第二单元 小数乘法-能力提升培优讲义【思维导图+知识卡片+新知梳理+十五大考点讲练+难度分层练 共50题】-2026-2027学年人教版新教材数学五年级上册举一反三讲义

该小学数学讲义通过思维导图和知识梳理系统构建“小数乘法”单元知识体系，将小数乘整数、小数乘小数等8个知识点按算理与算法分层呈现，用框架图梳理积的小数位数确定等重难点，清晰展现知识内在逻辑联系。 讲义亮点在于15个高频考点讲练与分层真题演练，如分段计费问题结合生活情境培养应用意识，简算题强化运算能力。典例精讲配变式训练帮助学生举一反三，分层习题满足不同水平需求，助力教师实施精准复习教学。

2025-2026学年人教版新教材数学五年级上册举一反三讲义能力提升 第二单元 小数乘法『举一反三知识讲练』（能力提升版） 【解析版】 （思维导图+知识梳理+15个考点讲练展+真题难度分层演练 共50题） 同学你好，该份讲义用于人教版新教材五年级上册内容单元复习举一反三知识讲练使用，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3. 优选题考点讲练：优选高频期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 优选期中期末真题集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 友情提醒：本套讲义单元复习内容建议结合思维导图和知识卡片内容学习（导图和卡片结合人教版五上新教材内容制作，与课本内容配套），学习效率更高哦！ 知识梳理 温故知新 3 知识点一 小数乘整数(基本算理及算法) 3 知识点二 小数乘小数(基本算理及算法) 3 知识点三 小数乘小数(积的小数位数不够) 4 知识点四 小数乘法的应用及验算 4 知识点五 积的近似数 4 知识点六 整数乘法运算定律推广到小数 4 知识点七 小数的估算及解决实际问题 5 知识点八 解决分段计费的实际问题 5 考点讲练 真题汇总 5 高频考点一 小数与整数的乘法 5 高频考点二 积的变化规律（小数乘法) 6 高频考点三 利用小数与整数的乘法解决问题 7 高频考点四 小数与小数的乘法 8 高频考点五 积的小数位数与乘数小数位数的关系 9 高频考点六 小数的连乘运算 10 高频考点七 利用小数与小数的乘法解决问题 10 高频考点八 用“四舍五入”法求积的近似数 12 高频考点九 因数和积的大小关系（小数乘法） 13 高频考点十 运用画线段图法和逆推法解决稍复杂的小数问题 13 高频考点十一 整数乘法运算定律推广到小数乘法 14 高频考点十二 运用转化法解决复杂的小数乘法简算问题 16 高频考点十三 用归纳法解决计算器探索规律问题 18 高频考点十四 小数的估算及应用 19 高频考点十五 分段计费问题（小数乘法) 20 优选真题 实战演练 22 【基础通关】 22 【能力提升】 27 知识点一 小数乘整数(基本算理及算法) 算理： 1.小数乘整数可通过累加法计算。 2.带有单位的小数乘整数，可通过拆分组合法计算，即高级单位和低级单位先拆算、后计合。 3.带有单位的小数乘整数，还可通过单位转化来计算，即高低单位互转、互化、取整、去整。 算法： 1.小数乘整数且不带单位时，可将小数转化为整数进行计算。 2.小数乘整数时，积的小数位数应当与因数的小数位数相同。 3.小数乘整数的积，其小数部分末尾的0应去掉。 知识点二 小数乘小数(基本算理及算法) 1.在执行小数乘小数计算时，先将小数全部化整，随后按照整数乘法计算、得积。 2.得出积后，再看因数中一共有几位小数，有几位小数，就从积的右边起数出几位，随后在那个位置点上小数点。 知识点三 小数乘小数(积的小数位数不够) 小数乘小数应该注意 1.当小数乘小数之积的位数少于因数小数位数之和时，务必要加0占位。 2.当小数乘小数之积的末尾有0时，务必先确认小数点是否已点好，如果0已补、 点已加，再将末尾的0去掉。 小数乘小数(积的小数位数不够) 1.化作整数算出积——积从“整”来。不论何样的小数乘法，均以此方法切入。 2.积中小数看因数——积出有“因”。积的小数位数等于因数的小数位之和。 3.积位不够要补零——加零再加点。补零视位数而定，然后再去末尾的零。 知识点四 小数乘法的应用及验算 1.在解决小数乘法应用题目时，要明确问题，充分利用已知条件，并据此理清关系、画图辅解、列出算式。 2.为确保结果准确，要检验计算过程。常用验算方法有： ①互换因数重新乘； ②通过计算器验算。 知识点五 积的近似数 积的近似数的求取方法 要保留结果到哪一位，就看它的下一位：如果该位数小于5，就将后面的数舍去；如果大于或等于5，就向前一位进1。 1.在求取积的近似数时，先算积，然后看需要保留数位的下一位数字，再按“四舍五入”法求出结果，最后用“≈”连接。 2.务必看清题目的要求。当所要保留数位的末一位或末几位是0时，该0不能划去。 知识点六 整数乘法运算定律推广到小数 小数乘法简便计算时，应注意： 先观察算式中乘数的特点，然后再确定运用哪种运算定律。 有时可同时运用乘法交换律与结合律，并分组计算，从而使计算过程更简便。 整数乘法运算定律推广到小数 1.整数乘法运算的交换律同样适用于小数乘法。 2.整数乘法运算的结合律同样适用于小数乘法。 3.整数乘法运算的分配律同样适用于小数乘法。 知识点七 小数的估算及解决实际问题 1.看余额。在用小数估算解决实际问题时，就是看余额是否充足。余额不足不够买；余额充足就够买。 2.看总价。在用小数估算解决实际问题时，就是看总价是否超出预算。超过预算不够买；低于预算就够买。 知识点八 解决分段计费的实际问题 出租车分段计费的方法 1.起步价路程内的费用固定不变； 2.对不足1km部分的计费应留意； 3.既可以先分后总分段计合，也可以先总后分，多退少补。 解决分段计费的实际问题 1.起步价段。出租车的起步价一般固定为某一里程内统一收取一定额度的钱数。其他诸如水费等，则是起步量×起步单价。 2.额外价段。额外价一般异于起步价，额外价段需要与起步价区分开来，分别计算，不能将起步价段包含进去。 高频考点一 小数与整数的乘法 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（26-27五年级上·北京·课后作业）爸爸妈妈带着小红去游乐园玩，单程票价成人24.5元，儿童12元。一家三口往返交通费需要多少元？ 【答案】122元 【思路引导】根据题意，一家三口包括2位成人和1位儿童，往返意味着每人需要购买2张票（去程和回程各一张）。先计算单程的总票价，再乘2得到往返总费用；注意儿童票价是固定的12元，不是成人票价的一半。 【规范解答】（24.5×2＋12）×2 ＝（49＋12）×2 ＝61×2 ＝122（元） 答：一家三口往返交通费需要122元。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️）（26-27五年级上·北京·课后作业）竖式计算。 2.3×5＝    0.67×6＝     1.24×9＝          0.672×2＝ 【答案】11.5；4.02；11.16；1.344 【思路引导】小数乘整数的计算方法，先按照整数乘法的计算方法计算，再看因数中共有几位小数，就从积的右边起数出几位点上小数点即可。 【规范解答】2.3×5＝11.5          0.67×6＝4.02                    1.24×9＝11.16       0.672×2＝1.344       高频考点二 积的变化规律（小数乘法) 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）下面与的积相等的算式是（    ）。 A． B． C． 【答案】C 【思路引导】由积的变化规律可知，一个因数扩大到原来的a倍，另一个因数缩小到原来的，积不变，据此解答。 【规范解答】A．＝（0.36×10）×（2.05÷10）＝3.6×0.205≠，错误； B．≠，错误； C．＝（0.36×10）×（2.05÷10）＝3.6×0.205，正确。 故答案为：C 【考点剖析】掌握积的变化规律是解答题目的关键。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️）根据，直接在括号里填入适当的数。 ( )        ( )    ( ) 【答案】 17.1 1.71 38 【思路引导】（1）两个因数同时缩小到原来的，则积缩小到原来的； （2）一个因数缩小到原来的，另一个因数缩小到原来的，则积缩小到原来的； （3）由可知，，被除数和除数同时缩小到原来的，则商不变。 【规范解答】（17.1）        （1.71）    （38） 【考点剖析】掌握积和商的变化规律是解答题目的关键。 高频考点三 利用小数与整数的乘法解决问题 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级上·贵州黔南·阶段检测）购买有机食品。超市有机玉米进行促销活动，奇奇妈妈想买6根，至少需要支付( )元。 【答案】15.2 【思路引导】把“买二送一”看作一组，先用除法求出6根里有几组，进而求出实际需买玉米的根数；再根据“总价＝单价×数量”求出至少需要支付的钱数。 【规范解答】一组有：2＋1＝3（根） 6÷3＝2（组） 实际需买：2×2＝4（根） 实际需付：3.8×4＝15.2（元） 所以，至少需要付15.2元。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级上·河南南阳·期中）明明妈妈准备买4箱牛奶，每箱牛奶原价65元，三个超市做促销，甲超市按原价的0.8出售，乙超市买三送一，丙超市每满99元减20元，在( )超市购买最便宜。 【答案】乙 【思路引导】甲超市：按原价的0.8出售；先根据“单价×数量＝总价”求出原价购买4箱牛奶的总价钱，再乘0.8，即是在甲超市购买4箱牛奶需付的钱数； 乙超市：买三送一；买4箱只需付3箱的钱，根据“单价×数量＝总价”，用原价乘3，即是在乙超市购买4箱牛奶需付的钱数； 丙超市：每满99元减20元；先根据“单价×数量＝总价”求出原价购买4箱牛奶的总价钱，再看总价钱里面有几个99元，就减去几个20元，即可求出在丙超市购买4箱牛奶需付的钱数； 最后比较三家超市购买4箱牛奶实际需付的钱数，得出在哪家超市购买最便宜。 【规范解答】甲超市： 65×4×0.8 ＝260×0.8 ＝208（元） 乙超市： 65×3＝195（元） 丙超市： 65×4＝260（元） 260÷99＝2（个）……62（元） 260－20×2 ＝260－40 ＝220（元） 195＜208＜220 所以，在乙超市购买最便宜。 高频考点四 小数与小数的乘法 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）改善农村人居环境是乡村振兴的重要内容，也是一项民生工程。村容整洁是展现农村新貌的窗口，为此，幸福新村计划给村里的平房的外墙面喷防水涂料。下图是房子的一面墙。如果要喷涂这面墙，每平方米用涂料0.6千克，共需要多少千克涂料？（先写出你的解题思路，再列式解答） 【答案】17.64千克 【思路引导】观察图形可知，这幅图的下面是长方形，上面的图形是三角形，先根据它们的面积公式计算出各自的面积；再相加求和，求出这面墙的面积；再用这面墙的面积乘每平方米所用涂料的质量，即可求出共需要多少千克涂料。 【规范解答】解题思路：先分别计算出图中三角形部分和长方形部分的面积，再相加，求出这面墙的面积，用墙的面积乘每平方米所用涂料的质量即可。 6×4＋6×1.8÷2 ＝24＋5.4 ＝29.4（平方米） 29.4×0.6＝17.64（千克） 答：共需要17.64千克涂料。 【考点剖析】这是关于组合图形的面积计算的题目，把组合图形分成几个规则的图形，再利用面积公式计算即可。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️）3.5×2.3的积是( )位小数，精确到十分位约是( )。 【答案】 两 8.1 【思路引导】小数乘法法则：（1）按整数乘法的法则先求出积；（2）看因数中一个有几位小数，就从积的右边起数出几位点上小数点。 根据四舍五入法保留近似数。 【规范解答】3.5×2.3＝8.05≈8.1 3.5×2.3的积是两位小数，精确到十分位约是8.1。 【考点剖析】关键是掌握小数乘法的计算方法。 高频考点五 积的小数位数与乘数小数位数的关系 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）的积是_________位小数。如果把6.73的小数点去掉，要使积不变，另一个因数1.2应该变成_______。 【答案】 三/3 0.012 【思路引导】积的末位数字是6，因数中一共有三位小数，则积是三位小数；两个因数相乘，一个因数扩大到原来的n倍，另一个因数缩小到原来的，积不变；据此解答。 【规范解答】分析可知，的积是三位小数；＝＝。 【考点剖析】掌握积的小数位数与乘数小数位数的关系和积的变化规律是解答题目的关键。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️）65.8×1.07的积有( )位小数，保留一位小数是( )。 【答案】 三 70.4 【思路引导】根据小数乘法的运算法则计算出结果，再根据四舍五入法进行保留即可。 【规范解答】65.8×1.07＝70.406，积是三位小数； 65.8×1.07＝70.406≈70.4 【考点剖析】本题主要考查小数乘法算式中积的位数以及运用“四舍五入”法取近似值，先计算出结果，再进一步解答。 高频考点六 小数的连乘运算 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）给一个边长为0.4米的正方形宣传栏刷油漆，每平方米要用0.9千克油漆，一共需要（    ）千克油漆。 A．1.44 B．14.4 C．0.144 D．144 【答案】C 【思路引导】给一个正方形宣传栏刷油漆，先要计算出这个正方形的面积，利用正方形的面积公式即可求出，用求出的面积再乘每平方米要用的油漆量，可求出一共需要的油漆量。 【规范解答】0.4×0.4×0.9 ＝0.16×0.9 ＝0.144（千克） 故答案为：C 【考点剖析】此题主要利用正方形的面积公式，运用小数乘法的计算方法求出结果。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️）希望小学五（1）班同学每人每天节约0.25元零花钱，全班45名同学，十一月份一共可节约多少钱？ 【答案】337.5元 【思路引导】十一月份是小月，有30天，用每人每天节约钱数×人数×天数即可。 【规范解答】0.25×45×30＝337.5（元） 答：十一月份一共可节约337.5元钱。 【考点剖析】关键是掌握小数乘法的计算方法。 高频考点七 利用小数与小数的乘法解决问题 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（26-27五年级上·北京·课后作业）资料卡： 据统计，一棵树平均每年可以吸收18.3千克的二氧化碳，平均每年会释放1.2吨氧气。按一年产生的氧气量与同期防止空气污染及水土流失和增加土壤肥力的价值算，相当于262.5美元。 2023年的植树节，五（1）班的班主任李老师带领班上48名同学去城市绿化带植树，要求每人至少种一棵树，最后统计时除小林种了3棵树外，其余刚好完成任务。 请根据以上资料卡中信息自主选择问题并解答。 (1)1棵树1年半的时间可以释放多少吨的氧气？ (2)小华计算1.2×1.5＝18，做对了吗？如果不对，请说明理由并改正。 (3)小林植树创造的经济价值每年相当于多少元人民币？（1美元≈6元） (4)五（1）班师生种下的树木每年可以吸收多少千克的二氧化碳？ (5)五（1）班师生种下的树木每年可以释放多少吨的氧气？ 【答案】(1)1.8吨 (2)小华做错了，改正为：1.2×1.5＝1.8，因为小华忘记了点小数点。 (3)4725元 (4)933.3千克 (5)61.2吨 【思路引导】（1）根据资料卡，1棵树每年释放1.2吨氧气，求1.5年释放的氧气量，用乘法计算。 （2）根据小数乘法的计算法则，因数中一共有几位小数，积就有几位小数，据此判断并改正。 （3）小林种了3棵树，先求出3棵树每年的美元价值，再根据汇率换算成人民币。 （4）先根据老师1人、学生总人数48人和小林植树3棵这几个情况求出师生植树总棵数，再乘每棵树每年吸收二氧化碳的质量。 （5）利用求出的总棵数，乘每棵树每年释放氧气的质量即可。 【规范解答】（1）（吨） 答：1棵树1年半的时间可以释放1.8吨的氧气。 （2）小华做错了。 理由：因数和中一共有两位小数，积也应该有两位小数。 改正：1.2×1.5＝1.8 答：小华做错了，正确结果是1.8。 （3）（美元） （元） 答：小林植树创造的经济价值每年相当于4725元人民币。 （4）（名） （棵） （千克） 答：五（1）班师生种下的树木每年可以吸收933.3千克的二氧化碳。 （5）由第（4）题可知，五（1）班师生共植树51棵。 （吨） 答：五（1）班师生种下的树木每年可以释放61.2吨的氧气。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级上·山东济南·期中）一只梅花鹿高146厘米，一只长颈鹿的高度是梅花鹿的3.5倍。这只长颈鹿高( )米。 【答案】5.11 【思路引导】由题意知：一只长颈鹿的高度是梅花鹿的3.5倍，则梅花鹿的身高×3.5＝长颈鹿的身高，先根据1米＝100厘米换算单位，再代入数据计算即可。 【规范解答】146厘米＝1.46米 1.46×3.5＝5.11（米） 所以一只梅花鹿高146厘米，一只长颈鹿的高度是梅花鹿的3.5倍。这只长颈鹿高5.11米。 高频考点八 用“四舍五入”法求积的近似数 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（26-27五年级上·全国·课后作业）王老师要买33本数学书，每本5.35元，大约需要多少钱？（得数保留整数） 【答案】177元 【思路引导】先用每本数学书的价格乘要买的数量，求出总共需要的钱数，再根据“四舍五入”法保留整数。 【规范解答】5.35×33＝176.55（元）≈177（元） 答：大约需要177元。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️）（26-27五年级上·全国·课后作业）一幢大楼有21层，每层高3.34米，这幢大楼约高多少米？（得数保留整数） 【答案】70米 【思路引导】大楼总高度＝层数×每层高度。代入数值计算出精确积后，保留整数需看十分位上的数字，按“四舍五入”法取近似值。 【规范解答】 （米） 答：这幢大楼约高70米。 高频考点九 因数和积的大小关系（小数乘法） 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）3.5×a积一定（    ）。 A．小于3.5 B．大于3.5 C．无法判断 【答案】C 【思路引导】一个不为0的数乘小于1的数，积比原来的数小；一个不为0的数乘大于1的数，积比原来的数大；据此解答。 【规范解答】当a＝0.1时，3.5×a＝3.5×0.1＜3.5； 当a＝1时，3.5×a＝3.5×1＝3.5； 当a＝2时，3.5×a＝3.5×2＞3.5。 所以，a的值不确定时，3.5×a的积与3.5的大小关系无法判断。 故答案为：C 【考点剖析】掌握乘数和积的关系是解答题目的关键。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️）下列算式中，乘积大于4.35的是（    ）。 A．1.01×4.35 B．0.99×4.35 C．4.35×0.09 【答案】A 【思路引导】一个数（0除外）乘小于1（0除外）的数，则积小于这个数；一个数（0除外）乘大于1的数，则积大于这个数；据此进行解答。 【规范解答】A．因为1.01＞1，所以1.01×4.35＞4.35 B．因为0.99＜1，所以0.99×4.35＜4.35 C．因为0.09＜1，所以4.35×0.09＜4.35 乘积大于4.35的是1.01×4.35。 故答案为：A 【考点剖析】此题主要考查了学生对小数乘法算式中积的变化规律的掌握。一个数（0除外）乘小于1（0除外）的数，则积小于这个数；一个数（0除外）乘大于1的数，则积大于这个数。 高频考点十 运用画线段图法和逆推法解决稍复杂的小数问题 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（25-26四年级下·安徽芜湖·期末）一桶油连桶重7.3千克，用去一半的油后，连桶重3.8千克。原来桶中有油多少千克？桶重多少千克？ 【答案】油7千克；桶0.3千克 【思路引导】一桶油连桶共重7.3千克，用去一半油后，连桶共重3.8千克。减少的重量就是用去的一半油的重量。先求出一半油的重量，再求出原来油的重量，最后用总重量减去油的重量求出桶的重量。 【规范解答】一半油：7.3－3.8＝3.5（千克） 油重：3.5＋3.5＝7（千克） 桶重：7.3－7＝0.3（千克） 答：原来桶中有油7千克，桶重0.3千克。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️）（23-24五年级上·山东济南·期末）建筑工地有一堆沙子，第一次用去沙子的一半多1.9吨，第二次用去剩下沙子的一半，这时建筑工地上还剩下沙子13.5吨，这堆沙子原来有( )。 【答案】57.8吨 【思路引导】剩下沙子13.5吨，是第二次用去之前的一半，第二次用去之前有沙子13.5×2＝27吨，27吨加上1.9吨沙子是原来沙子的一半，再乘2，即可求出原来沙子的重量即可。 【规范解答】（13.5×2＋1.9）×2 ＝（27＋1.9）×2 ＝28.9×2 ＝57.8（吨） 建筑工地有一堆沙子，第一次用去沙子的一半多1.9吨，第二次用去剩下沙子的一半，这时建筑工地上还剩下沙子13.5吨，这堆沙子原来有57.8吨。 高频考点十一 整数乘法运算定律推广到小数乘法 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级下·云南昭通·期末）脱式计算，能简算的要简算。 1.25×7.2×0.4          19.42－（9.42＋0.38） 3.6＋2.4×8             6.32＋14.7＋3.68＋5.3 【答案】 3.6；9.62；22.8；30 【思路引导】观察数据特点，运用乘法交换律，先计算比较简便。 运用减法的性质，去括号后进行简算。 根据四则运算顺序，先算乘法，再算加法。 运用加法交换律和结合律，将能凑成整数的数结合在一起计算。 【规范解答】 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级上·河北唐山·期末）用简便方法计算。 0.25×3.2×12.5        10.1×4.6             7.3×6.8＋2.7×6.8 【答案】10；46.46；68 【思路引导】将3.2拆成0.4×8，再根据乘法结合律进行简便计算； 将10.1拆成（10＋0.1），根据乘法分配律进行简便计算； 根据乘法分配律逆运算将算式转化成（7.3＋2.7）×6.8，据此进行简便计算。 【规范解答】0.25×3.2×12.5 ＝0.25×（0.4×8）×12.5 ＝（0.25×0.4）×（8×12.5） ＝0.1×100 ＝10 10.1×4.6 ＝（10＋0.1）×4.6 ＝10×4.6＋0.1×4.6 ＝46＋0.46 ＝46.46 7.3×6.8＋2.7×6.8 ＝（7.3＋2.7）×6.8 ＝10×6.8 ＝68 高频考点十二 运用转化法解决复杂的小数乘法简算问题 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级上·云南红河·期末）下列各题，怎样算简便就怎样算。 12.5×3.2×0.25                    4.5×10.1 2.5×4.8                          3.7×10.1－37×0.01 【答案】10；45.45； 12；37 【思路引导】将3.2拆成0.8×4，然后根据乘法结合律，将12.5与0.8、4与0.25相结合得（12.5×0.8）×（4×0.25），分别相乘，再求积； 将10.1拆成10＋0.1，然后根据乘法分配律a×（b＋c）＝a×b＋a×c得4.5×10＋4.5×0.1，分别相乘，再相加； 将4.8拆成4×1.2，然后根据乘法结合律，将2.5与4相结合得（2.5×4）×1.2，先算2.5×4，再将结果与1.2相乘； 根据积不变的规律将式子转化为37×1.01－37×0.01，然后根据乘法分配律a×b－a×c＝a×（b－c）得37×（1.01－0.01），先算括号里的减法，再算乘法。 【规范解答】12.5×3.2×0.25 ＝12.5×（0.8×4）×0.25 ＝（12.5×0.8）×（4×0.25） ＝10×1 ＝10 4.5×10.1 ＝4.5×（10＋0.1） ＝4.5×10＋4.5×0.1 ＝45＋0.45 ＝45.45 2.5×4.8 ＝2.5×（4×1.2） ＝（2.5×4）×1.2 ＝10×1.2 ＝12 3.7×10.1－37×0.01 ＝37×1.01－37×0.01 ＝37×（1.01－0.01） ＝37×1 ＝37 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级上·浙江台州·期末）下面各题怎样简便就怎样算。 2.2×0.8×2.5          1.25×[8.8－（10.7－4.3）] 0.48×3.5＋4.84        5.6×1.26－56×0.026 【答案】4.4；3 6.52；5.6 【思路引导】（1）根据乘法结合律（a×b）×c＝a×（b×c）把2.2×0.8×2.5变成2.2×（0.8×2.5）进行简算； （2）先算小括号里的减法，再算中括号里的减法，算式变成1.25×2.4，然后把2.4拆分成0.8×3，再根据乘法结合律（a×b）×c＝a×（b×c）把算式变成1.25×0.8×3进行简算； （3）先算乘法，再算加法； （4）先根据积不变的规律把56×0.026改写成5.6×0.26，然后根据乘法分配律a×c＋b×c＝（a＋b）×c把5.6×1.26－5.6×0.26变成5.6×（1.26－0.26）进行简算。 【规范解答】（1）2.2×0.8×2.5 ＝2.2×（0.8×2.5） ＝2.2×2 ＝4.4 （2）1.25×[8.8－（10.7－4.3）] ＝1.25×[8.8－6.4] ＝1.25×2.4 ＝1.25×（0.8×3） ＝1.25×0.8×3 ＝1×3 ＝3 （3）0.48×3.5＋4.84 ＝1.68＋4.84 ＝6.52 （4）5.6×1.26－56×0.026 ＝5.6×1.26－5.6×0.26 ＝5.6×（1.26－0.26） ＝5.6×1 ＝5.6 高频考点十三 用归纳法解决计算器探索规律问题 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级上·福建厦门·期末）乐乐用计算器分别算出了下面三道算式的得数，请你找出规律，再按规律填空。 123456.79×9＝1111111.11 123456.79×18＝2222222.22 123456.79×27＝3333333.33 123456.79×54＝( ) 123456.79×( )＝9999999.99 【答案】 6666666.66 81 【思路引导】观察已知的三道算式发现：每个乘法算式的第一个因数都是123456.79，第二个因数是9的几倍，结果就是1111111.11的几倍，据此规律解答。 【规范解答】9×6＝54，则1111111.11×6＝6666666.66； 9999999.99÷1111111.11＝9，则9×9＝81； 填空如下： 123456.79×54＝（6666666.66） 123456.79×（81）＝9999999.99 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（23-24五年级上·全国·课后作业）不计算，运用发现的规律，直接写出后两题的得数，再用计算器验算。 6×0.7＝4.2 6.6×6.7＝44.22 6.66×66.7＝________ 6.666×666.7＝________ 【答案】 444.222 4444.2222 【思路引导】通过观察看出两个因数的前面一个因数有几位数，那么最后的积整数部分就有几个4，小数部分就有几个2，两个因数的数位相同，第一个因数的整数部分是6不变，后面的小数部分的6的数量在变化，第二个因数的6的数量是第一个因数的6的数量减1，然后加上小数点，小数点后面的7的数量不变，由此解答。 【规范解答】根据分析， 6.66×66.7＝444.222 6.666×666.7＝4444.2222 【考点剖析】此题考查了算式的规律探索以及计算器的使用，关键能够灵活总结规律。 高频考点十四 小数的估算及应用 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级下·山东烟台·期末）王老师要买192本练习本，每本3.75元，他带了800元钱，够吗？解决这个问题最合理的计算方法是（    ）。 A．估算，往大了估 B．估算，往小了估 C．精确算 D．口算 【答案】A 【思路引导】若要证明钱“够”，需要将商品的数量和单价往大了估，如果估算的总价仍然不超过带的钱数，则实际钱数一定够；若要证明钱“不够”，则需要往小了估。本题中需要判断800元是否够买192本练习本，应采用往大了估的方法。 【规范解答】A．采用估算，往大了估。将192看作200，将3.75看作4。（元），因为，，所以实际总价小于800元，带800元够。这种方法既能得出结论又计算简便，符合“最合理”的要求，此选项正确。 B．采用估算，往小了估。若将192看作190，3.75看作3。（元），，但实际总价可能大于800元，无法确定钱是否够，此选项错误。 C．采用精确算。虽然能计算出准确结果（元），，可以得出结论，但计算过程相对复杂，对于判断“够不够”的问题，估算方法更为合理便捷，此选项错误。 D．采用口算。数据较大且含有小数，口算容易出错，不适合此题，此选项错误。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（26-27五年级·全国·暑假作业）“带100元买3副21.3元的跳棋和1副9.4元的飞行棋，剩下的钱够不够买一根12.9元的长绳”，解决这个问题时，淘气把21.3看成22，把9.4看成10。淘气通过估算得出剩下的钱比24元多。因为实际花费比估算的少，所以实际剩下的钱肯定比24元多。既然24元大于12.9元，那么结论是（    ）。 A．一定够买长绳 B．可能够买长绳 C．一定不够买长绳 D．无法判断 【答案】A 【思路引导】采用高估法进行估算推理，将物品价格全部估大后算出剩余24元，估算的花费大于真实花费，因此真实剩下的钱一定多于24元，24元已超过长绳售价，由此可判定钱足够购买长绳。 【规范解答】估算总花费：3×22＋10 ＝66＋10 ＝76（元） 估算剩余钱：100－76＝24（元） 全部价格高估，实际花费更少，实际剩余钱＞24元 24元＞12.9元 所以剩余钱一定够买长绳。 高频考点十五 分段计费问题（小数乘法) 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（26-27五年级·全国·暑假作业）第19届亚运会于2023年9月23日在杭州开幕，李叔叔乘飞机到杭州参加开幕式。乘坐飞机的每位旅客，携带行李需按规定购买行李票，李叔叔携带了38千克行李，机票是720元/张，他购买机票和行李票一共要付多少元？ 行李质量 收费标准 20千克及以内的部分 免费 超过20千克的部分 10.8元/千克 【答案】914.4元 【思路引导】李叔叔携带38千克行李，20千克以内免费，超重部分为38－20＝18千克；超重部分按10.8元/千克收费，则行李票费用为18×10.8＝194.4元；最后用机票费（720元）加上行李票费用即可求出总费用。 【规范解答】（38－20）×10.8＋720 ＝18×10.8＋720 ＝194.4＋720 ＝914.4（元） 答：他购买机票和行李票一共要付914.4元。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级上·河北承德·期末）我国多地面临水资源紧张问题，某城市推出阶梯水费政策引导节水：每户每月用水量不超过15吨时，按“基本价”每吨2.4元收费；超过15吨的部分，按“调节价”收费。聪聪家七、八月份的用水量和水费如下表。 月份 用水量（吨） 水费（元） 七 18 46.8 八 22 ？ (1)该地水费的“调节价”是每吨多少元？ (2)聪聪家八月份的水费是多少元？ 【答案】(1)3.6元 (2)61.2元 【思路引导】（1）先用15吨乘基本价算出15吨的水费，再用总的水费减去15吨的水费，算出按调节价收的水费，再除以调节价的水的吨数，算出调节价每吨多少元。 （2）先用15吨乘基本价算出15吨的水费，再算出按调节价的水有多少吨，再乘调节价，算出按调节价的水费有多少，两个再相加，算出八月份的水费是多少元。 【规范解答】（1）（元） （元） （吨） (元） 答：该地水费的“调节价”是每吨3.6元。 【小问2】 （吨） （元） （元） 答：聪聪家八月份的水费是61.2元。 【基础通关】 1．（24-25五年级上·江苏南京·期末）小明带了20元钱去文具店购买文具，选的商品有：一支铅笔0.9元，一个文具盒12.2元（    ）情况下，估算比计算更有价值。 A．营业员将价格输入收款机时。 B．小明考虑钱带的够不够时。 C．小明被告知要付多少钱时。 D．营业员找给小明钱时。 【答案】B 【思路引导】在什么情况下，估算比精确计算更有价值，应该是小明买这些商品时，带去的钱数够不够，先估算这些商品的总价，再和小明带去的钱数进行比较，进行解答。 【规范解答】A．价格输入收款机时，需要准确值，不可以运用估算； B．把0.9元看成1元，12.2元看成13元，（元），，把价格都估大了，总价还小于20元，说明带得够。所以，考虑钱带的够不够的时候，可以运用估算； C．小明被告知要付多少钱时，应该需要准确值，不可以运用估算； D．营业员要找钱给小明，应该需要准确值，精准的找回多少钱，不可以运用估算。 故答案为：B 2．（25-26五年级上·河北邢台·期末）计算12×0.4×2.5时，小明这样算：12×（0.4×2.5），他运用了（    ）。 A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．乘法分配律 【答案】B 【思路引导】在计算乘法时，小明将原式12×0.4×2.5改写为12×（0.4×2.5），这改变了运算的顺序（先计算后两个因数的积），但未改变因数的位置。根据乘法运算律的定义，这种处理方式符合乘法结合律的特征，即三个数相乘，可以先把后两个数相乘，再与第一个数相乘，积不变。 【规范解答】小明在计算12×0.4×2.5时，采用了12×（0.4×2.5）的方法。这种计算方式先计算0.4×2.5的积，再与12相乘。根据乘法结合律的公式（a×b）×c ＝ a×（b×c），此处a＝12，b＝0.4，c＝2.5，因此运用了乘法结合律。 故答案为：B 3．（24-25五年级上·江苏南京·期末）2.45×6.3＋□×6.3，□中填( )能使计算简便，运用的是( )。（填运算律） 【答案】 7.55 乘法分配律 【思路引导】根据乘法分配律的意义，两个数的和同一个数相乘，等于把两个加数分别同这个数相乘，再把两个积加起来，结果不变，所以□里可以填7.55，然后再根据乘法分配律进行简算。 【规范解答】□里可以填7.55 2.45×6.3＋7.55×6.3 ＝6.3×（2.45＋7.55） ＝6.3×10 ＝63 所以2.45×6.3＋□×6.3，□中填7.55能使计算简便，运用的是乘法分配律。 4．（24-25五年级上·陕西西安·期末）某地打固定电话每次前3分钟及以内收费0.22元，超过3分钟的部分每分钟收费0.11元（不足1分钟，按1分钟计算）。妈妈有一次通话7分12秒，她这一次通话的费用是( )元。 【答案】0.77 【思路引导】本题是“分段计费”问题，因为不足1分钟，按1分钟计算，妈妈通话7分12秒，按8分钟计费。前3分钟共收费0.22元，超过三分钟的部分有8－3＝5分钟，超过部分每分钟0.11元，则超过5分钟共收费5×0.11＝0.55元，加前3分钟的0.22元可得共收费多少。 【规范解答】7分12秒≈8分钟 （8－3）×0.11＋0.22 ＝5×0.11＋0.22 ＝0.55＋0.22 ＝0.77（元） 她这一次通话是0.77元。 【考点剖析】本题考查分段计费的基础题型，关键要理清不同时段的计费方式。 5．（24-25五年级上·安徽铜陵·期中）看谁算得又对又快。 0.07×0.3＝     0.72×10＝     0.42÷0.7＝     3.6÷12＝ 0.35＋4.5＝     2.4×5＝       16×2.5＝   7.34×0.6＋2.66×0.6＝ 【答案】0.021；7.2；0.6；0.3 4.85；12；40；6 6．（26-27五年级上·北京·课后作业）用简便方法计算。 1.2×0.09＋2.8×0.09            12.5×32            2.5×（40＋4＋0.4） 【答案】0.36；400；111 【思路引导】根据乘法分配律的逆用提取进行简便运算； ，根据乘法结合律的逆用，先算； 根据乘法分配律，将和括号里面的数分别相乘进行简便运算。 【规范解答】 7．（26-27五年级上·北京·课后作业）一瓶饮料1.5升，3瓶这样的饮料一共多少升？如果每升饮料售价4元，买3瓶饮料需要多少元？ 【答案】4.5升；18元 【思路引导】每瓶体积瓶数总体积；每升的单价3瓶的总升数总价；代入数据即可。 【规范解答】3瓶饮料的总体积：1.5×3＝4.5（升） 买3瓶饮料需要的钱数：4.5×4＝18（元） 答：3瓶这样的饮料一共4.5升，买3瓶饮料需要18元。 8．（26-27五年级上·北京·课后作业）小红带200元购物，买5本单价18.7元的笔记本，两盒单价29.6元的水彩笔。商店有两款书包：小号45.9元，大号62.8元。请分别用合适的估算方法判断剩余的钱能不能买小号、大号书包，最后精确计算验证。 【答案】能买小号，不能买大号 【思路引导】剩余钱数总钱数已花钱数；总价单价数量。本题先利用“四舍五入”法将小数看作整数进行估算，初步判断剩余钱数与书包价格的关系；再通过精确计算求出准确剩余钱数，最后与两款书包的单价进行比较得出结论。注意估算时，若要判断“够不够”，通常把花费往大估；若要判断“能不能买”，需结合实际情况选择估算方向，本题采用常规整数估算后需精确验证。 【规范解答】把笔记本单价元看作元，水彩笔单价元看作元。 已花钱数估算： （元） 剩余钱数估算：（元） 比较：， 估算结果显示剩余钱数可能不够买小号书包，肯定不够买大号书包。由于小号书包价格与估算剩余钱数接近，需要精确计算验证。 计算买笔记本和水彩笔的实际总费用： （元） 计算实际剩余钱数：（元） 因为，所以剩余的钱能买小号书包。 因为，所以剩余的钱不能买大号书包。 答：能买小号书包，不能买大号书包。 9．（26-27五年级上·北京·课后作业）妈妈带80元去超市，买3千克苹果，每千克12.6元，一盒10.8元的饼干。她还想买一袋9.9元的面包，剩下的钱够不够买面包？ 【答案】够 【思路引导】先根据“单价数量总价”计算出买苹果花费的钱数，再用妈妈带的总钱数减去买苹果和饼干花费的钱数，求出剩下的钱数，最后将剩下的钱数与面包的价格进行比较，若剩下的钱数大于或等于面包价格，则够买，否则不够。 【规范解答】 （元） 答：剩下的钱够买面包。 10．（25-26五年级上·江西宜春·期末）学校“国学社团”开展经典文化周末调研活动，同学们要和家长坐出租车去调研地点。 出租车收费标准 不超过3千米 3元 超过3千米 （不足1千米按1千米计算） 2.5元/千米 (1)小红和爸爸乘车到离家28.3千米的古城，他们应付多少钱？ (2)小文有23元，最多可以乘车多少千米？ 【答案】(1)68元 (2)11千米 【思路引导】（1）28.3千米＞3千米，所以小红和爸爸乘车到古城的费用＝不超过3千米的车费＋超过3千米的车费。超过3千米的车费＝超过3千米的距离×2.5元/千米。28.3－3＝25.3（千米），由题意“不足1千米按1千米计算”可得超过3千米的距离按26千米计算。 （2）23元＞3元，说明乘车距离超过3千米。所以23元最多可以乘车的距离＝3千米＋超过3千米的距离，超过3千米的距离＝（总钱数－3元）÷2.5元/千米。 【规范解答】（1）28.3－3＝25.3（千米）  根据题意“不足1千米按1千米计算”，按26千米计算。 3＋26×2.5 ＝3＋65 ＝68（元） 答：小红和爸爸乘车到离家28.3千米的古城，他们应付68元。 （2）（23－3）÷2.5 ＝20÷2.5 ＝8（千米） 3＋8＝11（千米） 答：小文有23元，最多可以乘车11千米。 【能力提升】 1．（25-26五年级上·河北承德·期末）红红在用计算器计算4.9×5.67时，发现计算器的键“4”坏了，她想到了四种不同的输入法，下面方法正确的是（    ）。 ①0.7×7×5.67        ②9.8×5.67÷2 ③5×5.67－0.1        ④5×5.67－0.567 A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．无法确定 【答案】C 【思路引导】通过对4.9做等价变形避开“4”键验证：①0.7×7×5.67（0.7×7＝4.9）、②9.8×5.67÷2（9.8÷2＝4.9）、④5×5.67−0.567（5−0.1＝4.9，乘法分配律）均与原式4.9×5.67等价；③5×5.67−0.1未对0.1乘5.67，变形错误。 【规范解答】①0.7×7×5.67：0.7×7＝4.9，与原式相等，正确； ②9.8×5.67÷2：9.8÷2＝4.9，与原式相等，正确； ③5×5.67－0.1：计算结果与原式不等，错误； ④5×5.67－0.567：5×5.67－0.1×5.67＝（5－0.1）×5.67＝4.9×5.67，与原式相等，正确。 综上，①②④正确。 故答案为：C 2．（25-26五年级上·河北秦皇岛·期末）张阿姨买了13个橘子共重1.9千克，如果要买13千克橘子大约有（    ）个。 A．200个以上 B．不到50个 C．80多个 【答案】C 【思路引导】13个橘子的重量÷13＝1个橘子的重量，要买的重量÷1个橘子的重量＝橘子个数，据此列式计算，除不尽根据四舍五入法保留近似数，根据计算结果进行选择即可。 【规范解答】13÷（1.9÷13） ≈13÷0.15 ≈87（个） 如果要买13千克橘子大约有80多个。 故答案为：C 3．（25-26五年级上·广东东莞·期末）在计算8.8×12.5时，下面方法错误的是（    ）。 A．1.1×（8×12.5） B．8×12.5＋0.8×12.5 C．11×（0.8×12.5） D．8×12.5×0.8 【答案】D 【思路引导】可以把8.8拆分成不同算式，然后再利用乘法分配律或乘法结合律去计算，乘法结合律：（a×b）×c＝a×（b×c）或a×b×c＝a×（b×c）；乘法分配律：（a＋b）×c＝a×c＋b×c或（a－b）×c＝a×c－b×c。据此解答即可。 【规范解答】8.8×12.5＝110 A．把8.8拆成1.1×8，再利用乘法结合律： 8.8×12.5 ＝（1.1×8）×12.5 ＝1.1×（8×12.5） ＝1.1×100 ＝110 所以此计算方法是正确的； B．把8.8拆成8＋0.8，再利用乘法分配律： 8.8×12.5 ＝（8＋0.8）×12.5 ＝8×12.5＋0.8×12.5 ＝100＋10 ＝110 所以此计算方法是正确的； C．把8.8拆成11×0.8，再利用乘法结合律： 8.8×12.5 ＝（11×0.8）×12.5 ＝11×（0.8×12.5） ＝11×10 ＝110 所以此计算方法是正确的； D．8×12.5×0.8 ＝80 所以此计算方法是错误的。 故答案为：D 4．（26-27五年级上·北京·课后作业）两个一位小数相乘，乘积保留一位小数是6.5，乘积实际是两位小数，这个乘积最大是( )，最小是多少( )。 【答案】 6.54 6.45 【思路引导】分两种情况讨论： 1.四舍：百分位上的数字小于5，直接舍去百分位，十分位不变，还是5。所以想要原数最大，十分位固定5，百分位取最大能舍去的数字4。 2.五入：百分位大于或等于5，向十分位进1后，十分位变成5，所以进位前十分位是5－1＝4；百分位最小取5。 【规范解答】最大值：通过“四舍”得到6.5，百分位最大是4，所以最大是6.54； 最小值：通过“五入”得到6.5，十分位原本是5－1＝4，百分位最小是5，所以最小是6.45。 5．（25-26五年级上·河北邢台·期末）在（    ）里填入“＞”“＜”或“＝”。 5.99×0.9( )5.99÷0.9           m×1.25×8( )m×（1.25×8） 1( )4.06÷5                    ( ) 【答案】 ＜ ＝ ＞ ＜ 【思路引导】一个数（0除外）乘小于1的数，积小于这个数；一个数（0除外）除以小于1的数（0除外），商大于这个数。 根据乘法结合律a×b×c＝a×（b×c），可知两边相等。 被除数小于除数，商小于1。 先把循环小数的简便写法改写成一般形式，然后比较小数大小，先比较整数部分，整数部分相同比较十分位上的数，十分位上的数相同比较百分位上的数，百分位上的数相同比较千分位上的数……，直至比较出大小。 【规范解答】因为0.9＜1，所以5.99×0.9＜5.99，5.99÷0.9＞5.99，因此5.99×0.9＜5.99÷0.9； m×1.25×8＝m×（1.25×8）； 因为4.06＜5，所以1＞4.06÷5； ＝3.4646…，＝3.466466…，3.4646…＜3.466466…，所以＜。 6．（26-27五年级上·北京·课后作业）竖式计算。 3.8×10.1＝            2.5×3.8＝             8.4×0.04＝ 【答案】38.38；9.5；0.336 【思路引导】计算小数乘法时，先按整数乘法计算出积，再看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位点上小数点，要在前面添0补足，再点小数点，通常小数末尾的0需要去掉。据此解答。 【规范解答】3.8×10.1＝38.38          2.5×3.8＝9.5         8.4×0.04＝0.336                       7．（25-26五年级上·河北廊坊·期末）能简便的要简便计算， 2.5×5.5×4               1.02×3.6＋1.4×1.02 2.7×9.8               1.25×16×4.5 【答案】55；5.1； 26.46；90 【思路引导】（1）利用乘法交换律a×b＝b×a，交换5.5和4的位置，再按照从左到右的顺序简算； （2）根据乘法分配律的逆运算a×c＋b×c＝（a＋b）×c进行简算； （3）将9.8写成（10－0.2），然后利用乘法分配律：（a＋b）×c＝a×c＋b×c进行简算； （4）先将16拆分成8×2，再利用乘法结合律进行简算； 【规范解答】（1）2.5×5.5×4 ＝2.5×4×5.5 ＝10×5.5 ＝55 （2）1.02×3.6＋1.4×1.02 ＝1.02×（3.6＋1.4） ＝1.02×5 ＝5.1 （3）2.7×9.8 ＝2.7×（10－0.2） ＝2.7×10－2.7×0.2 ＝27－0.54 ＝26.46 （4）1.25×16×4.5 ＝1.25×8×2×4.5 ＝（1.25×8）×（2×4.5） ＝10×9 ＝90 8．（25-26五年级上·湖北黄冈·期中）某地为鼓励市民节约用水，采取按月分段计费的方法收取水费。用水量在15吨以内（含15吨）每吨2.5元；超过15吨，不超过20吨的部分，每吨3.2元：超过20吨的部分，每吨5元。 （1）小红家十月份用水18吨，该缴费多少元？ （2）小军家开了一家超市，十月份的水费是85.5元，他家十月份用水多少吨？ 【答案】（1）47.1元 （2）26.4吨 【思路引导】（1）先计算出15吨水所花的钱数即2.5×15，再计算超过15吨的部分所花的钱数，即（18－15）×3.2，然后将两个结果加起来就是小红家十月份该缴的费用。 （2）先计算出20吨水的费用，再用总的费用减去20吨水的费用，得到超过20吨所花的费用，再除以5，计算出结果后再加上20即可求出他家十月份用水量。 【规范解答】（1）2.5×15＝37.5（元） （18－15）×3.2 ＝3×3.2 ＝9.6（元） 37.5＋9.6＝47.1（元） 答：小红家十月份该缴费47.1元。 （2）2.5×15＝37.5（元） （20－15）×3.2 ＝5×3.2 ＝16（元） 37.5＋16＝53.5（元） （85.5－53.5）÷5 ＝32÷5 ＝6.4（吨） 20＋6.4＝26.4（吨） 答：他家十月份用水26.4吨。 9．（24-25五年级上·河南漯河·期末）某地自来水公司为鼓励市民节约用水，采用按月分段计费的方式收取水费。12吨以内（含12吨）的，每吨3.3元；超出12吨的部分，每吨4.2元（不足1吨按1吨计算）。乐乐家12月份共用16.5吨水，该月应交水费多少元？ 【答案】60.6元 【思路引导】水费包括两部分：12t以内（含12t）的水费和超出12t的水费，根据“单价×数量＝总价”分别求出两部分的水费再相加即可解答此题。 【规范解答】16.5吨按照17吨来计算 3.3×12＋（17－12）×4.2 ＝39.6＋21 ＝60.6（元） 答：该月应交水费60.6元。 10．（25-26五年级上·贵州六盘水·期末）南方某地区将集中供暖工作纳入“十件民生实事”进行统筹，进入冬季开始集中供暖，费用按照用户建筑面积一次性收取，下表是该地区供暖阶梯收费标准。奇奇家房屋建筑面积是130.25平方米，他家需要缴纳的供暖费是多少元？ 120平方米及以下部分 超过120平方米的部分 25元/平方米 28元/平方米 【答案】3287元 【思路引导】供暖费分为两部分，第一部分为120平方米乘每平方米25元，第二部分为（130.25－120）平方米乘超过120平方米的部分的每平方米28元，将两部分的价格相加即可求出他家需要缴纳的供暖费。 【规范解答】120×25＋（130.25－120）×28 ＝120×25＋10.25×28 ＝3000＋287 ＝3287（元） 答：他家需要缴纳的供暖费是3287元。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $null2025-2026学年人教版新教材数学五年级上册举一反三讲义能力提升 第二单元 小数乘法『举一反三知识讲练』（能力提升版） 【原卷版】 （思维导图+知识梳理+15个考点讲练展+真题难度分层演练 共50题） 同学你好，该份讲义用于人教版新教材五年级上册内容单元复习举一反三知识讲练使用，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3. 优选题考点讲练：优选高频期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 优选期中期末真题集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 友情提醒：本套讲义单元复习内容建议结合思维导图和知识卡片内容学习（导图和卡片结合人教版五上新教材内容制作，与课本内容配套），学习效率更高哦！ 知识梳理 温故知新 3 知识点一 小数乘整数(基本算理及算法) 3 知识点二 小数乘小数(基本算理及算法) 3 知识点三 小数乘小数(积的小数位数不够) 4 知识点四 小数乘法的应用及验算 4 知识点五 积的近似数 4 知识点六 整数乘法运算定律推广到小数 4 知识点七 小数的估算及解决实际问题 5 知识点八 解决分段计费的实际问题 5 考点讲练 真题汇总 5 高频考点一 小数与整数的乘法 5 高频考点二 积的变化规律（小数乘法) 6 高频考点三 利用小数与整数的乘法解决问题 6 高频考点四 小数与小数的乘法 6 高频考点五 积的小数位数与乘数小数位数的关系 7 高频考点六 小数的连乘运算 7 高频考点七 利用小数与小数的乘法解决问题 7 高频考点八 用“四舍五入”法求积的近似数 8 高频考点九 因数和积的大小关系（小数乘法） 8 高频考点十 运用画线段图法和逆推法解决稍复杂的小数问题 8 高频考点十一 整数乘法运算定律推广到小数乘法 9 高频考点十二 运用转化法解决复杂的小数乘法简算问题 9 高频考点十三 用归纳法解决计算器探索规律问题 10 高频考点十四 小数的估算及应用 10 高频考点十五 分段计费问题（小数乘法) 11 优选真题 实战演练 12 【基础通关】 12 【能力提升】 13 知识点一 小数乘整数(基本算理及算法) 算理： 1.小数乘整数可通过累加法计算。 2.带有单位的小数乘整数，可通过拆分组合法计算，即高级单位和低级单位先拆算、后计合。 3.带有单位的小数乘整数，还可通过单位转化来计算，即高低单位互转、互化、取整、去整。 算法： 1.小数乘整数且不带单位时，可将小数转化为整数进行计算。 2.小数乘整数时，积的小数位数应当与因数的小数位数相同。 3.小数乘整数的积，其小数部分末尾的0应去掉。 知识点二 小数乘小数(基本算理及算法) 1.在执行小数乘小数计算时，先将小数全部化整，随后按照整数乘法计算、得积。 2.得出积后，再看因数中一共有几位小数，有几位小数，就从积的右边起数出几位，随后在那个位置点上小数点。 知识点三 小数乘小数(积的小数位数不够) 小数乘小数应该注意 1.当小数乘小数之积的位数少于因数小数位数之和时，务必要加0占位。 2.当小数乘小数之积的末尾有0时，务必先确认小数点是否已点好，如果0已补、 点已加，再将末尾的0去掉。 小数乘小数(积的小数位数不够) 1.化作整数算出积——积从“整”来。不论何样的小数乘法，均以此方法切入。 2.积中小数看因数——积出有“因”。积的小数位数等于因数的小数位之和。 3.积位不够要补零——加零再加点。补零视位数而定，然后再去末尾的零。 知识点四 小数乘法的应用及验算 1.在解决小数乘法应用题目时，要明确问题，充分利用已知条件，并据此理清关系、画图辅解、列出算式。 2.为确保结果准确，要检验计算过程。常用验算方法有： ①互换因数重新乘； ②通过计算器验算。 知识点五 积的近似数 积的近似数的求取方法 要保留结果到哪一位，就看它的下一位：如果该位数小于5，就将后面的数舍去；如果大于或等于5，就向前一位进1。 1.在求取积的近似数时，先算积，然后看需要保留数位的下一位数字，再按“四舍五入”法求出结果，最后用“≈”连接。 2.务必看清题目的要求。当所要保留数位的末一位或末几位是0时，该0不能划去。 知识点六 整数乘法运算定律推广到小数 小数乘法简便计算时，应注意： 先观察算式中乘数的特点，然后再确定运用哪种运算定律。 有时可同时运用乘法交换律与结合律，并分组计算，从而使计算过程更简便。 整数乘法运算定律推广到小数 1.整数乘法运算的交换律同样适用于小数乘法。 2.整数乘法运算的结合律同样适用于小数乘法。 3.整数乘法运算的分配律同样适用于小数乘法。 知识点七 小数的估算及解决实际问题 1.看余额。在用小数估算解决实际问题时，就是看余额是否充足。余额不足不够买；余额充足就够买。 2.看总价。在用小数估算解决实际问题时，就是看总价是否超出预算。超过预算不够买；低于预算就够买。 知识点八 解决分段计费的实际问题 出租车分段计费的方法 1.起步价路程内的费用固定不变； 2.对不足1km部分的计费应留意； 3.既可以先分后总分段计合，也可以先总后分，多退少补。 解决分段计费的实际问题 1.起步价段。出租车的起步价一般固定为某一里程内统一收取一定额度的钱数。其他诸如水费等，则是起步量×起步单价。 2.额外价段。额外价一般异于起步价，额外价段需要与起步价区分开来，分别计算，不能将起步价段包含进去。 高频考点一 小数与整数的乘法 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（26-27五年级上·北京·课后作业）爸爸妈妈带着小红去游乐园玩，单程票价成人24.5元，儿童12元。一家三口往返交通费需要多少元？ 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️）（26-27五年级上·北京·课后作业）竖式计算。 2.3×5＝    0.67×6＝     1.24×9＝          0.672×2＝ 高频考点二 积的变化规律（小数乘法) 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）下面与的积相等的算式是（    ）。 A． B． C． 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️）根据，直接在括号里填入适当的数。 ( )        ( )    ( ) 高频考点三 利用小数与整数的乘法解决问题 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级上·贵州黔南·阶段检测）购买有机食品。超市有机玉米进行促销活动，奇奇妈妈想买6根，至少需要支付( )元。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级上·河南南阳·期中）明明妈妈准备买4箱牛奶，每箱牛奶原价65元，三个超市做促销，甲超市按原价的0.8出售，乙超市买三送一，丙超市每满99元减20元，在( )超市购买最便宜。 高频考点四 小数与小数的乘法 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）改善农村人居环境是乡村振兴的重要内容，也是一项民生工程。村容整洁是展现农村新貌的窗口，为此，幸福新村计划给村里的平房的外墙面喷防水涂料。下图是房子的一面墙。如果要喷涂这面墙，每平方米用涂料0.6千克，共需要多少千克涂料？（先写出你的解题思路，再列式解答） 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️）3.5×2.3的积是( )位小数，精确到十分位约是( )。 高频考点五 积的小数位数与乘数小数位数的关系 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）的积是_________位小数。如果把6.73的小数点去掉，要使积不变，另一个因数1.2应该变成_______。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️）65.8×1.07的积有( )位小数，保留一位小数是( )。 高频考点六 小数的连乘运算 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）给一个边长为0.4米的正方形宣传栏刷油漆，每平方米要用0.9千克油漆，一共需要（    ）千克油漆。 A．1.44 B．14.4 C．0.144 D．144 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️）希望小学五（1）班同学每人每天节约0.25元零花钱，全班45名同学，十一月份一共可节约多少钱？ 高频考点七 利用小数与小数的乘法解决问题 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（26-27五年级上·北京·课后作业）资料卡： 据统计，一棵树平均每年可以吸收18.3千克的二氧化碳，平均每年会释放1.2吨氧气。按一年产生的氧气量与同期防止空气污染及水土流失和增加土壤肥力的价值算，相当于262.5美元。 2023年的植树节，五（1）班的班主任李老师带领班上48名同学去城市绿化带植树，要求每人至少种一棵树，最后统计时除小林种了3棵树外，其余刚好完成任务。 请根据以上资料卡中信息自主选择问题并解答。 (1)1棵树1年半的时间可以释放多少吨的氧气？ (2)小华计算1.2×1.5＝18，做对了吗？如果不对，请说明理由并改正。 (3)小林植树创造的经济价值每年相当于多少元人民币？（1美元≈6元） (4)五（1）班师生种下的树木每年可以吸收多少千克的二氧化碳？ (5)五（1）班师生种下的树木每年可以释放多少吨的氧气？ 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级上·山东济南·期中）一只梅花鹿高146厘米，一只长颈鹿的高度是梅花鹿的3.5倍。这只长颈鹿高( )米。 高频考点八 用“四舍五入”法求积的近似数 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（26-27五年级上·全国·课后作业）王老师要买33本数学书，每本5.35元，大约需要多少钱？（得数保留整数） 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️）（26-27五年级上·全国·课后作业）一幢大楼有21层，每层高3.34米，这幢大楼约高多少米？（得数保留整数） 高频考点九 因数和积的大小关系（小数乘法） 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）3.5×a积一定（    ）。 A．小于3.5 B．大于3.5 C．无法判断 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️）下列算式中，乘积大于4.35的是（    ）。 A．1.01×4.35 B．0.99×4.35 C．4.35×0.09 高频考点十 运用画线段图法和逆推法解决稍复杂的小数问题 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（25-26四年级下·安徽芜湖·期末）一桶油连桶重7.3千克，用去一半的油后，连桶重3.8千克。原来桶中有油多少千克？桶重多少千克？ 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️）（23-24五年级上·山东济南·期末）建筑工地有一堆沙子，第一次用去沙子的一半多1.9吨，第二次用去剩下沙子的一半，这时建筑工地上还剩下沙子13.5吨，这堆沙子原来有( )。 高频考点十一 整数乘法运算定律推广到小数乘法 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级下·云南昭通·期末）脱式计算，能简算的要简算。 1.25×7.2×0.4          19.42－（9.42＋0.38） 3.6＋2.4×8             6.32＋14.7＋3.68＋5.3 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级上·河北唐山·期末）用简便方法计算。 0.25×3.2×12.5        10.1×4.6             7.3×6.8＋2.7×6.8 高频考点十二 运用转化法解决复杂的小数乘法简算问题 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级上·云南红河·期末）下列各题，怎样算简便就怎样算。 12.5×3.2×0.25                    4.5×10.1 2.5×4.8                          3.7×10.1－37×0.01 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级上·浙江台州·期末）下面各题怎样简便就怎样算。 2.2×0.8×2.5          1.25×[8.8－（10.7－4.3）] 0.48×3.5＋4.84        5.6×1.26－56×0.026 高频考点十三 用归纳法解决计算器探索规律问题 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级上·福建厦门·期末）乐乐用计算器分别算出了下面三道算式的得数，请你找出规律，再按规律填空。 123456.79×9＝1111111.11 123456.79×18＝2222222.22 123456.79×27＝3333333.33 123456.79×54＝( ) 123456.79×( )＝9999999.99 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（23-24五年级上·全国·课后作业）不计算，运用发现的规律，直接写出后两题的得数，再用计算器验算。 6×0.7＝4.2 6.6×6.7＝44.22 6.66×66.7＝________ 6.666×666.7＝________ 高频考点十四 小数的估算及应用 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级下·山东烟台·期末）王老师要买192本练习本，每本3.75元，他带了800元钱，够吗？解决这个问题最合理的计算方法是（    ）。 A．估算，往大了估 B．估算，往小了估 C．精确算 D．口算 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（26-27五年级·全国·暑假作业）“带100元买3副21.3元的跳棋和1副9.4元的飞行棋，剩下的钱够不够买一根12.9元的长绳”，解决这个问题时，淘气把21.3看成22，把9.4看成10。淘气通过估算得出剩下的钱比24元多。因为实际花费比估算的少，所以实际剩下的钱肯定比24元多。既然24元大于12.9元，那么结论是（    ）。 A．一定够买长绳 B．可能够买长绳 C．一定不够买长绳 D．无法判断 高频考点十五 分段计费问题（小数乘法) 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（26-27五年级·全国·暑假作业）第19届亚运会于2023年9月23日在杭州开幕，李叔叔乘飞机到杭州参加开幕式。乘坐飞机的每位旅客，携带行李需按规定购买行李票，李叔叔携带了38千克行李，机票是720元/张，他购买机票和行李票一共要付多少元？ 行李质量 收费标准 20千克及以内的部分 免费 超过20千克的部分 10.8元/千克 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级上·河北承德·期末）我国多地面临水资源紧张问题，某城市推出阶梯水费政策引导节水：每户每月用水量不超过15吨时，按“基本价”每吨2.4元收费；超过15吨的部分，按“调节价”收费。聪聪家七、八月份的用水量和水费如下表。 月份 用水量（吨） 水费（元） 七 18 46.8 八 22 ？ (1)该地水费的“调节价”是每吨多少元？ (2)聪聪家八月份的水费是多少元？ 【基础通关】 1．（24-25五年级上·江苏南京·期末）小明带了20元钱去文具店购买文具，选的商品有：一支铅笔0.9元，一个文具盒12.2元（    ）情况下，估算比计算更有价值。 A．营业员将价格输入收款机时。 B．小明考虑钱带的够不够时。 C．小明被告知要付多少钱时。 D．营业员找给小明钱时。 2．（25-26五年级上·河北邢台·期末）计算12×0.4×2.5时，小明这样算：12×（0.4×2.5），他运用了（    ）。 A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．乘法分配律 3．（24-25五年级上·江苏南京·期末）2.45×6.3＋□×6.3，□中填( )能使计算简便，运用的是( )。（填运算律） 4．（24-25五年级上·陕西西安·期末）某地打固定电话每次前3分钟及以内收费0.22元，超过3分钟的部分每分钟收费0.11元（不足1分钟，按1分钟计算）。妈妈有一次通话7分12秒，她这一次通话的费用是( )元。 5．（24-25五年级上·安徽铜陵·期中）看谁算得又对又快。 0.07×0.3＝     0.72×10＝     0.42÷0.7＝     3.6÷12＝ 0.35＋4.5＝     2.4×5＝       16×2.5＝   7.34×0.6＋2.66×0.6＝ 6．（26-27五年级上·北京·课后作业）用简便方法计算。 1.2×0.09＋2.8×0.09            12.5×32            2.5×（40＋4＋0.4） 7．（26-27五年级上·北京·课后作业）一瓶饮料1.5升，3瓶这样的饮料一共多少升？如果每升饮料售价4元，买3瓶饮料需要多少元？ 8．（26-27五年级上·北京·课后作业）小红带200元购物，买5本单价18.7元的笔记本，两盒单价29.6元的水彩笔。商店有两款书包：小号45.9元，大号62.8元。请分别用合适的估算方法判断剩余的钱能不能买小号、大号书包，最后精确计算验证。 9．（26-27五年级上·北京·课后作业）妈妈带80元去超市，买3千克苹果，每千克12.6元，一盒10.8元的饼干。她还想买一袋9.9元的面包，剩下的钱够不够买面包？ 10．（25-26五年级上·江西宜春·期末）学校“国学社团”开展经典文化周末调研活动，同学们要和家长坐出租车去调研地点。 出租车收费标准 不超过3千米 3元 超过3千米 （不足1千米按1千米计算） 2.5元/千米 (1)小红和爸爸乘车到离家28.3千米的古城，他们应付多少钱？ (2)小文有23元，最多可以乘车多少千米？ 【能力提升】 1．（25-26五年级上·河北承德·期末）红红在用计算器计算4.9×5.67时，发现计算器的键“4”坏了，她想到了四种不同的输入法，下面方法正确的是（    ）。 ①0.7×7×5.67        ②9.8×5.67÷2 ③5×5.67－0.1        ④5×5.67－0.567 A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．无法确定 2．（25-26五年级上·河北秦皇岛·期末）张阿姨买了13个橘子共重1.9千克，如果要买13千克橘子大约有（    ）个。 A．200个以上 B．不到50个 C．80多个 3．（25-26五年级上·广东东莞·期末）在计算8.8×12.5时，下面方法错误的是（    ）。 A．1.1×（8×12.5） B．8×12.5＋0.8×12.5 C．11×（0.8×12.5） D．8×12.5×0.8 4．（26-27五年级上·北京·课后作业）两个一位小数相乘，乘积保留一位小数是6.5，乘积实际是两位小数，这个乘积最大是( )，最小是多少( )。 5．（25-26五年级上·河北邢台·期末）在（    ）里填入“＞”“＜”或“＝”。 5.99×0.9( )5.99÷0.9           m×1.25×8( )m×（1.25×8） 1( )4.06÷5                    ( ) 6．（26-27五年级上·北京·课后作业）竖式计算。 3.8×10.1＝            2.5×3.8＝             8.4×0.04＝ 7．（25-26五年级上·河北廊坊·期末）能简便的要简便计算， 2.5×5.5×4               1.02×3.6＋1.4×1.02 2.7×9.8               1.25×16×4.5 8．（25-26五年级上·湖北黄冈·期中）某地为鼓励市民节约用水，采取按月分段计费的方法收取水费。用水量在15吨以内（含15吨）每吨2.5元；超过15吨，不超过20吨的部分，每吨3.2元：超过20吨的部分，每吨5元。 （1）小红家十月份用水18吨，该缴费多少元？ （2）小军家开了一家超市，十月份的水费是85.5元，他家十月份用水多少吨？ 9．（24-25五年级上·河南漯河·期末）某地自来水公司为鼓励市民节约用水，采用按月分段计费的方式收取水费。12吨以内（含12吨）的，每吨3.3元；超出12吨的部分，每吨4.2元（不足1吨按1吨计算）。乐乐家12月份共用16.5吨水，该月应交水费多少元？ 10．（25-26五年级上·贵州六盘水·期末）南方某地区将集中供暖工作纳入“十件民生实事”进行统筹，进入冬季开始集中供暖，费用按照用户建筑面积一次性收取，下表是该地区供暖阶梯收费标准。奇奇家房屋建筑面积是130.25平方米，他家需要缴纳的供暖费是多少元？ 120平方米及以下部分 超过120平方米的部分 25元/平方米 28元/平方米 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年人教版新教材数学五年级上册举一反三进义能力提升 第二单元小数乘法『举一反三知识讲练』 (能力提升版) 【原卷版】 (思维导图+知识梳理+15个考点讲练展+真题难度分层演练共50题) 讲义简介丙容梳理 同学你好，该份讲义用于人教版新教材五年级上册内容单元复习举一反三知识讲练使用，全套 内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1.导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标： 2.知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3.优选题考点讲练：优选高频期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题， 常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4.优选期中期末真题集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，强化学 生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 友情提醒：本套讲义单元复习内容建议结合思维导图和知识卡片内容学习（导图和卡片结合人 教版五上新教材内容制作，与课本内容配套)，学习效率更高哦！ 目录指引丙容知髋 知识梳理温故知新.… 3 知识点一小数乘整数（基本算理及算法）...... .3 知识点二小数乘小数（基本算理及算法）.…..….3 知识点三小数乘小数（积的小数位数不够） 知识点四小数乘法的应用及验算.... 知识点五积的近似数 知识点六整数乘法运算定律推广到小数· 知识点七小数的估算及解决实际问题.…....… 知识点八解决分段计费的实际问题.·...· 考点讲练真题汇总………… 6 高频考点一小数与整数的乘法....... .....5 高频考点二积的变化规律（小数乘法）.……6 第1页共15页 2025-2026学年人教版新教材数学五年级上册举一反三进义能力提升 高频考点三利用小数与整数的乘法解决问题.·· 高频考点四小数与小数的乘法.… 6 高频考点五积的小数位数与乘数小数位数的关系..7 高频考点六小数的连乘运算…7 高频考点七利用小数与小数的乘法解决问题.· 高频考点八用“四舍五入”法求积的近似数… 8 高频考点九因数和积的大小关系（小数乘法）…8 高频考点十运用画线段图法和逆推法解决稍复杂的小数问题...8 高频考点十一整数乘法运算定律推广到小数乘法....9 高频考点十二运用转化法解决复杂的小数乘法简算问题.9 高频考点十三用归纳法解决计算器探索规律问题 10 高频考点十四小数的估算及应用……… 10 高频考点十五分段计费问题（小数乘法).· 11 优选真题实战演练..... ..........12 【基础通关】 12 【能力提升】 .13 少导图指引梳理脉格 第2页共15页 2025-2026学年人教版新教材数学五年级上册举一反三进义能力提升 意义与整数乘法章义相同，表示几个相同加数的和 意义积的近似数是在求出积后，按要求用 意义与整数乘法意义相同 “四舍五入法”取近似数。 计算方法按解整数桑法计算方法计算 表示几个相同加数的和 再看因数中一共有几位小数 方法 保留整数：看十分位，十分位满5进1： 就从积的右边起数出几位，点上小数点 计算方法先按整数乘法计算，再看两个因数 保留一位小数：看百分位，百分位满5进1 一共有几位小数。就从积的右边起 保留两位小数：看千分位，千分位满5进1 积的位数积的小数位数≤因数小数位数之和。 数出几位，点上小数点。 小数 例题（得数保留两位小数） 例题9.5×3=28.5 积的位数积的小数位数写两个因数小数位数之和】 积的 乘整数 近似数 3.14×3.9=12.25 想：9.5元买3个，需要多少元？ 5开 例题4.2×0.8=3.36 算出积：3.14×3.9=12.246 答：28.5元. 86正 想：两个因数都是小数时怎样计算？ 保留两位小数≈12.25 答：3.36 042 巩固练习（得数保留一位小数） 巩固练习 1.1.2×1.4s1.7 3.7×8.7￥322 巩固练习 1.1.92×0.9=1.728 0.32×2.79=0.8928 2.0.39×2.9=1.1310.58×0.08=0.0464 2.0.86×1.6=1.4 2.34×0.17=0.4 1.7×4=28 0.7×4=2.8 125×5=6.25 2.0.72×60=43.2 3.判断对错：0.37×0.94=3.478(×) 3.买6个()需要多少元？40元买7个( )够吗？ 乘法交换律a×b=b×a 第二单元 小数乘法 运算律推广 乘法结合律(a×b)×c=a×(b×c) 运算律同整数乘法：交换律、结合律、分配律 在小数乘法中同样适用。 小数乘法 到小数 乘法分配律a×(b+c)=a×b+a×c 例题（用简便方法计算） 例题（用简便方法计算） 整数乘法 025×4.78×4 0.65×202 4.2×1.69=(4+0.2)×1.69 运算律推广 小数乘法 -0.25×4×4.78 0,65×(200+2 =4×1.69+0.2×1.69 到小数 =6.76+0.338 的应用 =1×4.78 -0.65×200+0.65×2 ■4.78 =130+1.3 =7.098 =131.3 单价、总价问题 路程、费用问题 行程问题 巩固练习 水果苹果 0 km 3 km 7 km 解决问题 单价（元/kg)3.6 求积问题 直接列式计算 1.(4.2+4.8)×8.4=75.6 质量(k) 8元1.5元 纳税问题 应纳税额兰应纳税的数量×税率 2.4.75×99+4.75=475 总价（元）9.0 想：3km内费用=8+1.5×4 3.2.73×99=270.27 想：路程=速度×时间 购物问题 总价一单价×数量 想：总价=单价×质量 =8+6 70.5×3.4=239.7(千米 实际支付=总价一优惠 =14(元)】 3.6×25=9.0(元 行程问题 路程=速度×时间 综合练习（重点题型） 1.9.5×3=28.5 2.0,72×60=43.2 3.4.2×0.8=3.36 4.3.14×3.9=12.25 5.用简便方法计算： 6.判断对错： 7.行驶3km, 8.购买24ka苹果 9.5×5=47,5 (得数保留两位小数} 0.25×4.78×4=4.78 0.37×0.94=3.4780×) 车费应付14元 应付72元 27元+15角=28.5元 小贴士：计算时先列竖式，再数小数位数，点小数点：灵活运用运算律，让计算更简便 加油！你一定能掌握小数乘法！★ 知识梳理温故知新 知识点一小数乘整数（基本算理及算法） 算理： 1.小数乘整数可通过累加法计算。 2.带有单位的小数乘整数，可通过拆分组合法计算，即高级单位和低级单位先拆算、后计合。 3.带有单位的小数乘整数，还可通过单位转化来计算，即高低单位互转、互化、取整、去整。 算法： 1.小数乘整数且不带单位时，可将小数转化为整数进行计算。 2.小数乘整数时，积的小数位数应当与因数的小数位数相同。 3.小数乘整数的积，其小数部分末尾的0应去掉。 知识点二小数乘小数（基本算理及算法） 1.在执行小数乘小数计算时，先将小数全部化整，随后按照整数乘法计算、得积。 第3页共15页 2025-2026学年人教版新教材数学五年级上册举一反三进义能力提升 2.得出积后，再看因数中一共有几位小数，有几位小数，就从积的右边起数出几位，随后在那个位置 点上小数点。 知识点三小数乘小数（积的小数位数不够） 小数乘小数应该注意 1.当小数乘小数之积的位数少于因数小数位数之和时，务必要加0占位。 2.当小数乘小数之积的末尾有0时，务必先确认小数点是否已点好，如果0已补、 点已加，再将末尾的0去掉。 小数乘小数（积的小数位数不够） 1.化作整数算出积一积从“整”来。不论何样的小数乘法，均以此方法切入。 2.积中小数看因数一积出有“因”。积的小数位数等于因数的小数位之和。 3.积位不够要补零一加零再加点。补零视位数而定，然后再去末尾的零。 知识点四小数乘法的应用及验算 1.在解决小数乘法应用题目时，要明确问题，充分利用已知条件，并据此理清关系、画图辅解、列出 算式。 2.为确保结果准确，要检验计算过程。常用验算方法有： ①互换因数重新乘； ②通过计算器验算。 知识点五积的近似数 积的近似数的求取方法 要保留结果到哪一位，就看它的下一位：如果该位数小于5，就将后面的数舍去；如果大于或等于5， 就向前一位进1。 1.在求取积的近似数时，先算积，然后看需要保留数位的下一位数字，再按“四舍五入”法求出结果， 最后用“≈”连接。 2.务必看清题目的要求。当所要保留数位的末一位或末几位是0时，该0不能划去。 知识点六整数乘法运算定律推广到小数 小数乘法简便计算时，应注意： 先观察算式中乘数的特点，然后再确定运用哪种运算定律。 有时可同时运用乘法交换律与结合律，并分组计算，从而使计算过程更简便。 第4页共15页 2025-2026学年人教版新教材数学五年级上册举一反三讲义能力提升 整数乘法运算定律推广到小数 1.整数乘法运算的交换律同样适用于小数乘法。 2.整数乘法运算的结合律同样适用于小数乘法。 3.整数乘法运算的分配律同样适用于小数乘法。 知识点七小数的估算及解决实际问题 1.看余额。在用小数估算解决实际问题时，就是看余额是否充足。余额不足不够买；余额充足就够买。 2.看总价。在用小数估算解决实际问题时，就是看总价是否超出预算。超过预算不够买；低于预算就 够买。 知识点八解决分段计费的实际问题 出租车分段计费的方法 1.起步价路程内的费用固定不变； 2.对不足1km部分的计费应留意； 3.既可以先分后总分段计合，也可以先总后分，多退少补。 解决分段计费的实际问题 1.起步价段。出租车的起步价一般固定为某一里程内统一收取一定额度的钱数。其他诸如水费等，则 是起步量×起步单价。 2.额外价段。额外价一般异于起步价，额外价段需要与起步价区分开来，分别计算，不能将起步价段 包含进去。 考点讲练真题亿邑 高频考点一小数与整数的乘法 【典例精讲】（食食★）(26-27五年级上·北京·课后作业)爸爸妈妈带着小红去游乐园玩，单程票价 成人24.5元，儿童12元。一家三口往返交通费需要多少元？ 【变式训练】（★★★）(26-27五年级上·北京·课后作业)竖式计算。 2.3×5= 0.67×6= 1.24×9= 0.672×2= 第5页共15页 2025-2026学年人教版新教材数学五年级上册举一反三进义能力提升 高频考点二积的变化规律（小数乘法） 【典例精讲】（★食★)下面与0.36×2.05的积相等的算式是( ）。 A.3.6×205 B.20.5×0.36 C.0.205×3.6 【变式训练】（★★★)根据38×45=1710，直接在括号里填入适当的数。 3.8×4.5=( 3.8×0.45=( 171÷4.5=( 高频考点三利用小数与整数的乘法解决问题 【典例精讲】（食★★）(25-26五年级上·贵州黔南·阶段检测)购买有机食品。超市有机玉米进行促 销活动，奇奇妈妈想买6根，至少需要支付( )元。 买二送 品名：有机玉米 单价：3.8元/根 【变式训练】（★★★）(24-25五年级上·河南南阳·期中)明明妈妈准备买4箱牛奶，每箱牛奶原价 65元，三个超市做促销，甲超市按原价的0.8出售，乙超市买三送一，丙超市每满99元减20元，在( 超市购买最便宜。 高频考点四小数与小数的乘法 【典例精讲】（★★★食）改善农村人居环境是乡村振兴的重要内容，也是一项民生工程。村容整洁是 展现农村新貌的窗口，为此，幸福新村计划给村里的平房的外墙面喷防水涂料。下图是房子的一面墙。如 果要喷涂这面墙，每平方米用涂料0.6千克，共需要多少千克涂料？（先写出你的解题思路，再列式解答） 1.8mh 4m 6m 第6页共15页 2025-2026学年人教版新教材数学五年级上册举一反三讲义能力提升 【变式训练】（★★★）3.5×2.3的积是( )位小数，精确到十分位约是( )。 高频考点五积的小数位数与乘数小数位数的关系 【典例精讲】（★★★）6.73×1.2的积是 位小数。如果把6.73的小数点去掉，要使积不变， 另一个因数1.2应该变成。 【变式训练】（★★★）65.8×1.07的积有( )位小数，保留一位小数是( ）。 高频考点六小数的连乘运算 【典例精讲】（★★★）给一个边长为0.4米的正方形宣传栏刷油漆，每平方米要用0.9千克油漆，一共 需要( )千克油漆。 A.1.44 B.14.4 C.0.144 D.144 【变式训练】（食★食)希望小学五（1)班同学每人每天节约0.25元零花钱，全班45名同学，十一月 份一共可节约多少钱？ 高频考点七利用小数与小数的乘法解决问题 【典例精讲】（★★★★）(26-27五年级上·北京·课后作业)资料卡： 据统计，一棵树平均每年可以吸收18.3千克的二氧化碳，平均每年会释放1.2吨氧气。按一年产生的氧气 量与同期防止空气污染及水土流失和增加土壤肥力的价值算，相当于262.5美元。 2023年的植树节，五(1)班的班主任李老师带领班上48名同学去城市绿化带植树，要求每人至少种一棵 树，最后统计时除小林种了3棵树外，其余刚好完成任务。 请根据以上资料卡中信息自主选择问题并解答。 (1)1棵树1年半的时间可以释放多少吨的氧气？ (2)小华计算1.2×1.5=18，做对了吗？如果不对，请说明理由并改正。 (3)小林植树创造的经济价值每年相当于多少元人民币？(1美元≈6元) (4)五(1)班师生种下的树木每年可以吸收多少千克的二氧化碳？ (5)五(1)班师生种下的树木每年可以释放多少吨的氧气？ 第7页共15页 2025-2026学年人教版新教材数学五年级上册举一反三讲义能力提升 【变式训练】（★★★★）(24-25五年级上·山东济南·期中)一只梅花鹿高146厘米，一只长颈鹿 的高度是梅花鹿的3.5倍。这只长颈鹿高( )米。 高频考点八用“四舍五入”法求积的近似数 【典例精讲】（會食★）(26-27五年级上·全国·课后作业)王老师要买33本数学书，每本5.35元， 大约需要多少钱？（得数保留整数） 【变式训练】（★★★）(26-27五年级上·全国·课后作业)一幢大楼有21层，每层高3.34米，这幢 大楼约高多少米？（得数保留整数） 高频考点九因数和积的大小关系（小数乘法） 【典例精讲】（★★★）3.5×a积一定( ）。 A.小于3.5 B.大于3.5 C.无法判断 【变式训练】（★★★）下列算式中，乘积大于4.35的是( )。 A.1.01×4.35 B.0.99×4.35 C.4.35×0.09 高频考点十运用画线段图法和逆推法解决稍复杂的小数问题 【典例精讲】（★★★）(25-26四年级下·安微芜湖·期末)一桶油连桶重7.3千克，用去一半的油后， 连桶重3.8千克。原来桶中有油多少千克？桶重多少千克？ 【变式训练】（★★★）(23-24五年级上·山东济南·期末)建筑工地有一堆沙子，第一次用去沙子的 一半多1.9吨，第二次用去剩下沙子的一半，这时建筑工地上还剩下沙子13.5吨，这堆沙子原来有 ）。 第8页共15页 2025-2026学年人教版新教材数学五年级上册举一反三讲义能力提升 高频考点十一整数乘法运算定律推广到小数乘法 【典例精讲】（★食★）(25-26五年级下·云南昭通·期末)脱式计算，能简算的要简算。 1.25×7.2×0.4 19.42-(9.42+0.38) 3.6+2.4×8 6.32+14.7+3.68+5.3 【变式训练】（★★★）(25-26五年级上·河北唐山·期末)用简便方法计算。 0.25×3.2×12.5 10.1×4.6 7.3×6.8+2.7×6.8 高频考点十二运用转化法解决复杂的小数乘法简算问题 【典例精讲】（★★★）(25-26五年级上·云南红河·期末)下列各题，怎样算简便就怎样算。 12.5×3.2×0.25 4.5×10.1 2.5×4.8 3.7×10.1-37×0.01 【变式训练】（★★★)(24-25五年级上·浙江台州·期末)下面各题怎样简便就怎样算。 2.2×0.8×2.5 1.25×[8.8-(10.7-4.3)] 第9页共15页 2025-2026学年人教版新教材数学五年级上册举一反三进义能力提升 0.48×3.5+4.84 5.6×1.26-56×0.026 高频考点十三用归纳法解决计算器探索规律问题 【典例精讲】（食★南食）(24-25五年级上·福建厦门·期末)乐乐用计算器分别算出了下面三道算 式的得数，请你找出规律，再按规律填空。 123456.79×9=1111111.11 123456.79×18=2222222.22 123456.79×27=3333333.33 123456.79×54=( 123456.79×( ）=9999999.99 【变式训练】（★★★★）(23-24五年级上·全国·课后作业)不计算，运用发现的规律，直接写出 后两题的得数，再用计算器验算。 6×0.7=4.2 6.6×6.7=44.22 6.66×66.7= 6.666×666.7= 高频考点十四小数的估算及应用 【典例精讲】（★★★）(25-26五年级下·山东烟台·期末)王老师要买192本练习本，每本3.75元， 他带了800元钱，够吗？解决这个问题最合理的计算方法是( )。 A.估算，往大了估 B.估算，往小了估C.精确算D.口算 【变式训练】（★★★食）(26-27五年级·全国·暑假作业)“带100元买3副21.3元的跳棋和1副 9.4元的飞行棋，剩下的钱够不够买一根12.9元的长绳”，解决这个问题时，淘气把21.3看成22，把9.4 看成10。淘气通过估算得出剩下的钱比24元多。因为实际花费比估算的少，所以实际剩下的钱肯定比24 元多。既然24元大于12.9元，那么结论是( ）。 A.一定够买长绳B.可能够买长绳 C.一定不够买长绳D.无法判断 第10页共15页 2025-2026学年人教版新教材数学五年级上册举一反三进义能力提升 高频考点十五分段计费问题（小数乘法） 【典例精讲】（★食★）(26-27五年级·全国·暑假作业)第19届亚运会于2023年9月23日在杭州 开幕，李叔叔乘飞机到杭州参加开幕式。乘坐飞机的每位旅客，携带行李需按规定购买行李票，李叔叔携 带了38千克行李，机票是720元/张，他购买机票和行李票一共要付多少元？ 行李质量 收费标准 20千克及以内的部分 免费 超过20千克的部分 10.8元/千克 【变式训练】（★食食）(25-26五年级上·河北承德·期末)我国多地面临水资源紧张问题，某城市推 出阶梯水费政策引导节水：每户每月用水量不超过15吨时，按“基本价”每吨2.4元收费：超过15吨的 部分，按“调节价”收费。聪聪家七、八月份的用水量和水费如下表。 月份 用水量（吨） 水费（元） 七 18 46.8 八 22 (1)该地水费的“调节价”是每吨多少元？ (2)聪聪家八月份的水费是多少元？ 第11页共15页 2025-2026学年人教版新教材数学五年级上册举一反三讲义能力提升 优选真题实战演练 【基础通关】 1.(24-25五年级上·江苏南京·期末)小明带了20元钱去文具店购买文具，选的商品有：一支铅笔0.9 元，一个文具盒12.2元( )情况下，估算比计算更有价值。 A.营业员将价格输入收款机时。 B.小明考虑钱带的够不够时。 C.小明被告知要付多少钱时。 D.营业员找给小明钱时。 2.(25-26五年级上·河北邢台·期末)计算12×0.4×2.5时，小明这样算：12×(0.4×2.5)，他运用 了( ）。 A.乘法交换律 B.乘法结合律 C.乘法分配律 3.(24-25五年级上·江苏南京·期末)2.45×6.3+口×6.3，☐中填( )能使计算简便，运用的 是( )。(填运算律) 4.（24-25五年级上·陕西西安·期末)某地打固定电话每次前3分钟及以内收费0.22元，超过3分钟的 部分每分钟收费0.11元（不足1分钟，按1分钟计算）。妈妈有一次通话7分12秒，她这一次通话的费 用是( ）元。 5.(24-25五年级上·安徽铜陵·期中)看谁算得又对又快。 0.07×0.3= 0.72×10= 0.42÷0.7= 3.6÷12= 0.35+4.5= 2.4×5= 16×2.5= 7.34×0.6+2.66×0.6= 6.(26-27五年级上·北京·课后作业)用简便方法计算。 1.2×0.09+2.8×0.09 12.5×32 2.5×(40+4+0.4) 7.(26-27五年级上·北京·课后作业)一瓶饮料1.5升，3瓶这样的饮料一共多少升？如果每升饮料售 价4元，买3瓶饮料需要多少元？ 第12页共15页 2025-2026学年人教版新教材数学五年级上册举一反三进义能力提升 8.(26-27五年级上·北京·课后作业)小红带200元购物，买5本单价18.7元的笔记本，两盒单价29.6 元的水彩笔。商店有两款书包：小号45.9元，大号62.8元。请分别用合适的估算方法判断剩余的钱能不 能买小号、大号书包，最后精确计算验证。 9.(26-27五年级上·北京·课后作业)妈妈带80元去超市，买3千克苹果，每千克12.6元，一盒10.8 元的饼干。她还想买一袋9.9元的面包，剩下的钱够不够买面包？ 10.(25-26五年级上·江西宜春·期末)学校“国学社团”开展经典文化周末调研活动，同学们要和家长 坐出租车去调研地点。 出租车收费标准 不超过3千米 3元 超过3千米 2.5元/千米 (不足1千米按1千米计算) (1)小红和爸爸乘车到离家28.3千米的古城，他们应付多少钱？ (2)小文有23元，最多可以乘车多少千米？ 【能力提升】 1.(25-26五年级上·河北承德·期末)红红在用计算器计算4.9×5.67时，发现计算器的键“4”坏了， 她想到了四种不同的输入法，下面方法正确的是( ）。 ①0.7×7×5.67 ②9.8×5.67÷2 ③5×5.67-0.1 ④5×5.67-0.567 A.①②③ B.①③④ C.①②④ D.无法确定 第13页共15页 2025-2026学年人教版新教材数学五年级上册举一反三讲义能力提升 2.(25-26五年级上·河北秦皇岛·期末)张阿姨买了13个橘子共重1.9千克，如果要买13千克橘子大 约有( )个。 A.200个以上 B.不到50个 C.80多个 3.(25-26五年级上·广东东莞·期末)在计算8.8×12.5时，下面方法错误的是( A.1.1×(8×12.5) B.8×12.5+0.8×12.5 C.11×(0.8×12.5) D.8×12.5×0.8 4.(26-27五年级上·北京·课后作业)两个一位小数相乘，乘积保留一位小数是6.5，乘积实际是两位 小数，这个乘积最大是( ),最小是多少( ）。 5.(25-26五年级上·河北邢台·期末)在( )里填入“>”“<”或“=”。 5.99×0.9( )5.99÷0.9 m×1.25×8( )m×(1.25×8) 1( )4.06÷5 3.46( )3.466 6.(26-27五年级上·北京·课后作业)竖式计算。 3.8×10.1= 2.5×3.8= 8.4×0.04= 7.(25-26五年级上·河北廊坊·期末)能简便的要简便计算， 2.5×5.5×4 1.02×3.6+1.4×1.02 2.7×9.8 1.25×16×4.5 8.(25-26五年级上·湖北黄冈·期中)某地为鼓励市民节约用水，采取按月分段计费的方法收取水费。 用水量在15吨以内（含15吨)每吨2.5元；超过15吨，不超过20吨的部分，每吨3.2元：超过20吨的 部分，每吨5元。 第14页共15页 2025-2026学年人教版新教材数学五年级上册举一反三进义能力提升 (1)小红家十月份用水18吨，该缴费多少元？ (2)小军家开了一家超市，十月份的水费是85.5元，他家十月份用水多少吨？ 9.(24-25五年级上·河南漯河·期末)某地自来水公司为鼓励市民节约用水，采用按月分段计费的方式 收取水费。12吨以内（含12吨）的，每吨3.3元；超出12吨的部分，每吨4.2元（不足1吨按1吨计算） 乐乐家12月份共用16.5吨水，该月应交水费多少元？ 10.(25-26五年级上·贵州六盘水·期末)南方某地区将集中供暖工作纳入“十件民生实事”进行统筹， 进入冬季开始集中供暖，费用按照用户建筑面积一次性收取，下表是该地区供暖阶梯收费标准。奇奇家房 屋建筑面积是130.25平方米，他家需要缴纳的供暖费是多少元？ 120平方米及以下部分 超过120平方米的部分 25元/平方米 28元/平方米 第15页共15页null