重难点专题10 反比例函数的图象与性质（5大题型）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 以k的正负性为核心，构建从图像象限判断到参数取值的递进式方法体系，通过分层题型实现知识逻辑与解题技巧的融合，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |由k正负判断图像象限|5题|k>0→一三象限，k<0→二四象限，图像不与坐标轴相交|以k的符号为起点，建立反比例函数图像的基础认知| |比较函数值大小|6题|先判象限，再用增减性（同象限）或正负（跨象限）|在图像认知基础上，发展函数值比较的推理能力| |比较自变量大小|5题|由k定增减规律，同象限用增减性反向推导，跨象限用正负区分|函数值比较的逆向应用，强化双向推理意识| |由增减性求参数范围|7题|k>0→y随x增大而减小，k<0则反之，需满足k≠0|结合增减性本质，建立参数与函数性质的关联| |由象限求参数范围|6题|一三象限→k>0，二四象限→k<0，排除k=0|图像位置与参数的直接转化，深化模型意识|

重难点专题10 反比例函数的图象与性质 重难点一 由的正负性判断图像象限 1.若，双曲线两支分布在第一、三象限； 2.若，双曲线两支分布在第二、四象限； 3.图像无限贴近坐标轴，永远不与 x 轴、y 轴相交。 1．反比例函数 的图像所在象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图像，反比例函数的图像位置由系数k的符号决定，时图像在第一、三象限，时图像在第二、四象限． 根据作答即可． 【详解】解：∵反比例函数中， ∴其图像在第一、三象限． 故选：C． 2．反比例函数的图象位于（    ） A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质．利用反比例函数的图象和性质进行判断即可． 【详解】解：∵反比例函数，， ∴图象位于第一、三象限， 故选：C． 3．反比例函数的图象位于（    ） A．第一、三象限 B．第一、四象限 C．第二、四象限 D．第二、三象限 【答案】A 【分析】此题主要考查了反比例函数的性质．根据反比例函数的性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴函数图象位于第一、三象限． 故选：A 4．如果某反比例函数的图像经过点，那么它的图像位于______象限． 【答案】一、三 【分析】先设反比例函数的一般解析式，将已知点代入求出比例系数，由的符号判断函数图像所在的象限． 【详解】解：设反比例函数的解析式为， 将点代入得，， 解得， ∴反比例函数的图像位于第一、第三象限． 5．已知反比例函数的图像经过点，则这个函数的图像位于第________象限． 【答案】一、三/三、一 【分析】本题考查了反比例函数图象．熟练掌握反比例函数图象是解题的关键． 根据在第一或第三象限，求解作答即可． 【详解】解：由题意知，在第一或第三象限， ∴反比例函数的图像位于第一、三象限， 故答案为：一、三． 重难点二 比较函数值的大小 1.先判点的象限、再结合k的正负和函数增减性判断数值大小，无需复杂计算。解题要点： 2.优先区分各点所在象限，k＞0时一三象限y值为正、二四象限y值为负，k＜0时二三象限y值为正、一四象限y值为负，正数恒大于负数； 3.同一象限内，根据增减性判断，k＞0时y随x增大而减小，k＜0时y随x增大而增大； 4. 切记增减性仅适用于同一象限，跨象限比较只看正负即可。 1．已知点在反比例函数的图像上，则 与的大小关系是（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】根据反比例函数的增减性求解即可． 【详解】解：∵点在反比例函数的图像上， ∴点在反比例函数第二象限的双曲线上，且y随x的增大而增大， ∵， ∴． 2．如果点，，在反比例函数（）的图象上，那么（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用时反比例函数的图像分布和增减性，即可判断三个值的大小． 【详解】∵反比例函数中， ∴函数图像分布在第一、第三象限，且每个象限内随的增大而减小， ∵点的横坐标，该点在第三象限， ∴. ∵点，的横坐标满足，两点都在第一象限， ∴， 综上所述，． 3．若、、三点都在函数的图象上，则、、的大小关系为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据的符号判断函数图象所在象限，再根据各点横坐标的范围比较值大小，用到性质：时，反比例函数的图象位于第二、四象限，且在每个象限内随的增大而增大． 【详解】∵ 函数中，， ∴ 函数图象的两个分支分别在第二、四象限，且在每一象限内随的增大而增大， ∵ ， ∴ 点、在第二象限，点在第四象限，可得，， ∴ ． 4．若点，都在反比例函数（m为常数）的图象上，则与的大小关系为________．（填“”“”或“”） 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴反比例函数的图象位于第二、四象限； 点的横坐标为， 点在第四象限，可得， 点的横坐标为， 点在第二象限，可得， ，即． 5．已知，是反比例函数 图象上的两个点，则___________0（用“>”“<”或“=”填空）． 【答案】 【详解】解：点，在反比例函数的图象上， ，， ∴， ， ， 即． 6．已知点，，在反比例函数（为任意实数）的图象上，且，则，，的大小关系为________． 【答案】/ 【详解】解：对于反比例函数，比例系数 对任意实数，， ， 可得 反比例函数的图象位于第二、四象限，且在每一象限内，随的增大而增大． ， 点在第二象限，可得 ， 点，都在第四象限，可得， 又在第四象限内随的增大而增大，且， 综上可得． 重难点三 比较自变量的大小 1. 先根据k的正负确定双曲线分布象限与对应增减规律； 2. 已知函数值比较自变量时，先判断各点是否在同一象限，同象限直接依据增减性反向推导； 3. 跨象限的点，结合不同象限自变量的正负范围（一三象限x正、二四象限x负），快速区分自变量大小。 1．若点，，都在反比例函数图象上，则，，的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点在反比例函数图象上，坐标满足函数解析式，将各点纵坐标代入解析式求出，，的值，再比较大小即可． 【详解】解：∵ 点，，都在反比例函数的图象上， ∴ 将值分别代入解析式得，，， ∵， ∴． 2．若点，，都在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解答本题的关键．先确定图象分布在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小再根据性质判定大小即可． 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象分布在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小． ∴在第三象限， ∴， 又∵， ∴ ∴ 故选：A． 3．若点，都在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键；由反比例函数可知该函数图象在第一、三象限，然后根据“点”可进行求解． 【详解】解：∵， ∴函数图象在第一、三象限， ∵点，都在反比例函数的图象上， ∴； 故选D． 4．点在反比例函数的图象上，若，则的大小关系：______．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质．利用反比例函数的图象和性质，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴在每一象限内，y随x的增大而增大， ∵点在反比例函数的图像上，且， ∴． 故答案为： 5．若点，，都在反比例函数 的图象上，则的大小关系是________．（用“”连接） 【答案】 【分析】将各点坐标代入反比例函数解析式求出对应的值，再比较大小即可． 【详解】解：∵点，，都在反比例函数 的图象上， ∴，，， ∵， ∴． 重难点四 根据增减性求参数的取值范围 1. 明确核心规律：反比例函数在每一象限内，k＞0时y随x增大而减小，k＜0时y随x增大而增大； 2. 根据题干给出的增减性描述，列出k的正负不等式，将参数代入k的表达式； 3. 求解不等式，同时务必满足反比例函数核心条件k≠0，剔除参数使k为0的取值。 1．在反比例函数图象的任意一支上，都随的增大而减小，则的值可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数的性质，利用反比例函数的增减性得到系数的取值范围，对于反比例函数，当时，图象任意一支上都随的增大而减小，进行解答；即可． 【详解】∵ 反比例函数图象的任意一支上，都随的增大而减小， ∴ ， 解得 ， 上述四个选项中只有，符合条件． 2．已知反比例函数的图象具有下列特征：在所在象限内，的值随值的增大而增大．那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，对于反比例函数，当时，反比例函数图象两支位于第一、三象限，在每个象限内y随x增大而减小，当时，反比例函数图象两支位于第二、四象限，在每个象限内y随x增大而增大，据此求解即可． 反比例函数的性质：当比例系数小于0时，函数图象在第二、四象限，y随x的增大而增大． 【详解】∵函数 在所在象限内y随x的增大而增大， ∴比例系数 ， ∴ ． 故k的取值范围是 ， 故选：C． 3．已知点、在反比例函数的图像上，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据题意可知，反比例函数的图像在第二、四象限，即可求出k的取值范围． 【详解】解：，且， ∴反比例函数的图像在第二、四象限， ∴， ∴， 故选：B． 4．已知反比例函数的图象，当时，随的增大而增大，则的取值可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数的性质，根据反比例函数的性质可得，再解不等式即可．解题的关键是掌握反比例函数的性质：（1），反比例函数图象在一、三象限，在每一象限内随的增大而减小；（2），反比例函数图象在第二、四象限内，在每一象限内随的增大而增大． 【详解】解：∵当时，随的增大而增大， ∴， 解得：， ∴的取值可能为． 故选：A． 5．已知反比例函数，当时，y随x的增大而减小．则k的值可以为_____________．（写出一个即可） 【答案】1（答案不唯一） 【分析】根据反比例函数的性质解答即可． 【详解】解：∵反比例函数，当时，y随x的增大而减小， ∴， ∴k的值可以为1（答案不唯一）． 6．在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上，且，的取值范围是____________． 【答案】 【分析】本题利用反比例函数图象上点的坐标特征，得到关于的表达式，再根据已知条件列出关于的一元一次不等式，解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：点，在反比例函数的图象上， 将点坐标代入解析式得，， ， ，即，解得：． 7．已知点与点在同一条反比例函数的图象上，若，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】先根据点的坐标求出反比例函数的值，得到反比例函数解析式，再利用反比例函数的增减性，结合的取值范围，得到的取值范围． 【详解】解：点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数解析式为， ， 反比例函数在第一象限内，随的增大而减小， 点在该反比例函数图象上，且， 当时，， ． 重难点五 根据函数所在的象限求参数的取值范围 1. 牢记象限对应规则：图像过一、三象限则k＞0，图像过二、四象限则k＜0； 2. 将解析式中含参数的式子替换k，列出对应正负不等式； 3. 解不等式得到参数范围，最终结果必须规避k=0的无效情况，保证函数为反比例函数。 1．已知反比例函数的图象位于第一、三象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解答本题的关键． 根据反比例函数的性质解答即可． 【详解】解：反比例函数的图象位于第一、三象限， ， ， 故选：D． 2．反比例函数的图象如图所示，则的值可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解答本题的关键． 根据反比例函数的性质即可解答． 【详解】解：由图象可知，反比例函数在二、四象限， ， 的值可能是， 故选：C． 3．已知在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过第二、四象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据反比例函数的性质列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可． 【详解】解答：解：∵反比例函数的图象经过第二、四象限， ∴3−m＜0， 解得m＞3． 故选：B． 【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数中，当k＜0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限是解答此题的关键． 4．已知反比例函数的图象在第一、三象限，则m的取值范围为______． 【答案】 【分析】根据反比例函数的性质得，然后解不等式即可. 【详解】解：∵反比例函数的图象在第一、三象限， ∴，解得， 故答案为：. 【点睛】本题考查了反比例函数的性质：反比例函数的图象是双曲线；当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大. 5．使关于x的分式方程的解为非负数，且使反比例函数的图象经过一，三象限，则满足条件的所有整数的和________． 【答案】1 【分析】本题考查根据分式方程的解的情况求参数的范围，反比例函数的图象和性质；先解分式方程，根据方程的解的情况，结合分式的分母不为0，求出的取值范围，进而求出整数的值． 【详解】解：解，得：， ∵式方程的解为非负数，且， ∴，且， ∴且， ∵反比例函数的图象经过一，三象限， ∴， ∴， ∴满足条件的整数为：， ∴； 故答案为：1． 6．是y关于x的反比例函数，且图象在第二、四象限，则m的值为_____． 【答案】-2 【分析】根据反比例函数的定义可得m2-m-7＝-1，且m-1≠0，从而解出m的值，再由图象在第二、四象限可得m-1＜0，进而可确定m的值． 【详解】由题意得：m2-m-7＝-1，且m-1≠0， 解得：m1＝3，m2＝-2， ∵图象在第二、四象限， ∴m-1＜0， ∴m＜1， ∴m＝-2， 故答案为：-2． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专题10 反比例函数的图象与性质 重难点一 由的正负性判断图像象限 1.若，双曲线两支分布在第一、三象限； 2.若，双曲线两支分布在第二、四象限； 3.图像无限贴近坐标轴，永远不与 x 轴、y 轴相交。 1．反比例函数 的图像所在象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限 2．反比例函数的图象位于（    ） A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限 3．反比例函数的图象位于（    ） A．第一、三象限 B．第一、四象限 C．第二、四象限 D．第二、三象限 4．如果某反比例函数的图像经过点，那么它的图像位于______象限． 5．已知反比例函数的图像经过点，则这个函数的图像位于第________象限． 重难点二 比较函数值的大小 1.先判点的象限、再结合k的正负和函数增减性判断数值大小，无需复杂计算。解题要点： 2.优先区分各点所在象限，k＞0时一三象限y值为正、二四象限y值为负，k＜0时二三象限y值为正、一四象限y值为负，正数恒大于负数； 3.同一象限内，根据增减性判断，k＞0时y随x增大而减小，k＜0时y随x增大而增大； 4. 切记增减性仅适用于同一象限，跨象限比较只看正负即可。 1．已知点在反比例函数的图像上，则 与的大小关系是（     ） A． B． C． D．无法确定 2．如果点，，在反比例函数（）的图象上，那么（     ） A． B． C． D． 3．若、、三点都在函数的图象上，则、、的大小关系为（     ）． A． B． C． D． 4．若点，都在反比例函数（m为常数）的图象上，则与的大小关系为________．（填“”“”或“”） 5．已知，是反比例函数 图象上的两个点，则___________0（用“>”“<”或“=”填空）． 6．已知点，，在反比例函数（为任意实数）的图象上，且，则，，的大小关系为________． 综上可得． 重难点三 比较自变量的大小 1. 先根据k的正负确定双曲线分布象限与对应增减规律； 2. 已知函数值比较自变量时，先判断各点是否在同一象限，同象限直接依据增减性反向推导； 3. 跨象限的点，结合不同象限自变量的正负范围（一三象限x正、二四象限x负），快速区分自变量大小。 1．若点，，都在反比例函数图象上，则，，的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 2．若点，，都在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 3．若点，都在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（　　） A． B． C． D． 4．点在反比例函数的图象上，若，则的大小关系：______．（填“”、“”或“”） 5．若点，，都在反比例函数 的图象上，则的大小关系是________．（用“”连接） 重难点四 根据增减性求参数的取值范围 1. 明确核心规律：反比例函数在每一象限内，k＞0时y随x增大而减小，k＜0时y随x增大而增大； 2. 根据题干给出的增减性描述，列出k的正负不等式，将参数代入k的表达式； 3. 求解不等式，同时务必满足反比例函数核心条件k≠0，剔除参数使k为0的取值。 1．在反比例函数图象的任意一支上，都随的增大而减小，则的值可以是（     ） A． B． C． D． 2．已知反比例函数的图象具有下列特征：在所在象限内，的值随值的增大而增大．那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知点、在反比例函数的图像上，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．已知反比例函数的图象，当时，随的增大而增大，则的取值可能为（   ） A． B． C． D． 5．已知反比例函数，当时，y随x的增大而减小．则k的值可以为_____________．（写出一个即可） 6．在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上，且，的取值范围是____________． 7．已知点与点在同一条反比例函数的图象上，若，则的取值范围是________． 重难点五 根据函数所在的象限求参数的取值范围 1. 牢记象限对应规则：图像过一、三象限则k＞0，图像过二、四象限则k＜0； 2. 将解析式中含参数的式子替换k，列出对应正负不等式； 3. 解不等式得到参数范围，最终结果必须规避k=0的无效情况，保证函数为反比例函数。 1．已知反比例函数的图象位于第一、三象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．反比例函数的图象如图所示，则的值可能是（   ） A． B． C． D． 3．已知在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过第二、四象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．已知反比例函数的图象在第一、三象限，则m的取值范围为______． 5．使关于x的分式方程的解为非负数，且使反比例函数的图象经过一，三象限，则满足条件的所有整数的和________． 6．是y关于x的反比例函数，且图象在第二、四象限，则m的值为_____． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $