15.3.2等边三角形的性质与判定第1课时课件2026-2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦等边三角形的性质与判定，通过观察交通标志、雪花等生活实例导入，对比等腰三角形引出其特殊关系，以等腰三角形性质为学习支架，构建从一般到特殊的知识脉络。 其亮点在于采用合作探究（动手测量内角）、性质判定对比表格及典例分析，培养数学眼光（几何直观）、数学思维（推理能力）与数学语言（符号表达）。例如通过测量验证内角60°，逻辑推导判定定理，助力学生发展探究与应用意识，教师可借助结构化内容提升教学效率。

15.3.2 等边三角形 第1课时 等边三角形 的性质与判定 第十五章 轴对称 1. 探索等边三角形的性质和判定方法，提高推理能力. (重点) 2. 合理利用等边三角形的性质和判定方法解决问题，发展应用意识. (难点) 判定 性质 判定 性质 情境引入 生活中的三角形藏着什么奥秘？观察交通标志、雪花、蜂巢等图案。 观察 生活中的等边三角 情境 思考 对比等腰三角形 发现三边相等 探究 观察特征 归纳猜想 特殊的等腰三角形 等边三角形 1.7.2013 请大家看屏幕上的这些图片，交通标志、三角尺、漂亮的雪花……它们里面都藏着一种特殊的三角形。大家发现了吗？这些三角形的三条边长度都一样！这种三条边都相等的三角形，我们给它一个名字，叫做“等边三角形”。今天，我们就来揭开它神秘的面纱。 ‹#› 探究与应用 我们知道,三边都相等的三角形是等边三角形,等边三角形是特殊的等腰三角形,那么把等腰三角形的性质用于等边三角形,能得到什么结论? 活动1　理解并掌握等边三角形的性质 问题情境 解:略 探究点一： 等边三角形的性质 思考：顶点 A 在边 BC 的垂直平分线上运动的过程中，如果让 AB 的长度等于 BC ，△ABC 会变成什么三角形？ 等边三角形 点击视频观看 等边三角形的定义： 是三边都_____的三角形，是特殊的等腰三角形. 相等 等腰三角形 等边三角形 等腰三角形与等边三角形的关系： 探究点一： 等边三角形的性质 新知探究 探究：剖析等边三角形的定义，理清它与等腰三角形的从属关系 等腰三角形 (一般形式) 核心定义：有两条边相等的三角形 几何特征：两腰相等，两底角相等 图形属性：轴对称图形，有一条对称轴 重要性质：底边上的中线、高与顶角平分线三线合一 等边三角形 (特殊形式) 核心定义：三条边都相等的三角形 几何特征：三边相等，三个内角均为60° 图形属性：轴对称图形，有三条对称轴 关键结论：是特殊的等腰三角形，具备等腰三角形所有性质 定义 特征 双边相等 三边全等 一般范畴 基础图形 特殊子集 完美对称 定义 本质 基础回顾 1.7.2013 我们来给等边三角形下一个正式的定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形。大家思考一下，它和我们熟悉的等腰三角形是什么关系呢？等腰三角形是“有两条边相等”，而等边三角形是“三条边都相等”，它满足了等腰三角形的条件，而且是更特殊的情况。所以，我们可以说：等边三角形是特殊的等腰三角形。 ‹#› 合作探究 探究等边三角形的三个内角有什么关系？它们的度数是多少呢？ 思考问题：我们已经明确等边三角形的三条边长度相等，那么它的三个内角之间存在怎样的数量关系？每个角的具体度数又是多少呢？ 动手实践：请拿出课前准备的等边三角形纸片，或者观察屏幕上的图形，使用量角器分别测量它的三个内角的度数，记录数据后尝试总结其中的规律。 猜想与验证：结合三角形内角和定理（三角形内角和为180°），若三条边相等，是否意味着三个角也平分了这180°？通过测量验证，我们可以初步推断等边三角形的每个内角都为60°，且三个内角相等。 1.7.2013 我们已经知道了等边三角形的边有什么特点，那它的角呢？三个角之间有什么关系？度数是多少？现在，请大家拿出工具，动手量一量你手中的等边三角形的三个角，看看能发现什么规律。 ‹#› 性质类比 性质 图形 等腰三角形 等边三角形 边 　　　　条边相等  　　　　条边都相等  角 两个底角　　　  三个角都　　　　,且都等于　　　　  两 三 相等 相等 60° 中线、高、 顶角平分线 底边上的中线、高及顶角 平分线　　　　　  每一条边上的中线、高和这条边所对的 角的平分线　　　　　  对称性 对称轴(1条) 对称轴(3条) 续表 重合 重合 思考1：把等腰三角形的性质用于等边三角形，能得到什么结论？ 问题1：从边的角度比较两者，等边三角形的三条边有什么数量关系？ 由定义可知：等边三角形的三条边都相等. 如图，∵ △ABC 是等边三角形， ∴ AB = BC = AC. 等腰三角形的性质对于等边三角形同样适用 A B C 探究点一： 等边三角形的性质 问题2：从角的角度比较两者，等边三角形的三个内角有什么数量关系？角度是多少？你能得到什么结论？试着证明下. 等腰三角形 等边三角形 AB = AC ∠B = ∠C AB = AC = BC ∠A，∠B，∠C ? 探究点一： 等边三角形的性质 已知：AB ＝AC ＝BC ，求证：∠A = ∠B = ∠C= 60°. 证明：∵AB = AC ， ∴ ∠B = ∠C (等边对等角). 同理 ∠A = ∠C， ∴ ∠A = ∠B = ∠C. ∵ ∠A + ∠B + ∠C =180°， ∴ ∠A = ∠B = ∠C = 60°. 结论：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个 角都等于 60°. 探究点一： 等边三角形的性质 证明：∵△ABC 是等边三角形， ∴BC = AC，BC = AB（等边三角形的定义）． ∴∠A = ∠B，∠A = ∠C（等边对等角）． ∴∠A = ∠B = ∠C． 又∵∠A + ∠B + ∠C = 180°（三角形内角和定理）， ∴∠A = 60°． ∴∠A = ∠B = ∠C = 60°． 合作探究 等边三角形的性质： 等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于60°． 符号语言 ∵△ABC 是等边三角形， ∴ ∠A = ∠B = ∠C = 60°． 已知：△ABC 是等边三角形 求证：∠A = ∠B = ∠C = 60° 1.7.2013 通过测量，我们发现等边三角形的三个角都是60°。这个结论对不对呢？我们来证明一下。因为等边三角形是特殊的等腰三角形，所以它的任意两个角都相等，因此三个角都相等。又因为三角形内角和是180°，所以每个角就是180°除以3，正好是60°。这样，我们就得到了等边三角形的一个重要性质：它的三个角都相等，并且每个角都等于60°。 ‹#› 典例分析 例 1如图，△ABC是等边三角形，D是BC边上的中点，连接AD，求∠BAD和∠ADB的度数。 【思路分析】 1. 由△ABC是等边三角形，可得其内角∠BAC = 60°，且具备“三线合一”的性质； 2. 因为D是BC的中点，所以AD是△ABC的中线，结合等边三角形“三线合一”，可知AD同时也是高和角平分线。 【规范解答】 ∵ △ABC是等边三角形，∴ ∠BAC = 60°。 ∵ D是BC中点，AD是中线，由“三线合一”得AD平分∠BAC且AD⊥BC。 ∴ ∠BAD = ½∠BAC = ½×60° = 30°，∠ADB = 90°。 1.7.2013 我们来看一道简单的题目。△ABC是等边三角形，D是BC的中点。看到“中点”和“等边三角形”，我们就要立刻想到“三线合一”。所以，AD这条中线，同时也是高和角平分线。那么，∠BAD就是60°的一半，等于30°。∠ADB因为是高，所以是90°。大家看，等边三角形完美继承了等腰三角形的所有性质，并且更加特殊！ ‹#› (1)等边三角形是特殊的等腰三角形,它具有等腰三角形的一切性质; (2)等边三角形任意一条边上的中线、高和这条边所对的角的平分线重合. 记 重点 (教材补充例题)如图15-3-15,AD是等边三角形ABC的中线,点E在AC边上,且AE=AD,求∠EDC的度数. 理解应用 例 1 解:∵△ABC是等边三角形, ∴AB=AC,∠BAC=60°. ∵AD是等边三角形ABC的中线, ∴AD⊥BC,∠BAD=∠CAD=∠BAC=×60°=30°. 图15-3-15 ∴∠ADC=90°. ∵AD=AE, ∴∠ADE=∠AED==75°. ∴∠EDC=∠ADC-∠ADE=90°-75°=15°. 图15-3-15 问题3：从“三线合一 ”的角度比较两者，等边三角形的“三线 ”有怎样的关系？等边三角形有几条对称轴？ 等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线都“三线合一” ．等边三角形有三条对称轴. 三线合一 一条对称轴 三条对称轴 A B C A B C 探究点一： 等边三角形的性质 根据前面的探究结果完成下表. 图形 等腰三角形 等边三角形 性质 边 角 三线合一 对称性 每一边上的中线、高和这一边所对的角的平分线互相重合 三个角都相等，且都是 60° 3 条对称轴 1 条对称轴 两个底角相等 底边上的中线、高和顶角的平分线互相重合 两条边相等 三条边都相等 探究点一： 等边三角形的性质 合作探究 核心问题如何判定一个三角形是否为等边三角形? 思考引导：我们已经熟知等边三角形“三边相等、三角均为60°”的性质。现在逆向思考，若面对一个未知的三角形，我们该如何去判定它的身份？不妨从几何图形的两大核心要素——“边”和“角”的角度切入分析，尝试推导判定的方法。 角度一（从边出发）：若一个三角形的三条边都相等，显然它符合等边三角形的定义，可直接判定。那如果是等腰三角形，还需要满足什么额外的边的条件呢？ 角度二（从角出发）：若一个三角形的三个内角都相等，根据三角形内角和为180°，可推出每个角都是60°，由此可判定为等边三角形。若已知是等腰三角形，一个角为60°是否能确定它的形状？ 1.7.2013 我们已经知道了等边三角形“有什么”，现在要反过来思考“怎么认”。如果给你一个三角形，你怎么判断它是不是等边三角形呢？大家可以从边和角两个方面来想一想，有哪些方法可以确定它的身份。 ‹#› 合作探究 探究：火眼金睛识等边 —— 等边三角形的判定条件 01. 从“边”判定（定义法） 核心定义：如果一个三角形的三条边都相等，那么这个三角形就是等边三角形。这是最直接、最基础的判定依据。 02. 从“角”判定（定理法） 判定定理：三个角都相等的三角形是等边三角形。 推导依据：根据“等角对等边”，三个角相等则对应的三条边必然相等，符合等边三角形定义。 边相等 ⇒ 等边 角相等 ⇒ 等边 总结：等边三角形的判定可从“边”和“角”两个维度切入，核心是利用“三边相等”的定义，以及“三角相等”的定理进行逻辑推导。 1.7.2013 我们来看两种最直接的判定方法。第一种，就是它的定义：只要能证明一个三角形的三条边都相等，那它肯定就是等边三角形。第二种，是从角的角度来判断：如果一个三角形的三个角都相等，根据我们学过的“等角对等边”，它的三条边也一定相等，所以它也是等边三角形。 ‹#› 一个三角形满足什么条件才是等边三角形? 解:略 活动2　理解并掌握等边三角形的判定方法 问题情境 等边三角形的判定方法: 三边都　　　　的三角形是等边三角形.  　　　　个角都相等的三角形是等边三角形.  有一个角是　　　　的等腰三角形是等边三角形.  概括新知 相等 三 60° 思考1：对于一般△ABC，如何判定这个三角形是等边三角形，请提出猜想并验证. 探究点二：等边三角形的判定 分析： 三角相等 两角相等(等腰三角形的判定) 三角形 三边相等(等边三角形的定义) 边 角 一角 60° 思考2：通过前面的学习，我们知道从边的角度可以判断一个三角形是等边三角形，那么从角的角度如何判断呢？ 通过上面性质的学习，我们很容易联想到： 三个角都相等的三角形是等边三角形. 探究点二：等边三角形的判定 证明：∵AB=AC，∴ △ABC是等腰三角形，∠C = ∠B。 ∵ ∠A + ∠B + ∠C = 180°，∠A = 60°， ∴ ∠B = ∠C = (180°−60°)÷2 = 60°。 ∴ ∠A = ∠B = ∠C = 60°，∴ △ABC是等边三角形。 合作探究 判定定理2：一个神奇的“60°角” 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 思考：若∠B=60°， 结论还成立吗？ 符号语言表示： ∵ 在△ABC中，AB=AC，∠A=60°， ∴ △ABC是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）。 【已知】：在△ABC中，AB = AC，∠A = 60°。 【求证】：△ABC是等边三角形。 1.7.2013 除了刚才两种方法，还有一种非常特殊且重要的判定方法，大家一定要记牢：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。为什么呢？我们来分析一下。如果这个60°的角是顶角，那么两个底角的和是120°，它们又相等，所以每个底角就是60°，三个角都是60°。如果这个60°的角是底角，那么另一个底角也是60°，顶角就是180-60-60=60°。看，无论哪种情况，三个角都是60°，所以它一定是等边三角形！ ‹#› 归纳总结 等边三角形的性质与判定 性质 等边三角形的三条边长度相等；三个内角大小完全相等，且每一个内角的度数都等于 60°，兼具等腰三角形的所有性质。 判定 判定路径一：一般三角形先判定为等腰三角形，再结合“有一个内角为60°”即可判定为等边三角形；判定路径二：直接通过“三条边都相等”或“三个内角都相等”，可直接将一般三角形判定为等边三角形。 三边相等 60° 两边相等 判定等腰 三边相等 三角相等 一角为60° 一般 三角形 等腰 三角形 等边 三角形 1.7.2013 一节课很快就过去了，我们来一起回顾一下今天都学到了什么。我们学习了一个定义：三条边都相等的三角形是等边三角形。两大性质：三边相等，三角相等且都为60°。以及三种判定方法：三边相等、三角相等、或者有一个角是60°的等腰三角形。大家都掌握了吗？ ‹#› (教材典题)如图15-3-16,△ABC是等边三角形,DE∥BC,分别交AB,AC于点D,E.求证:△ADE是等边三角形. 理解应用 例 2 证明:∵△ABC是等边三角形, ∴∠A=∠B=∠C. ∵DE∥BC,∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C. ∴∠A=∠ADE=∠AED. ∴△ADE是等边三角形. 图15-3-16 图形 等腰三角形 等边三角形 判定 从边看 从角看 两条边相等的三角形是等腰三角形 两个角相等的三角形是等腰三角形 三条边都相等的三角形是等边三角形 三个角都相等的三角形是等边三角形 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 结合以上几点，请你总结一下等腰三角形和等边三角形的判定. 探究点二：等边三角形的判定 小结梳理 判定 性质 判定 性质 明确轴对称的核心要素，掌握对称点、对称轴的关系，为后续学习奠定基础。 核心 图形的轴对称 定义 性质 画轴对称的图形 研究轴对称图形 拓展 坐标与轴对称 等腰三角形 从一般到特殊 等边三角形 1.7.2013 最后，我们再从整体上梳理一下本章的知识结构。我们在《图形的轴对称》这一章，从定义和性质出发，学习了如何画轴对称图形，并重点研究了两种特殊的轴对称图形——等腰三角形和等边三角形。等边三角形是特殊的等腰三角形，所以它拥有等腰三角形的一切性质，并且更加完美和对称。希望大家能把这些知识融会贯通。 ‹#› $