第四周 第 5天 函数的表示法（含分段函数） 暑假自学配套同步分层练习 - 2026年新高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 2026年新高一暑假自学同步练，聚焦函数的表示法（含分段函数），采用青铜-黄金-王者三层递进设计，通过基础巩固-能力提升-创新挑战的路径，培养抽象能力、运算能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |青铜局|函数表示法（表格/图象/解析式）、分段函数基础求值|以选择填空为主，如表格函数与图象函数复合求值，夯实概念理解| |黄金局|抽象函数、绝对值函数、特殊函数（狄利克雷函数）|引入符号运算与推理，如通过f(x-y)关系式推导解析式，提升逻辑思维| |王者局|取整函数分段表示、作图与值域分析|结合几何直观，要求分段函数表示与图象绘制，发展创新意识与空间观念|

2026年暑假新高一自学讲义 56个知识点 · 75道经典例题 · 312个巩固演练 2026年新高一暑假自学 配套同步分层练习 第四周 第 5天 函数的表示法（含分段函数） 青铜局 夯基础·稳扎稳打 1.已知函数f(x)的对应关系如表，函数g(x)的图象为如图所示的曲线ABC，其中A(1，3)，B(2，1)，C(3，2)，则f(g(2))等于(　　) x 1 2 3 f(x) 2 3 0 A.3 B.2 C.1 D.0 2.下列图象是函数y=x|x|的图象的是(　　) 3.已知f =2x+3，则f(6)的值为(　　) A.15 B.7 C.31 D.17 4.已知函数f(x)满足2f(x)+f(-x)=3x+2，则f(2)等于(　　) A.- B.- C. D. 5.(多选)设函数f(x)=若f(a)=6，则实数a等于(　　) A.-4 B.-3 C.4 D.3 6.某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水量不超过10立方米的，按每立方米m元收费；用水量超过10立方米的，超过部分按每立方米2m元收费.某职工某月缴水费16m元，则该职工这个月实际用水量为(　　) A.13立方米 B.14立方米 C.18立方米 D.26立方米 7.(多选)已知函数f(x)=下列关于函数f(x)的结论正确的是(　　) A.f(x)的定义域是R B.f(x)的值域是(-∞，5) C.若f(x)=3，则x= D.f(x)的图象与直线y=2有一个交点 8.(5分)已知二次函数f(x)满足f(2)=-1，f(-1)=-1，且f(x)的最大值是8，则f(x)=　　　　　　. 9.(5分)已知函数f(x)=则使f(x)<2成立的x的值组成的集合为　　　　. 10.(11分)《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过5 000元的部分不必纳税，超过5 000元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按表格分段累计计算： 全月应纳税所得额 税率 不超过3 000元的部分 3% 超过3 000元至12 000元的部分 10% 超过12 000元至25 000元的部分 20% 某职工每月收入为x元，应缴纳的税额为y元. (1)请写出y关于x的函数关系式；(6分) (2)有一职工八月份缴纳了54元的税款，请问该职工八月份的工资是多少？(5分) 黄金局 提能力·融会贯通 11.(多选)已知狄利克雷函数f(x)=则下列结论正确的是(　　) A.f(x)的值域为[0，1] B.f(f(x))=1 C.f(x+1)=f(x) D.f(x)的图象经过点 12.(5分)设x∈R，则函数y=2|x-1|-3|x|的值域为　　　　　　. 13.(5分)已知函数f(x)满足f(0)=1，对任意实数x，y有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1)，则函数f(x)的解析式为　　　　　　. 14.(12分)已知函数f(x)的图象如图所示，在区间上是抛物线的一段. (1)求f(x)的解析式；(6分) (2)解不等式f(x)≤x+1.(6分) 王者局 迎挑战·勇攀高峰 15.(14分)已知函数f(x)=x-[x]，x∈[-1，2)，其中[x]表示不超过x的最大整数，例如[-3.05]=-4，[2.1]=2. (1)将f(x)的解析式写成分段函数的形式；(6分) (2)请在如图所示的平面直角坐标系中作出函数f(x)的图象；(4分) (3)根据图象写出函数f(x)的值域.(4分) 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $2026年暑假新高一自学讲义 56个知识点 · 75道经典例题 · 312个巩固演练 2026年新高一暑假自学 配套同步分层练习 第四周 第 5天 函数的表示法（含分段函数） 青铜局 夯基础·稳扎稳打 1.已知函数f(x)的对应关系如表，函数g(x)的图象为如图所示的曲线ABC，其中A(1，3)，B(2，1)，C(3，2)，则f(g(2))等于(　　) x 1 2 3 f(x) 2 3 0 A.3 B.2 C.1 D.0 答案　B 解析　由题图表知g(2)=1，f(1)=2， 所以f(g(2))=2. 2.下列图象是函数y=x|x|的图象的是(　　) 答案　D 解析　函数y=x|x|=分段画出图象如选项D所示. 3.已知f =2x+3，则f(6)的值为(　　) A.15 B.7 C.31 D.17 答案　C 解析　方法一　令-1=t，则x=2t+2， f(t)=2(2t+2)+3=4t+7， ∴f(x)=4x+7，f(6)=4×6+7=31. 方法二　令-1=6，则x=14， ∴f(6)=2×14+3=31. 4.已知函数f(x)满足2f(x)+f(-x)=3x+2，则f(2)等于(　　) A.- B.- C. D. 答案　C 解析　方法一　由2f(x)+f(-x)=3x+2得2f(-x)+f(x)=-3x+2，消去f(-x)得f(x)=3x+ 所以f(2)=. 方法二　当x=2时，2f(2)+f(-2)=8； 当x=-2时，2f(-2)+f(2)=-4， 解得f(2)=. 5.(多选)设函数f(x)=若f(a)=6，则实数a等于(　　) A.-4 B.-3 C.4 D.3 答案　AD 解析　由得a=-4或a=3. 6.某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水量不超过10立方米的，按每立方米m元收费；用水量超过10立方米的，超过部分按每立方米2m元收费.某职工某月缴水费16m元，则该职工这个月实际用水量为(　　) A.13立方米 B.14立方米 C.18立方米 D.26立方米 答案　A 解析　该单位职工每月应缴水费y元与实际用水量x立方米满足的关系式为 y= 由y=16m，可知x>10. 令2mx-10m=16m，解得x=13. 7.(多选)已知函数f(x)=下列关于函数f(x)的结论正确的是(　　) A.f(x)的定义域是R B.f(x)的值域是(-∞，5) C.若f(x)=3，则x= D.f(x)的图象与直线y=2有一个交点 答案　BCD 解析　f(x)的定义域是(-∞，2)，所以A选项错误； 当x≤-1时，x+2≤1， 当-1<x<2时，0≤x2<4，1≤x2+1<5， 所以f(x)的值域是(-∞，5)，所以B选项正确； 由B选项的分析可知，若f(x)=3， 则解得x=所以C选项正确； 画出f(x)的图象如图所示，由图可知，D选项正确. 8.(5分)已知二次函数f(x)满足f(2)=-1，f(-1)=-1，且f(x)的最大值是8，则f(x)=　　　　　　. 答案　-4x2+4x+7 解析　方法一　(利用“一般式”) 设f(x)=ax2+bx+c(a≠0). 由题意得解得 ∴所求二次函数的解析式为f(x)=-4x2+4x+7. 方法二　(利用“顶点式”) 设f(x)=a(x-m)2+n(a≠0). ∵f(2)=f(-1)， ∴函数图象的对称轴为直线x= ∴m=. 又函数有最大值8， ∴f(x)=a+8. ∵f(2)=-1， ∴a+8=-1，解得a=-4， ∴f(x)=-4+8=-4x2+4x+7. 9.(5分)已知函数f(x)=则使f(x)<2成立的x的值组成的集合为　　　　. 答案　 解析　由题意可得 或 由解得1≤x<； 由解得x<-<x<1. 综上所述，使f(x)<2成立的x的值组成的集合为. 10.(11分)《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过5 000元的部分不必纳税，超过5 000元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按表格分段累计计算： 全月应纳税所得额 税率 不超过3 000元的部分 3% 超过3 000元至12 000元的部分 10% 超过12 000元至25 000元的部分 20% 某职工每月收入为x元，应缴纳的税额为y元. (1)请写出y关于x的函数关系式；(6分) (2)有一职工八月份缴纳了54元的税款，请问该职工八月份的工资是多少？(5分) 解　(1)由题意， 得y= (2)∵该职工八月份缴纳了54元的税款， ∴5 000<x≤8 000，(x-5 000)×3%=54， 解得x=6 800. 故这名职工八月份的工资是6 800元. 黄金局 提能力·融会贯通 11.(多选)已知狄利克雷函数f(x)=则下列结论正确的是(　　) A.f(x)的值域为[0，1] B.f(f(x))=1 C.f(x+1)=f(x) D.f(x)的图象经过点 答案　BC 解析　对于A，f(x)的值域为{0，1}，故A错误；对于B，当x是有理数时，f(x)=1， f(f(x))= f(1)=1，当x是无理数时，f(x)=0，f(f(x))= f(0)=1，故B正确；对于C，当x是有理数时，x+1也为有理数，当x是无理数时，x+1也为无理数，故f(x+1)=f(x)成立，故C正确；对于D，因为f =1， 所以f(x)的图象经过点故D错误. 12.(5分)设x∈R，则函数y=2|x-1|-3|x|的值域为　　　　　　. 答案　{y|y≤2} 解析　当x≥1时，y=2(x-1)-3x=-x-2； 当0≤x<1时，y=-2(x-1)-3x=-5x+2； 当x<0时，y=-2(x-1)+3x=x+2. 故y=根据函数解析式作出函数图象，如图所示. 由图象可以看出，函数的值域为{y|y≤2}. 13.(5分)已知函数f(x)满足f(0)=1，对任意实数x，y有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1)，则函数f(x)的解析式为　　　　　　. 答案　f(x)=x2+x+1 解析　令x=y得f(0)=f(x)-x(2x-x+1)， 则f(x)=x2+x+1. 14.(12分)已知函数f(x)的图象如图所示，在区间上是抛物线的一段. (1)求f(x)的解析式；(6分) (2)解不等式f(x)≤x+1.(6分) 解　(1)由图可知，当x<0时，f(x)=3； 当0≤x≤4时，设f(x)=a(x-2)2-1，a≠0， 把点(1，0)代入得a-1=0，解得a=1， 所以f(x)=(x-2)2-1； 当x>4时，设f(x)=kx+b(k≠0)， 把点(4，3)，(5，0)代入得 解得 所以f(x)=-3x+15. 所以f(x)= (2)f(x)≤x+1， 当x<0时，由3≤x+1，解得x≥4，矛盾，舍去； 当0≤x≤4时，由(x-2)2-1≤x+1，解得≤x≤4； 当x>4时，由-3x+15≤x+1，解得x≥4，所以x>4. 综上，不等式f(x)≤x+1的解集为. 王者局 迎挑战·勇攀高峰 15.(14分)已知函数f(x)=x-[x]，x∈[-1，2)，其中[x]表示不超过x的最大整数，例如[-3.05]=-4，[2.1]=2. (1)将f(x)的解析式写成分段函数的形式；(6分) (2)请在如图所示的平面直角坐标系中作出函数f(x)的图象；(4分) (3)根据图象写出函数f(x)的值域.(4分) 解　(1)当-1≤x<0时，[x]=-1， 所以f(x)=x+1； 当0≤x<1时，[x]=0，所以f(x)=x； 当1≤x<2时，[x]=1，所以f(x)=x-1. 综上， f(x)= (2)函数f(x)的图象如图所示. (3)由图象，得函数f(x)的值域为[0，1). 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $