精品解析： 2022年湘教版九年级中考数学复习题

九年级下学期数学中考复习 1. 下列计算错误的是（ ） A. B. C. D. 2. 把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 化简分式 的结果是 A. 2 B. C. D. －2 4. 如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（ ） A. k>－ B. k>－且 C. k<－ D. k－且 5. 一个圆锥的左视图是一个正三角形，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角等于（ ） A. 60° B. C. D. 6. 如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为（ ） A. 75° B. 60° C. 55° D. 45° 7. 如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交成的锐角为α，若AC=a，BD=b，则▱ABCD的面积是（ ） A. absinα B. absinα C. abcosα D. abcosα 8. 抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＜0；③c﹣a＝2：④方程ax2+bx+c﹣2＝0有两个相等的实数根．其中正确结论的个数为（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 9. 的相反数是_________，的倒数是_______，的平方根是______． 10. 在函数中，自变量x的取值范围是___． 11. 若正多边形的一个外角为30°，则这个多边形为正_______边形． 12. 为了解我市市区及周边近170万人的出行情况，科学规划轨道交通，2017年5月，400名调查者走入1万户家庭，发放3万份问卷，进行调查登记．该调查中的样本容量是_________．（用科学记数法表示） 13. 已知，，是反比例函数的图象上的三个点，且，，则、、的大小关系是_________． 14. 在一组数据1， 0， 4， 5， 8中插入一个数据x，使该组数据中位数为3，则插入数据x的值为________． 15. 在Rt△ABC中，CA=CB，AB=，点D在BC边上，连接AD，若tan∠CAD=，则BD的长为___． 16. 如图，已知矩形ABCD，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，连接DE、BE，若△ABE是等边三角形，则=_______． 17. 计算：． 18. 化简求值：，其中． 19. 如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于A、B两点，过点A作AC垂直x轴于点C，连接BC．若△ABC的面积为2． （1）求k的值； （2）x轴上是否存在一点D，使△ABD为直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 20. 已知：如图，D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，MA=MC． ①求证：CD=AN； ②若∠AMD=2∠MCD，求证：四边形ADCN是矩形． 21. 一艘轮船自西向东航行，在处测得东偏北21.3°方向有一座小岛，继续向东航行60海里到达处，测得小岛此时在轮船的东偏北63.5°方向上.之后，轮船继续向东航行多少海里，距离小岛最近？（参考数据：，，，） 22. 某中学九（1）班为了了解全班学生喜欢球类活动的情况，采取全面调查的方法，从足球、乒乓球、篮球、排球等四个方面调查了全班学生的兴趣爱好，根据调查的结果组建了4个兴趣小组，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图（如图①，②，要求每位学生只能选择一种自己喜欢的球类），请你根据图中提供的信息解答下列问题： （1）九（1）班的学生人数为　 　，并把条形统计图补充完整； （2）扇形统计图中m=　 　，n=　 　，表示“足球”的扇形的圆心角是　 　度； （3）排球兴趣小组4名学生中有3男1女，现在打算从中随机选出2名学生参加学校的排球队，请用列表或画树状图的方法求选出的2名学生恰好是1男1女的概率． 23. 如图，在中，，O、D分别为AB、BC上的点． 经过A、D两点的分别交AB、AC于点E、F，且D为弧EF的中点． （1）求证：BC与相切； （2）当，时． 求的长． 24. 在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点P在线段BC上（不含点B），∠BPE= ∠ACB，PE交BO于点E，过点B作BF⊥PE，垂足为F，交AC于点G． （1）当点P与点C重合时（如图1）．求证：△BOG≌△POE； （2）通过观察、测量、猜想：=　 　，并结合图2证明你的猜想； （3）把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变（如图3），若∠ACB=α，求的值．（用含α的式子表示） 25. 如图1，已知A（3，0）、B（4，4）、原点O（0，0）在抛物线y=ax2+bx+c （a≠0）上． （1）求抛物线的解析式． （2）将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个交点D，求m的值及点D的坐标． （3）如图2，若点N在抛物线上，且∠NBO=∠ABO，则在（2）的条件下，求出所有满足△POD∽△NOB的点P的坐标（点P、O、D分别与点N、O、B对应） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级下学期数学中考复习 1. 下列计算错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据相反数的性质，二次根式的性质，幂的乘方运算，合并同类项，分别计算找出计算错误的选项即可； 【详解】解：A，，计算正确； B，，计算正确； C， ，∴计算错误； D，，∴计算正确． 2. 把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得，   不等式组的解集为． 在数轴上表示为： 处为空心圆圈向右，1处为实心圆点向左，中间部分即为解集． 观察选项，只有B选项符合． 故选：B ． 3. 化简分式 的结果是 A. 2 B. C. D. －2 【答案】A 【解析】 【详解】解：． 故选A． 4. 如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（ ） A. k>－ B. k>－且 C. k<－ D. k－且 【答案】B 【解析】 【分析】一元二次方程有两个不相等的实数根必须满足（1）二次项系数不为零；（2）根的判别式，由此即可求解． 【详解】解：由题意知，k≠0， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 即． 解得：k＞， ∴k＞且k≠0． 故选B． 【点睛】本题考查根据一元二次方程根的情况求参数，熟记判别式与根的关系是解题的关键． 5. 一个圆锥的左视图是一个正三角形，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角等于（ ） A. 60° B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查由三视图判断几何体，圆锥的计算，扇形的弧长公式，根据圆锥的左视图可知圆锥的母线长等于圆锥底面圆的直径，结合弧长公式求解即可． 【详解】∵圆锥的左视图是一个正三角形， ∴若设底面圆的半径为r，则圆锥的母线长为，底面周长． ∵圆锥的底面周长等于它的侧面展开图扇形的弧长， ∴根据扇形的弧长公式，扇形弧长公式得， 解得：． 故选：D． 6. 如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为（ ） A. 75° B. 60° C. 55° D. 45° 【答案】B 【解析】 【分析】由正方形的性质和等边三角形的性质得出∠BAE＝150°，AB＝AE，由等腰三角形的性质和内角和得出∠ABE＝∠AEB＝15°，再运用三角形的外角性质即可得出结果． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD＝90°，AB＝AD，∠BAF＝45°， ∵△ADE是等边三角形， ∴∠DAE＝60°，AD＝AE， ∴∠BAE＝90°＋60°＝150°，AB＝AE， ∴∠ABE＝∠AEB＝（180°−150°）＝15°， ∴∠BFC＝∠BAF＋∠ABE＝45°＋15°＝60°； 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质；熟练掌握正方形和等边三角形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键． 7. 如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交成的锐角为α，若AC=a，BD=b，则▱ABCD的面积是（ ） A. absinα B. absinα C. abcosα D. abcosα 【答案】A 【解析】 【分析】过点C作CE⊥DO于点E，进而得出EC的长，再利用三角形面积公式求出即可． 【详解】过点C作CE⊥DO于点E， ∵在▱ABCD中，对角线AC、BD相交成的锐角为α，AC=a，BD=b， ∴sinα=， ∴EC=COsinα=asinα， ∴S△BCD=CE×BD=×asinα×b=absinα， ∴▱ABCD的面积是：2×absinα=absinα． 故选A． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质以及解直角三角形，通过作辅助线利用解直角三角形得出EC的长是解题关键． 8. 抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＜0；③c﹣a＝2：④方程ax2+bx+c﹣2＝0有两个相等的实数根．其中正确结论的个数为（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】利用抛物线与x轴有2个交点和判别式的意义可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点A在点（0，0）和（1，0）之间，则x＝1时，a﹣b+c＜0，则可对②进行判断；由抛物线的对称轴方程得到b＝2a，而x＝﹣1时，a﹣b+c＝2，则a﹣2a+c＝2，、于是可对③进行判断；利用抛物线y＝ax2+bx+c的顶点D（﹣1，2），可得到抛物线与直线y＝2只有一个公共点，于是可对④进行判断． 【详解】解：∵抛物线与x轴有2个交点， ∴Δ＝b2﹣4ac＞0，所以①错误； ∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点D（﹣1，2）， ∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1， 而抛物线与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间， ∴抛物线与x轴的另一个交点A在点（0，0）和（1，0）之间， ∴x＝1时，y＜0， ∴a+b+c＜0，所以②正确； ∵抛物线的对称轴为直线x＝＝﹣1， ∴b＝2a， ∵x＝﹣1时，y＝2， 即a﹣b+c＝2， ∴a﹣2a+c＝2，即c﹣a＝2，所以③正确； ∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点D（﹣1，2）， 即x＝﹣1时，y有最大值2， ∴抛物线与直线y＝2只有一个公共点， ∴方程ax2+bx+c﹣2＝0有两个相等的实数根，所以④正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 9. 的相反数是_________，的倒数是_______，的平方根是______． 【答案】 ①. ②. ③. 【解析】 【分析】根据相反数定义，倒数的定义，平方根的定义，依次计算即可得到结果． 【详解】解：根据相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，可得的相反数是； 根据倒数的定义，乘积为的两个数互为倒数，因为，所以的倒数是； 因为，且的平方根是，因此的平方根是． 10. 在函数中，自变量x的取值范围是___． 【答案】且 【解析】 【详解】根据题意得：x+1≥0且x≠0， 解得：x≥-1且x≠0． 故答案为：x≥-1且x≠0． 【点睛】考点：函数自变量的取值范围． 11. 若正多边形的一个外角为30°，则这个多边形为正_______边形． 【答案】12． 【解析】 【详解】试题分析：正多边形的一个外角等于30°，而多边形的外角和为360°，则： 多边形的边数=360°÷30°=12， 考点：多边形内角与外角 12. 为了解我市市区及周边近170万人的出行情况，科学规划轨道交通，2017年5月，400名调查者走入1万户家庭，发放3万份问卷，进行调查登记．该调查中的样本容量是_________．（用科学记数法表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查样本容量的定义与科学记数法的表示方法． 根据定义确定样本容量后，将其用科学记数法表示即可． 【详解】解:根据样本容量的定义可知，该调查的样本容量为万，即． 根据科学记数法的定义，将表示为（，为整数）的形式，得． 13. 已知，，是反比例函数的图象上的三个点，且，，则、、的大小关系是_________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据反比例函数的比例系数判断函数图象所在象限，结合函数在每个象限内的增减性，根据三个点横坐标的范围比较纵坐标的大小即可． 【详解】解：对于反比例函数， ， 函数图象位于第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大， ， ∴，在第二象限， ， ， ∴在第四象限， ， 综上可得：. 14. 在一组数据1， 0， 4， 5， 8中插入一个数据x，使该组数据中位数为3，则插入数据x的值为________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据中位数的定义得到数据-1，0，4，5，8中插入一个数据x，共有6个数，最中间的数只能为x和4，然后根据计算它们的中位数为3求出x． 【详解】解：∵数据-1，0，4，5，8中插入一个数据x， ∴数据共有6个数， 而4为中间的一个数， ∵该组数据的中位数是3， ∴=3， 解得x=2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了中位数：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 15. 在Rt△ABC中，CA=CB，AB=，点D在BC边上，连接AD，若tan∠CAD=，则BD的长为___． 【答案】6 【解析】 【详解】解：如图，在Rt△ABC中， ∵CA=CB，AB=， ∴CA2+CB2=AB2，∴CA=CB=9． ∵在Rt△ACD中，tan∠CAD=，∴CD=3． ∴BD=BC﹣CD=9﹣3=6． 16. 如图，已知矩形ABCD，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，连接DE、BE，若△ABE是等边三角形，则=_______． 【答案】 【解析】 【详解】解：过E作EM⊥AB于M，交DC于N， ∵四边形ABCD是矩形， ∴DC=AB，DC∥AB，∠ABC=90°， ∴MN=BC，EN⊥DC， ∵延AC折叠B和E重合，△AEB是等边三角形， ∴∠EAC=∠BAC=30°， 设AB=AE=BE=2a，则BC==， 即MN=， ∵△ABE是等边三角形，EM⊥AB， ∴AM=a，由勾股定理得：EM=， ∴△DCE的面积是×DC×EN=×2a×（-）=， △ABE的面积是AB×EM=×2a×=， ∴． 故答案为： 17. 计算：． 【答案】 4 【解析】 【详解】解 ：原式 ． 18. 化简求值：，其中． 【答案】，． 【解析】 【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a的值代入进行计算即可． 【详解】解：原式= = =， 当时，原式==． 【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则和顺序是解题的关键． 19. 如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于A、B两点，过点A作AC垂直x轴于点C，连接BC．若△ABC的面积为2． （1）求k的值； （2）x轴上是否存在一点D，使△ABD为直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）k=2；（2）D（5，0）或（﹣5，0）或（，0）或D（，0）． 【解析】 【详解】试题分析：（1）首先根据反比例函数与正比例函数的图象特征，可知A、B两点关于原点对称，则O为线段AB的中点，故△BOC的面积等于△AOC的面积，都等于1，然后由反比例函数的比例系数k的几何意义，可知△AOC的面积等于，从而求出k的值； （2）先将与联立成方程组，求出A、B两点的坐标，然后分三种情况讨论：①当AD⊥AB时，求出直线AD的关系式，令y=0，即可确定D点的坐标；②当BD⊥AB时，求出直线BD的关系式，令y=0，即可确定D点的坐标；③当AD⊥BD时，由O为线段AB的中点，可得OD=AB=OA，然后利用勾股定理求出OA的值，即可求出D点的坐标． 试题解析：（1）∵反比例函数与正比例函数的图象相交于A、B两点，∴A、B两点关于原点对称，∴OA=OB，∴△BOC的面积=△AOC的面积=2÷2=1，又∵A是反比例函数图象上的点，且AC⊥x轴于点C，∴△AOC的面积=，∴，∵k＞0，∴k=2．故这个反比例函数的解析式为； （2）x轴上存在一点D，使△ABD为直角三角形．将与联立成方程组得：，解得：，，∴A（1，2），B（﹣1，﹣2）， ①当AD⊥AB时，如图1， 设直线AD的关系式为，将A（1，2）代入上式得：，∴直线AD的关系式为，令y=0得：x=5，∴D（5，0）； ②当BD⊥AB时，如图2， 设直线BD的关系式为，将B（﹣1，﹣2）代入上式得：，∴直线AD的关系式为，令y=0得：x=﹣5，∴D（﹣5，0）； ③当AD⊥BD时，如图3， ∵O为线段AB的中点，∴OD=AB=OA，∵A（1，2），∴OC=1，AC=2，由勾股定理得：OA==，∴OD=，∴D（，0）， 根据对称性，当D为直角顶点，且D在x轴负半轴时，D（，0）； 故x轴上存在一点D，使△ABD为直角三角形，点D的坐标为（5，0）或（﹣5，0）或（，0）或D（，0）． 考点：反比例函数与一次函数的交点问题． 20. 已知：如图，D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，MA=MC． ①求证：CD=AN； ②若∠AMD=2∠MCD，求证：四边形ADCN是矩形． 【答案】详见解析 【解析】 【分析】 【详解】证明：（1）∵CN∥AB， ∴∠DAC=∠NCA， 在△AMD和△CMN中， ∵， ∴△AMD≌△CMN（ASA）， ∴AD=CN， 又∵AD∥CN， ∴四边形ADCN是平行四边形， ∴CD=AN； （2）∵∠AMD=2∠MCD， ∠AMD=∠MCD+∠MDC， ∴∠MCD=∠MDC， ∴MD=MC， 由（1）知四边形ADCN是平行四边形， ∴MD=MN=MA=MC， ∴AC=DN， ∴四边形ADCN是矩形． 【点睛】解答本题的关键是熟练掌握判定两个三角形全等的一般方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 21. 一艘轮船自西向东航行，在处测得东偏北21.3°方向有一座小岛，继续向东航行60海里到达处，测得小岛此时在轮船的东偏北63.5°方向上.之后，轮船继续向东航行多少海里，距离小岛最近？（参考数据：，，，） 【答案】轮船继续向东航行15海里，距离小岛最近. 【解析】 【分析】过C作AB的垂线，交直线AB于点D，分别在Rt△ACD与Rt△BCD中用含BD式子表示CD，从而求得BD的值． 【详解】过作的垂线，交直线于点，得到和， 设海里， 在中，， ∴ 在中， . ，即. 解得，. 答：轮船继续向东航行15海里，距离小岛最近. 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线． 22. 某中学九（1）班为了了解全班学生喜欢球类活动的情况，采取全面调查的方法，从足球、乒乓球、篮球、排球等四个方面调查了全班学生的兴趣爱好，根据调查的结果组建了4个兴趣小组，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图（如图①，②，要求每位学生只能选择一种自己喜欢的球类），请你根据图中提供的信息解答下列问题： （1）九（1）班的学生人数为　 　，并把条形统计图补充完整； （2）扇形统计图中m=　 　，n=　 　，表示“足球”的扇形的圆心角是　 　度； （3）排球兴趣小组4名学生中有3男1女，现在打算从中随机选出2名学生参加学校的排球队，请用列表或画树状图的方法求选出的2名学生恰好是1男1女的概率． 【答案】（1）40，补全统计图见详解.（2）10；20；72.（3）见详解. 【解析】 【分析】（1）根据喜欢篮球的人数与所占的百分比列式计算即可求出学生的总人数，再求出喜欢足球的人数，然后补全统计图即可； （2）分别求出喜欢排球、喜欢足球的百分比即可得到m、n的值，用喜欢足球的人数所占的百分比乘以360°即可； （3）画出树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解． 【详解】解： (1)九(1)班的学生人数为：12÷30%=40(人)， 喜欢足球的人数为：40−4−12−16=40−32=8(人)， 补全统计图如图所示； (2)∵×100%=10%， ×100%=20%， ∴m=10，n=20， 表示“足球”的扇形的圆心角是20%×360°=72°； 故答案为(1)40;(2)10；20；72； (3)根据题意画出树状图如下： 一共有12种情况，恰好是1男1女的情况有6种， ∴P(恰好是1男1女)==. 23. 如图，在中，，O、D分别为AB、BC上的点． 经过A、D两点的分别交AB、AC于点E、F，且D为弧EF的中点． （1）求证：BC与相切； （2）当，时． 求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接， 想要证明与相切，只要证明即可； （2）连接，则根据直径所对的圆周角是直角知．利用（1）中的，可推知，由三角形的内角和定理求得，在中根据三角函数的定义求得的长，从而解得的半径的长，最后由弧长公式求解即可． 【小问1详解】 证明：连接，则． ∴（等边对等角）； ∵， ∴, ∴， ∴； 又∵， ∴，即 ∴与相切； 【小问2详解】 解：连接，则． ∵， ∴； 在中，易求， ∴的半径， ∴的长． 【点晴】本题考查了解直角三角形、弧长公式即可切线的判定与性质，在判定圆的切线时，一般情况下是作辅助线，连接圆心与所求的线段和圆的交点． 24. 在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点P在线段BC上（不含点B），∠BPE= ∠ACB，PE交BO于点E，过点B作BF⊥PE，垂足为F，交AC于点G． （1）当点P与点C重合时（如图1）．求证：△BOG≌△POE； （2）通过观察、测量、猜想：=　 　，并结合图2证明你的猜想； （3）把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变（如图3），若∠ACB=α，求的值．（用含α的式子表示） 【答案】（1）证明见解析；（2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质可由AAS证得△BOG≌△POE． （2）过P作PM//AC交BG于M，交BO于N，通过ASA证明△BMN≌△PEN得到BM=PE，通过ASA证明△BPF≌△MPF得到BF=MF，即可得出的结论． （3）过P作PM//AC交BG于点M，交BO于点N，同（2）证得BF=BM， ∠MBN=∠EPN，从而可证得△BMN∽△PEN，由和Rt△BNP中即可求得． 【详解】（1）：∵四边形ABCD是正方形，P与C重合， ∴OB=OP ， ∠BOC=∠BOG=90°． ∵PF⊥BG ，∠PFB=90°， ∴∠GBO=90°—∠BGO，∠EPO=90°—∠BGO． ∴∠GBO=∠EPO ． ∴△BOG≌△POE（AAS）． （2）．证明如下： 如图，过P作PM//AC交BG于M，交BO于N， ∴∠PNE=∠BOC=90°， ∠BPN=∠OCB． ∵∠OBC=∠OCB =45°， ∠NBP=∠NPB． ∴NB=NP． ∵∠MBN=90°—∠BMN， ∠NPE=90°—∠BMN， ∴∠MBN=∠NPE． ∴△BMN≌△PEN（ASA）． ∴BM=PE． ∵∠BPE=∠ACB，∠BPN=∠ACB， ∴∠BPF=∠MPF． ∵PF⊥BM， ∴∠BFP=∠MFP=90°． 又∵PF=PF， ∴△BPF≌△MPF（ASA）． ∴BF=MF ，即BF=BM． ∴BF=PE， 即． （3）如图，过P作PM//AC交BG于点M，交BO于点N， ∴∠BPN=∠ACB=α，∠PNE=∠BOC=90°． 由（2）同理可得BF=BM， ∠MBN=∠EPN． ∵∠BNM=∠PNE=90°， ∴△BMN∽△PEN． ∴． 在Rt△BNP中，， ∴，即． ∴． 【点睛】本题考查了四边形综合题，涉及了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形等知识，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线，灵活运用相关知识是解题的关键． 25. 如图1，已知A（3，0）、B（4，4）、原点O（0，0）在抛物线y=ax2+bx+c （a≠0）上． （1）求抛物线的解析式． （2）将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个交点D，求m的值及点D的坐标． （3）如图2，若点N在抛物线上，且∠NBO=∠ABO，则在（2）的条件下，求出所有满足△POD∽△NOB的点P的坐标（点P、O、D分别与点N、O、B对应） 【答案】（1）y=x2﹣3x （2）m=4 点D的坐标为（2，﹣2） （3）点P的坐标为（）和（） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式进而得出答案即可； （2）首先求出直线OB的解析式为y=x，进而将二次函数以一次函数联立求出交点即可； （3）首先求出直线A′B的解析式，进而由△P1OD∽△NOB，得出△P1OD∽△N1OB1，进而求出点P1的坐标，再利用翻折变换的性质得出另一点的坐标． 【详解】解：（1）∵抛物线经过，，代入得，解得． ∴抛物线的表达式是． （2）设直线OB的表达式为，把点代入得，即， ∴直线OB的表达式为． ∴直线OB向下平移m个单位长度后的直线表达式为． ∵直线与抛物线只有一个公共点D， ∴有两个相等的实数根，即，解得． 当时，解得，∴． ∴点D的坐标为． （3）如图所示．设NB与y轴交于点C，由（1）得直线OB的表达式为， ∴． ∵，，∴， ∴，∴点C的坐标为． 设直线BC的表达式为，将点代入，得，解得． ∴直线BC的表达式为． ∵点N在抛物线上．得， 解得，（舍去）． ∴点N的坐标为． 方法1： ①如图所示，当点P在OD下方时，分别过点N，P作轴于点E，轴于点F． ∵点B的坐标为，点D的坐标为， ∴， ，． ∵，∴，． ∴，． ∴． ∴，． ∵点N的坐标为．∴，．∴点P的坐标为． ②如图所示，当点P在OD上方时，同理可得点P的坐标为． 综上所述，点P的坐标为或． 方法2： ∵点N的坐标为，点O的坐标为，点B的坐标为，点D的坐标为， ∴， ， ，． 设点P的坐标为，则，． ∵， ∴，即． ∴， ， 解得，． 综上所述，点P的坐标为或． 方法3： 如图所示，将沿x轴翻折，得到，则点的坐标为，点的坐标为， ∴O，D，都在直线上． ∵，， ∴． ∴． ∴点P的坐标为． 将沿直线翻折，可得另一个满足条件的点． 综上所述，点P的坐标为或． 方法4： 如图所示，将绕原点顺时针旋转，得到， 则点的坐标为，点的坐标为， ∴O，D，都在直线上． ∵，， ∴． ∴． ∴点P的坐标为． 将沿直线翻折，可得另一个满足条件的点． 综上所述，点P的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $