精品解析：辽宁辽阳市灯塔市2025-2026学年度下学期期末质量监测八年级数学试卷

2025-2026学年度下学期期末质量监测 八年级数学试卷 （试卷满分120分 考试时间120分钟） 考生注意：请在答题卡各题目规定答题区域内作答，答在本试卷上无效． 一．选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 垃圾分类对环境保护具有重大意义，下面四种垃圾分类标识中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列由左边到右边的变形中，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列分式中是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，线段是由线段平移得到的，分别连接，，则可直接得出四边形是平行四边形，依据是（ ） A. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C. 一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形 D. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 6. 如图，勘探队打算测量两地之间的距离，但两地之间有一个池塘，于是勘探队在处取点，连接并延长至点，连接并延长至点，使得分别是的中点．若米，则两地之间的距离为（　　） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 7. 若关于x的方程有增根，则a的值是（ ） A. 3 B. C. 4 D. 6 8. 如图，在中，线段的垂直平分线交于点，交于点，连接，若，，则的周长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，将绕点顺时针旋转得到，若点，，在同一条直线上，，，则长为（ ） A. B. C. D. 10. 现有一张平行四边形纸片，，要求用尺规作图的方法在，上分别找到点，，使得四边形为平行四边形．甲、乙两位同学的作法如图所示，下列判断正确的是（ ） A. 甲对，乙不对 B. 甲不对，乙对 C. 甲、乙都对 D. 甲、乙都不对 二．填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 若分式有意义，则x的取值范围是__________． 12. 已知，，求的值为_______． 13. 在平面直角坐标系中，把点先向右平移2个单位，再向下平移3个单位长度得到点．若点的横坐标与纵坐标相等，则的值为______． 14. 将正六边形与正五边形按如图所示方式摆放，公共顶点为，且正六边形的边与正五边形的边在同一条直线上，则的度数是______． 15. 如图，已知中，，，，将绕点顺时针旋转得到，是中点，连接，则的长为________． 三．解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 解不等式组、因式分解： （1）； （2）． 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为． （1）将向右平移3个单位长度，画出平移后的； （2）画出以原点O为对称中心与成中心对称的； （3）在轴上方有一点，当以为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点的坐标为_____． 19. “双减”政策受到各地教育部门的积极响应，某校为加强学生体育锻炼，现决定购进A、B两种品牌的足球，购买A品牌足球花费了2500元，购买B品牌足球花费了2000元，且购买A品牌足球数量是购买B品牌足球数量的2倍，已知购买一个B品牌足球比购买一个A品牌足球多花30元． （1）求购买一个A品牌、一个B品牌的足球各需多少元； （2）该中学决定再次购进A、B两种品牌足球共40个，总费用不超过2600元，那么该中学此次至少可购买多少个A品牌足球？ 20. 如图，在四边形中，对角线交于点O，已知，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）于H，若，，，求的长． 21. 材料1：将多项式乘法从右到左使用，即，可以帮助我们因式分解． 例如，分解因式： 材料2：因式分解：． 解：将“”看成一个整体，设，则原式 再将“”还原，得原式． （1）根据材料，分解因式：； （2）结合材料和材料，分解因式：． 22. 如图1，凹四边形形似圆规，这样的四边形称为“规形”． 模型探究 （1）如图1，在规形中，请探究之间的数量关系，并说明理由． 实践应用 （2）应用（1）中探究的结论解决下列问题： ①如图2，在规形中， 与的角平分线交于点E，若，则的度数是_________； ②如图3，在规形中，若的角平分线交于点E，且，试探究之间的数量关系，并说明理由． 23. 按要求解答下列问题： （1）【初步探索】 如图，在四边形中，，，，，分别是，上的点，连接，，，且，试探究图中线段，与之间的数量关系． 小明同学认为解决此问题可以用如下方法：如图，将绕点逆时针旋转至，使和重合，由旋转可得，再证明，则可得到，，之间的数量关系； 按照以上思路，完成推理过程； （2）【深化探究】 如图，在中，，，，是边上的两点，连接，，使，探究，和之间的数量关系． （3）【学以致用】 如图，在中，，，点，分别在边及的延长线上，连接，，，若，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度下学期期末质量监测 八年级数学试卷 （试卷满分120分 考试时间120分钟） 考生注意：请在答题卡各题目规定答题区域内作答，答在本试卷上无效． 一．选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 垃圾分类对环境保护具有重大意义，下面四种垃圾分类标识中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可．如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 【详解】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意． 2. 已知，下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式性质判断选项，注意乘负数时不等号变向． 【详解】解：∵， ∴，A不符合题意． ∴，B符合题意． ∴，C不符合题意． ∴，∴，D不符合题意． 3. 下列由左边到右边的变形中，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】以因式分解的定义为判断依据，即多项式化为几个整式的积的恒等变形，进行解答，即可． 【详解】解：A、左边是多项式，右边是两个整式的积，变形正确，是因式分解，符合题意； B、左到右是整式乘法，将积化为多项式，不是因式分解，不符合题意； C、右边不是整式积的形式，不是因式分解，不符合题意； D、左右两边不相等，变形错误，不是因式分解，不符合题意； 4. 下列分式中是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、，有公因式，不是最简分式． B、，有公因式，不是最简分式． C、的分子分母有公因数，不是最简分式． D、分子无法因式分解，与分母无公因式，是最简分式． 5. 如图，线段是由线段平移得到的，分别连接，，则可直接得出四边形是平行四边形，依据是（ ） A. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C. 一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形 D. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 【答案】D 【解析】 【详解】解：由平移可得，， ∴四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）． 6. 如图，勘探队打算测量两地之间的距离，但两地之间有一个池塘，于是勘探队在处取点，连接并延长至点，连接并延长至点，使得分别是的中点．若米，则两地之间的距离为（　　） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理即可得出结果． 【详解】解：如图，连接， 分别是的中点，米， 为三角形的中位线， 米． 7. 若关于x的方程有增根，则a的值是（ ） A. 3 B. C. 4 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程增根的定义，解决本题的关键是要熟练掌握分式方程的解法和增根的定义．分式方程的增根是使得最简公分母为0的未知数的取值，根据分式方程的增根定义即可求解． 【详解】解： 方程两边同乘得：， ∵方程有增根， ∴满足，即， 解得： 故选：D． 8. 如图，在中，线段的垂直平分线交于点，交于点，连接，若，，则的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的性质得，进而可得的周长为，即可求解． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴的周长为． 9. 如图，将绕点顺时针旋转得到，若点，，在同一条直线上，，，则长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据旋转的性质，，，，由勾股定理求出的长，再利用线段的和差关系进行求解即可． 【详解】由旋转可得，，，， ∴， ∵点，，在同一条直线上， ∴． 10. 现有一张平行四边形纸片，，要求用尺规作图的方法在，上分别找到点，，使得四边形为平行四边形．甲、乙两位同学的作法如图所示，下列判断正确的是（ ） A. 甲对，乙不对 B. 甲不对，乙对 C. 甲、乙都对 D. 甲、乙都不对 【答案】C 【解析】 【分析】分别证明甲、乙两位同学作出的四边形一组对边平行且相等，以此判定四边形为平行四边形，进而判断两人作法均正确． 【详解】解：设甲图中，交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，，． ∴，， 由甲图可得垂直平分， ∴， ∴（）， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴四边形是平行四边形．故甲作法正确； 由乙图可得平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形．故乙作法正确； ∴甲、乙的作法都正确． 二．填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 若分式有意义，则x的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式的分母不等于0是解题的关键． 12. 已知，，求的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】先把所求代数式因式分解，再把已知式子代入求解即可． 【详解】解： ， ∵，， ∴． 13. 在平面直角坐标系中，把点先向右平移2个单位，再向下平移3个单位长度得到点．若点的横坐标与纵坐标相等，则的值为______． 【答案】 7 【解析】 【分析】根据点平移的坐标变化规律：左减右加，上加下减，得到点的坐标为，再根据点的横坐标与纵坐标相等，可得即可求解． 【详解】解：点先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到点的坐标为， 点的横坐标和纵坐标相等， ， 解得：． 14. 将正六边形与正五边形按如图所示方式摆放，公共顶点为，且正六边形的边与正五边形的边在同一条直线上，则的度数是______． 【答案】##48度 【解析】 【分析】本题考查了多边形外角和问题，三角形内角和定理，掌握多边形的外角和为是解题关键．由多边形外角和，得到，再利用三角形内角和定理，求出的度数即可． 【详解】解：∵多边形的外角和为， ∴正六边形的外角度数为，正五边形的外角度数为， ， ， 故答案为：． 15. 如图，已知中，，，，将绕点顺时针旋转得到，是中点，连接，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】取中点，连接，结合是中点由中位线定理可得，，进而得，由是中点可求长，由旋转得长，即可得长，最后在中利用勾股定理求长即可． 【详解】解：如图，取中点，连接， 又∵是中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∵是中点， ∴， 由旋转得， ∴， 在 中， ． 三．解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 解不等式组、因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分别求两个不等式的解集，再取两个解集的公共部分即可得不等式组的解集； （2）先变形，然后提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【小问1详解】 解：， 解不等式①得， 解不等式②得， ∴原不等式组的解集为； 【小问2详解】 解： ． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先把括号内的式子通分，把除法变为乘法并利用平方差公式因式分解，再约分计算得出最简结果，最后代入的值计算即可得出答案． 【详解】解： 当时，原式 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为． （1）将向右平移3个单位长度，画出平移后的； （2）画出以原点O为对称中心与成中心对称的； （3）在轴上方有一点，当以为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点的坐标为_____． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）或 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系中平移与中心对称，平行四边形的判定，正确作出图形是解题的关键． （1）根据平移的性质，作图即可； （2）根据中心对称，作图即可； （3）先在平面直角坐标系确定四边形为平行四边形时，点D的位置，即可解答． 【小问1详解】 解：作图如图 【小问2详解】 作图如图 【小问3详解】 如图，在轴上方有一点，当以为顶点的四边形是平行四边形时，点的坐标为或． 故答案为：或． 19. “双减”政策受到各地教育部门的积极响应，某校为加强学生体育锻炼，现决定购进A、B两种品牌的足球，购买A品牌足球花费了2500元，购买B品牌足球花费了2000元，且购买A品牌足球数量是购买B品牌足球数量的2倍，已知购买一个B品牌足球比购买一个A品牌足球多花30元． （1）求购买一个A品牌、一个B品牌的足球各需多少元； （2）该中学决定再次购进A、B两种品牌足球共40个，总费用不超过2600元，那么该中学此次至少可购买多少个A品牌足球？ 【答案】（1）购买一个A品牌的足球需要50元，购买一个B品牌的足球需要80元 （2）20个 【解析】 【分析】（1）设购买一个A品牌的足球需要x元，则购买一个B品牌的足球需要（x+30）元，由题意：购买A品牌足球花费了2500元，购买B品牌足球花费了2000元，且购买A品牌足球数量是购买B品牌足球数量的2倍，列出分式方程，解方程即可； （2）设该中学此次可以购买m个A品牌足球，则可以购买（40-m）个B品牌足球，由题意：该中学决定再次购进A、B两种品牌足球共40个，总费用不超过2600元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【小问1详解】 解：设购买一个A品牌的足球需要x元，则购买一个B品牌的足球需要（x＋30）元， 依题意得：2， 解得：x＝50， 经检验，x＝50是原方程的解，且符合题意， ∴x＋30＝80． 答：购买一个A品牌的足球需要50元，购买一个B品牌的足球需要80元； 【小问2详解】 设该中学此次可以购买m个A品牌足球，则可以购买（50﹣m）个B品牌足球， 依题意得：50 m＋80（40﹣m）≤2600， 解得：m≥20． 答：该中学此次至少可购买20个A品牌足球． 【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是找准等量关系，列出相应方程及不等式． 20. 如图，在四边形中，对角线交于点O，已知，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）于H，若，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定，菱形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）证明，得到，即可得证； （2）先说明四边形是菱形，勾股定理求出的长，等积法求出的长即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 ∵，四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， ∵于H， ∴，即：， ∴． 21. 材料1：将多项式乘法从右到左使用，即，可以帮助我们因式分解． 例如，分解因式： 材料2：因式分解：． 解：将“”看成一个整体，设，则原式 再将“”还原，得原式． （1）根据材料，分解因式：； （2）结合材料和材料，分解因式：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：设， 原式 ， 再将“”还原，得 原式． 22. 如图1，凹四边形形似圆规，这样的四边形称为“规形”． 模型探究 （1）如图1，在规形中，请探究之间的数量关系，并说明理由． 实践应用 （2）应用（1）中探究的结论解决下列问题： ①如图2，在规形中， 与的角平分线交于点E，若，则的度数是_________； ②如图3，在规形中，若的角平分线交于点E，且，试探究之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1），理由见解析；（2）① 115；②，理由见解析； 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外角性质以及角平分线性质，熟练运用三角形的外角性质以及角平分线性质是解题的关键． （1）连接，并延长到点E，根据三角形的外角性质得到，两式相加即得解； （2）① 由（1）知，结合角平分线性质，得到、，代入得到，再利用第（1）问结论可得，即可求解； ② 由（1）知，结合角平分线性质，得到，，利用三角形的外角性质得到，代入即可得解； 【详解】解：（1）， 理由：如图1，连接，并延长到点E， 则， ∴， 即； （2）① 由（1）知， ∵平分、平分， ∴、， ∴， ∴， 则； ② ， 理由：如图3， 由（1）知， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴ ， 即． 23. 按要求解答下列问题： （1）【初步探索】 如图，在四边形中，，，，，分别是，上的点，连接，，，且，试探究图中线段，与之间的数量关系． 小明同学认为解决此问题可以用如下方法：如图，将绕点逆时针旋转至，使和重合，由旋转可得，再证明，则可得到，，之间的数量关系； 按照以上思路，完成推理过程； （2）【深化探究】 如图，在中，，，，是边上的两点，连接，，使，探究，和之间的数量关系． （3）【学以致用】 如图，在中，，，点，分别在边及的延长线上，连接，，，若，，求的长． 【答案】（1）证明：，理由如下： 由旋转可知，， ， 即 又， ； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）通过旋转的性质证明，再进行线段之间的转化求解即可； （2）将绕点逆时针旋转至，使和重合，连接，证明，，再由全等三角形的性质以及勾股定理求解即可； （3）将绕点逆时针旋转至，使和重合，连接，过点作于点，求出，证明 ，得到，再由直角三角形的性质以及勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，理由如下： 将绕点逆时针旋转至，使和重合，连接． ， ， 由旋转性质，得，，， ， ， 又，， 在中，由勾股定理得， ； 【小问3详解】 解：将绕点逆时针旋转至，使和重合，连接，过点作于点 ， 是等边三角形 由旋转的性质，得，，， ，， 即 ， ． 又， ，， ， 在中，根据勾股定理，得 在中，根据勾股定理，得 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $