第02讲 集合间的基本关系（暑假预习讲义）新高一年级数学人教A版

第02讲 集合间的基本关系 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 判断两个集合的包含关系 题型2 判断两个集合是否相等（同一集合） 题型3 判断集合的子集（真子集）的个数 题型4 空集的性质及应用 题型5 根据集合的包含关系求参数 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 Venn图 子集与真子集 空集 集合间的包含关系 子集个数 1. 理解集合之间的包含与相等的含义; 2. 能够识别给定集合的子集和真子集，了解空集的含义; 3. 能够进行自然语言、图形语言（Venn图）、符号语言的转换，提升数学抽象素养; 4. 掌握集合子集、相等、真子集的定义，辨析集合间的关系与上一节内容的区别与联系，能使用适当的符号表示集合间的关系． 学习重点：理解子集、真子集、集合相等及空集的概念，熟练运用相关符号表示集合关系. 学习难点：区分元素与集合、集合与集合的符号用法，灵活运用空集性质解决含参问题. 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 Venn图 定义：在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图． （1）表示集合的Venn图边界是封闭曲线，它可以是圆、椭圆、矩形，也可以是其他封闭曲线． （2）用Venn图表示集合的方法叫图示法，其优点是能直观地表示出集合间的关系，缺点是集合元素的共同特征不明显． 示例：A={x|x是平行四边形} ； B={x|x是菱形}；C={x|x是矩形} ；D= {x|x是正方形},用Venn图表示集合A、B、C、D四个集合的关系如下： 知识点02 两个集合的包含关系 1、子集 定义 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集， 记法与读法 记作 (或 )，读作“A包含于B”(或“B包含A”) 图示 性质 （1）任意一个集合都是它本身的子集，即集合的子集也包括它本身，记作； （2）传递性：对于集合A，B，C，如果，且，那么. 2、真子集 定义 如果集合 ，但存在元素，且 ，就称集合A是集合B的真子集 记法与读法 记作A⫋B或(BA)，读作“A真包含于B”(或“B真包含A”) 图示 性质 （1）任意集合都不是它本身的真子集． （2）传递性：对于集合A，B，C，如果A⫋B，且B⫋C，则A⫋C 即时即练 若集合，，则集合A与B的关系是（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】B 【详解】因为集合A中的元素，都在集合B中，而B中的元素不一定都在A中，所以. 【方法总结】 可列举型集合间的包含关系，根据子集和真子集的定义即可直接判断. 知识点03 空集 1、定义：一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为，并规定：空集是任何集合的子集． 2、0，{0}，，的关系 与0 与{0} 与 相同点 都表示无的意思 都是集合 都是集合 不同点 是集合； 0是实数 中不含任何元素； {0}含一个元素0 不含任何元素； 含一个元素，该元素是 关系 {0} ∅{∅}或∅∈{∅} 【注意】空集是任何集合的子集，因此在解A⊆B(B≠)的含参数的问题时，要注意讨论A＝和A≠两种情况，前者常被忽视，造成思考问题不全面． 即时即练 下列四个集合中，是空集的是（    ） A． B．，且 C． D． 【答案】B 【详解】A中有元素0，B中集合没有任何元素，为空集，C中有元素1，D中集合，大于4的实数都是其中的元素． 【易错提醒】 区分好空集的是元素个数为0的集合，而不是元素为0的集合. 知识点04 子集个数 有限集的子集个数确定：如果集合A中含有n个元素，则有 （1）A的子集的个数有2n个． （2）A的非空子集的个数有2n－1个． （3）A的真子集的个数有2n－1个． （4）A的非空真子集的个数有2n－2个． 即时即练 已知集合，则集合的所有非空真子集的个数是（    ） A．6 B．7 C．14 D．15 【答案】A 【详解】因为， 所以集合的元素个数为， 因此集合的所有非空真子集的个数是. 【方法总结】 先化简集合或者分析集合的元素，确定好集合元素的个数，然后再代入公式计算即可. 特别提醒：区分好所求的是子集个数、非空子集个数、真子集个数，还是非空真子集的个数. 题型1 判断两个集合的包含关系 【例1】判断下列各组中集合之间的关系： （1），； （2），，，； （3），； （4），. 【答案】（1）;（2）;（3）;（4） 【详解】（1）∵是12的约数，∴必定是36的约数，反之不成立，∴. （2）由图形的特点可画出维恩图如图所示，从而. （3）∵，且，∴的取值为，0，1，2. ∴. 又∵，∴的值是0，1，2. ∴.∴. （4）方法一（列举法）：结合题中所给集合的特征属性可得，，，所以. 方法二（描述法）：，.∵，∴. 【方法总结】 判断集合间关系的常用方法： (1) 列举观察法：适用于集合中元素较少，或元素有规律，或元素为整数时，列出全部元素后，根据定义进行判断. (2) 数形结合法：利用数轴、Venn 图和平面直角坐标系等直观地进行判断，常用于不等式解集间的关系. (3) 元素特征法：首先确定集合的代表元素是什么，然后分析元素特征并进行化简，将两集合的形式统一后再进行判断. 【变式1-1】以下四个选项中，正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，混淆元素与集合，集合与集合的关系，为的真子集，故错误； 对于B，是的真子集 ，不存在大小关系，故错误； 对于C，，正确； 对于D，空集是任何集合的子集，即，不是的元素，故错误. 【变式1-2】设集合，，则下列关系中正确的是（    ） A． B．⫋ C．⫋ D． 【答案】A 【详解】， ， ， 题型2 判断两个集合是否相等（同一集合） 【例2】（多选）下面表示同一个集合的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】选项A：，解得，集合， ，解得，集合， ，即集合表示同一个集合，故A正确； 选项B：集合中的元素是有序数对，顺序不同表示元素不同， 集合表示不同集合，故B错误； 选项C：集合中元素完全相同，集合表示同一个集合，故C正确； 选项D：表示奇数集，也表示奇数集， 集合表示同一个集合，故D正确． 【方法总结】 判断两个集合是否相等（同一集合）的常用方法： (1) 列举比较法：适用于集合中元素较少，或元素有规律、为整数时，列出两个集合的全部元素，若元素完全相同（与顺序无关），则两集合相等. (2) 元素特征统一法：先明确两个集合的代表元素，化简并统一两集合的元素表达形式，若元素满足的特征条件完全一致，则两集合相等. (3) 双向包含验证法：分别验证 “若集合 A 的所有元素都属于集合 B，且集合 B 的所有元素都属于集合 A”，即同时满足 与 ，则 . 【变式2-1】下列四组中，表示相等集合的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，两集合表示点的坐标不同，不是同一个集合，故A错误； 对于B，两集合元素相同，是相等集合，故B正确； 对于C，集合中有元素，集合为空集，不是相等集合，故C错误； 对于D，集合表示抛物线上的点，集合为数集，故D错误. 题型3 判断集合的子集（真子集）的个数 【例3】已知集合，则的子集个数为（    ） A．8 B．16 C．32 D．64 【答案】B 【详解】因为集合，则， 所以集合的子集个数为. 【方法总结】 判断集合的子集（真子集）的个数的常用方法： (1) 公式直接计算法：① 若一个集合含有 n 个元素，则它的：子集个数为 个；真子集个数为个；非空真子集个数为个. ②若集合 A 中有 n 个元素（），集合 C 中有 m 个元素（），且 ，则符合条件的集合 B 有 个. (2) 列举枚举法：适用于集合元素个数较少（一般 ）的情况，按元素个数从少到多，依次列出所有子集，再统计总数，同时可直观区分子集与真子集. 【变式3-1】满足   的所有集合的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由 ，得. 设集合为集合的子集，则集合可能为：，共种. 由题意，集合，所以集合共有个， 分别为：． 题型4 空集的性质及应用 【例4】已知六个关系式①；②；③；④；⑤；⑥，它们中关系表达正确的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【详解】根据元素与集合、集合与集合关系： 是的一个元素，故，①正确； 是任何非空集合的真子集，故、，②③正确； 没有元素，故，④正确；且、，⑤错误，⑥正确； 所以①②③④⑥正确. 【易错提醒】 面对空集的高频易错点： 易错点 1：忽略 “空集是任何集合的子集”，讨论包含关系时漏解； 易错点 2：混淆 “空集” 与 “元素为 0 的集合”、“空集的集合”； 易错点 3：对 “空集的符号” 书写不规范，误写为{∅}或{}； 易错点 4：计算子集个数时，忘记空集本身； 易错点 5：认为 “空集没有子集”. 【变式4-1】若集合，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【详解】当时，不成立，即，则； 当时，由，得，解得， 所以实数的取值范围是. 题型5 根据集合的包含关系求参数 【例5】（1）已知集合，集合，若，则实数______． 【答案】0 【详解】因为， 所以．解得（舍，集合元素互异性）或0． （2）已知集合，且，则实数m的取值范围是________. 【答案】. 【详解】由集合， 若时，可得，此时满足； 若时，要是得到，则满足，解得， 综上可得，实数的取值范围是. 【方法总结】 已知两个集合之间的关系求参数： (1) 因为空集是任何集合的子集，所以注意对是否存在空集的情况进行讨论. (2) 用数轴分析与不等式相关的集合间的包含关系时，要注意检验参数能否取到端点值. (3) 若集合用列举法表示或集合与方程相关，可根据元素间的相等关系列出方程 (组) 求解. 【变式5-1】已知集合，，若，则实数的取值范围是____________． 【答案】 【详解】当时，有，则； 当时，若，如图， 则解得． 综上，的取值范围为． 一、单选题 1．下列命题中，正确的个数有（    ） ①；②；③著名的运动健儿能构成集合；④；⑤；⑥. A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】B 【详解】易知，故①正确； ，故②错误； 著名的运动健儿，元素不确定，不能构成集合，故③错误； 表示有一个元素的集合，不是空集，④错误； 空集是任意非空集合的真子集，若为空集，⑤错误； ，故，故⑥正确. 2．全集，且，则满足条件的集合的个数为（    ） A．8 B．7 C．4 D．2 【答案】A 【详解】因为全集，且， 所以可能为，共个 即集合的个数为. 3．已知集合，若，则所有整数a的取值构成的集合为（   ） A． B． C． D．N 【答案】C 【详解】当时，，满足，故符合题意； 当时，，，， 或，或， 综上可知所有整数的取值构成的集合为. 4．已知集合，则（   ） A． B． C． D．A、B没有包含关系 【答案】B 【详解】由，则. 5．满足⫋的集合的个数为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】B 【详解】满足条件的集合有， ，共7个. 6．设是整数集的一个非空子集，对于，如果且，那么是的一个“孤立元”，给定，由的3个元素构成的所有集合中，含有“孤立元”的集合共有（    ）个． A．14 B．16 C．18 D．20 【答案】B 【详解】由题意，要使集合含有“孤立元”，则集合中的元素不是3个一致连续的整数即可， 故满足条件的集合有：，，，，，， ，，，，，，，， ，. 二、多选题 7．已知集合，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．中有个元素 D．有个真子集 【答案】AB 【详解】由得：，又，； 对于A，由知：，A正确； 对于B，，，，B正确； 对于C，由知：中有个元素，C错误； 对于D，中有个元素，有个，D错误. 8．下列选项中不正确的是（    ） A．空集是任何集合的子集 B．任何集合至少有两个子集 C．集合用列举法表示为 D．满足方程组的点集为 【答案】BCD 【详解】对于A选项，空集是任何集合的子集，A对； 对于B选项，空集只有一个子集，即空集本身，B错； 对于C选项，解方程，解得或， 故，C错； 对于D选项，由得，， 故满足方程组的点集为，D错. 9．已知集合，，，则关于集合A、B、C之间的关系，下列说法正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】由集合的定义可知，，，所以. 故选：AC 三、填空题 10．若集合，且，则的值为______． 【答案】 【详解】由题意，集合， 因为，根据一元二次方程的性质，可得是方程的两根， 由韦达定理，可得，解得， 所以. 11．设集合，，若，则______. 【答案】1 【详解】由题设，此时，故. 12．已知集合，，且，实数的取值范围为______. 【答案】 【详解】∵， ∴当时，，即， 当时，，解得， 综上所述，的取值范围是． 四、解答题 13．已知集合． (1)若，求实数的取值集合． (2)若的子集有两个，求实数的取值集合． 【答案】(1), (2) 【详解】（1）若，则， 若，则，不符合题意， 若，则，解得， 所以实数的取值集合为. （2）若的子集有两个，则集合只含有一个元素， 若，则，符合题意； 若，，解得. 综上所述，实数的取值集合为. 14．已知集合 (1)若求实数的取值范围. (2)是否存在实数，使得?若存在求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)或；(2) 【详解】（1）当时，，不成立； 当时，，因为所以，解得； 当时，，因为所以，解得， 综上：实数的取值范围是或； （2）当时，，不成立； 当时，，，不成立； 当时，，因为所以，解得； 综上：实数的值是2. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 集合间的基本关系 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 判断两个集合的包含关系 题型2 判断两个集合是否相等（同一集合） 题型3 判断集合的子集（真子集）的个数 题型4 空集的性质及应用 题型5 根据集合的包含关系求参数 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 Venn图 子集与真子集 空集 集合间的包含关系 子集个数 1. 理解集合之间的包含与相等的含义; 2. 能够识别给定集合的子集和真子集，了解空集的含义; 3. 能够进行自然语言、图形语言（Venn图）、符号语言的转换，提升数学抽象素养; 4. 掌握集合子集、相等、真子集的定义，辨析集合间的关系与上一节内容的区别与联系，能使用适当的符号表示集合间的关系． 学习重点：理解子集、真子集、集合相等及空集的概念，熟练运用相关符号表示集合关系. 学习难点：区分元素与集合、集合与集合的符号用法，灵活运用空集性质解决含参问题. 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 Venn图 定义：在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图． （1）表示集合的Venn图边界是封闭曲线，它可以是圆、椭圆、矩形，也可以是其他封闭曲线． （2）用Venn图表示集合的方法叫图示法，其优点是能直观地表示出集合间的关系，缺点是集合元素的共同特征不明显． 示例：A={x|x是平行四边形} ； B={x|x是菱形}；C={x|x是矩形} ；D= {x|x是正方形},用Venn图表示集合A、B、C、D四个集合的关系如下： 知识点02 两个集合的包含关系 1、子集 定义 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集， 记法与读法 记作 (或 )，读作“A包含于B”(或“B包含A”) 图示 性质 （1）任意一个集合都是它本身的子集，即集合的子集也包括它本身，记作； （2）传递性：对于集合A，B，C，如果，且，那么. 2、真子集 定义 如果集合 ，但存在元素，且 ，就称集合A是集合B的真子集 记法与读法 记作A⫋B或(BA)，读作“A真包含于B”(或“B真包含A”) 图示 性质 （1）任意集合都不是它本身的真子集． （2）传递性：对于集合A，B，C，如果A⫋B，且B⫋C，则A⫋C 即时即练 若集合，，则集合A与B的关系是（    ） A． B． C． D．不确定 【方法总结】 可列举型集合间的包含关系，根据子集和真子集的定义即可直接判断. 知识点03 空集 1、定义：一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为，并规定：空集是任何集合的子集． 2、0，{0}，，的关系 与0 与{0} 与 相同点 都表示无的意思 都是集合 都是集合 不同点 是集合； 0是实数 中不含任何元素； {0}含一个元素0 不含任何元素； 含一个元素，该元素是 关系 {0} ∅{∅}或∅∈{∅} 【注意】空集是任何集合的子集，因此在解A⊆B(B≠)的含参数的问题时，要注意讨论A＝和A≠两种情况，前者常被忽视，造成思考问题不全面． 即时即练 下列四个集合中，是空集的是（    ） A． B．，且 C． D． 【易错提醒】 区分好空集的是元素个数为0的集合，而不是元素为0的集合. 知识点04 子集个数 有限集的子集个数确定：如果集合A中含有n个元素，则有 （1）A的子集的个数有2n个． （2）A的非空子集的个数有2n－1个． （3）A的真子集的个数有2n－1个． （4）A的非空真子集的个数有2n－2个． 即时即练 已知集合，则集合的所有非空真子集的个数是（    ） A．6 B．7 C．14 D．15 【方法总结】 先化简集合或者分析集合的元素，确定好集合元素的个数，然后再代入公式计算即可. 特别提醒：区分好所求的是子集个数、非空子集个数、真子集个数，还是非空真子集的个数. 题型1 判断两个集合的包含关系 【例1】判断下列各组中集合之间的关系： （1），； （2），，，； （3），； （4），. 【方法总结】 判断集合间关系的常用方法： (1) 列举观察法：适用于集合中元素较少，或元素有规律，或元素为整数时，列出全部元素后，根据定义进行判断. (2) 数形结合法：利用数轴、Venn 图和平面直角坐标系等直观地进行判断，常用于不等式解集间的关系. (3) 元素特征法：首先确定集合的代表元素是什么，然后分析元素特征并进行化简，将两集合的形式统一后再进行判断. 【变式1-1】以下四个选项中，正确的为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】设集合，，则下列关系中正确的是（    ） A． B．⫋ C．⫋ D． 题型2 判断两个集合是否相等（同一集合） 【例2】（多选）下面表示同一个集合的是（    ） A． B． C． D． 【方法总结】 判断两个集合是否相等（同一集合）的常用方法： (1) 列举比较法：适用于集合中元素较少，或元素有规律、为整数时，列出两个集合的全部元素，若元素完全相同（与顺序无关），则两集合相等. (2) 元素特征统一法：先明确两个集合的代表元素，化简并统一两集合的元素表达形式，若元素满足的特征条件完全一致，则两集合相等. (3) 双向包含验证法：分别验证 “若集合 A 的所有元素都属于集合 B，且集合 B 的所有元素都属于集合 A”，即同时满足 与 ，则 . 【变式2-1】下列四组中，表示相等集合的是（   ） A． B． C． D． 题型3 判断集合的子集（真子集）的个数 【例3】已知集合，则的子集个数为（    ） A．8 B．16 C．32 D．64 【方法总结】 判断集合的子集（真子集）的个数的常用方法： (1) 公式直接计算法：① 若一个集合含有 n 个元素，则它的：子集个数为 个；真子集个数为个；非空真子集个数为个. ②若集合 A 中有 n 个元素（），集合 C 中有 m 个元素（），且 ，则符合条件的集合 B 有 个. (2) 列举枚举法：适用于集合元素个数较少（一般 ）的情况，按元素个数从少到多，依次列出所有子集，再统计总数，同时可直观区分子集与真子集. 【变式3-1】满足   的所有集合的个数是（   ） A． B． C． D． 题型4 空集的性质及应用 【例4】已知六个关系式①；②；③；④；⑤；⑥，它们中关系表达正确的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【易错提醒】 面对空集的高频易错点： 易错点 1：忽略 “空集是任何集合的子集”，讨论包含关系时漏解； 易错点 2：混淆 “空集” 与 “元素为 0 的集合”、“空集的集合”； 易错点 3：对 “空集的符号” 书写不规范，误写为{∅}或{}； 易错点 4：计算子集个数时，忘记空集本身； 易错点 5：认为 “空集没有子集”. 【变式4-1】若集合，则实数的取值范围是_____. 题型5 根据集合的包含关系求参数 【例5】（1）已知集合，集合，若，则实数______． （2）已知集合，且，则实数m的取值范围是________. 【方法总结】 已知两个集合之间的关系求参数： (1) 因为空集是任何集合的子集，所以注意对是否存在空集的情况进行讨论. (2) 用数轴分析与不等式相关的集合间的包含关系时，要注意检验参数能否取到端点值. (3) 若集合用列举法表示或集合与方程相关，可根据元素间的相等关系列出方程 (组) 求解. 【变式5-1】已知集合，，若，则实数的取值范围是____________． 一、单选题 1．下列命题中，正确的个数有（    ） ①；②；③著名的运动健儿能构成集合；④；⑤；⑥. A．1 B．2 C．3 D．5 2．全集，且，则满足条件的集合的个数为（    ） A．8 B．7 C．4 D．2 3．已知集合，若，则所有整数a的取值构成的集合为（   ） A． B． C． D．N 4．已知集合，则（   ） A． B． C． D．A、B没有包含关系 5．满足⫋的集合的个数为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 6．设是整数集的一个非空子集，对于，如果且，那么是的一个“孤立元”，给定，由的3个元素构成的所有集合中，含有“孤立元”的集合共有（    ）个． A．14 B．16 C．18 D．20 二、多选题 7．已知集合，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．中有个元素 D．有个真子集 8．下列选项中不正确的是（    ） A．空集是任何集合的子集 B．任何集合至少有两个子集 C．集合用列举法表示为 D．满足方程组的点集为 9．已知集合，，，则关于集合A、B、C之间的关系，下列说法正确的有（    ） A． B． C． D． 三、填空题 10．若集合，且，则的值为______． 11．设集合，，若，则______. 12．已知集合，，且，实数的取值范围为______. 四、解答题 13．已知集合． (1)若，求实数的取值集合． (2)若的子集有两个，求实数的取值集合． 14．已知集合 (1)若求实数的取值范围. (2)是否存在实数，使得?若存在求出的值；若不存在，请说明理由. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $