15.3.2 等边三角形（第2课时） 课件 2026--2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦含30°角的直角三角形性质，课堂导入先复习等边三角形的性质与判定，通过测量探究引出性质，构建从旧知到新知的学习支架，帮助学生衔接知识脉络。 其亮点在于通过动手操作培养几何直观，用倍长线段法、截长法等多种证法发展推理能力，结合屋架设计、古建筑等实例强化应用意识。总结明确性质条件和使用要点，学生能系统掌握知识，教师可提升教学效率。

15.3.2 等边三角形（第2课时） 人教版 (2024) 八年级上册 第十五章 轴对称 1 经历探究含 30°角的直角三角形性质的过程，培养学生的动手操作能力、观察能力和推理能力 学习目标 掌握含 30°角的直角三角形的性质，能运用该性质解决相关的几何问题 2 知识回顾 请说说等边三角形的性质和判定分别是什么？ 等边三角形 性质 判定 等边三角形的三边都相等． 等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于 60°． 等边三角形底边上的中线、高及顶角的平分线重合 (简写成“三线合一”)． 等边三角形是轴对称图形 (有 3 条对称轴)． 三边都相等的三角形是等边三角形 (定义)． 三个角都相等的三角形是等边三角形． 有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形． 3 探索新知 探究：如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，测量∠A 所对的直角边 BC 与斜边 AB，你能得到什么结论？再画几个满足条件的三角形，你得到的结论还成立吗？证明你的结论. 30° A B C 测量看看？ 通过测量发现：在 Rt△ABC 中，如果∠A＝30°， 那么直角边 BC 等于斜边 AB 的一半. 分析： 2BC＝AB 构造长为 2BC 的线段 4 探索新知 已知：如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝30°. 求证： . 30° A B C D 倍长线段法 证明：如图，延长 BC 到 D，使 CD＝BC，连接 AD，则 AC 是 BD 的垂直平分线，所以 AB＝AD. 又因为 ∠B＝90°－∠BAC＝90°－30°＝60°， 所以△ABD 是等边三角形，所以 BD＝AB. 又 BD＝2BC，所以 BC＝ AB. 你还有其他证法吗？ 5 探索新知 已知：如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝30°. 求证： . 30° A B C E 截长法 证明：如图，在 BA 上截取 BE＝BC，连接 EC. 由题意得∠B＝ 60° . 又 BE＝BC， ∴ △BCE 是等边三角形， ∴ ∠BEC＝60°，BE＝CE. ∵ ∠A＝30°， ∴ ∠ECA＝∠BEC－∠A＝60°－30°＝30°. ∴ AE＝EC，∴ AE＝EC＝BE＝BC， ∴ AB＝AE＋BE＝2BC，∴BC＝ AB. 6 探索新知 含30°角的直角三角形的性质 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 几何语言： 如图，在 Rt△ACB 中，∠ACB＝ 90°， ∵∠A＝30°， ∴ . 30° A B C 7 典型例题 例 5 如图是屋架设计图的一部分，点 D 是斜梁 AB 的中点，立柱 BC，DE 垂直于横梁 AC，AB＝7.4 m，∠A＝30°. 求立柱 BC，DE 的长. 解：∵DE⊥AC，BC⊥AC，∠A＝30 °， ∴BC＝ AB，DE＝ AD. ∴BC＝ ×7.4＝3.7. 又 AD＝ AB，∴DE＝ AD＝ ×3.7＝1.85. 答：立柱 BC 的长是 3.7 m，DE 的长是 1.85 m. 8 探索新知 总结： 有些题目中没有给出 30°角，而是给出 15°，60°，120°等特殊角，常通过作辅助线或结合其他知识转化为 30°角进行求解. 比如当给出的直角三角形的一个角是 15°时，往往运用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，由 15°角得到 30°角，进而利用含 30°角的直角三角形的性质解决问题. 9 当堂检测 10 当堂检测 A 11 D 当堂检测 12 D 当堂检测 13 C 当堂检测 14 C 当堂检测 15 C 当堂检测 16 当堂检测 17 当堂检测 18 当堂检测 19 本节课学习了哪些知识点呢？ 含30°角的直角三角形的性质 内容—在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 注意—前提条件：在直角三角形中 使用要点—①找准30 °的角所对的直角边. ②作辅助线，构造含30°角的直角三角形. 20 1.中国古建筑是结构决定外观，这种传统结构形式侧面很容易呈现出等腰三角形.如图所示的这种建筑剖面图，其建筑屋顶是一个等腰三角形，它的底角为，腰为10 m，则底边上的高是( ) A.5 m B.10 m C. D. 解析：如图，，， 即底边上的高是5 m. 2.如图，已知中，，.D为边上一动点，连接.则的最大值为( ) A.1 B. C. D.2 解析：∵，， ∴， 过点D作于点F，如图所示： 在中，， ∴，∴，∴， 2.如图，已知中，，.D为边上一动点，连接.则的最大值为( ) A.1 B. C. D.2 解析：在中，（是斜边）， 当点D运动到时，此时 故， 即的最大值为2. 故选D. 3.如图，点F在射线上，，点E在的角平分线上，，.若，则的面积是( ) A.4 B.8 C.16 D.18 解析：如图，过点E作，交于点D，如图所示： ∵点E在的平分线上，， ∴，， ∵，，∴. ∵， ∴，∴， ∴的面积是，故选：C. 4.如图，在中，，平分，，若，，则长为( ) A.16 B.18 C.20 D.22 解析：， 为等边三角形， ，， ， 在中，，平分， ，，即， 4.如图，在中，，平分，，若，，则长为( ) A.16 B.18 C.20 D.22 解析：， ， ， ， 故选：C． 5.如图：已知等边中，D是的中点，E是延长线上的一点，且，，垂足为M. (1)求的度数； (2)求证：M是的中点； (3)若，求长. 解析：(1)三角形是等边，， 又，， 又，； 5.如图：已知等边中，D是的中点，E是延长线上的一点，且，，垂足为M. (1)求的度数； (2)求证：M是的中点； (3)若，求长. 解析：(2)证明：连接， 等边中，D是的中点， 由(1)知，， 又，M是的中点； 5.如图：已知等边中，D是的中点，E是延长线上的一点，且，，垂足为M. (1)求的度数； (2)求证：M是的中点； (3)若，求长. 解析：(3)，， ，， ，，， 在中，，. $