精品解析：辽宁省辽阳市灯塔市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023-2024学年辽阳市灯塔市八年级（下）期末数学测试 （试卷满分120分，答题时间120分钟） 温馨提示：请把所有的答案都答在答题卡上,答题要求见答题卡，否则不给分. 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 若二次根式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下面图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. 赵爽弦图 B. 笛卡尔心形线 C. 科克曲线 D. 斐波那契螺旋线 3. 下列四组数据中，不能作为直角三角形的三边长的是（ ） A. 6，8，10 B. 7，24，25 C. 2，， D. 5，12， 4. 下列命题的逆命题正确的是（　　） A. 对顶角相等 B. 两直线平行，同旁内角互补 C. 如果两个实数相等，那么它们的平方相等 D. 全等三角形的对应角相等 5. 已知m2-n2=mn，则的值等于（　　） A. 1 B. 0 C. -1 D. - 6. 如图所示，在中，，交于，，则的长是（ ） A. B. C. 3 D. 7. 在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度，所得到的点关于原点中心对称后的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，直线 （k0）经过点A（－3，6），则不等式 的解集为（ ）． A. x＞－3 B. x＜－3 C. x＜6 D. x＞6 9. 某班的一节体育课上，老师组织部分男同学进行了投篮比赛，每人投10次，参赛的同学投中的次数如下表所示，则他们投中次数的中位数和众数分别是（ ） 投中次数 6 7 8 9 人数（人） 2 2 3 1 A. 2，3 B. 7， C. ，8 D. 7，8 10. 如图，长方形中，，，是的中点，线段在边上左右滑动，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 分解因式：=_________. 12. 已知一个多边形的每个外角都等于相邻内角的，则该多边形的边数为 _________________ 13. 甲、乙两名同学5次立定跳远成绩的平均值都是，，，这两名同学成绩比较稳定的是______．（填“甲”或“乙”） 14. 如图，正方形OABC的对角线OB在直线y=﹣x上，点A在第一象限．若正方形OABC的面积是50，则点A的坐标为_____． 15. 如图，在中，是边上的高，已知，，．则的长为_______． 三、计算题（每题5分，共10分） 16. （1）解方程：． （2）先化简，再求值：，其中． 四、解答题（每题8分，共40分） 17. 某单位组织30名员工到一景点集体参观，景点门票价格为80元人．该景点规定满30人可以购买团体票，票价打八折，这天恰逢母亲节，该景点做活动，女士票价打五折，但不能同时享受两种优惠，请你通过计算帮助他们选择最优惠的购票方案． 18. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（﹣4，1），B（﹣1，1），C（﹣2，3）． （1）将△ABC向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度后得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1； （2）将△ABC绕原点O顺时针旋转90°后得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2； （3）直接写出以C1、B1、B2为顶点的三角形的形状是　 　． 19. 如图，E，F是四边形对角线上两点，，，．求证：四边形是平行四边形． 20. 海滨公园是珠海市市民放风筝的最佳场所，某校八年级（1）班的小华和小轩学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为12米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为20米；③牵线放风筝的小明的身高为1.62米． （1）求风筝的垂直高度； （2）如果小明想风筝沿方向下降11米，则他应该往回收线多少米？ 21. 为了解学生参加户外活动的情况，某中学对学生参加户外活动的时间进行抽样调查，并将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图，根据图示，请回答下列问题： （1）求户外活动时间为1.5小时的学生有多少人？并补全条形统计图 （2）每天户外活动时间中位数是小时？ （3）该校共有1800名学生，请估计该校每天户外活动超过1小时的学生人数有多少人？ 五、解答题（本题23分） 22. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，与y轴交于点，与正比例函数的图象相交于点C． （1）求此一次函数的解析式； （2）求出面积； （3）点D在此坐标平面内，且以O、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件的点D的坐标． 23. 在边长为2的正方形中，点和点分别在直线和上运动，连接，． （1）如图1，当点M，N分别是和的中点时，请直接写出与之间的关系； （2）连接，点为中点，连接，，且． ①如图2，当点M，N分别在边和上时，（1）中的结论还成立吗？若不成立，请说明理由，若成立，请加以证明； ②连接，在点和点运动过程中，若，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年辽阳市灯塔市八年级（下）期末数学测试 （试卷满分120分，答题时间120分钟） 温馨提示：请把所有的答案都答在答题卡上,答题要求见答题卡，否则不给分. 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 若二次根式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】二次根式的被开方数是非负数，即． 【详解】解：依题意得：， 解得． 故选：C． 【点睛】此题考查了二次根式的意义和性质．概念：式子叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义． 2. 下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. 赵爽弦图 B. 笛卡尔心形线 C. 科克曲线 D. 斐波那契螺旋线 【答案】C 【解析】 【分析】根据把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； C．是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确； D．不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； 故选C． 【点睛】此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 3. 下列四组数据中，不能作为直角三角形的三边长的是（ ） A. 6，8，10 B. 7，24，25 C. 2，， D. 5，12， 【答案】D 【解析】 【分析】利用勾股定理逆定理，进行求解即可． 【详解】解：A、，能构成直角三角形，不符合题意； B、，能构成直角三角形，不符合题意； C、，能构成直角三角形，不符合题意； D、，不能构成直角三角形，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查勾股定理逆定理．熟练掌握三角形的两条较小边的平方和等于第三边的平方，三角形为直角三角形，是解题的关键． 4. 下列命题的逆命题正确的是（　　） A. 对顶角相等 B. 两直线平行，同旁内角互补 C. 如果两个实数相等，那么它们的平方相等 D. 全等三角形的对应角相等 【答案】B 【解析】 【分析】分别写出各选项的逆命题，然后判断正误即可． 【详解】解：由题意知，A中逆命题为相等的角是对顶角，错误，故不符合要求； B中逆命题为同旁内角互补，两直线平行，正确，故符合要求； C中逆命题为平方相等的两个实数相等，错误，故不符合要求； D中逆命题为对应角相等的两个三角形全等，错误，故不符合要求； 故选：B． 【点睛】本题考查了逆命题，平行线的判定，全等三角形的判定，实数等知识．熟练掌握逆命题，平行线的判定，全等三角形的判定，实数是解题的关键． 5. 已知m2-n2=mn，则的值等于（　　） A. 1 B. 0 C. -1 D. - 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式的运算法则即可求出答案． 【详解】解：∵m2-n2=mn，且mn≠0， ∴， 即， 故选C． 【点睛】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型． 6. 如图所示，在中，，交于，，则的长是（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】在中，由含直角三角形的边的关系得到，再根据勾股定理得到，利用平行四边形对角线相互平分及勾股定理即可得到答案． 【详解】解：， ， 在中，，，则，由勾股定理可得， 在中，，则， 在中，，， 故选：A． 【点睛】本题考查勾股定理求线段长，涉及平行四边形性质、勾股定理、含直角三角形等知识，熟练掌握勾股定理求线段长是解决问题的关键． 7. 在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度，所得到的点关于原点中心对称后的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据点的坐标平移规律“左减右加，下减上加”，可知横坐标应变为5，而纵坐标不变，再利用关于原点对称的两个点的横纵坐标都互为相反数可得答案． 【详解】解：将点向右平移2个单位长度后的坐标为：， ∴关于原点中心对称后的点的坐标为； 故选：D． 【点睛】本题考查的是点的平移，关于原点对称的两个点的坐标关系，熟记平移规律与关于原点对称的两个点的横纵坐标都互为相反数是解本题的关键． 8. 如图，直线 （k0）经过点A（－3，6），则不等式 的解集为（ ）． A. x＞－3 B. x＜－3 C. x＜6 D. x＞6 【答案】A 【解析】 【分析】根据一次函数与一元一次不等式的关系，利用数形结合的思想即可求解． 【详解】解：根据图象可得，当时，， 故选：A 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式关系，从函数的角度看，就是寻求一次函数的值大于或小于0的自变量的取值范围；从图象的角度看，就是确定一次函数的图象在轴上方或下方部分所有点的横坐标所构成的集合． 9. 某班的一节体育课上，老师组织部分男同学进行了投篮比赛，每人投10次，参赛的同学投中的次数如下表所示，则他们投中次数的中位数和众数分别是（ ） 投中次数 6 7 8 9 人数（人） 2 2 3 1 A. 2，3 B. 7， C. ，8 D. 7，8 【答案】C 【解析】 【分析】根据中位数和众数定义判断即可． 【详解】把投中的次数按从小到大排列为6、7、8、9，处于中间的两个数是7与8，则其平均数为，所以投中次数的中位数为； 因为众数是出现频数最高的数据，投中次数是8次的人数有3人，最多，故投中次数的众数是8． 故选：C． 【点睛】此题考查了中位数和众数，熟练掌握找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数 或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据是解题的关键． 10. 如图，长方形中，，，是的中点，线段在边上左右滑动，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将沿着向左平移使与重合，得到，根据动点最值问题“将军饮马”模型，作关于的对称点，连接，此时的最小值为线段长，利用勾股定理求解即可得到答案． 【详解】解：将沿着向左平移使与重合，得到，如图所示： 由平移性质得到， ， 作关于的对称点，连接，如图所示： 由对称性得到， ， 由图可知，，此时，当三点共线时，有最小值，为线段长， ， ， 在长方形中，，，由矩形性质可得， ， 是的中点， ， 与关于的对称， ， 在长方形中，， 在中，，，，由勾股定理得到， 的最小值， 故选：C． 【点睛】本题考查动点最值问题-将军饮马模型，涉及平移性质、对称性质、勾股定理等知识，熟练掌握动点最值问题-将军饮马模型题型的识别及做题方法步骤是解决问题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 分解因式：=_________. 【答案】a(a+3b)(a-3b) 【解析】 【分析】先提取公因式a，再根据平方差公式进行二次分解即可． 【详解】a3−9ab2=a(a2−9b2)=a(a+3b)(a−3b) 故答案为a(a+3b)(a−3b). 【点睛】本题考查的知识点是提公因式法与公式法的综合运用，解题的关键是熟练的掌握提公因式法与公式法的综合运用. 12. 已知一个多边形的每个外角都等于相邻内角的，则该多边形的边数为 _________________ 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查正多边形的外角，设外角为α，根据外角和相邻内角的和为， 列出方程进行求解，再用外角和除以一个外角的度数即可求出边数． 【详解】解：设外角为α，则相邻内角为． ∵， ∴， ， ∴此正多边形的边数为6． 故答案为：6． 13. 甲、乙两名同学5次立定跳远成绩的平均值都是，，，这两名同学成绩比较稳定的是______．（填“甲”或“乙”） 【答案】甲 【解析】 【分析】根据方差的定义判断即可，方差越大，数据波动越大；方差越小，数据波动越小． 【详解】解：∵甲、乙两名同学5次立定跳远成绩的平均值都是，而， ∴甲同学成绩更稳定， 故答案为：甲． 【点睛】本题考查了根据方差判断稳定性，熟练掌握方差的定义是解题的关键． 14. 如图，正方形OABC的对角线OB在直线y=﹣x上，点A在第一象限．若正方形OABC的面积是50，则点A的坐标为_____． 【答案】（1，7） 【解析】 【详解】如图作OF⊥OB，交BA的延长线于F，作BM⊥x轴于M，FN⊥x轴于N， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠OBA=45°， ∵∠BOF=90°， ∴△BOF是等腰直角三角形， ∴OB=OF， 易证△BOM≌△OFN，可得BM=ON，OM=FN， ∵正方形OABC面积是50， ∴OB=10， ∵点B在直线y=﹣x上， ∴B（﹣6，8），F（8，6）， ∵BA=AF， ∴A点坐标为（1，7）. 故答案为（1，7）. 15. 如图，在中，是边上的高，已知，，．则的长为_______． 【答案】13 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，关键是利用勾股定理求得．在中，根据勾股定理求出的长，再求出的长，然后在中根据勾股定理即可得到，从而求解． 【详解】解：∵是边上的高， ∴， 在中，，， ∵， ∴ ∵， ∴ 在中，， ∴， 故答案为：13． 三、计算题（每题5分，共10分） 16. （1）解方程：． （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）无解；（2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，分式的化简求值，分母有理化． （1）根据解分式方程的方法求解即可，注意检验； （2）根据分式混合运算法则求出化简结果，再将代入，利用分母有理化计算即可． 【详解】解：（1） 方程两边同乘，得， 整理得， 解得． 检验：当时，， 是增根，应舍去． ∴原方程无解． （2）原式 ， 当时，原式． 四、解答题（每题8分，共40分） 17. 某单位组织30名员工到一景点集体参观，景点门票价格为80元人．该景点规定满30人可以购买团体票，票价打八折，这天恰逢母亲节，该景点做活动，女士票价打五折，但不能同时享受两种优惠，请你通过计算帮助他们选择最优惠的购票方案． 【答案】当女士恰好是12人时，两种方案所需费用相同；当女士人数少于12人时，购买团体票合算；当女士人数多于12人不超过30人时，购买女士五折票合算． 【解析】 【分析】此题考查一元一次不等式和一元一次方程的实际运用，找出题目蕴含的不等关系是解决问题的关键． 设该公司参观者中有女士人，选择购买女士五折票时所需费用为元，选择购买团体票时所需费用为元，根据题意求得、的函数关系式，分三种情况求得相应的的取值范围：，，． 【详解】解：设该公司参观者中有女士人，选择购买女士五折票时所需费用为元，选择购买团体票时所需费用为元， ，即． 由，得，解得； 由，得，解得； 由，得，解得． 所以当女士恰好是12人时，两种方案所需费用相同；当女士人数少于12人时，购买团体票合算；当女士人数多于12人不超过30人时，购买女士五折票合算． 18. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（﹣4，1），B（﹣1，1），C（﹣2，3）． （1）将△ABC向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度后得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1； （2）将△ABC绕原点O顺时针旋转90°后得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2； （3）直接写出以C1、B1、B2为顶点的三角形的形状是　 　． 【答案】（1）详见解析，点A1，B1，C1的坐标分别为（﹣3，﹣2），（0，﹣2），（﹣1，0）；（2）详见解析；（3）等腰直角三角形． 【解析】 【分析】（1）利用点平移的坐标特征写出点A1，B1，C1的坐标，然后描点即可； （2）利用网格特点和旋转的性质画出点A、B、C的对应点A2、B2、C2得到△A2B2C2； （3）利用勾股定理的逆定理进行判断． 【详解】解：（1）如图，将△ABC向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，则△A1B1C1即为所作；点A1，B1，C1的坐标分别为（﹣3，﹣2），（0，﹣2），（﹣1，0） （2）如图，每个点都绕原点顺时针旋转90°，则△A2B2C2即为所作． （3）∵C1B12＝5，C1B22＝5，B1B22＝10， ∴C1B12+C1B22＝B1B22，C1B1＝C1B2， ∴以C1、B1、B2为顶点的三角形的形状是等腰直角三角形． 故答案为等腰直角三角形． 【点睛】此题考查平移和旋转的知识点，结合平移和旋转的规则即可作图求解，第三问考查勾股定理的应用． 19. 如图，E，F是四边形的对角线上两点，，，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本师考查全等三角形判定与性质，平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 先由得，再证明，得，，继而得，即可由平行四边形判定定理得出结论． 【详解】证明：∵， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形． 20. 海滨公园是珠海市市民放风筝的最佳场所，某校八年级（1）班的小华和小轩学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为12米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为20米；③牵线放风筝的小明的身高为1.62米． （1）求风筝的垂直高度； （2）如果小明想风筝沿方向下降11米，则他应该往回收线多少米？ 【答案】（1）17.62米 （2）7米 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度； （2）根据勾股定理即可得到结论． 【小问1详解】 解：在中， 由勾股定理得，， 所以，（负值舍去）， 所以，（米）， 答：风筝的高度为17.62米； 【小问2详解】 解：由题意得，米， ∴米， ∴（米）， ∴（米）， ∴他应该往回收线7米． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键． 21. 为了解学生参加户外活动的情况，某中学对学生参加户外活动的时间进行抽样调查，并将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图，根据图示，请回答下列问题： （1）求户外活动时间为1.5小时的学生有多少人？并补全条形统计图 （2）每天户外活动时间的中位数是小时？ （3）该校共有1800名学生，请估计该校每天户外活动超过1小时的学生人数有多少人？ 【答案】（1）户外活动时间为1.5小时的人数有120人，补全的条形统计图如下图所示，见解析；（2）中位数是1小时；（3）该校每天户外活动时间超过1小时的学生有720人． 【解析】 【分析】（1）根据条形统计图和扇形统计图可以求得被调查学生总数和1.5小时的学生数，从而可以将条形统计图补充完整； （2）根据条形统计图可以得到这组数据的中位数； （3）根据条形统计图可以求得校共有1800名学生，该校每天户外活动时间超过1小时的学生有多少人． 【详解】（1）∵0.5小时的有100人占被调查总人数的20%， ∴被调查的人数有：100÷20%＝500， 1.5小时的人数有：500﹣100﹣200﹣80＝120， 补全的条形统计图如下图所示， 故答案为500； （2）由（1）可知被调查学生500人，由条形统计图可得，中位数是1小时， 故答案为1； （3）由题意可得， 该校每天户外活动时间超过1小时的学生数为：×1800＝720人， 即该校每天户外活动时间超过1小时的学生有720人． 【点睛】本题考查中位数、用样本估计总体、扇形统计图、条形统计图，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答问题． 五、解答题（本题23分） 22. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，与y轴交于点，与正比例函数的图象相交于点C． （1）求此一次函数的解析式； （2）求出的面积； （3）点D在此坐标平面内，且以O、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件的点D的坐标． 【答案】（1） （2）3 （3）点D的坐标为或或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）联立，可求出两直线交点坐标为，再根据三角形面积公式求解即可； （3）分类讨论：①当为边，且点D位于直线下方时和②当为边，且点D位于直线上方时，结合平行四边形的性质可求解；③当为对角线时，过点C作轴于点E，过点C作轴于点F，结合平行四边形的性质可证，即得出，，即得出答案． 【小问1详解】 解：将，代入， 得：，解得：， ∴此一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：联立，解得：， ∴． ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：分类讨论：①当为边，且点D位于直线下方时，此时平行四边形为，如图， ∴， ∴，， ∴； ②当为边，且点D位于直线上方时，此时平行四边形为，如图， ∴， ∴，， ∴； ③当为对角线时，此时平行四边形为，如图，过点C作轴于点E，过点C作轴于点F， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵四边形平行四边形， ∴． 又∵， ∴， ∴，， ∴． 综上可知点D的坐标为或或． 【点睛】本题考查坐标与图形，求一次函数解析式，一次函数与二元一次方程组的关系，三角形全等的判定与性质，平行四边形的性质等知识．掌握利用待定系数法求函数解析式和平行四边形的性质是解题关键． 23. 在边长为2的正方形中，点和点分别在直线和上运动，连接，． （1）如图1，当点M，N分别是和的中点时，请直接写出与之间的关系； （2）连接，点为中点，连接，，且． ①如图2，当点M，N分别在边和上时，（1）中的结论还成立吗？若不成立，请说明理由，若成立，请加以证明； ②连接，在点和点运动过程中，若，请直接写出的值． 【答案】（1）， （2）①成立，见解析；②或 【解析】 【分析】（1）根据证明，得，，由得，从而可得； （2）①连接，证明，得，再根据（1）的方法可得结论；②分点M在点C的左右两侧讨论求解即可． 【小问1详解】 ，． 证明：如图， ∵四边形是正方形， ∴ ∵点，分别是和的中点， ∴ ∴ 在和中， ， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； 【小问2详解】 ①成立 证明：连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵是中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ②分两种情况： 当点M在点C的左侧时，过点O作垂足分别为点E，F，如图， ∴四边形是矩形， 又， ∴ ∴四边形是正文形， ∴ ∵ ∴ 由（2）得 ∴ 由勾股定理得： ∵ ∴ ∴（负值舍去）； 当点M在点C的右侧时，过点O作垂足分别为点E，F，如图， 同理可得， 由勾股定理得： ∵ ∴ ∴（负值舍去）； 综上，的长为或． 【点睛】本题主要考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，能够正确进行分类是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$