专题02 反比例系数k的几何意义（题型专练）数学新教材人教版九年级上册

专题02 反比例系数k的几何意义 （题型突破·举一反三） 题型01 一点一垂直 题型02 一点两垂直 题型03 两点一垂直 题型04 两点两垂直 题型05 双曲线（k符号相同） 题型06 双曲线（k符号不相同） 题型07 反比例函数与一线三等角模型综合 题型08 曲线与一次函数 ▌题型01 一点一垂直 【典例1】（25-26八年级下·上海·期末）点P在反比例函数（）的图象上，轴于点A，的面积为2，则k的值为（     ） A．1 B．2 C．4 D． 【答案】D 【分析】根据三角形面积可得的值，题目未说明反比例函数图象所在象限，因此有两种可能． 【详解】解：∵ 过反比例函数图象上一点作x轴垂线，该点、垂足和原点围成的三角形面积为， 又∵ 的面积为， ∴ ， 解得，即， 本题未给出函数图象所在象限，因此的值为． 【变式1】（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限内，且在函数的图象上，点是线段上一点，过点作轴于点，连结．若，的面积为，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形中线的性质得到的面积，再根据反比例函数的几何意义求解即可． 【详解】解：∵， ∴是的中线， ∵的面积为， ∴， ∵轴， ∴根据反比例函数的几何意义可知：， ∵函数的图象在第一象限， ∴． 【变式2】（2026·云南昆明·三模）如图，点A在反比例函数的图像上，且，则此反比例函数的解析式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据反比例函数中比例系数的几何意义，的面积等于，以及函数所在的象限，即可确定k的符号，从而得到k的值． 【详解】解：设反比例函数的解析式为， 由题意可知， ∴，即， 又∵反比例函数的图像在二、四象限， ∴，即． ∴反比例函数的解析式是． 【变式3】（2026·重庆·三模）反比例函数的图象在第一象限内的一支如图所示，是该图象上一点，是轴上一点，连接、，若，的面积为4，则k的值是（     ） A． B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】过点作轴于点，，即，结合反比例函数的图象在第一象限，确定答案． 【详解】解：如图，过点作轴于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象在第一象限，即， ∴． 【变式4】（2026·山东聊城·一模）如图，分别过反比例函数图象上的两点，作轴的垂线，垂足分别为，，连接，，与相交于点，且．若梯形的面积为2，则下列坐标表示的点，在函数图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，可得，由，可得，可得，即反比例函数解析式为，再验证点的坐标即可判断． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为， A、当时，，则点在反比例函数的图象上，故选项符合题意； B、当时，，则点不在反比例函数的图象上，故选项不符合题意； C、当时，，则点不在反比例函数的图象上，故选项不符合题意； D、当时，，则点不在反比例函数的图象上，故选项不符合题意． 【变式5】（2026·江苏连云港·二模）如图，A，B是双曲线上的两点，过点A作轴，垂足为点C，交于点D，若的面积为，D为的中点，则k的值为__________． 【答案】4 【分析】先设出点的坐标，进而表示出点，的坐标，利用三角形的面积建立方程求出，即可得出结论． 【详解】解：设点， ， 为的中点， ， 轴， ， 的面积为， ， ， ， 【变式6】（2026·辽宁阜新·二模）如图，在平面直角坐标系中，点、均在函数的图象上，轴于点，轴于点，连接，，若点，，，则_______． 【答案】 【分析】根据反比例函数k的几何意义求出，再根据的长求出点的坐标，进而得到的长，最后利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：轴，， ∴， 反比例函数解析式为， ∵， ， 轴，， 点的纵坐标为4， 当时，， 解得， 点的坐标为，点的坐标为， ， ． 【变式7】（25-26八年级下·四川遂宁·期末）如图，一组等腰三角形的底边均在轴的非负半轴上，两腰的交点在反比例函数的图象上，且它们的底边都相等．若，，，…的面积分别为，，，…，，则的值_________． 【答案】 【分析】分别过点，，，，作x轴的垂线，垂足分别为，，，，，设，则，，，，，分别求出，，，…，总结得出，最后将代入即可解题． 【详解】解：分别过点，，，，作x轴的垂线，垂足分别为，，，，． 设，则，，，，， ， ， ， ， …，依次类推， ， ∴． 【变式8】（25-26九年级下·山东菏泽·期中）如图，在轴的正半轴上依次截取，过点分别作轴的垂线与反比例函数的图象相交于点，得，并设其面积分别为，以此类推，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，根据反比例函数的几何性质，可得，又，可得到，，，按此规律，可得． 【详解】解：连接，如图所示， ，，，是反比例函数的图象上的点，都垂直于x轴， ，根据反比例函数的几何性质可得， ， ， ，，，依此规律，可得． ▌题型02 一点两垂直 【典例2】（25-26八年级下·甘肃天水·期末）如图，双曲线经过正方形的顶点，已知，则________． 【答案】 【分析】根据反比例函数的“”的几何意义求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵点在双曲线上， ∴， 又∵双曲线在第三象限， ∴． 【变式1】（2026·宁夏吴忠·模拟预测）如图，反比例函数的图象经过矩形的边的中点D，则矩形的面积为（     ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】A 【分析】设点的坐标为，根据反比例函数系数的几何意义可得，即，再根据为中点可得，进而求出矩形面积． 【详解】解：设点的坐标为 ∵点在反比例函数的图象上 ∴ 由图可知， ∴ ∵是的中点 ∴ ∴． 【变式2】（2026·云南昭通·模拟预测）如图，A为函数图象上的一点，C为x轴上的点，过点A作x轴的平行线交y轴于点B，连接，若，四边形OABC的面积为4，则k的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】因为平行于x轴，且，所以与平行且相等，四边形是平行四边形，设点A的坐标为，因为A在反比例函数上，所以满足，根据平行四边形面积公式，结合长度等于点A的横坐标，长度等于点A的纵坐标，可建立面积与k的关系． 【详解】∵轴，且， ∴四边形是平行四边形， 设点坐标为， ∵在上， ∴， ∵轴，在轴上， ∴， ∴， 且平行四边形的高等于的纵坐标， ∴， 解得． 【变式3】（2026·吉林长春·模拟预测）如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点，在轴上，若点，，则实数的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是反比例函数与平行四边形的综合运用，灵活运用平行四边形的性质以及反比例函数的定义是解题的关键．根据平行四边形的对边平行且相等、面积公式求出点的坐标，再根据反比例函数的定义，将点的坐标代入，进而求出实数的值． 【详解】解：如图，过点作轴， 点， ,即， ， ， ， ， ， 将点代入函数得，， 解得：． 故选：． 【变式4】（2026·河南平顶山·二模）如图，点A是双曲线在第二象限分支上的任意一点，点B，C，D分别是点A关于x轴、坐标原点、y轴的对称点．若四边形的面积是12，则k的值为（     ） A． B．2 C．3 D． 【答案】D 【分析】先判断四边形是矩形，然后根据的几何意义求解即可. 【详解】解：∵点B，C，D分别是点A关于x轴、坐标原点、y轴的对称点 ∴四边形是矩形， ∵四边形的面积是12， ∴， 解得． 又∵双曲线位于第二、四象限， ∴． ∴． 【变式5】（25-26八年级下·上海·阶段检测）如图，在反比例函数的图象上，有点，，，…，，，它们的横坐标依次为1，2，3，…，n，．分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，…，，，则____________． 【答案】 【分析】根据题意阴影矩形的一边长都为，将面积为的矩形向左平移到下方，则有：，最后利用计算即可． 【详解】解：等点，它们的横坐标依次为，，，…，n，， 阴影矩形的一边长都为，如图： 由题意得：轴，轴，轴，交于点， 将面积为的矩形向左平移到下方， ∴， 当时，，即， ， 根据反比例函数值的几何意义得：， ． 【变式6】（2026·安徽合肥·三模）在平面直角坐标系中，的位置如图所示，点B、C在轴上，点在轴上，反比例函数（为常数，且）的图象经过点，若点也在反比例函数的图象上，则的面积为___________． 【答案】 【分析】过点作轴于点，证明，得出四边形的面积等于的面积，然后根据几何意义即可解答． 【详解】解：如图，过点作轴于点， ∵四边形为平行四边形， ， ， 又 ∵， ， ， ∵点在反比例函数的图象上， ， ∴的面积． 【变式7】（2026·辽宁沈阳·一模）如图，A、B是双曲线上的两个点，分别过点A，B作x轴和y轴的垂线段，若图中阴影部分面积为1，两个空白矩形的面积之和为6，则k的值为_________． 【答案】 【分析】用“空白面积阴影面积”表示矩形面积，通过面积和差求阴影面积．根据反比例函数k的几何意义求出各矩形面积，然后代入求解即可． 【详解】解：如图，设过点A，B作x轴和y轴的垂线的垂足分别为，与交于点，两个空白的矩形面积分别表示为， ∵点A、B是双曲线上的点， ， 即， ∴， ∵图中阴影部分面积为1，两个空白矩形的面积之和为6， ∴， 又∵反比例函数图象经过第二象限， ∴． ∴． 【变式8】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，点，是反比例函数图象上的点，过点A和B分别作坐标轴的垂线，得到矩形和矩形，它们的面积分别为和．下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，已知比例系数求特殊图形的面积等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 先根据点，是反比例函数图象上的点，得出，，从而可证明． 【详解】解：∵点，是反比例函数图象上的点， ∴，， 矩形的面积为， 矩形的面积为， ∴， 故选：B． ▌题型03 两点一垂直 【典例3】（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，A，B是反比例函数图象上的两点，且过原点O，过点B作x轴的垂线，垂足是C，连接．若的面积是4，则k的值是（     ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】根据反比例函数图象性质可知点关于点O对称，由的面积是4，说明，再根据反比例函数比例系数的几何意义结合图象位置即可求解． 【详解】解：是反比例函数图象上的两点，且过原点O， 根据反比例函数的对称性得：点关于点O对称， ， 的边上的高与的边上的高相同，的面积是4， ， 轴， 根据反比例函数比例系数的几何意义得：， ， 该反比例函数的图象在第二、四象限， ． 【变式1】（2026·吉林长春·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线（）与双曲线交于A、B两点，轴于点，连结交轴于点，则的面积为（     ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】 利用反比例函数系数的几何意义求出的面积，再根据中心对称性和平行线分线段成比例得出与的面积关系，即可进行后续求解． 【详解】解：直线与双曲线交于，两点， 点与点关于原点对称， ， 轴，轴轴， 轴，即， ∴ ∴ 是的中点， ， ∵ ， 点在双曲线上，轴， ， ， ． 【变式2】（2026·新疆乌鲁木齐·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，轴于点，连接交轴于点，结合图象判断下列结论：①点与点关于原点对称；②点是的中点；③在的图象上任取点和点，如果，那么；④．其中错误结论的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数的性质逐项判断即可求解，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵直线与双曲线交于，两点， ∴点与点关于原点对称，故①正确； ∵点与点关于原点对称， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴， ∴点是的中点，故②正确； ∵， ∴在每一象限内，随的增大而减小，对任意，不满足，故③错误； ∵轴， ∴， ∵点与点关于原点对称， ∴， ∵点是的中点， ∴，故④正确； ∴错误结论有1个， 故选：A． 【变式3】（24-25八年级下·四川遂宁·期中）已知如图，一直线经过原点O，且与反比例函数图象相交于A、B， 过点A作轴，垂足为点C，连接．若，则的值为（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】首先根据反比例函数与正比例函数的图象特征，可知两点关于原点对称，则为线段的中点，故的面积等于的面积，都等于 1 ，然后由反比例函数的比例系数的几何意义，可知的面积等于，从而求出的值． 【详解】解：∵反比例函数与正比例函数的图象相交于两点， ∴两点关于原点对称， ， ∴的面积的面积， 又 ∵是反比例函数图象上的点，且轴于点， ∴的面积， ， ， ． 【变式4】（2026·吉林长春·二模）如图，在中，轴，点B，D在反比例函数的图象上，若的面积是16，则k的值是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了平行线分线段成比例的性质，平行四边形的判定与性质，反比例函数的几何意义，解题的关键是熟练掌握相关基础知识． 设，分别交轴于两点，根据题意可得，分别为，的中点，且四边形为平行四边形，面积为的一半，根据的几何意义即可求解． 【详解】解：设，分别交轴于两点，连接，过作轴，如图， 由题意可得，四边形为矩形， 由对称性可得，过原点，则为线段和的中点， 根据题意可得，，， ∴，，即分别为，的中点， ∴四边形为平行四边形，且， ∴矩形的面积， 由反比例函数的几何意义可得， 由图象可得，图象过一、三象限，， ∴， D选项符合题意． 【变式5】（2026·陕西榆林·三模）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点为反比例函数（为常数，，）图象上的一点，连接并延长到点，使得，轴于点，连接．若的面积为6，则的值为__________． 【答案】6 【分析】设，求出长，再根据点是的中点，求出点B的坐标，进而求出点B到的距离，利用的面积为6，列方程求出的值． 【详解】解：设， 轴， ， ，即点是的中点， ， ， 解得：． 【变式6】（2026·陕西宝鸡·一模）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象相交于、两点，轴于点，延长到点，使得，连接、，若的面积为3，则的值为___________． 【答案】 【分析】根据三角形底和高之间的关系，可求，，再根据的几何意义，即可求解． 【详解】解：轴，，的面积为3， ， 正比例函数与反比例函数的图象相交于、两点， ， ， ， ，解得， 反比例函数的图象过一、三象限， ． ▌题型04 两点两垂直 【典例4】（24-25八年级下·吉林长春·期末）已知反比例函数的图象，如图所示，点在反比例函数的图象上，连接两点，刚好经过原点，为第四象限内一点，且与y轴平行，与x轴平行，若，则的值为（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，根据对称性可得点关于原点对称，设点坐标，则可表示出；再根据“与y轴平行，与x轴平行”可知，从而可得A的坐标，进而可以表示出，最后根据列式求解即可． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上，连接两点，刚好经过原点， ∴由反比例函数的对称性可知点关于原点对称， 设，则， ∵与y轴平行，与x轴平行， ∴， ∴， 故选：B． 【变式1】（2025·黑龙江七台河·一模）如图，矩形对角线的交点M在x轴上，边平行于x轴，，，反比例函数经过点B、反比例函数经过D两点，则k的值是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，反比例函数的图象和性质，利用数形结合的思想解决问题是关键．连接，根据矩形的性质证明，得到，再结合已知条件，得到，进而得出，求出，即可求出k的值． 【详解】解：如图，连接， 矩形对角线的交点M在x轴上， ，，， 又， ， 边平行于x轴， ， ， 和是和的高， ， ， ， ， ， ， 反比例函数经过点B、D两点， ， ， ， 故选：B． 【变式2】（2026·福建福州·二模）如图，平面直角坐标系xOy中，直线与双曲线的交点A，B位于第一，第三象限．分别过点A，B作x轴，y轴的垂线，交于点C，若，，则k的值是______． 【答案】 12 【详解】正比例函数与反比例函数的交点、关于原点对称，因此设，则（其中）， 由，可知：， 解得，，即点的坐标为， 将代入双曲线：, 故. 【变式3】（2026·安徽·一模）如图，，是双曲线（是常数且）上两点，线段经过原点，轴，于点，若的面积为，则的值为_______． 【答案】 【分析】设点的坐标为，由对称性可得点的坐标为，则，，根据三角形面积公式求出的值． 【详解】解：设点的坐标为， 由题意可知，点与点关于原点对称， ∴点的坐标为， ∵轴，， ∴，， ∵， ∴， 解得． ▌题型05 双曲线（k符号相同） 【典例5】（25-26八年级下·湖南衡阳·期末）如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且轴，点C、D在x轴上．若四边形为矩形，则它的面积为（     ） A．6 B．8 C．12 D．16 【答案】B 【分析】根据过双曲线上的点向坐标轴作垂线所围成的矩形的面积S的关系即可判断． 【详解】解：延长交y轴于E，则轴， ∵点A在双曲线上， ∴四边形的面积为4， ∵点B在双曲线上，且轴， ∴四边形的面积为12， ∴矩形的面积为． 【变式1】（25-26九年级下·吉林长春·期中）如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，且轴，轴于点，则四边形的面积为（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【分析】延长交y轴于点D，根据反比例函数k值的几何意义得到，，根据四边形的面积等于，即可得解． 【详解】解：如图，延长交y轴于点D． 轴， 轴， 点A在反比例函数的图象上， ． 轴，轴，点B在反比例函数的图象上， ， ． 【变式2】（2026·福建漳州·模拟预测）如图，点A是函数的图象上的动点，过点A作x轴、y轴的平行线与函数的图象分别交于点B，C，OA与BC交于点D．下列结论中正确的是（     ） A．AB与AC一定相等 B．△AOB与△AOC的面积一定相等 C．OB与OC一定相等 D．△BOC与△ABC的面积一定相等 【答案】B 【分析】根据反比例函数中的几何意义与方程思想将点的坐标设出来，利用点与点之间的距离求线段进行求解． 【详解】解：如图所示，延长交轴于点，延长交轴于点， ∵点在反比例函数图像上，点在反比例函数的图像上，且轴，轴， ∴， ∵， ∴； 设点，则点， A，，不确定， ∴之间的关系无法确定，不符合题意； B，，符合题意； C，∵， ∴， ∵不确定， ∴之间的关系无法确定，不符合题意； D，∵， ， ∴不符合题意． 【变式3】（25-26八年级下·四川内江·期中）如图，点，分别在反比例函数和位于第一象限的图象上．分别过点，向轴作垂线，若阴影部分的面积为2，则的值为（   ） A． B．5 C．7 D．4 【答案】C 【分析】阴影部分的面积刚好等于以为斜边的大三角形的面积减去以为斜边的小三角形的面积，即可得． 【详解】解：如图， ∵点分别在反比例函数和位于第一象限的图象上， ∴，， 又阴影部分的面积为2， ∴, 解得：． 【变式4】（25-26八年级下·山东济南·期末）如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂足为B，与反比例函数的图象交于点D．若，则k的值为__________． 【答案】 【分析】根据反比例函数k的几何意义得，结合，可得，进而可求出k的值． 【详解】解：∵点A在反比例函数的图象上，点D在反比例函数的图象上，轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式5】（2026·江苏连云港·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，两个反比例函数和在第二象限内的图象依次为，．已知点P在上，点A，B在上，且轴，轴，则四边形的面积为____． 【答案】4 【分析】根据反比例函数比例系数的几何意义得到即可求出答案． 【详解】解：如图， 由反比例函数比例系数的几何意义可得， ∴四边形的面积为． 【变式6】（2026·福建三明·模拟预测）如图，点，分别在反比例函数（），（）的图象上，点为轴正半轴上一点，若平行四边形的面积是6，则的值为_______． 【答案】 【分析】根据平行四边形的性质求出，根据反比例函数k的几何意义求出，进而求出，然后根据求解即可． 【详解】解：如图，延长交x轴于点D，连接， ∵平行四边形的面积是6， ∴．， ∴， ∴． ∵点B在反比例函数的图象上， ∴， ∴． ∵点A在反比例函数的图象上， ∴． ∴． ∵反比例函数的图象在第二象限， ∴． 【变式7】（25-26八年级下·江苏泰州·期末）如图，点为反比例函数的图像上一点，过点分别向轴，轴作垂线，垂足分别为，，线段被反比例函数的图像上一点分成两部分，且，连接，则的面积为______． 【答案】 【分析】设点的横坐标为，根据垂线定义及线段比例关系表示出点的横坐标，利用点、纵坐标相等建立关于的方程求出值，最后根据三角形面积公式求解． 【详解】解：设点的坐标为，其中， 过点分别向轴，轴作垂线，垂足分别为， 轴，轴， 点的坐标为，点的坐标为， 的长度为， 点在线段上，且， ， 点的横坐标为， 点在反比例函数的图象上，且点的纵坐标与点相同， 点的坐标为， ， 整理得：， 解得：， ， ， 为直角三角形， ， ， ． 【变式8】（2026·山西太原·三模）如图，在平面直角坐标系中，点，分别在反比例函数（）与（）的图象上，轴，点在轴上，且，若，则的值为____． 【答案】 【分析】先利用反比例函数解析式表示出点，的坐标，进而表示出线段的长度，最后结合三角形面积公式建立方程求解的值即可解答． 【详解】解：设点的横坐标为（），则点， 轴， 点的横坐标为，则点， 线段的长度为， 点在轴上，且， 中边上的高等于点到轴的距离，即， ， ， ， 解得或， 由图可知图象位于第一象限， 所以， 故的值为 ▌题型06 双曲线（k符号不相同） 【典例5】（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）如图，在矩形中，点、在轴上，点、分别在反比例函数和上，若矩形的面积为6，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设与轴交于点，根据反比例函数的几何意义可知，矩形的面积为，矩形的面积为，由矩形的面积为6建立方程求解即可． 【详解】解：如图，设与轴交于点， 四边形是矩形，点、在轴上， 轴，轴，轴， 四边形和四边形均为矩形． 点在反比例函数的图象上， ． 点在反比例函数的图象上，且图象在第一象限， ， ． ， ， ． 【变式1】（2026·河北保定·三模）根据图1所示的程序框图，得到了与的函数图象如图2所示，若是轴正半轴上任意一点，过点作轴交函数图象于点，，连接，，则下列结论正确的是（） A．的面积为 B．时， C．时，随的增大而增大 D．可能等于 【答案】D 【分析】根据程序框图确定和时的函数解析式，利用反比例函数的性质判断选项B、C；利用反比例函数的几何意义计算的面积判断选项A；设点、的坐标，利用勾股定理构建方程判断选项D． 【详解】解：由程序框图可知：当时，；当时，．选项B错误； 当时，，， 随的增大而减小，选项C错误； 设，，其中， 点在上，点在上， ，， ，选项A错误 设，()， 若， 则， 即， 整理得：， ， ， ， ，方程有解， 可能等于， 选项D正确．故选：D． 【变式2】（2026·福建厦门·模拟预测）如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，平行于x轴，连接，若，则的面积可以是（     ） A． B．4 C． D．5 【答案】C 【分析】设，，将 的面积表示出来，建立面积与的函数关系，结合的取值范围即可求解． 【详解】解：∵ 点在反比例函数的图象上， 点在反比例函数的图象上， ∴设， ∵平行轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即 ，只有符合题意． 【变式3】（25-26八年级下·河南周口·期中）已知反比例函数与的图象如图所示，过y轴正半轴上的任意一点P作x轴的平行线，分别与这两个函数的图象交于M，N两点，A是x轴上的任意一点，连结，，若的面积为8，则k的值为    （   ） A．6 B．12 C． D． 【答案】D 【分析】连接，，根据轴，可得，再根据k的几何意义，即可求解． 【详解】解：连接，， 点N在的图象上，轴， ， 轴，A是x轴上的任意一点，， ， ， 点M在的图象上，轴， ， ，解得， 的图象在第二象限，即， ． 【变式4】（25-26九年级下·吉林长春·期中）如图，矩形的顶点、分别在反比例函数与的图象上，点、在轴上，、分别交轴于点、，若，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】设点的坐标为，根据矩形的性质可得轴，点坐标为，从而得出，再证得，利用面积比求出相似比，进而得出点横坐标，最后代入反比例函数解析式求出值 ． 【详解】解：设点的坐标为，其中 ， 四边形是矩形，点、在轴上 ， 轴，轴， 点的坐标为，即， 点、的纵坐标相同， 点的纵坐标为， 交轴于点， 轴 ， 在轴上，轴轴， ， ， ， ，即， ， 点在第二象限 ， 点的横坐标为， 点的坐标为， 点在反比例函数的图象上 ， ． 【变式5】（2026·陕西榆林·三模）如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在反比例函数（，）和的图象上，点在轴上，连接、、，轴于点，若，则的值为_____． 【答案】 【分析】设点的坐标为，根据轴可知点、的横坐标均为，分别代入两个反比例函数解析式表示出和的长度，利用建立关于的方程求解即可． 【详解】解：设点的坐标为，其中， 轴于点， 点、的横坐标均为 点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上， ，， 由图象可知，点在第一象限，点在第四象限， ，， ， ， ， ． 【变式6】（25-26八年级下·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，点分别在反比例函数和的图象上，与y轴相交于点M，轴，若，则的长为_______． 【答案】 【分析】利用反比例函数的“”的几何意义求出的面积，再根据三角形的面积公式求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵点P，Q分别在反比例函数和的图象上， 且轴， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 解得． 【变式7】（25-26八年级下·吉林长春·期中）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点在轴上，顶点在反比例函数的图象上，顶点在反比例函数的图象上，则平行四边形的面积是___________． 【答案】14 【分析】根据平行四边形的性质证明，进而可得，再根据反比例函数的性质可得，进而可求出的面积，问题随之得解． 【详解】过A作于点M，过C作于点N，如图， ∵在平行四边形中，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得：， ∵顶点在反比例函数的图象上， ∴， ∵， ∴， 同理可得：， ∴，， ∴． ▌题型07 反比例函数与一线三等角模型综合 【典例7】（2026年北京密云区九年级中考一模数学试题）已知点是反比例函数图象上的一点，连接，过点作的垂线与反比例函数的图象交于点，则的值为________． 【答案】 【分析】作轴，作轴，先求出再说明，然后根据，则此题可解． 【详解】解：过点A作轴于点C，作轴于点D， ∵点A在函数的图象上，点B在反比例函数的图象上， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（广东深圳市福田区深圳高级中学集团2025－2026学年九年级数学模拟考试（5月））如图，在平面直角坐标系中，点，分别在反比例函数，的图象上，连接，，，且，作轴于点．轴于点，若，则的值为______． 【答案】 【分析】根据相似三角形的判定和性质得出，根据反比例函数的性质和三角形的面积公式得出，，即可列出方程，求出的值，结合点在第三象限，，即可求解． 【详解】∵，轴，轴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵点，分别在反比例函数，的图象上， 故， ， 则，， ∴， 即， 解得， 由图可知点在第三象限，， ∴． 【变式2】（江苏连云港市新海初级中学2025-2026学年下学期九年级阶段测试数学试题）如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，连接．若，且，则______． 【答案】 【分析】过点作轴于点，过点作轴于点，易证，利用相似三角形面积比等于相似比的平方及反比例函数的几何意义解答即可求解． 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点， 则， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ∵点在反比例函数的图象上， ， ∵点在反比例函数的图象上， ， ， 解得， ∵反比例函数的图象在第二象限， ， ． 【变式3】（广东省东莞市松山湖北区学校2025-2026学年度第二学期一模测试九年级数学试卷）如图，点A是反比例函数在第二象限内图象上一点，点B是反比例函数在第一象限内图象上一点，直线AB与y轴交于点C，且，连接OA、OB，则的面积是__________． 【答案】 【分析】作轴于点，轴于点，则，可得，设，则，根据计算即可． 【详解】解：作轴于点，轴于点，则， ∵， ∴， 设，则， 根据题意可得，， ∴ ． ▌题型08 曲线与一次函数 【典例8】（25-26八年级下·福建泉州·期末）如图，点、是反比例函数图象上的两点，延长线段交轴于点，且点为线段中点，连接、，若，则的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】设点坐标为，由是中点且在轴上推出点坐标，再求直线解析式得到点纵坐标，最后利用三角形面积列方程求． 【详解】解：设，其中． 点是线段的中点，点在轴上，设， 由中点公式，，解得． 又点在的图象上， ∴． 设直线的解析式为， 将、代入，得： ， 解得，． 直线的解析式为． 令，得，即． 由题意，以轴上的为底，点的横坐标为高， ． ， ，解得． 【变式1】（24-25九年级下·安徽芜湖·自主招生）如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象在第二象限分别交于点和点，过点和点作轴的垂线，垂足分别为点和点．当四边形的面积为12时，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，则，，，根据四边形的面积为12，得出，联立得出，根据根与系数的关系得出，代入进行求解即可． 【详解】解：设， ∴，，． ∵四边形的面积为12， ∴． ∴， ∴， ∴， ∴，化简整理得， 又联立，消去得：， ∴和是方程的两根． 由一元二次方程根与系数的关系可知， ∴， ∴， 解得． 【变式2】（2026·四川宜宾·中考真题）如图，一条直线与反比例函数的图象交于A、两点，分别与轴、轴交于C、两点．若，，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，过点A作于点E，过点B作于点F，证明，得到，设，得到，，，，然后由平行线分线段成比例得到，然后利用相似三角形的性质得到，最后利用列方程求解． 【详解】解：如图，过点A作于点E，过点B作于点F， ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ 设， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴，即 ∴ ∵ ∴ ∴． 【变式3】（2024·山东淄博·模拟预测）如图，点A，B分别在x轴，y轴的正半轴上，且的面积为8，若双曲线经过边的中点C，则k的值为（  　） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】A 【分析】设、，则，根据的面积为8求出，再将C点坐标代入双曲线解析式，从而求出的值． 【详解】解：设、， ∵点C是边的中点， ， 点A，B分别在x轴，y轴的正半轴上， 、， ， ， ， 将代入得：． 【变式4】（2026·江苏宿迁·二模）如图，已知直线与函数的图象交于第一象限内点A，与轴负半轴交于点B，过点A作轴于点C，点D为中点，线段交轴于点E，连接．若的面积为6，则的值为（     ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】连接，根据点是的中点，利用三角形中线平分三角形面积的性质，推导出，再根据反比例函数的几何意义及三角形面积公式求得的值. 【详解】解：连接，如图， ∵轴，轴轴， ∴轴， ∴点到的距离等于的长， ∵点为中点， ∴、分别是、的边上的中线， ∴，， ∴ 即， ∵， ∴， ∵， ∴，即， 设点的坐标为，则，， ∵点在反比例函数的图象上， ∴. 【变式5】（2026·江苏扬州·三模）如图，正比例函数图象与反比例函数的图象交于点A、B，点C在x轴上，若，的面积是8，则k的值为_________． 【答案】 【分析】过点作轴，先证明，从而可得，结合的面积得出，进而可得k的值． 【详解】解：由题意，过点作轴于点H， ∵正比例函数图像与反比例函数的图像交于点、， ∴． ∵， ∴， ， ， 又该反比例函数图象在第二、四象限，即， ． 【变式6】（2026·安徽合肥·二模）如图，在平面直角坐标系中，函数（）与反比例函数（）交于A、B两点，点C在x轴上，且AC＝AO，若，则k＝__________． 【答案】 【分析】根据反比例函数的几何意义解答即可． 【详解】解：作于，如图： 函数（）与反比例函数（）交于、两点， ， ， ， ， ， ， ， 反比例函数图象在第二象限， ． 【变式7】（2026·广东东莞·二模）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点A．把直线向上平移3个单位长度与的图象交于点B，连接、，则的面积是_________． 【答案】6 【分析】过点作轴，过点作轴，先求出点、的坐标，再根据得出，即可得解． 【详解】解：如图，过点作轴于点C，过点作轴于点D， 正比例函数与反比例函数的图象交于点A， 联立， 解得：，（舍）， ， ，， 将直线向上平移3个单位长度，得到新函数为， 直线向上平移3个单位长度与的图象交于点B， 联立， 解得：，（舍）， ， ，， ， ． 【变式8】（25-26九年级上·广东中山·期末）如图，直线交坐标轴于点，．点C在反比例函数的图像上，且，连接交反比例函数图像于点．若恰好为的中点．则的值为_____． 【答案】 【分析】过点作轴于点，根据直线解析式得出，，根据角的和差关系得出，即可证明，可得，设，可得，根据恰好为的中点得出，根据点、在反比例函数图像上，列方程求出，即可求出，进而求出值即可． 【详解】解：如图，过点作轴于点， ∵直线交坐标轴于点，， ∴当时，，当时，， ∴，，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 设，则，， ∴， ∵点恰好为的中点， ∴， ∵点、都在反比例函数的图象上， ∴， 解得：（舍），， ∴， ∴． 【变式9】（2026·四川宜宾·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第二象限交于，两点，点在轴上，满足，，则______． 【答案】 【分析】可分别过点和点作轴垂线，垂足为和，再过点作垂线，垂足为，交于点，先证明，再证明，最终用表示出，在中用勾股定理解决问题． 【详解】解：如图，分别过点和点作轴垂线，垂足为和，再过点作垂线，垂足为， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 即， 又∵，两点在上， ∴， ∴， ∴，， 即， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题02 反比例系数k的几何意义 (题型突破举一反三) 典例精析 【典例1】 【答案】D 举一反三 【变式1】 【答案】C 【变式2】 【答案】C 【变式3】 【答案】C 【变式4】 【答案】A 【变式5】 【答案】4 【变式6】 【答案】12 【变式7】 【答案】 4051 【变式8】 【答案】A 题型02一点两垂直 典例精析 【典例2】 1/6 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【答案】3 举一反三 【变式1】 【答案】A 【变式2】 【答案】D 【变式3】 【答案】B 【变式4】 【答案】D 【变式5】 2n 【答案】 n+1 【变式6】 【答案】2 【变式7】 【答案】-4 【变式8】 【答案】B 题型03两点一垂直 三 典例精析 【典例3】 【答案】D 举一反三 【变式1】 【答案】B 【变式2】 【答案】A 2/6 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【变式3】 【答案】D 【变式4】 【答案】D 【变式5】 【答案】6 【变式6】 【答案】6 题型04两点两垂直 三 典例精析 【典例4) 【答案】B 三举一反目 【变式1】 【答案】B 【变式2】 【答案】 12 【变式3】 【答案】5 题型05双曲线(k符号相同) 典例精析 【典例5】 【答案】B E 举一反三 【变式1】 【答案】D 3/6 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【变式2】 【答案】B 【变式3】 【答案】C 【变式4】 【答案】-2 【变式5】 【答案】4 【变式6】 【答案】-9 【变式】 3 【答案】 【变式8】 【答案】12 题型06双曲线(k符号不相同) 典例精析 【典例5】 【答案】B 举一反三 【变式1】 【答案】D 【变式2】 【答案】C 【变式3】 【答案】D 【变式4】 【答案】C 4/6 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【变式5】 【答案】12 【变式6】 【答案】2 【变式7】 【答案】14 题型07反比例函数与一线三等角模型综合 三典例精析 【典例7】 【答案】 √2 三举一反三 【变式1) 2 【答案】3 【变式2】 4 【答案】 【变式3】 【答案】2 题型08曲线与一次函数 典例精析 【典例8】 【答案】D 举一反三 【变式1】 【答案】B 5/6 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【变式2】 【答案】B 【变式3】 【答案】A 【变式4】 【答案】D 【变式5】 【答案】-8 【变式6】 【答案】-3 【变式】 【答案】6 【变式8】 【答案】4 【变式9】 5 【答案】 6/6 专题02 反比例系数k的几何意义 （题型突破·举一反三） 题型01 一点一垂直 题型02 一点两垂直 题型03 两点一垂直 题型04 两点两垂直 题型05 双曲线（k符号相同） 题型06 双曲线（k符号不相同） 题型07 反比例函数与一线三等角模型综合 题型08 曲线与一次函数 ▌题型01 一点一垂直 【典例1】（25-26八年级下·上海·期末）点P在反比例函数（）的图象上，轴于点A，的面积为2，则k的值为（     ） A．1 B．2 C．4 D． 【变式1】（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限内，且在函数的图象上，点是线段上一点，过点作轴于点，连结．若，的面积为，则的值为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·云南昆明·三模）如图，点A在反比例函数的图像上，且，则此反比例函数的解析式是（     ） A． B． C． D． 【变式3】（2026·重庆·三模）反比例函数的图象在第一象限内的一支如图所示，是该图象上一点，是轴上一点，连接、，若，的面积为4，则k的值是（     ） A． B．2 C．4 D．8 【变式4】（2026·山东聊城·一模）如图，分别过反比例函数图象上的两点，作轴的垂线，垂足分别为，，连接，，与相交于点，且．若梯形的面积为2，则下列坐标表示的点，在函数图象上的是（    ） A． B． C． D． 【变式5】（2026·江苏连云港·二模）如图，A，B是双曲线上的两点，过点A作轴，垂足为点C，交于点D，若的面积为，D为的中点，则k的值为__________． 【变式6】（2026·辽宁阜新·二模）如图，在平面直角坐标系中，点、均在函数的图象上，轴于点，轴于点，连接，，若点，，，则_______． 【变式7】（25-26八年级下·四川遂宁·期末）如图，一组等腰三角形的底边均在轴的非负半轴上，两腰的交点在反比例函数的图象上，且它们的底边都相等．若，，，…的面积分别为，，，…，，则的值_________． 【变式8】（25-26九年级下·山东菏泽·期中）如图，在轴的正半轴上依次截取，过点分别作轴的垂线与反比例函数的图象相交于点，得，并设其面积分别为，以此类推，则的值为（   ） A． B． C． D． ▌题型02 一点两垂直 【典例2】（25-26八年级下·甘肃天水·期末）如图，双曲线经过正方形的顶点，已知，则________． 【变式1】（2026·宁夏吴忠·模拟预测）如图，反比例函数的图象经过矩形的边的中点D，则矩形的面积为（     ） A．4 B．5 C．6 D．8 【变式2】（2026·云南昭通·模拟预测）如图，A为函数图象上的一点，C为x轴上的点，过点A作x轴的平行线交y轴于点B，连接，若，四边形OABC的面积为4，则k的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3】（2026·吉林长春·模拟预测）如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点，在轴上，若点，，则实数的值为（     ） A． B． C． D． 【变式4】（2026·河南平顶山·二模）如图，点A是双曲线在第二象限分支上的任意一点，点B，C，D分别是点A关于x轴、坐标原点、y轴的对称点．若四边形的面积是12，则k的值为（     ） A． B．2 C．3 D． 【变式5】（25-26八年级下·上海·阶段检测）如图，在反比例函数的图象上，有点，，，…，，，它们的横坐标依次为1，2，3，…，n，．分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，…，，，则____________． 【变式6】（2026·安徽合肥·三模）在平面直角坐标系中，的位置如图所示，点B、C在轴上，点在轴上，反比例函数（为常数，且）的图象经过点，若点也在反比例函数的图象上，则的面积为___________． 【变式7】（2026·辽宁沈阳·一模）如图，A、B是双曲线上的两个点，分别过点A，B作x轴和y轴的垂线段，若图中阴影部分面积为1，两个空白矩形的面积之和为6，则k的值为_________． 【变式8】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，点，是反比例函数图象上的点，过点A和B分别作坐标轴的垂线，得到矩形和矩形，它们的面积分别为和．下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D．无法确定 ▌题型03 两点一垂直 【典例3】（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，A，B是反比例函数图象上的两点，且过原点O，过点B作x轴的垂线，垂足是C，连接．若的面积是4，则k的值是（     ） A．2 B． C．4 D． 【变式1】（2026·吉林长春·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线（）与双曲线交于A、B两点，轴于点，连结交轴于点，则的面积为（     ） A． B． C．2 D．3 【变式2】（2026·新疆乌鲁木齐·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，轴于点，连接交轴于点，结合图象判断下列结论：①点与点关于原点对称；②点是的中点；③在的图象上任取点和点，如果，那么；④．其中错误结论的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3】（24-25八年级下·四川遂宁·期中）已知如图，一直线经过原点O，且与反比例函数图象相交于A、B， 过点A作轴，垂足为点C，连接．若，则的值为（    ） A．4 B．2 C． D． 【变式4】（2026·吉林长春·二模）如图，在中，轴，点B，D在反比例函数的图象上，若的面积是16，则k的值是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式5】（2026·陕西榆林·三模）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点为反比例函数（为常数，，）图象上的一点，连接并延长到点，使得，轴于点，连接．若的面积为6，则的值为__________． 【变式6】（2026·陕西宝鸡·一模）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象相交于、两点，轴于点，延长到点，使得，连接、，若的面积为3，则的值为___________． ▌题型04 两点两垂直 【典例4】（24-25八年级下·吉林长春·期末）已知反比例函数的图象，如图所示，点在反比例函数的图象上，连接两点，刚好经过原点，为第四象限内一点，且与y轴平行，与x轴平行，若，则的值为（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【变式1】（2025·黑龙江七台河·一模）如图，矩形对角线的交点M在x轴上，边平行于x轴，，，反比例函数经过点B、反比例函数经过D两点，则k的值是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2】（2026·福建福州·二模）如图，平面直角坐标系xOy中，直线与双曲线的交点A，B位于第一，第三象限．分别过点A，B作x轴，y轴的垂线，交于点C，若，，则k的值是______． 【变式3】（2026·安徽·一模）如图，，是双曲线（是常数且）上两点，线段经过原点，轴，于点，若的面积为，则的值为_______． ▌题型05 双曲线（k符号相同） 【典例5】（25-26八年级下·湖南衡阳·期末）如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且轴，点C、D在x轴上．若四边形为矩形，则它的面积为（     ） A．6 B．8 C．12 D．16 【变式1】（25-26九年级下·吉林长春·期中）如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，且轴，轴于点，则四边形的面积为（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 【变式2】（2026·福建漳州·模拟预测）如图，点A是函数的图象上的动点，过点A作x轴、y轴的平行线与函数的图象分别交于点B，C，OA与BC交于点D．下列结论中正确的是（     ） A．AB与AC一定相等 B．△AOB与△AOC的面积一定相等 C．OB与OC一定相等 D．△BOC与△ABC的面积一定相等 【变式3】（25-26八年级下·四川内江·期中）如图，点，分别在反比例函数和位于第一象限的图象上．分别过点，向轴作垂线，若阴影部分的面积为2，则的值为（   ） A． B．5 C．7 D．4 【变式4】（25-26八年级下·山东济南·期末）如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂足为B，与反比例函数的图象交于点D．若，则k的值为__________． 【变式5】（2026·江苏连云港·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，两个反比例函数和在第二象限内的图象依次为，．已知点P在上，点A，B在上，且轴，轴，则四边形的面积为____． 【变式6】（2026·福建三明·模拟预测）如图，点，分别在反比例函数（），（）的图象上，点为轴正半轴上一点，若平行四边形的面积是6，则的值为_______． 【变式7】（25-26八年级下·江苏泰州·期末）如图，点为反比例函数的图像上一点，过点分别向轴，轴作垂线，垂足分别为，，线段被反比例函数的图像上一点分成两部分，且，连接，则的面积为______． 【变式8】（2026·山西太原·三模）如图，在平面直角坐标系中，点，分别在反比例函数（）与（）的图象上，轴，点在轴上，且，若，则的值为____． ▌题型06 双曲线（k符号不相同） 【典例5】（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）如图，在矩形中，点、在轴上，点、分别在反比例函数和上，若矩形的面积为6，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·河北保定·三模）根据图1所示的程序框图，得到了与的函数图象如图2所示，若是轴正半轴上任意一点，过点作轴交函数图象于点，，连接，，则下列结论正确的是（） A．的面积为 B．时， C．时，随的增大而增大 D．可能等于 【变式2】（2026·福建厦门·模拟预测）如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，平行于x轴，连接，若，则的面积可以是（     ） A． B．4 C． D．5 【变式3】（25-26八年级下·河南周口·期中）已知反比例函数与的图象如图所示，过y轴正半轴上的任意一点P作x轴的平行线，分别与这两个函数的图象交于M，N两点，A是x轴上的任意一点，连结，，若的面积为8，则k的值为    （   ） A．6 B．12 C． D． 【变式4】（25-26九年级下·吉林长春·期中）如图，矩形的顶点、分别在反比例函数与的图象上，点、在轴上，、分别交轴于点、，若，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【变式5】（2026·陕西榆林·三模）如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在反比例函数（，）和的图象上，点在轴上，连接、、，轴于点，若，则的值为_____． 【变式6】（25-26八年级下·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，点分别在反比例函数和的图象上，与y轴相交于点M，轴，若，则的长为_______． 【变式7】（25-26八年级下·吉林长春·期中）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点在轴上，顶点在反比例函数的图象上，顶点在反比例函数的图象上，则平行四边形的面积是___________． ▌题型07 反比例函数与一线三等角模型综合 【典例7】（2026年北京密云区九年级中考一模数学试题）已知点是反比例函数图象上的一点，连接，过点作的垂线与反比例函数的图象交于点，则的值为________． 【变式1】（广东深圳市福田区深圳高级中学集团2025－2026学年九年级数学模拟考试（5月））如图，在平面直角坐标系中，点，分别在反比例函数，的图象上，连接，，，且，作轴于点．轴于点，若，则的值为______． 【变式2】（江苏连云港市新海初级中学2025-2026学年下学期九年级阶段测试数学试题）如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，连接．若，且，则______． 【变式3】（广东省东莞市松山湖北区学校2025-2026学年度第二学期一模测试九年级数学试卷）如图，点A是反比例函数在第二象限内图象上一点，点B是反比例函数在第一象限内图象上一点，直线AB与y轴交于点C，且，连接OA、OB，则的面积是__________． ▌题型08 曲线与一次函数 【典例8】（25-26八年级下·福建泉州·期末）如图，点、是反比例函数图象上的两点，延长线段交轴于点，且点为线段中点，连接、，若，则的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】（24-25九年级下·安徽芜湖·自主招生）如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象在第二象限分别交于点和点，过点和点作轴的垂线，垂足分别为点和点．当四边形的面积为12时，则（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·四川宜宾·中考真题）如图，一条直线与反比例函数的图象交于A、两点，分别与轴、轴交于C、两点．若，，则的值是（     ） A． B． C． D． 【变式3】（2024·山东淄博·模拟预测）如图，点A，B分别在x轴，y轴的正半轴上，且的面积为8，若双曲线经过边的中点C，则k的值为（  　） A．4 B．6 C．8 D．12 【变式4】（2026·江苏宿迁·二模）如图，已知直线与函数的图象交于第一象限内点A，与轴负半轴交于点B，过点A作轴于点C，点D为中点，线段交轴于点E，连接．若的面积为6，则的值为（     ） A．6 B．8 C．10 D．12 【变式5】（2026·江苏扬州·三模）如图，正比例函数图象与反比例函数的图象交于点A、B，点C在x轴上，若，的面积是8，则k的值为_________． 【变式6】（2026·安徽合肥·二模）如图，在平面直角坐标系中，函数（）与反比例函数（）交于A、B两点，点C在x轴上，且AC＝AO，若，则k＝__________． 【变式7】（2026·广东东莞·二模）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点A．把直线向上平移3个单位长度与的图象交于点B，连接、，则的面积是_________． 【变式8】（25-26九年级上·广东中山·期末）如图，直线交坐标轴于点，．点C在反比例函数的图像上，且，连接交反比例函数图像于点．若恰好为的中点．则的值为_____． 【变式9】（2026·四川宜宾·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第二象限交于，两点，点在轴上，满足，，则______． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $