第09讲 圆的方程讲义-2026年新高二暑假数学人教A版选择性必修第一册

第09讲圆的方程 目录 知识点1圆的标准方程… 知识点2点与圆的位置关系 ,,11,,,,, 知识点3圆上的点到定点的最大、最小距离， 2 知识点4圆的一般方程… 2 题型一圆的标准方程与圆心及半径.……… .3 题型二二元二次方程表示的曲线与圆的关系， 5 题型三 圆的一般方程 .9 题型四 点与圆的位置关系 11 题型五 定点到圆上点的距离.14 题型六 轨迹方程一圆 17 学习新知 知识点1圆的标准方程 1.圆的定义 圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合， 2.圆的标准方程 我们把方程（x-a}+(y-b)=r2称为圆心为(a,b),半径为r的圆的标准方程. 3.几种特殊位置的圆的标准方程 条件 方程形式 过原点 (x-a2+(y-b)2=a2+b2 圆心在原点 x2+y2=r2 圆心在x轴上 (x-a}+y2=2 圆心在y轴上 x2+(y-b)2=r2 圆心在x轴上且过原点 (x-a)2+y2=a2 圆心在y轴上且过原点 x2+0y-b2=b2 与x轴相切 (x-a2+(y-b)2=b2 与y轴相切 (x-a}+(y-b)2=a2 知识点2点与圆的位置关系 点M(x,%)与圆(x-a)}+(y-b)=r2的位置关系： (1)点M(x%)在圆外台(x-a)+(。-b)}>r2: (2)点M(o,o)在圆上台(x。-a)}2+(-b)}2=2: (3)点M(x%)在圆内台(x。-a}+(。-b}<2 2 知识点3圆上的点到定点的最大、最小距离 设圆心C到定点A的距离为，圆的半径为r,圆上的动点为P: (1)若点A在圆外，则PA lmax=d+r,PAlmin=d-r: (2)若点A在圆上，则PAmx=2r,PAlin=0: (3)若点A在圆内，则|PAl=d+,PAlmin=r-d.综上， PAlmx=d+r,PAlmin=d-rl. 知识点4圆的一般方程 1.圆的一般方程 当D2+E2-4F>0时，方程x2+y2+Dx+y+F=0表示一个圆.我们把方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程。 2.对方程x2+y2+Dx+Ey+F=0的说明 D2+E2-4F 对方程x2+y2+Dx+Ey+F=0配方得 D2+E2-4F与0的大小关系对方程 x+y+Dx+Ey+F=0 图形的影响如下表： 条件 图形 D2+E2-4F<0 不表示任何图形 D E D2+E2-4F=0 表示一个点2， D2+E2-4F>0 表示以 2， 2 为圆心以)D+E-4F为半径的圆 3 经典题型 题型一 圆的标准方程与圆心及半径 1.写出下列圆的标准方程： 1)圆心为C(-3,4) 半径是5 2圆心为C(8,3)且经过点M(-5-3) (4,0) (2,2) 3)圆心是 且过点 3,-4) (4)圆心在y轴上，半径为5，且过点 (5)过点 2-和直线-相圳并且网心全点线'=一2 上 ⑥经过点43,2)B(2,3)圆心在轴上： (⑦经过直线x+2y+3=0与x-2y+3=0的交点.圆心为点C(-2,1） 2过三点O0,0以M(-3)M,(3-的圆的标准方程是 4 3.求经过点（-2,0)，(-2,2)且圆心在直线：x+y=0上的圆的标准方程为 题型二圆的判断 4,判断下列方程分别表示什么图形，如果是圆，求出它的圆心坐标和半径· (++2x+4y+1=0. 25r+5y+2x+4y+1=0 同5r-5y+2x+2y+1=0,r+y+2x+4y+5=0 C:ax2+ay2-2x+4a2y=0 5.(多选)已知曲线 ,下列结论正确的是() A.当a=0时，曲线C是一条直线 B.当a≠0时，曲线C是一个圆 C.当曲线C是圆时，它的面积的最小值为2π D.当曲线C是面积为5江的圆时，回=】 6 2+y2+kx+2y+k2=0 6.(多选)已知圆的方程为 ,则下列结论中正确的是() 2W323 A.实数k的取值范围是3’3 2325 B.实数k的取值范围是 -0,-3 C.当圆的周长最大时，圆心坐标是(0，-) D.圆的最大面积是兀 题型三圆的一般方程 7经过4.)，B(1),C0,2)三个点的圆的方程为《) A.（x+)+(0y-1)2=2 B.(x-°+(0-1=2 C.+(0-=1 D.x+(0+1)=1 8已知圆的圆心在直线-2y-3=0上，且过点1(2，-)，B(-2,-),则圆的一般方程为- )已知圆C:+少-4x-2y=m+1不经过第三象限，则实数m的最大值为一… 8 题型四点与圆的位置关系 10.已知点P(32)和圆的方程-2少+0+3旷=4.则它们的位置关系是(） A.在圆心 B.在圆上 C.在圆内 D.在圆外 1.若点Q在圆+少-2ar-2y+a+1=0外，则实数“的取值范周为 12已知圆r+广=+4经过点a-2),且点Pa》到点，0) 的距离为3，则() A.0=-4 B.a=2 C.b=2 D.b=4 题型五定点到圆上点的距离 13.已知点P(x-2),点Q为圆《-2+0v-2=4上的动点，则P四的最小值为（) 25-2 6W5 A.5 B.5 C.2 。0g 14.点M在圆G:+少+6-2y+1=0上，点N在圆C:+少+2x+4y+1=0上，求W 的 9 最大值 10 题型六轨迹方程一一圆 15.已知A0,-1),B(0,2),若直线I:y=ax+2上有且只有一点P满足PB=2PA,则a= () 5 A.3 B.3 5√3 C.3或3 D.3或- 16.已知园C:(x-3+广=9，D是圆C上的动点，点B2,),若动点M清足D丽-2E,则 点M的轨迹方程为() A.2x+y+3=0 B.y=9 c.x-+0-8}2=9 D.6x-82+0-1}=9 17,已知圆C经过点4(0,2)和点B(3),且圆心C在直线-y-1=0上 (1)求圆C的方程； 2)若线段DE的端点D的坐标是4,3)，端点E在圆C上运动.求线段DE的中点M的轨迹 方程. 11 第09讲 圆的方程 目录 知识点1 圆的标准方程 2 知识点2 点与圆的位置关系 2 知识点3 圆上的点到定点的最大、最小距离 3 知识点4 圆的一般方程 3 题型一 圆的标准方程与圆心及半径 4 题型二 圆的判断 6 题型三 圆的一般方程 8 题型四 点与圆的位置关系 10 题型五 定点到圆上点的距离 11 题型六 轨迹方程——圆 12 01 学习新知 知识点1 圆的标准方程 1．圆的定义 圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合． 2．圆的标准方程 我们把方程称为圆心为,半径为r的圆的标准方程． 3．几种特殊位置的圆的标准方程 条件 方程形式 过原点 圆心在原点 圆心在x轴上 圆心在y轴上 圆心在x轴上且过原点 圆心在y轴上且过原点 与x轴相切 与y轴相切 知识点2 点与圆的位置关系 点与圆的位置关系： （1）点在圆外； （2）点在圆上； （3）点在圆内. 知识点3 圆上的点到定点的最大、最小距离 设圆心到定点的距离为,圆的半径为,圆上的动点为: （1）若点在圆外,则; （2）若点在圆上,则; （3）若点在圆内,则.综上,. 知识点4 圆的一般方程 1．圆的一般方程 当时,方程表示一个圆．我们把方程叫做圆的一般方程． 2．对方程的说明 对方程配方得，与0的大小关系对方程图形的影响如下表： 条件 图形 不表示任何图形 表示一个点 表示以为圆心,以为半径的圆 02 经典题型 题型一 圆的标准方程与圆心及半径 1. 写出下列圆的标准方程： (1)圆心为，半径是； (2)圆心为，且经过点. (3)圆心是，且过点； (4)圆心在y轴上，半径为5，且过点； (5)过点和直线相切，并且圆心在直线上. (6)经过点，圆心在轴上； (7)经过直线与的交点，圆心为点. 【答案】(1)(2)(3) (4)或(5)或 (6)(7) 【解析】（1）圆心在，半径长是，故圆的标准方程为． （2）圆心在，且经过点，故半径为，故圆的标准方程为． （3），圆的标准方程为. （4）设圆心为，则或， 圆心为或，又，圆的标准方程为或. （5）圆心在上，设圆心为，设圆心到直线的距离为r. 则，①又圆过点，② 由①②得或圆的标准方程为或. （6）设圆的方程为，由题意得：解得：，所以圆的标准方程为； （7）联立与，解得：，所以交点为， 则圆的半径为，所以圆的标准方程为. 2. 过三点的圆的标准方程是 . 【答案】 【详解】设圆的标准方程为， 得，得， 所以圆的标准方程是. 故答案为： 3. 求经过点且圆心在直线上的圆的标准方程为 . 【答案】 【详解】若经过点，，则圆心在直线上， 又在直线l：上，令，则， 故圆心坐标为，半径为， 故所求圆的标准方程为. 故答案为：. 题型二 圆的判断 4. 判断下列方程分别表示什么图形，如果是圆，求出它的圆心坐标和半径． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)表示圆，圆心为，半径为(2)表示点 (3)表示圆，圆心为，半径为(4)表示点 【解析】（1）对于方程，， 所以方程表示圆， 圆心坐标为，即，半径为. （2）对于方程，即， . 方程可化为，表示点. （3）方程，即， ，所以方程表示圆， 圆心坐标为，即，半径为. （4）方程即，故表示点. 5. （多选）已知曲线，下列结论正确的是（    ） A．当时，曲线是一条直线 B．当时，曲线是一个圆 C．当曲线是圆时，它的面积的最小值为 D．当曲线是面积为的圆时， 【答案】AB 【详解】对于A选项，当时，曲线的方程为，此时，曲线是一条直线，A对； 对于B选项，当时，曲线的方程可化为， 因为，此时，曲线是一个圆，B对； 对于C选项，当曲线是圆时，其半径为， 当且仅当时，即当时，等号成立，即的最小值为， 因此，当曲线是圆时，它的面积的最小值为，C错； 对于D选项，当曲线是面积为的圆时，其半径为， 即，解得或，D错. 故选：AB. 6. （多选）已知圆的方程为，则下列结论中正确的是（    ） A．实数k的取值范围是 B．实数k的取值范围是 C．当圆的周长最大时，圆心坐标是 D．圆的最大面积是π 【答案】ACD 【详解】将圆的方程为化为标准式为， 由，解得，故A正确，B错误； 当时，圆的半径最大，则圆的周长以及面积最大， 此时半径为，圆心坐标为，则圆的面积为，故CD正确； 故选：ACD 即无论为何值，曲线必过两定点． 题型三 圆的一般方程 7. 经过，，三个点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设经过，，三个点的圆的方程， 由题意可得，解得，且满足， 所以经过，，三个点的圆的方程为， 即为. 故选：C. 8. 已知圆的圆心在直线上，且过点，，则圆的一般方程为 . 【答案】 【解析】方法一：设所求圆的标准方程为， 由题意得:，解得： 故所求圆的方程为， 即. 方法二：线段的中点坐标为，即， 直线的斜率为， 所以线段的垂直平分线的斜率为， 所以线段的垂直平分线方程为，即， 由几何性质可知：线段的垂直平分线与的交点为圆心， 联立， 得交点坐标， 又点到点的距离，即半径为， 所以圆的方程为， 即. 故答案为： 9. 已知圆C：不经过第三象限，则实数m的最大值为 ． 【答案】 【详解】圆方程整理为，则圆心， ，因为圆不经过第三象限， 所以，解得，则. 故答案为：. 题型四 点与圆的位置关系 10. 已知点和圆的方程，则它们的位置关系是（    ） A．在圆心 B．在圆上 C．在圆内 D．在圆外 【答案】D 【解析】因为 ，所以点在圆外． 故选：D． 11. 若点在圆外，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】圆的标准方程为， 由于点在圆外， 所以，解得， 故答案为： 12. 已知圆经过点，且点到点的距离为3，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意知：，整理得：① 又由点到点的距离为3可得：② 联立①②，解得：或.故.故选：B. 题型五 定点到圆上点的距离 13. 已知点，点Q为圆上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以在直线即上. 又圆心到直线的距离为：，所以的最小值为：. 故选：C 14. 点M在圆上，点N在圆上，求的最大值． 【答案】 【详解】，所以圆心，半径为， ，所以圆心，半径为， 如图所示：当依次在一条直线上时，最大， 最大值为：.    题型六 轨迹方程——圆 15. 已知，若直线上有且只有一点满足，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【详解】设动点，由题意得， 化简可得，故动点的轨迹方程为． 动点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，且在直线上， 因为直线上有且只有一点满足， 所以直线与圆相切，且切点为，由，得，所以或， 故选：D． 16. 已知圆，是圆上的动点，点，若动点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，，由，得，所以， 又因为点在圆上， 所以，即. 故选：C. 17. 已知圆经过点和点，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)若线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）解：设圆的方程为， 故圆心为， 由题意得，解得， 所以圆的方程为； （2）设点的坐标是，点的坐标是． 因为点的坐标是，且是线段的中点， 所以． 故．   ① 因为点在圆上运动，所以点的坐标满足圆的方程， 即．     ② 把①代入②，得， 整理，得． 学科网（北京）股份有限公司 $