2.1 认识一元二次方程（六大题型）2025-2026学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程概念与应用，通过基础概念辨析、概念应用深化、综合能力提升三层设计，构建从定义理解到解的估算的完整巩固路径，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础概念层|一元二次方程定义、一般式转化|以选择填空为主（如1-6题），强化概念辨析与规范表达| |概念应用层|参数取值判定、解的存在性判断|结合分类讨论（如3题m的取值），发展逻辑推理能力| |综合能力层|解的参数计算、数值估算|融入函数与方程联系（如18题估算根范围），提升数学建模与创新意识|

2.1 认识一元二次方程 题型一 一元二次方程的定义 1．下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：选项A：，是整式方程，只含一个未知数，且的最高次数为， 满足一元二次方程的所有条件，正确； 选项B：含有两个未知数，不满足定义，错误； 选项C：分母含有未知数，不是整式方程，不满足定义，错误； 选项D：未知数的最高次数为，不满足定义，错误. 2．下列方程，是一元二次方程的有_________________________ ①，②，③，④． 【答案】①④/④① 【详解】解：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为的整式方程是一元二次方程． ①，只含有一个未知数，未知数最高次数为，且是整式方程，符合一元二次方程的定义； ②，含有和两个未知数，不符合一元二次方程的定义； ③，分母中含有未知数，不符合一元二次方程的定义； ④，只含有一个未知数，未知数最高次数为，且是整式方程，符合一元二次方程的定义； 综上所述，是一元二次方程的有①④． 3．已知关于x的方程． (1)当m为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)当m为何值时，此方程是一元二次方程？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元一次方程的定义解答即可； （2）根据一元二次方程的定义解答即可． 【详解】（1）解：∵关于x的方程是一元一次方程， ∴且， 即且， ∴； （2）解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， 解得 题型二 化成一元二次方程的一般式 4．将一元二次方程化为一般形式，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一元二次方程的一般形式为，只需展开原式，移项合并同类项即可得到结果 【详解】解：原方程为， ∵展开方程左边，得， 合并同类项得， 移项整理为一般形式，两边同乘得 5．把一元二次方程化为一般形式为______________________ 【答案】 【详解】解：， ∴， ∴. 6．将下列方程化成一元二次方程的一般形式，指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项 (1)； (2)关于x的方程． 【答案】(1)，二次项系数是2，一次项系数是0，常数项是0 (2)，二次项系数是，一次项系数是，常数项是 【分析】本题主要考查一元二次方程的一般形式，掌握一般形式是解本题的关键． （1）先去分母，再移项、合并同类项为，从而可得答案； （2）先移项，再合并同类项可得，从而可得答案． 【详解】（1） 解：去分母得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 二次项系数是2，一次项系数是0，常数项是0； （2） 移项、合并同类项得：， 二次项系数是，一次项系数是，常数项是． 题型三 由一元二次方程的定义求参数 7．若关于x的方程是一元二次方程，则m的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的定义，需满足两个条件：最高次项的次数为2，且二次项系数不为0，据此列等式和不等式求解即可． 【详解】解：方程是一元二次方程， ∴且， 解得且， ∴． 8．若关于x的方程是一元二次方程，则______． 【答案】 【详解】解：关于的方程是一元二次方程 未知数的最高次数为，可得 解得，此时二次项系数为，符合一元二次方程的定义． 9．已知关于x的一元二次方程． (1)求m的值； (2)设这个方程的两个根是，，且，求n的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元二次方程的定义可得，求解即可； （2）由一元二次方程根与系数的关系得到，，然后根据完全平方公式将变形为，再代入计算即可解出答案． 【详解】（1）解：由题意得， 解得； （2）解：由（1）知，则原方程变为， 设这个方程的两个根是，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得． 题型四 判断是否是一元二次方程的解 10．若关于的一元二次方程中的，，满足，则方程必有根（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据方程根的定义，只需将选项中的值代入方程左边，验证是否能得到的形式，结合已知条件，即可判断方程必有的根． 【详解】解：当时，代入方程左边得： ， ， 满足方程，因此方程必有一根为． 11．若，则一元二次方程的一个根为 _____． 【答案】2 【分析】根据一元二次方程的解的定义，将代入方程，对比已知条件即可得到方程的一个根． 【详解】解：将代入， 得， ， 当时，成立， 根据一元二次方程的解的定义，可知该一元二次方程一定有一个根为2． 12．定义：如果关于x的一元二次方程有一个根是c，那么我们称这个方程为“C方程”． (1)判断一元二次方程是否为“C方程”，请说明理由； (2)已知关于x的一元二次方程是“C方程”，求代数式的最小值． 【答案】(1)是“C方程”，理由见解析； (2)． 【分析】本题考查了一元二次方程的解和解一元二次方程，理解“C方程”的定义是解题的关键． （1）求出方程的解，再根据“C方程”定义即可判断； （2）根据“C方程”定义，得到，利用配方法，非负数的性质即可求解． 【详解】（1）解：是“C方程”，理由如下： ∵， ∴， ∴或， 解得：， ∵， ∴一元二次方程是“C方程”； （2）解：∵关于x的一元二次方程是“C方程”， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为． 题型五 由一元二次方程的解求参数 13．若关于x的方程的一个根为，则实数a的值为（） A． B． C．1 D．4 【答案】C 【分析】本题利用方程根的定义求解，将已知根代入原方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：∵是方程的根， ∴将代入原方程得：， 化简得， 解得． 14．一元二次方程的一个解是，则的值是______． 【答案】 【详解】解：是一元二次方程的一个解， 满足一元二次方程， 将代入方程得， 整理得， 移项得． 15．已知 ． (1)化简； (2)若为方程的解，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据完全平方公式和平方差公式去括号，然后合并同类项即可得到答案； （2）根据方程的解的定义得到，再根据计算求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵为方程的解， ∴， ∴， ∴． 题型六 一元二次方程的解的估算 16．根据下表得知估算一元二次方程的一个根的范围是（   ） x … … … … A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的估算，找到的值由负变正时x所处的范围即可得到答案． 【详解】解：∵当时，， 当时，， ∴一元二次方程的一个根的范围是， 故选：D． 17．根据下列表格的对应值： x 1 1.1 1.2 0.84 由此可判断方程必有一个解x的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．利用表中数据得到时，，时，，则可判断有一个根满足． 【详解】解：∵时，， 时，， ∴，在内有一个解， 即方程必有一个解x满足， 故答案为：． 18．在人类用智慧架设的无数条从已知通向未知的道路中，方程求解是其中重要的一段路程．虽然今天我们可以从教科书中了解各种各样方程的解法，但这一切却经历了相当漫长的岁月．我们熟悉的求一元二次方程的解，既可以利用二次函数的图象估算近似解，也可以用配方法、公式法、因式分解法等方法求出精确解．现以方程举例简述估算和精确计算分别是如何操作的： (1)【估算】我们通过下列步骤估计方程的根所在的大致范围． 第一步：问题转化：方程 的根即为函数与x轴的交点横坐标； 第二步：由以往的学习经验可以判断出函数 的图象是一条连续不断的曲线； 第三步：因为当 时，，当时，，所以图象与x轴的一个公共点的横坐标在0，1 之间，所以可确定方程 的一个根所在的范围是； 第四步：仿照第三步，可以估计 的另一个根所在的大致范围． 回答问题：请完成第四步，估计 的另一个根在哪两个连续的整数之间； (2)【精算】：请你选用配方法、公式法、因式分解法中的一种方法求出 的精确解； (3)已知函数的图象是一条连续不断的曲线，且与x轴有三个交点，其中两个交点在x轴的正半轴上，一个交点在x轴的负半轴上，请你仿照上面材料中的【估算】方法，估算方程：的负根在哪两个连续整数之间． 【答案】(1)在之间 (2) (3)在之间 【分析】本题为阅读理解题，主要考查利用图象法求一元二次方程的近似值、二次函数图象上的点的坐标等知识的综合应用．在解题时注意对题目中所给知识的正确理解，考查了阅读所给材料的理解和运用的能力，运用类比的方法，有一定的难度，注意数形结合． （1）根据题意，通过计算时，，当时，即可下结论； （2）根据配方法求方程的根即可； （3）根据题意，通过计算时，，当时，即可下结论． 【详解】（1）解：时，， 时，， 所以的另一个根在之间． （2）解：采用配方法：， ， ， ， ． （3）解：时，， 时，， ∴的负根在之间． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.1 认识一元二次方程 题型一 一元二次方程的定义 1．下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．下列方程，是一元二次方程的有_________________________ ①，②，③，④． 3．已知关于x的方程． (1)当m为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)当m为何值时，此方程是一元二次方程？ 题型二 化成一元二次方程的一般式 4．将一元二次方程化为一般形式，正确的是（     ） A． B． C． D． 5．把一元二次方程化为一般形式为______________________ 6．将下列方程化成一元二次方程的一般形式，指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项 (1)； (2)关于x的方程． 题型三 由一元二次方程的定义求参数 7．若关于x的方程是一元二次方程，则m的值是（    ） A． B． C． D． 8．若关于x的方程是一元二次方程，则______． 9．已知关于x的一元二次方程． (1)求m的值； (2)设这个方程的两个根是，，且，求n的值． 题型四 判断是否是一元二次方程的解 10．若关于的一元二次方程中的，，满足，则方程必有根（    ） A． B． C． D． 11．若，则一元二次方程的一个根为 _____． 12．定义：如果关于x的一元二次方程有一个根是c，那么我们称这个方程为“C方程”． (1)判断一元二次方程是否为“C方程”，请说明理由； (2)已知关于x的一元二次方程是“C方程”，求代数式的最小值． 题型五 由一元二次方程的解求参数 13．若关于x的方程的一个根为，则实数a的值为（） A． B． C．1 D．4 14．一元二次方程的一个解是，则的值是______． 15．已知 ． (1)化简； (2)若为方程的解，求的值． 题型六 一元二次方程的解的估算 16．根据下表得知估算一元二次方程的一个根的范围是（   ） x … … … … A． B． C． D． 17．根据下列表格的对应值： x 1 1.1 1.2 0.84 由此可判断方程必有一个解x的取值范围是________． 18．在人类用智慧架设的无数条从已知通向未知的道路中，方程求解是其中重要的一段路程．虽然今天我们可以从教科书中了解各种各样方程的解法，但这一切却经历了相当漫长的岁月．我们熟悉的求一元二次方程的解，既可以利用二次函数的图象估算近似解，也可以用配方法、公式法、因式分解法等方法求出精确解．现以方程举例简述估算和精确计算分别是如何操作的： (1)【估算】我们通过下列步骤估计方程的根所在的大致范围． 第一步：问题转化：方程 的根即为函数与x轴的交点横坐标； 第二步：由以往的学习经验可以判断出函数 的图象是一条连续不断的曲线； 第三步：因为当 时，，当时，，所以图象与x轴的一个公共点的横坐标在0，1 之间，所以可确定方程 的一个根所在的范围是； 第四步：仿照第三步，可以估计 的另一个根所在的大致范围． 回答问题：请完成第四步，估计 的另一个根在哪两个连续的整数之间； (2)【精算】：请你选用配方法、公式法、因式分解法中的一种方法求出 的精确解； (3)已知函数的图象是一条连续不断的曲线，且与x轴有三个交点，其中两个交点在x轴的正半轴上，一个交点在x轴的负半轴上，请你仿照上面材料中的【估算】方法，估算方程：的负根在哪两个连续整数之间． 1 学科网（北京）股份有限公司 $