2详解】 解：设购进A种树苗m棵，则B种树苗为棵，总花费为w元，根据题意，得， ∵， 解得， 根据，得w随m的增大而减小， 故时，费用最低，最低为（元）． 此时， 答：购进A种树苗112棵，B种树苗为188棵，花费最少为12680元． 22. 已知抛物线（为常数）． （1）当时，求抛物线对称轴及顶点坐标． （2）当时，点A，B为该抛物线上的两点，顶点为，直线的解析式为，直线的解析式为，若，求证：直线过定点，并求出这个定点． 【答案】（1）抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为 （2）证明见解析， 【解析】 【分析】本题是二次函数综合题，主要考查了抛物线的一般式转化为顶点式、抛物线的性质、利用待定系数法求解一次函数的解析式、一元二次方程根与系数的关系等知识，熟练的运用参数解题的能力是解本题的关键． （1）当时，，即可求解； （2）由题意可得，当时，抛物线的解析式为，可知直线的解析式为，直线的解析式为，可设，，得，，进而可得，设直线的解析式为，由题可得、是方程的两根，得，解得，得直线的解析式为，即可求解． 【小问1详解】 解：当时， ， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为； 【小问2详解】 证明：由题意可得，当时， 抛物线的解析式为， ∴， ∴直线的解析式为，直线的解析式为， ∴可设，， ∴，， 解得，， ∴， 设直线的解析式为， 由题可得、是方程的两根， 化简，得， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，． ∴直线过定点． 23. 阅读素材并解决问题． 设而不求 材料 “设而不求”法又叫“增设辅助未知量法”或“设参法”，基本思路是先设定一个辅助未知量（辅助元），然后根据辅助元与未知量之间的关系，建立一个包含辅助元、未知量和已知量的方程或代数式，最后通过消元法或代换法来解决问题． 问题1 有麻料、棉料、毛料三种布料，若购买3匹麻料、7匹棉料、1匹毛料共需315元；若购买4匹麻料、10匹棉料、1匹毛料共需420元．现需购买麻料、棉料、毛料各1匹，共需多少元？ 解：依题意，可设每匹麻料、棉料、毛料的价格各为x元、y元、z元． 列出方程组： 通过①×3－②×2，直接可得 ． 问题2 如图，已知中，，，为线段上的两点，且，平分，设，用表示其它有关的角，可求的度数，请写出求解过程． 问题3 如图，已知点是第一象限位于双曲线上方的一点，过点作轴于点，交双曲线于点；再过点作轴于点，交双曲线于点，设，求证：． 【答案】问题1：； 问题2：； 问题3：方法一：设 ∵，，且点，点在双曲线上， ∴                                         ∴，  ∴                    ∴， ∴ ∴ ∴．                                            方法二：设 轴，轴，且点、点在双曲线上，                                        ∴，  ∴                      ∴， ∴                                                又∵ ∴ ∴ ∴． 【解析】 【分析】本题考查了“设参法”，解题关键是先设定一个辅助未知量（辅助元），然后根据辅助元与未知量之间的关系，建立一个包含辅助元、未知量和已知量的方程或代数式，最后通过消元法或代换法来解决问题． （1）按题目提示即可解答； （2）设，则，由可知，进而可得，，，再由三角形外角性质可得； （3）设，用m、n、k表示点的坐标和线段长，求得，，即可得出，进而证明结论． 【详解】解：问题1： ． 问题2：设，，∴ 根据三角形内角和可得： ∴ ∵ ∴ ∵平分 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 问题3：略 24. 四边形内接于，为直径，连结，过A作于点． （1）如图1，求证：； （2）如图2，延长交于点，连结，且； ①求证：； ②若，，求的长． 【答案】（1）见详解 （2）①见详解；② 【解析】 【分析】（1）由为直径，于点H，得，所以，，由圆周角定理得，则问题可求证； （2）①由，得，而，所以，然后可得，进而根据相似三角形的性质可进行求证； ②作于点L，由，且，得，则，设，由，得，则，然后根据三角函数可进行求解． 【小问1详解】 证明：∵为直径，于点H， ∴， ∴，， ∵， ∴． 【小问2详解】 ①证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ②解：如图2，作于点L，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题重点考查圆周角定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、平行线的性质、勾股定理、解直角三角形等知识，此题综合性质强，难度较大，正确地作出辅助线是解题的关键． 25. 如图，正方形中，点在边上，点是的中点，连接，． （1）求证：； （2）将绕点逆时针旋转，使点的对应点落在上，连接．当点在边上运动时（点不与，重合），判断的形状，并说明理由． （3）在（2）的条件下，已知，当时，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形为正方形， ∴，， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴，即：， 在与中， ∴， ∴； （2） 解：为等腰直角三角形，理由如下： 由旋转的性质得：， ∴， ∴，， ∵， ∴，即：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形； （3） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的基本性质以及“斜中半定理”等推出，即可证得结论； （2）由旋转的性质得，从而利用等腰三角形的性质推出，再结合正方形对角线的性质推出，即可证得结论； （3）结合已知信息推出，从而利用相似三角形的性质以及勾股定理进行计算求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图所示，延长交于点， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则，， ∴， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴． 【点睛】本题考查正方形的性质，旋转的性质，全等三角形和相似三角形的判定与性质等，理解并熟练运用基本图形的证明方法和性质，掌握勾股定理等相关计算方式是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年中山中学九年级下学期第四次月考考试卷 数学试题 一、选择题 1. 两千多年前，中国人就开始使用负数，如果支出150元记作元，那么80元表示（ ） A. 支出150 B. 收入150元 C. 支出80元 D. 收入80元 2. 据报道，2025年春节假期莆田接待游客约万人次，同比增长约．将万用科学记数法表示应为（     ） A. B. C. D. 3. 如图为正六棱柱与圆锥组成的几何体，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 4. 中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量．下面有关我国航天领域的图标，其图标既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（     ） A. B. C. D. 6. 如图，中，，．将绕点逆时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，小明在A时测得某树的影长为，B时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（     ） A. B. C. D. 8. 如图，在扇形中，，点是的中点．过点作交于点，过点作，垂足为点．在扇形内随机选取一点，则点落在阴影部分的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为．求车道的宽度（单位：）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知正方形的面积为9，它的两个顶点B，D是反比例函数的图象上两点，且轴，轴，若点D的坐标是，则的值为（ ） A. B. C. 3 D. －3 二、填空题 11. 函数y＝的自变量x的取值范围为____________． 12. 如图，在菱形中，为菱形的对角线，，点为中点，则的长为_______________． 13. 因式分解：_____． 14. 如图，一次函数的图像经过点，则关于的不等式的解集是______． 15. 已知非零实数x，y满足且，则的值等于___________． 16. 如图，正方形边长为a，点E是正方形内一点，满足，连接．给出下面四个结论：①；②；③的度数最大值为；④当时，．上述结论中，所有正确结论的序号为___________． 三、解答题 17. 计算：． 18. 解不等式组：． 19. 先化简，再求值：  ，其中． 20. 已知关于x的一元二次方程有两实数根． （1）求实数的取值范围； （2）若，求的值． 21. 文旦柚是莆田特产，某中学为了加强劳动教育，计划组织学生去某教育基地体验文旦柚种植，为了方便开展活动，需要采购一批文旦柚树苗，现有两个采购地可供选择，具体信息如下： 信息一： 树苗品种 单价/（元/棵） 采购地 A B 市场 55 园艺基地 a 50 信息二：用540元在市场上购买A种树苗的棵数恰好与用400元在园艺基地购买A种树苗的棵数相同． （1）请分别求出园艺基地、市场上A种树苗的单价． （2）学校决定在园艺基地购买A，B两种树苗共300棵，且A种树苗的棵数不超过B种树苗的棵数的，园艺基地为了支持该学校的活动，对A，B两种树苗均降价销售，已知两种树苗每棵均降价4元，则学校最少花费多少元？ 22. 已知抛物线（为常数）． （1）当时，求抛物线对称轴及顶点坐标． （2）当时，点A，B为该抛物线上的两点，顶点为，直线的解析式为，直线的解析式为，若，求证：直线过定点，并求出这个定点． 23. 阅读素材并解决问题． 设而不求 材料 “设而不求”法又叫“增设辅助未知量法”或“设参法”，基本思路是先设定一个辅助未知量（辅助元），然后根据辅助元与未知量之间的关系，建立一个包含辅助元、未知量和已知量的方程或代数式，最后通过消元法或代换法来解决问题． 问题1 有麻料、棉料、毛料三种布料，若购买3匹麻料、7匹棉料、1匹毛料共需315元；若购买4匹麻料、10匹棉料、1匹毛料共需420元．现需购买麻料、棉料、毛料各1匹，共需多少元？ 解：依题意，可设每匹麻料、棉料、毛料的价格各为x元、y元、z元． 列出方程组： 通过①×3－②×2，直接可得 ． 问题2 如图，已知中，，，为线段上的两点，且，平分，设，用表示其它有关的角，可求的度数，请写出求解过程． 问题3 如图，已知点是第一象限位于双曲线上方的一点，过点作轴于点，交双曲线于点；再过点作轴于点，交双曲线于点，设，求证：． 24. 四边形内接于，为直径，连结，过A作于点． （1）如图1，求证：； （2）如图2，延长交于点，连结，且； ①求证：； ②若，，求的长． 25. 如图，正方形中，点在边上，点是的中点，连接，． （1）求证：； （2）将绕点逆时针旋转，使点的对应点落在上，连接．当点在边上运动时（点不与，重合），判断的形状，并说明理由． （3）在（2）的条件下，已知，当时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $