第3章勾股定理小结与思考专项练习 2026-2027学年苏科版数学八年级上册

**基本信息** 聚焦勾股定理的概念辨析、实际应用与综合拓展，通过多样化题型构建从基础到复杂的知识逻辑链，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|选择1-4、填空11-13|勾股数判断、定理直接应用|从勾股数定义到定理验证，构建概念生成逻辑| |实际应用|选择2、6、8、10、填空14-16|生活情境模型（门框、秋千、蚂蚁爬行等）|从平面到立体，体现空间观念与模型意识| |综合拓展|解答17-23|折叠、动态问题、跨知识点结合|结合几何变换与代数推理，形成综合应用逻辑链|

勾股定理专项练习答案与解析 一、选择题 1\答案：D 解析：勾股数是满足勾股定理的正整数组。 A 选项：原选项应为，包含非整数，不是勾股数； B 选项：原选项应为，包含非整数，不是勾股数； C 选项：，不满足勾股定理； D 选项：，且均为正整数，是勾股数。 2、答案：B 解析：长方形门框中，，是直角三角形，根据勾股定理，米。 3、答案：A 解析：在中，，，根据勾股定理，。以为圆心，为半径画弧，，且在原点左侧，因此表示的数为。 4、答案：D 解析：逐一分析四个说法： ①：若是勾股数，则，那么，且均为正整数，仍是勾股数，正确； ②：直角三角形两边为 8、15，若 15 是斜边，则另一条直角边为，斜边不一定是 17，错误； ③：，不满足勾股定理，不是直角三角形，错误； ④：等腰直角三角形中，则，因此，正确。 综上，正确的是①④。 5、答案：B 解析：设，则。 由折叠性质得，又，故，因此，。 在中，由勾股定理：，即，解得，因此。 的面积为。 6、答案：D 解析：过作于，过作于，可证（AAS，因，题目中为输入误差，实际为摆绳固定点的夹角）。 由题意，，，则，因此，。 点高度为，可得点高度为，因此点高度为米。 7、答案：D 解析：设小正方形边长为 1，计算各边长度： ，A 选项正确； ，B 选项正确； ，则，因此，C 选项正确； ，D 选项错误。 8、答案：B 解析：铅笔在笔筒内的最大长度为圆柱的体对角线，即cm。 因此铅笔露在外面的最小长度为cm。 9、答案：B 解析：根据等腰直角三角形的性质： 以此类推，可得。 10、答案：D 解析：将圆柱侧面展开，作关于容器上沿的对称点，连接，则即为最短路径。 展开后，水平距离为底面周长的一半，即cm，垂直距离为cm，因此cm。 二、填空题 11、答案： 解析：三边长之比为，周长为 60，5+12+13=30，60÷30=2 面积为。 12、答案：0 解析：根据勾股定理，，因此。 13、答案：225 解析：根据勾股定理的几何意义，直角三角形斜边对应的正方形面积等于两直角边对应正方形面积之和，因此。 14、答案：25 解析：育苗棚的棚顶斜面为长方形，斜面的宽为直角三角形的斜边，即m，因此塑料薄膜的面积为。 15、答案：12 解析：在中，，因此。 在中，。 16、答案：130 解析：将长方体表面展开，将内壁与外壁的面展开为同一平面，计算得最短路径为 三、解答题 17、答案：60 解析： 延长到，使，连接，可证， 因此，。 在中，，，，满足， 因此是直角三角形，面积为。 因此的面积等于的面积为 60。 18、 答案： 解析：设，则，。 由，可证，因此，，因此，，。 在中，由勾股定理：，即， 解得。 19、答案：(1) ；(2) 解析： (1) 设小正方形边长为 1，计算得，，。 因此，根据勾股定理逆定理，，即。 (2) 由网格的性质，和是等腰直角三角形的两个锐角，因此。 20、答案：(1) 证明见解析；(2) 受影响；(3) 3.5 小时 解析： (1) 证明：，，，则，根据勾股定理逆定理，。 (2) 过作于，则，因此海港受台风影响。 (3) 设台风中心到、点时，，则km， 因此影响时间为小时。 21、 答案：(1) 最短路线为作 A 的对称点，连接 A'B 交河边于 P；(2) 1300m 解析： (1) 作点关于河边的对称点，连接，与河边的交点即为饮水点，此时为最短路径。 (2) 由勾股定理，m， 即最短路线长度为 1300m。 22、答案：(1) ；(2) ；(3) 或 解析： (1) 当与重合时，是中点，，则是的中位线，是中点， 因此。 (2) 延长到，使，连接、，可证，因此，，则，因此。又垂直平分， 故，因此。 (3) 分两种情况： 当在线段上时，，设，则，解得； 当在的延长线上时，，设，则，解得。 23、答案：(1) 100；(2) 24；(3) 是定值，36 解析： (1) 由勾股定理，。 (2) 设，则，由勾股定理，，解得，因此面积为。 (3) 连接，则，又是中点，，因此，是定值。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章勾股定理小结与思考 专项练习 一、选择题 1、下列各组数中，是勾股数的一组为 ( ) A.2,2, B.1,,2 C.4,5,6 D.6,8,10 2、如图，工人师傅砌门时，常用木条 EF 固定长方形门框 ABCD 使其不变形。若 AF=1 米，AE=2 米，则木条 EF= ( ) A. B. C.3 D. 3、 如图，在Rt△AOB中，∠BAO=90∘，AB=1，点 A 恰好落在数轴上表示 - 2 的点上，以原点 O 为圆心，OC 的长为半径画弧交数轴于点 P，使点 P 落在点 A 的左侧，则点 P 所表示的数是（ ） A．- B． C．- D． - 4、下列四个说法： ①如果 a，b，c 为一组勾股数，那么 4a、4b、4c 仍是勾股数； ②如果直角三角形的两边是 8、15，那么斜边必是 17； ③如果一个三角形的三边是 12、25、20，那么此三角形必是直角三角形； ④一个等腰直角三角形的三边是 a，b，c，（a＞b=c），那么 a²：b²：c²=2：1：1． 其中正确的是（ ） A．①② B．①③ C．②④ D．①④ 5、如图，将长方形沿着对角线折叠，使点 C 落在点 C' 处，C'B 交 AD 于 E．若 AB=4，BC=8，则△BDE 的面积是（） A．5 B．10 C．15 D．20 6、如图，小丽在公园里荡秋千，在起始位置 A 处摆绳与地面垂直，摆绳长 2.5 米，向前荡起到最高点 B 处时距地面高度 1.5 米，摆动水平距离为 1.5 米，然后向后摆到最高点 C 处．若前后摆动过程中绳始终拉直，且∠BAC=90°，则小丽在 C 处时距离地面的高度是（ ）． A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.8 7、如图，在边长为1的小正方形网格中，点A,B,C均在网格的格点上，下列结论不正确的是（ ） A. BC= B. AB=5 C. ∠ACB=90∘ D. S△ABC=10 8、将一根长 20cm 的铅笔放入底面直径为 9cm, 高为 12cm 的圆柱形笔筒中，设铅笔露在笔筒外面的长度为 xcm, 则 x 的最小值是 () A.5 B.7 C.12 D.13 9、 如图，△OA₁A₂是等腰直角三角形，OA₁＝1，以斜边 OA₂为直角边作等腰直角三角形 OA₂A₃，再以 OA₃为直角边作等腰直角三角形 OA₃A₄，…，按此规律作下去，则 OAₙ的长为（ ） A． B． C． D． 10、透明的圆柱形容器的高为 12cm，底面周长为 10cm，在容器内壁离容器底部 3cm 的点 B 处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿 3cm 的点 A 处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（ ） A． B． C． D．13 二、填空题 11、一个三角形的三边长之比为 5:12:13，且周长为 60cm，则它的面积为 ． 12、在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4，AB=5，则 AC²+BC²-AB²= ． 13、如图，三角形为直角三角形，字母 A、B、C 表示正方形的面积，B 的值为 289，C 的值为 64，那么 A 的值为 ． 14、如图，要修建一个育苗棚，棚宽 a 为 2 m，高 b 为 1.5 m，长 d 为 10 m. 覆盖在棚顶的塑料薄膜的面积是 m². 15、如图，AC⊥CE,AD=BE=13,BC=5,DE=7, 则 AC= . 16、如图，长方体鱼缸长宽高分别为120cm，50cm，40cm，一只壁虎从外表面点A出发，沿长方体表面爬到内侧点E处，点E在棱上且距离上沿10cm，壁虎爬行最短路程是______cm． 3、 解答题 17、 如图，在△ABC 中，AB=8，AC=17，AD 是边 BC 上的中线，AD=，求△ABC 的面积. 18、 如图，在一张长方形纸片 ABCD 中，AB=8，BC=6，P 为 AD 上的一点，将△ABP 沿 BP 折叠至△EBP 处，PE 与 CD 相交于点 O，且 OE=OD，求 AP 的长. 19、如图，是由6个大小相同的小正方形组成的方格． （1）如图1，A、B、C是三个格点，判断AB与BC的位置关系，并说明理由； （2）如图2，直接写出∠α＋∠β的度数． 20、如图，有一台风中心沿东西方向 AB 由点 A 行驶向点 B , 已知点 c 为一海港，且点 c 与直线 AB 上两点 A , B 的距离分别为 300km 和 400km 且 AB=500 km , 以台风中心为圆心周围 250km 以内为受影响区域. (1) 求证:∠ACB=90°; (2) 海港 c 受台风影响吗？为什么？ (3) 若台风的速度为 40km/h, 则台风影响该海港持续的时间有多长？ 21、牧童在河边 A 处放牛，家在河边 B 处，时近傍晚，牧童驱赶牛群先到河边饮水，然后在天黑前赶回家，已知点 A 到河边 C 的距离为 500m，点 B 到河边 D 的距离为 700m，且 CD＝500m． (1) 请在图中画出牧童回家的最短路线； (2) 求出牧童回家最短路线的长度． 22、如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，D 为 AB 的中点，点 E 在直线 BC 上 (不与点 B，C 重合)，连接 DE，过点 D 作 DF⊥DE 交直线 AC 于点 F，连接 EF. （1）如图①，当点 F 与点 A 重合时，请直接写出线段 EF 与 BE 的数量关系. （2）如图②，当点 F 不与点 A 重合时，请写出线段 AF，EF，BE 之间的数量关系，并说明理由. （3）若 AC=5，BC=3，EC=1，请直接写出线段 AF 的长. 23、如图，射线 AM⊥AN 于点 A ､点 C ､ B 在 AM ､ AN 上，D 为线段 AC 的中点，且 DE⊥BC 于点 E (1) 若 BC=10 , 直接写出 AC²+AB² 的值: (2) 若 AC=8 , △ABC 的周长为 24, 求 △ABC 的面积； (3) 若 AB=6 , C 点在射线 AM 上移动，问此过程中，BE²-C E² 的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请求出它的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $