15.3.2 等边三角形 课件 2026--2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦等边三角形的性质及含30°角直角三角形的性质，通过测量三角尺、绘制等腰与等边三角形并比较联系与区别，从学生已有的等腰三角形知识出发，搭建过渡到新知识的学习支架。 其亮点在于结合动手操作与对比探究，如测量三角尺发现30°角直角边与斜边关系，用表格梳理等腰与等边三角形性质，培养学生的几何直观和抽象能力，通过性质证明及例题变式推理发展推理意识。既助力学生主动参与探究，又为教师提供结构化教学资源，提升教学效率。

15.3.2等边三角形 人教版（2024）数学八年级上册 学习目标 1、掌握含有30°角的直角三角形的性质和应用. 2、探索并证明含有30°角的直角三角形性质的过程，并用以解决实际问题. 情境引入 请同学们观察并测量，含30°角的三角尺，直角边BC与斜边AB的长度？ BC=10cm, 量一量 AB=20cm B A C 20 cm 10 cm 联系：等边三角形是特殊的等腰三角形； 区别：等边三角形有三条相等的边，而等腰三角形只有两条. 创设情境，导入新知 请分别画出一个等腰三角形和等边三角形，结合你画的图形说出 它们有什么区别和联系？ A B C A B C 4 思考　将等腰三角形的性质用于等边三角形，你能得到什么结论？ 从边的角度：两腰相等； 从角的角度：等边对等角； 从对称性的角度：轴对称图形、三线合一． 细心观察，探索性质 问题　等腰三角形有哪些特殊的性质呢？ 图形 边 角 轴对称图形 等腰 三角形 两边相等 （定义） 两底角相等 （等边对等角） 是（三线合一） 一条对称轴 等边 三角形 三边相等 （定义） ？ ？ 细心观察，探索性质 结合等腰三角形的性质，你能填出等边三角形对应的结论吗？ A B C A B C 问题: 等边三角形有“三线合一”的性质吗? 等边三角形有几条对称轴？ 结论:等边三角形每条边上的中线,高和所对角的平分线都“三线合一”. 顶角的平分线、底边的高 底边的中线 三线合一 一条对称轴 三条对称轴 等边三角形性质 等边三角形的判定 结论 图形 等腰三角形 　性 质 每一边上的中线、高和这一边所对的角的平分线互相重合 三个角都相等， 对称轴（3条） 等边三角形 对称轴（1条） 两个底角相等 底边上的中线、高和顶角的平分线互相重合 且都是60º 两条边相等 三条边都相等 等边三角形性质 等边三角形的判定 在等边△ABD中， AB BD （填“＞”“＜”或“=”）， 在Rt△ABC中， =30°， 30°所对的直角边是 ，BC= AB． = ∠BAC BC 探究新知 A B D C 我们仅凭实验操作得出的结论还需证明吗？ 在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 已知：如图，在Rt△ABC中， ∠C=90°，∠A=30°． 求证：BC= AB． 探究新知 A B C 讲授新课 图形 等腰三角形 　性 质 每一边上的中线、高和这一边所对的角的平分线互相重合 三个角都相等， 对称轴（3条） 等边三角形 对称轴（1条） 两个底角相等 底边上的中线、高和顶角的平分线互相重合 且都是60º 两条边相等 三条边都相等 知识要点 讲授新课 如图，△ABC是等边三角形，E是AC上一点，D是BC延长线上一点，连接BE，DE，若∠ABE＝40°，BE＝DE，求∠CED的度数． 解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°. ∵∠ABE＝40°， ∴∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝60°－40°＝20°. ∵BE＝DE， ∴∠D＝∠EBC＝20°， ∴∠CED＝∠ACB－∠D＝40°. 例题 若点D、E 在边AB、AC 的反向延长线上，且DE∥BC，结论依然成立吗？ 证明： ∵　△ABC 是等边三角形， ∴　∠BAC =∠B =∠C ∵　DE∥BC，∴　∠B =∠D，∠C =∠E． ∴　∠EAD =∠D =∠E． ∴　△ADE 是等边三角形． A D E B C 13 上题中,若将条件DE∥BC改为AD=AE, △ADE还是等边三角形吗?试说明理由. A C B D E 证明： ∵ △ABC是等边三角形， ∴ ∠A= 60° ∵ AD=AE ∴ ∠ADE= ∠ AED ∴ △ADE是等边三角形. 14 典例精析 例4：如图，△ABC是等边三角形，DE//BC，分别交AB，AC于点D，E.求证：△ADE是等边三角形. 证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠A=∠B=∠C. ∵DE//BC, ∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C. ∴∠A=∠ADE=∠AED. ∴△ADE是等边三角形. A B C D E 小试牛刀 1.下面给出的几种三角形： A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 ①有两个角是60°的三角形； ②三个外角都相等的三角形； ③一边上的高也是这边上的中线的三角形； ④有一个外角120°的等腰三角形 其中一定是等边三角形的有（ ） B 讲授新课 例题 如图,在等边三角形ABC中，DE∥BC, 求证：△ADE是等边三角形. A C B D E 证明： ∵ △ABC是等边三角形， ∴ ∠A= ∠B= ∠C. ∵ DE//BC, ∴ ∠ADE= ∠B, ∠ AED= ∠C. ∴ ∠A= ∠ADE= ∠ AED. ∴ △ADE是等边三角形. 想一想：本题还有其他证法吗？ 讲授新课 　证明：∵　△ABC 是等边三角形， ∴　∠A =∠ABC =∠ACB =60°． ∵　DE∥BC， ∴　∠ABC =∠ADE， ∠ACB =∠AED. ∴　∠A =∠ADE =∠AED. ∴　△ADE 是等边三角形. 变式1若点D、E 在边AB、AC 的延长线上，且 DE∥BC，结论还成立吗？ A D E B C 4. (2024·泰安)如图,直线l∥m,等边三角形ABC的两个顶点B,C分别落在直线l,m上.若∠ABE=21°,则∠ACD的度数为　　　　.  　　 　　 5. 如图,△ABC和△BDE都是等边三角形.若∠ABE=40°,则∠CBD的度数为　　　　. 39° 40° 6. 如图,△ABC为等边三角形,点D,E分别在边BC,AC上,且AE=CD,AD与BE相交于点F. (1) 求证:△ABE≌△CAD; (2) 求∠BFD的度数. (1) ∵ △ABC是等边三角形,∴ ∠BAC=∠C=60°,AB=AC. 在△ABE和△CAD中,∴ △ABE≌△CAD　 (2) 由(1),得△ABE≌△CAD,∴ ∠ABE=∠CAD.∵ ∠BFD =∠ABE+∠BAD,∴ ∠BFD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60° 第6题 讲授新课 变式2若点D、E 在边AB、AC 的反向延长线上，且DE∥BC，结论依然成立吗？ 　　证明： ∵　△ABC 是等边三角形， ∴　∠BAC =∠B =∠C =60°． ∵　DE∥BC， ∴　∠B =∠D，∠C =∠E． ∴　∠EAD =∠D =∠E． ∴　△ADE 是等边三角形． A D E B C 讲授新课 变式3 上题中,若将条件DE∥BC改为AD=AE, △ADE还是等边三角形吗?试说明理由. A C B D E 证明： ∵ △ABC是等边三角形， ∴ ∠A= ∠B= ∠C. ∵ AD=AE, ∴ ∠ADE= ∠B, ∠ AED= ∠C. ∴ ∠A= ∠ADE= ∠ AED. ∴ △ADE是等边三角形. 如图,C为线段AE上一动点(不与点A,E重合),在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE,AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连接PQ.有下列结论:① AD=BE;② PQ∥AE;③ AP=BQ;④ DE=DP;⑤ ∠AOB=60°.其中,一定是 　　　　　　　(填序号). ①②③⑤ 如图,P,Q是△ABC的边BC上的两点,且BP=QC=AP=AQ. (1) 若∠B=25°,求∠PAQ的度数; (1) ∵ AP=AQ,∴ ∠APQ=∠AQP.∴ ∠APB=∠AQC. 在△APB和△AQC中, ∴ △APB≌ △AQC.∴ AB=AC.∴ ∠B=∠C=25°.∴ ∠BAC=180°-(∠B+∠C)= 130°.∵ AP=BP,AQ=CQ,∴ ∠BAP=∠B=25°,∠CAQ=∠C=25°.∴ ∠PAQ=∠BAC-∠BAP-∠CAQ=80° $