第3章 勾股定理 单元测试 2026—2027 学年苏科版数学八年级上册

**基本信息** 勾股定理单元卷，融合《周髀算经》《九章算术》等文化素材、楼梯地毯等实际应用及探究性问题，适配初中数学单元复习，全面考查抽象能力、推理意识与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/16|勾股数、直角三角形判定、数轴表示无理数|以《周髀算经》为背景考勾股数，渗透数学文化| |填空|10/20|面积计算、方位角、折竹问题、圆柱最短路径|《九章算术》折竹问题，强化模型意识与空间观念| |解答|9/64|定理应用、赵爽弦图验证、动点综合|25题探究勾股数规律，27题动点问题，提升推理能力与创新意识|

第3章 勾股定理 单元测试 总分：100分（参考答案） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分. 1 2 3 4 5 6 7 8 B C C B C C B A 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分． 9.1 10. /60度 11. 12. 13. 14. 15.等腰三角形或直角三角形/直角三角形或等腰三角形 16. 17. 18. 三、解答题：本题共9小题，共64分. 19．（8分） 【答案】(1)13 (2) 【分析】（1）由勾股定理得，代入计算即可； （2）由勾股定理得，代入计算即可． 【详解】（1）解：在中，， 由勾股定理得，，则；（4分） （2）解：在中，， 由勾股定理得，， 则（8分） 20．（6分） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，熟知勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）作一个两直角边的长分别为3和4的直角三角形即可； （2）作一个三边长分别为，和的三角形即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （3分） （2）解：如图所示，即为所求． （6分） 21．（6分） 【答案】证明：∵，，， ∴，，， ∴， ∴ ∴，即是直角三角形． 【分析】根据勾股定理以及逆定理求解即可． 【详解】略（6分） 22．（6分） 【答案】(1)是直角三角形， 理由如下： 如图所示，连接， 在中，由勾股定理得， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形． (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，熟知勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）利用勾股定理可求出的值，则可证明，据此可得结论； （2）根据列式计算即可． 【详解】（1）略（3分） （2）解： ．（6分） 23．（6分） 【答案】(1)0.7米 (2)0.8米 【分析】（1）在中，根据勾股定理直接求解即可； （2）在中，根据勾股定理，然后根据求解即可． 【详解】（1）解：在中，，，， ∴， 答：梯子的底端到墙角的距离为0.7米；（3分） （2）解：根据题意，得，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 答：的长为0.8米．（6分） 24．（6分） 【答案】(1)； (2)见解析 【分析】（1）根据题干图将正方形中各小图形面积相加即可； （2）根据两个大正方形的面积相等推导即可． 【详解】（1）解：图1的大正方形的面积； 图2的大正方形的面积；（3分） （2）解：由题图可知，两个大正方形的边长都是， ∴两个大正方形的面积相等， ， 化简可得．（6分） 25．（8分） 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】（1）仿照题中给出的样例直接代入即可； （2）观察样例的规律，总结出关于的规律即可； （3）观察样例的规律，总结出关于的规律，代入数值计算即可； （4）观察样例的规律，总结出关于的规律即可． 【详解】（1）勾为7时，，；（2分） （2）勾为3时，股=，弦=； 勾为5时，股=，弦=； 可归纳出规律： 当勾为奇数时，股，弦；（4分） （3）：，，； ：，，； ：，，； 可得规律：当勾为偶数为正整数）时，股=，弦=． ∵弦长为， ∴，解得， ∴勾，股；（6分） （4） 由（3）可得规律：当勾为偶数为正整数）时，股=，弦=． （8分） 26．（9分） 【答案】(1)证明：由轴对称的性质可知：垂直平分， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； (2) (3)证明：在中，由勾股定理得：， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∵， ∴． 【分析】（1）由轴对称的性质可知：垂直平分，则有，然后可得，进而问题可求证； （2）由题意易得，，然后可得，进而问题可求解； （3）由勾股定理可得，，然后问题可求证． 【详解】（1）略（3分） （2）解：∵，垂直平分， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴；（6分） （3）略（9分） 27．（9分） 【答案】(1) (2)当秒或秒或秒时，是以为腰的等腰三角形 (3)当为4秒或12秒时，直线把的周长分成相等的两部分 【分析】（1）利用勾股定理可求出的长，根据路程等于速度乘以时间可表示出点的运动路程长； （2）结合运动轨迹画出图形，分情况讨论即可； （3）结合运动轨迹画出图形，分情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ． ∵点的速度为， ∴点的运动路程长为；（3分） （2）解：①若点在上，则，， ∴， 解得； ②若点在上，则，， （i）当时，， 解得； （ii）当时，作于， 则， ∴ ∴， ∴， ∴， 解得． 综上所述，当或或时，是以为腰的等腰三角形；（6分） （3）解：∵的周长为cm，． ①当时，点在上，点在上， 则，，， ∴， 解得， 如图所示，此时点刚好运动到点； ②当时，点在上，点在上， 由①得，此时，不符合题意； ③当时，点、都在上，，，不符合题意； ④当时，点在上，点在上， 则，， ， ∴， 解得， 如图所示，此时点刚好回到点． 综上所述，当为4或12时，直线把的周长分成相等的两部分．（9分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 勾股定理 单元测试 总分：100分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分. 1．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（     ） A．，， B．，， C．1，，2 D．，， 【答案】B 【分析】根据勾股数的定义，勾股数需满足两个条件，一是三个数均为正整数，二是两个较小数的平方和等于最大数的平方，据此逐一判断各选项即可求解． 【详解】解：勾股数要求三个数均为正整数，选项A中三个数为小数，选项C中不是正整数，∴排除A,C； 对选项D：，，，不符合要求，排除D； 对选项B：，且三个数均为正整数，符合勾股数定义，因此选B． 2．下列条件不能判定是直角三角形的是（     ） A． B．，， C．，， D． 【答案】C 【分析】本题考查直角三角形的判定，分别根据角的性质、三角形内角和定理，以及勾股定理的逆定理，对各选项逐一判断即可． 【详解】解：A选项 ∵，∴是直角三角形，本选项不符合题意； B选项 ∵，符合勾股定理的逆定理， ∴是直角三角形，本选项不符合题意； C选项 ∵，，，不满足勾股定理的逆定理， ∴不能判定是直角三角形，本选项符合题意； D选项 ∵，且， ∴，得， ∴是直角三角形，本选项不符合题意． 3．如图，在中，是斜边上的中线，若，，则的长为（   ）． A．10 B．8 C．5 D．4 【答案】C 【分析】先利用勾股定理求出斜边的长度，再根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半这一性质，计算中线的长． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得： ， 是斜边上的中线， ． 4．如图，在数轴上找出表示的点A，过点A作直线，在l上取点B，使，以点O为圆心，为半径作弧，弧与数轴交点为C，则点C表示的数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵直线，， ∴ ∴点C表示的数是． 5．我国古代数学典籍《算法统宗》记载了这样一道题，其大意是：昨日丈量田地回到家，记得长方形田的长为30步，宽与对角线的和为50步，不知田有几亩．设长方形田的宽为步，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查根据勾股定理列方程，先根据题意表示出长方形对角线的长度，再利用直角三角形勾股定理列出方程即可． 【详解】解：设长方形田的宽为步，宽与对角线的和为步， 则对角线长为步， ∵长方形中长，宽，对角线构成直角三角形，符合勾股定理，且已知长为步， ∴根据勾股定理可得 ，C选项符合题意． 6．为了提升通行安全，防止上下楼滑倒，某小区某单元楼在楼梯改造工程中，铺设防滑红地毯，如图所示，已知楼梯的斜面长度为米，楼梯的竖直总高度为2米，则铺设地毯的长度为（     ） A．36米 B．6米 C．8米 D．10米 【答案】C 【分析】如图（见解析），利用勾股定理求出的长，再根据铺设地毯的长度等于的长解答即可． 【详解】解：如图，由题意得：米，米，， ∴在中，米， ∴铺设地毯的长度为（米）． 7．“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为，．若小正方形面积为5，，则大正方形面积为（     ） A．12 B．13 C．14 D．21 【答案】B 【分析】根据图形特征，小正方形的边长为直角三角形两直角边之差，即为，大正方形的面积为直角三角形斜边的平方即，结合已知条件利用完全平方公式建立方程组求解即可． 【详解】解：由图可知，中间小正方形的边长为， 小正方形的面积为 ， 即①， ， ②， 得 ， ， 大正方形的边长为直角三角形的斜边， 大正方形的面积为直角三角形斜边的平方即， 8．已知，在中，，，，平分，点是上一点，且的面积为，则的长为（     ） A． B．9 C． D．3 【答案】A 【分析】过D作于F，首先，由勾股定理求得的长，再由平分，，，得，再证得，得，进而得的长，然后，设，则，运用勾股定理，得，得，进而得，最后，由的面积为，可得的长． 【详解】解：如图，过D作于F， ∵，，， ∴， ∵平分，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理，得，即， 解得， ∴， ∵的面积为，即， ∴， ∴． 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分． 9．如图，在中，，，，则的面积为________． 【答案】1 【分析】根据勾股定理求出，再由三角形的面积公式计算即可． 【详解】解∶∵在中，，，， ∴， ∴． 10．如图，超市在医院的南偏东的方向，且到医院的距离为，公园到医院的距离为．若公园到超市的距离为，则公园在医院的北偏东_________的方向． 【答案】/60度 【分析】由题意得，，根据勾股定理逆定理得到，即可求解的度数． 【详解】解：如图，由题意得，， ∴ ∴， ∴ ∴， 故公园在医院的北偏东的方向． 11．《九章算术》中有这样一道“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折高者几何？意思是：如图，一根竹子，原高1丈（1丈尺），风将其折断后，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，则折断处离地面的高度是______尺． 【答案】 【详解】解：设折断处离地面的高度是尺，则该直角三角形的斜边长为尺，由勾股定理可得： ， 解得：， 即折断处离地面的高度是尺． 12．如图，分别以的三条边为边向外作正方形，面积分别记为，，．若，，则________． 【答案】 【分析】根据正方形的面积公式及勾股定理可得，进而可求出． 【详解】解：∵分别以的三条边为边向外作正方形，面积分别记为，，， ∴，，，， ∴， ∵，， ∴． 13．如图，在中，，，，根据尺规作图痕迹，线段的长为______． 【答案】 【分析】由勾股定理的逆定理可得是直角三角形，，由作图可知，，再结合等面积法求解即可． 【详解】解：在中，，，， ， 是直角三角形，， 由作图可知，， ， ． 14．如图，长方形纸片，，将长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点处，折痕为，若，，则的长为______． 【答案】 【分析】根据折叠的性质得到，则，在中，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：根据折叠的性质得到，， ， ， 四边形是长方形， ， ， ， ， ． 15．设a，b，c是的三条边，且，则这个三角形是______． 【答案】等腰三角形或直角三角形/直角三角形或等腰三角形 【分析】对已知等式移项分组后进行因式分解，得到，根据多个因式乘积为零则至少一个因式为零，可得或，结合三角形的定义即可判断三角形形状． 【详解】解： ∴ ∴ ∴ 或 ∴或 又∵a，b，c是的三条边， 是等腰三角形或直角三角形． 16．如图，和都是等腰直角三角形，，，点在上（点不与点，重合）．写出线段，，之间的数量关系式：__________． 【答案】 【分析】连接，先证明，根据全等三角形的性质可得，，结合勾股定理可得结论． 【详解】解：如图，连接， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，，， ∵， ∴， ∴ ∴， ∵ ∴， ∴为直角三角形 根据勾股定理可得：， ∴ ∵在中，根据勾股定理有，， ∴， ∴. 17．一个圆柱形饮料罐底面周长为5cm，高为3cm，一只蚂蚁从底面圆周上的点A处出发，沿圆柱侧面爬行一周到点B处．则蚂蚁爬行的最短路径长度为______cm． 【答案】 【分析】 将圆柱侧面展开为矩形，蚂蚁爬行的最短路径即为矩形的对角线长度，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：圆柱形饮料罐底面周长为，高为， 将圆柱侧面展开得到一个矩形，该矩形的长为，宽为， 由勾股定理得，蚂蚁爬行的最短路径长度为． 18．如图，某厂的自动化流水线由两条平行的传送带a、b组成，a、b之间的距离为1米，在a、b之间要布置跨线工位，使得，物料供应点A到传送带a的距离米，物料供应点B到传送带b的距离米，A，B之间的距离为米，若要求两个物料供应点到工位的搬运距离相等，即，则________． 【答案】 【分析】过点作交的延长线于点，求得，利用勾股定理求得，设，则，利用勾股定理分别求得，，根据，列式计算即可求解． 【详解】解：过点作交的延长线于点， ∵，，， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∵，， ∴，， ∵，即， ∴， 解得； 即． 三、解答题：本题共9小题，共64分. 19．（8分）在中，分别表示的对边． (1)已知，求； (2)已知，求（用含的式子表示）． 【答案】(1)13 (2) 【分析】（1）由勾股定理得，代入计算即可； （2）由勾股定理得，代入计算即可． 【详解】（1）解：在中，， 由勾股定理得，，则；（4分） （2）解：在中，， 由勾股定理得，， 则（8分） 20．（6分）如图，正方形方格中的每个小正方形的边长都是1，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中，作一个直角三角形，使得三角形的顶点都在格点上，且三边都为有理数． (2)在图2中，作一个直角三角形，使得三角形的顶点都在格点上，且斜边的长为，另两条直角边均为无理数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，熟知勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）作一个两直角边的长分别为3和4的直角三角形即可； （2）作一个三边长分别为，和的三角形即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （3分） （2）解：如图所示，即为所求． （6分） 21．（6分）如图，在中，，垂足为D，，，，求证：是直角三角形． 【答案】证明：∵，，， ∴，，， ∴， ∴ ∴，即是直角三角形． 【分析】根据勾股定理以及逆定理求解即可． 【详解】略（6分） 22．（6分）如图，四边形中，，，，，． (1)判断是直角三角形吗？并说明理由； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)是直角三角形， 理由如下： 如图所示，连接， 在中，由勾股定理得， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形． (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，熟知勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）利用勾股定理可求出的值，则可证明，据此可得结论； （2）根据列式计算即可． 【详解】（1）略（3分） （2）解： ．（6分） 23．（6分）如图，一架2.5米长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时为2.4米． (1)求梯子的底端距墙角多少米？ (2)如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米到，梯子底端外移到，求的长． 【答案】(1)0.7米 (2)0.8米 【分析】（1）在中，根据勾股定理直接求解即可； （2）在中，根据勾股定理，然后根据求解即可． 【详解】（1）解：在中，，，， ∴， 答：梯子的底端到墙角的距离为0.7米；（3分） （2）解：根据题意，得，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 答：的长为0.8米．（6分） 24．（6分）勾股定理是世界上应用最广泛的定理之一，它的验证方法有很多，图1和图2都是用4个以c为斜边，a，b为直角边的直角三角形拼成的大正方形，空白部分都是正方形． (1)用含a，b的式子表示图1的大正方形的面积：________，用含a，b，c的式子表示图2的大正方形的面积：______； (2)利用（1）中的两个式子，尝试验证勾股定理． 【答案】(1)； (2)见解析 【分析】（1）根据题干图将正方形中各小图形面积相加即可； （2）根据两个大正方形的面积相等推导即可． 【详解】（1）解：图1的大正方形的面积； 图2的大正方形的面积；（3分） （2）解：由题图可知，两个大正方形的边长都是， ∴两个大正方形的面积相等， ， 化简可得．（6分） 25．（8分）勾股定理是一个基本的几何定理，早在我国西汉时期的算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫“整数直角三角形”，这三个整数叫做一组“勾股数”．值得自豪的是，世界上第一次给出的勾股数公式，收集在我国的《九章算术》中． 【探究1】 观察，，…，可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，并且勾为3时股，弦；勾为5时股，弦；请仿照上面两组样例，用发现的规律填空： (1)如果勾为7，则股___________，弦___________； (2)如果用n（，且n为奇数）表示勾，请用含有n的式子表示股和弦，则股=___________，弦=___________； 【探究2】 观察，，，…，，…，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从6起也没有间断过． (3)___________，___________； (4)如果用（m为正整数且）表示勾，请用含有m的式子表示股和弦，则股___________，弦___________． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】（1）仿照题中给出的样例直接代入即可； （2）观察样例的规律，总结出关于的规律即可； （3）观察样例的规律，总结出关于的规律，代入数值计算即可； （4）观察样例的规律，总结出关于的规律即可． 【详解】（1）勾为7时，，；（2分） （2）勾为3时，股=，弦=； 勾为5时，股=，弦=； 可归纳出规律： 当勾为奇数时，股，弦；（4分） （3）：，，； ：，，； ：，，； 可得规律：当勾为偶数为正整数）时，股=，弦=． ∵弦长为， ∴，解得， ∴勾，股；（6分） （4） 由（3）可得规律：当勾为偶数为正整数）时，股=，弦=． （8分） 26．（9分）过等腰直角三角形的直角顶点，在三角形的外侧作直线，点关于直线的对称点为，连接，，其中交直线于点，与交于点． (1)求证：是等腰三角形； (2)连接，求的度数； (3)求证：． 【答案】(1)证明：由轴对称的性质可知：垂直平分， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； (2) (3)证明：在中，由勾股定理得：， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∵， ∴． 【分析】（1）由轴对称的性质可知：垂直平分，则有，然后可得，进而问题可求证； （2）由题意易得，，然后可得，进而问题可求解； （3）由勾股定理可得，，然后问题可求证． 【详解】（1）略（3分） （2）解：∵，垂直平分， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴；（6分） （3）略（9分） 27．（9分）如图，在中，，，，动点从点出发，沿着的三条边逆时针走一圈，回到点后停止，速度为，设运动时间为秒． (1)边长________：点的运动路程长为________（用含的代数式表示）： (2)若是以为腰的等腰三角形，求的值； (3)另有一动点，从点开始，沿着的路线运动，且速度为．若，两点同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．请直接写出当为何值时，直线把的周长分成相等的两部分． 【答案】(1) (2)当秒或秒或秒时，是以为腰的等腰三角形 (3)当为4秒或12秒时，直线把的周长分成相等的两部分 【分析】（1）利用勾股定理可求出的长，根据路程等于速度乘以时间可表示出点的运动路程长； （2）结合运动轨迹画出图形，分情况讨论即可； （3）结合运动轨迹画出图形，分情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ． ∵点的速度为， ∴点的运动路程长为；（3分） （2）解：①若点在上，则，， ∴， 解得； ②若点在上，则，， （i）当时，， 解得； （ii）当时，作于， 则， ∴ ∴， ∴， ∴， 解得． 综上所述，当或或时，是以为腰的等腰三角形；（6分） （3）解：∵的周长为cm，． ①当时，点在上，点在上， 则，，， ∴， 解得， 如图所示，此时点刚好运动到点； ②当时，点在上，点在上， 由①得，此时，不符合题意； ③当时，点、都在上，，，不符合题意； ④当时，点在上，点在上， 则，， ， ∴， 解得， 如图所示，此时点刚好回到点． 综上所述，当为4或12时，直线把的周长分成相等的两部分．（9分） 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 勾股定理 单元测试 总分：100分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分. 1．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（     ） A．，， B．，， C．1，，2 D．，， 2．下列条件不能判定是直角三角形的是（     ） A． B．，， C．，， D． 3．如图，在中，是斜边上的中线，若，，则的长为（   ）． A．10 B．8 C．5 D．4 4．如图，在数轴上找出表示的点A，过点A作直线，在l上取点B，使，以点O为圆心，为半径作弧，弧与数轴交点为C，则点C表示的数是（     ） A． B． C． D． 5．我国古代数学典籍《算法统宗》记载了这样一道题，其大意是：昨日丈量田地回到家，记得长方形田的长为30步，宽与对角线的和为50步，不知田有几亩．设长方形田的宽为步，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 6．为了提升通行安全，防止上下楼滑倒，某小区某单元楼在楼梯改造工程中，铺设防滑红地毯，如图所示，已知楼梯的斜面长度为米，楼梯的竖直总高度为2米，则铺设地毯的长度为（     ） A．36米 B．6米 C．8米 D．10米 7．“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为，．若小正方形面积为5，，则大正方形面积为（     ） A．12 B．13 C．14 D．21 8．已知，在中，，，，平分，点是上一点，且的面积为，则的长为（     ） A． B．9 C． D．3 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分． 9．如图，在中，，，，则的面积为________． 10．如图，超市在医院的南偏东的方向，且到医院的距离为，公园到医院的距离为．若公园到超市的距离为，则公园在医院的北偏东_________的方向． 11．《九章算术》中有这样一道“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折高者几何？意思是：如图，一根竹子，原高1丈（1丈尺），风将其折断后，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，则折断处离地面的高度是______尺． 12．如图，分别以的三条边为边向外作正方形，面积分别记为，，．若，，则________． 13．如图，在中，，，，根据尺规作图痕迹，线段的长为______． 14．如图，长方形纸片，，将长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点处，折痕为，若，，则的长为______． 15．设a，b，c是的三条边，且，则这个三角形是______． 16．如图，和都是等腰直角三角形，，，点在上（点不与点，重合）．写出线段，，之间的数量关系式：__________． 17．一个圆柱形饮料罐底面周长为5cm，高为3cm，一只蚂蚁从底面圆周上的点A处出发，沿圆柱侧面爬行一周到点B处．则蚂蚁爬行的最短路径长度为______cm． 18．如图，某厂的自动化流水线由两条平行的传送带a、b组成，a、b之间的距离为1米，在a、b之间要布置跨线工位，使得，物料供应点A到传送带a的距离米，物料供应点B到传送带b的距离米，A，B之间的距离为米，若要求两个物料供应点到工位的搬运距离相等，即，则________． 三、解答题：本题共9小题，共64分. 19．（8分）在中，分别表示的对边． (1)已知，求； (2)已知，求（用含的式子表示）． 20．（6分）如图，正方形方格中的每个小正方形的边长都是1，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中，作一个直角三角形，使得三角形的顶点都在格点上，且三边都为有理数． (2)在图2中，作一个直角三角形，使得三角形的顶点都在格点上，且斜边的长为，另两条直角边均为无理数． 21．（6分）如图，在中，，垂足为D，，，，求证：是直角三角形． 22．（6分）如图，四边形中，，，，，． (1)判断是直角三角形吗？并说明理由； (2)求四边形的面积． 23．（6分）如图，一架2.5米长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时为2.4米． (1)求梯子的底端距墙角多少米？ (2)如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米到，梯子底端外移到，求的长． 24．（6分）勾股定理是世界上应用最广泛的定理之一，它的验证方法有很多，图1和图2都是用4个以c为斜边，a，b为直角边的直角三角形拼成的大正方形，空白部分都是正方形． (1)用含a，b的式子表示图1的大正方形的面积：________，用含a，b，c的式子表示图2的大正方形的面积：______； (2)利用（1）中的两个式子，尝试验证勾股定理． 25．（8分）勾股定理是一个基本的几何定理，早在我国西汉时期的算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫“整数直角三角形”，这三个整数叫做一组“勾股数”．值得自豪的是，世界上第一次给出的勾股数公式，收集在我国的《九章算术》中． 【探究1】 观察，，…，可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，并且勾为3时股，弦；勾为5时股，弦；请仿照上面两组样例，用发现的规律填空： (1)如果勾为7，则股___________，弦___________； (2)如果用n（，且n为奇数）表示勾，请用含有n的式子表示股和弦，则股=___________，弦=___________； 【探究2】 观察，，，…，，…，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从6起也没有间断过． (3)___________，___________； (4)如果用（m为正整数且）表示勾，请用含有m的式子表示股和弦，则股___________，弦___________． 26．（9分）过等腰直角三角形的直角顶点，在三角形的外侧作直线，点关于直线的对称点为，连接，，其中交直线于点，与交于点． (1)求证：是等腰三角形； (2)连接，求的度数； (3)求证：． 27．（9分）如图，在中，，，，动点从点出发，沿着的三条边逆时针走一圈，回到点后停止，速度为，设运动时间为秒． (1)边长________：点的运动路程长为________（用含的代数式表示）： (2)若是以为腰的等腰三角形，求的值； (3)另有一动点，从点开始，沿着的路线运动，且速度为．若，两点同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．请直接写出当为何值时，直线把的周长分成相等的两部分． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 第3章 勾股定理 单元测试 总分：100分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分. 1．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（     ） A．，， B．，， C．1，，2 D．，， 2．下列条件不能判定是直角三角形的是（     ） A． B．，， C．，， D． 3．如图，在中，是斜边上的中线，若，，则的长为（   ）． A．10 B．8 C．5 D．4 4．如图，在数轴上找出表示的点A，过点A作直线，在l上取点B，使，以点O为圆心，为半径作弧，弧与数轴交点为C，则点C表示的数是（     ） A． B． C． D． 5．我国古代数学典籍《算法统宗》记载了这样一道题，其大意是：昨日丈量田地回到家，记得长方形田的长为30步，宽与对角线的和为50步，不知田有几亩．设长方形田的宽为步，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 6．为了提升通行安全，防止上下楼滑倒，某小区某单元楼在楼梯改造工程中，铺设防滑红地毯，如图所示，已知楼梯的斜面长度为米，楼梯的竖直总高度为2米，则铺设地毯的长度为（     ） A．36米 B．6米 C．8米 D．10米 7．“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为，．若小正方形面积为5，，则大正方形面积为（     ） A．12 B．13 C．14 D．21 8．已知，在中，，，，平分，点是上一点，且的面积为，则的长为（     ） A． B．9 C． D．3 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分． 9．如图，在中，，，，则的面积为________． 10．如图，超市在医院的南偏东的方向，且到医院的距离为，公园到医院的距离为．若公园到超市的距离为，则公园在医院的北偏东_________的方向． 11．《九章算术》中有这样一道“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折高者几何？意思是：如图，一根竹子，原高1丈（1丈尺），风将其折断后，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，则折断处离地面的高度是______尺． 12．如图，分别以的三条边为边向外作正方形，面积分别记为，，．若，，则________． 13．如图，在中，，，，根据尺规作图痕迹，线段的长为______． 14．如图，长方形纸片，，将长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点处，折痕为，若，，则的长为______． 15．设a，b，c是的三条边，且，则这个三角形是______． 16．如图，和都是等腰直角三角形，，，点在上（点不与点，重合）．写出线段，，之间的数量关系式：__________． 17．一个圆柱形饮料罐底面周长为5cm，高为3cm，一只蚂蚁从底面圆周上的点A处出发，沿圆柱侧面爬行一周到点B处．则蚂蚁爬行的最短路径长度为______cm． 18．如图，某厂的自动化流水线由两条平行的传送带a、b组成，a、b之间的距离为1米，在a、b之间要布置跨线工位，使得，物料供应点A到传送带a的距离米，物料供应点B到传送带b的距离米，A，B之间的距离为米，若要求两个物料供应点到工位的搬运距离相等，即，则________． 三、解答题：本题共9小题，共64分. 19．（8分）在中，分别表示的对边． (1)已知，求； (2)已知，求（用含的式子表示）． 20．（6分）如图，正方形方格中的每个小正方形的边长都是1，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中，作一个直角三角形，使得三角形的顶点都在格点上，且三边都为有理数． (2)在图2中，作一个直角三角形，使得三角形的顶点都在格点上，且斜边的长为，另两条直角边均为无理数． 21．（6分）如图，在中，，垂足为D，，，，求证：是直角三角形． 22．（6分）如图，四边形中，，，，，． (1)判断是直角三角形吗？并说明理由； (2)求四边形的面积． 23．（6分）如图，一架2.5米长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时为2.4米． (1)求梯子的底端距墙角多少米？ (2)如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米到，梯子底端外移到，求的长． 24．（6分）勾股定理是世界上应用最广泛的定理之一，它的验证方法有很多，图1和图2都是用4个以c为斜边，a，b为直角边的直角三角形拼成的大正方形，空白部分都是正方形． (1)用含a，b的式子表示图1的大正方形的面积：________，用含a，b，c的式子表示图2的大正方形的面积：______； (2)利用（1）中的两个式子，尝试验证勾股定理． 25．（8分）勾股定理是一个基本的几何定理，早在我国西汉时期的算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫“整数直角三角形”，这三个整数叫做一组“勾股数”．值得自豪的是，世界上第一次给出的勾股数公式，收集在我国的《九章算术》中． 【探究1】 观察，，…，可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，并且勾为3时股，弦；勾为5时股，弦；请仿照上面两组样例，用发现的规律填空： (1)如果勾为7，则股___________，弦___________； (2)如果用n（，且n为奇数）表示勾，请用含有n的式子表示股和弦，则股=___________，弦=___________； 【探究2】 观察，，，…，，…，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从6起也没有间断过． (3)___________，___________； (4)如果用（m为正整数且）表示勾，请用含有m的式子表示股和弦，则股___________，弦___________． 26．（9分）过等腰直角三角形的直角顶点，在三角形的外侧作直线，点关于直线的对称点为，连接，，其中交直线于点，与交于点． (1)求证：是等腰三角形； (2)连接，求的度数； (3)求证：． 27．（9分）如图，在中，，，，动点从点出发，沿着的三条边逆时针走一圈，回到点后停止，速度为，设运动时间为秒． (1)边长________：点的运动路程长为________（用含的代数式表示）： (2)若是以为腰的等腰三角形，求的值； (3)另有一动点，从点开始，沿着的路线运动，且速度为．若，两点同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．请直接写出当为何值时，直线把的周长分成相等的两部分． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $