2026-2027学年上海市高一上学期数学开学考质量检测预测模拟卷·基础卷3

**基本信息** 2026-2027学年上海高一上开学考数学模拟卷（基础篇第3套），聚焦集合、不等式、函数等核心知识，通过基础巩固题（如集合运算、不等式解集）与综合应用题（如双曲线几何综合、集合关系探究），衔接初高中知识，适配开学检测需求，培养数学抽象与推理意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |填空题|12题/54分|集合运算、分式方程、均值不等式|第6题结合充分不必要条件，考查逻辑推理；第11题函数对称轴与最值，强化数学抽象| |选择题|4题/18分|命题逻辑、反比例函数、充要条件|第14题反比例函数与几何图形综合，培养几何直观；第16题充要条件判断，发展理性思维| |解答题|5题/78分|集合运算、方程根问题、双曲线应用|第19题双曲线与平行四边形判定，融合几何直观与运算能力；第21题集合应用探究，提升应用意识|

2026-2027学年上海市高一（上）开学考数学质量检测预测模拟卷 （基础篇·第3套） （沪教版 · 考试时间120分钟 满分150分） 一、填空题（本大题共12小题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，共54分） 1. 已知集合 ，，则 ______ 。 2. 不等式 的解集为 ______ 。 3. 若分式方程 的解为 ______ 。 4. 已知方程 的两根均为正数，则实数 的取值范围为 ______ 。 5. 计算： ______ 。 6. 已知命题 ，命题 ，若 q是 p的充分不必要条件，则实数 的取值范围为 ______ 。 7. 因式分解： ______ 。 8. 已知 ，，且 ，则 的最大值为 ______ 。 9. 设 是方程 的两个根，则 ______ 。 10. 已知 ，，且 ，则 的最小值为 ______ 。 11. 函数 的对称轴方程为 ______ ，最小值为 ______ 。 12. 设集合 ，，若 ，则实数 的取值范围为 ______ 。 二、选择题（本大题共4小题，13-14每题4分；15-16每题5分，共18分） 13. 已知命题 ：若 ，则 。则 的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为（　） A. 0　　B. 1　　C. 2　　D. 3 14. 如图，Rt△AOB的直角顶点O为坐标原点，点A在反比例函数 的图象上，点B在反比例函数 的图象上，AB交y轴于点C，，则 的值为（　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 15. 已知 ，，且 ，则 的最小值为（　） A. 2　　B. 　　C. 　　D. 3 16. 设 ，则“”是“”的（　） A. 充分不必要条件　　B. 必要不充分条件　　C. 充要条件　　D. 既不充分也不必要条件 三、解答题（本大题共5小题，17-19每题14分，20-21每题18分，共78分） 17.（14分） 已知集合 ，。 （1）求 和 ； （2）若 且 ，求实数 的取值范围。 18.（14分） 已知关于 的方程 。 （1）当 时，求该方程的两个实数根； （2）若方程有两个不相等的实数根，求实数 的取值范围； （3）若方程两个实数根的平方和等于 25，求实数 的值。 19.（14分） 如图，已知点A、B在双曲线 （）上， 轴于C， 轴于点D， 与BD交于点P，P是AC的中点。 （1）设A的横坐标为m，试用m、k表示B的坐标； （2）试判断四边形ABCD的形状，并说明理由； （3）若△ABP的面积为3，求该双曲线的解析式。 20.（18分） 已知关于 的不等式 。 （1）当 时，求解该不等式； （2）若不等式解集为 ，求实数 的值； （3）若不等式解集中恰好含有两个整数，求实数 的取值范围。 21.（18分） 已知集合 ，集合 ，。 （1）用列举法表示集合 、，并求 和 ； （2）求 ； （3）若集合 满足 ，且 ，，求满足条件的集合 的最小元素个数。 — 试卷结束 — 参考答案与详细解析 一、填空题 1. 答案： 解析： 为定义域：，即 。 为 的值域，配方得 ，即 。 故 。 2. 答案： 解析： 解方程 ，，根为 、，开口向上，大于0取两根之外。 3. 答案： 解析： 去分母得 ，展开得 ，移项得 ，解得 。检验分母不为0。 4. 答案： 解析： ，且两根积 ，两根和 自动满足。故 。 5. 答案： 解析： ，，，原式 。 6. 答案： 解析： ，。 是 的充分不必要条件 ，需 。 7. 答案： 解析： 十字相乘法：。 8. 答案： 解析： 由 ，由均值不等式 ，。 9. 答案： 解析： ，，。 10. 答案： 解析： ，由基本不等式 ， 故 ，当 时取等号，最小值为 。 11. 答案： ； 解析： 对称轴 ，代入得最小值 。 12. 答案： 解析： 。若 ，，有交集需 （自动满足）；若 ，，有交集需 。综合得 。 二、选择题 13. 答案： B 解析： 命题“若 ，则 ”为真。逆否命题为真，逆命题与否命题为假。故真命题个数为 1，选 B。 14. 答案： B（） 解析： 设 ，。由 ，得 ，即 。 又 在 上，； 在 上，。 代入得 。 由 ，Rt△AOB中 。 设 ，。 点A满足 ，点B满足 。 由 ，，结合垂直关系和三角函数关系，解得 。选 B。 15. 答案： A 解析： 由柯西不等式：，已知 ，故 ，选 A。 16. 答案： D 解析： 不能推出 （如 ）； 也不能推出 （如 ）。故为既不充分也不必要条件，选 D。 三、解答题 17.答案： (1) ，；(2) 解析： ，。 （1），。 （2），需 且 。 18.答案： (1) ；(2) ；(3) 或 解析： （1）当 时，方程为 ，，根为 2、3。 （2），恒成立，故 。 （3）设两根为 ，，， ， ，解得 或 。 19.答案： (1) ；(2) 四边形ABCD是平行四边形；(3) 解析： （1）由题意，设 ， 是 AC 的中点，且 AC ⊥ x 轴于 C，故 ，。 由题意， 在 BD 上，且 BD ⊥ y 轴于 D，故 的纵坐标等于 P 的纵坐标，即 。 又 B 在双曲线 上，且 B 与 D 的纵坐标相同，设 ，代入双曲线得 。 故 。 （2）由（1）得： ，，，。 四边形ABCD中， 与 互相平分于P，故四边形ABCD是平行四边形。 （3）由（1）知 ，，。 在△ABP中： ，。 因为 ，所以： 。 由题意 。 故双曲线的解析式为 。 20.答案： (1) ；(2) ；(3) 或 解析： 因式分解 。 （1）当 时，，解集 。 （2）解集为 ，另一根为 2，即 。 （3）分类讨论： 解集 ，恰两个整数 1、2，需 ； 解集 ，恰两个整数 0、1，需 ； 解集 ，不符合。综上， 或 。 21.答案： (1) ，，，；(2) ；(3) 1 解析： （1） 为 1 到 10 中偶数：； 为 1 到 10 中 3 的倍数：；；。 （2），补集为 。 （3）要使 且 ，取一个 中的元素（即 6）即可同时满足两个条件，所以最小元素个数为 1。 1 学科网（北京）股份有限公司 $