专题07 不等式与不等式组（期末复习专项训练）2025-2026学年人教版数学七年级下册

**基本信息** 以“概念识别-性质应用-求解运算-参数探究-综合拓展”为主线，系统覆盖不等式与不等式组全考点，强化运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |A题型建模|9大题型含基础到难点题|按概念→性质→求解→参数→综合递进，突出常考点、重点、难点|从不等式识别（概念生成）到性质应用（原理推导），再到含参问题及方程组综合（应用拓展），形成完整认知链条| |B综合攻坚|含多地期中/模拟题|结合实际情境与跨知识综合，渗透模型意识|通过真实问题情境深化知识应用，培养用数学语言表达数量关系的能力|

专题07 不等式与不等式组目 录 A题型建模・专项突破 题型一、不等式（组）的识别 1 题型二、不等式的性质 3 题型三、求一元一次不等式的整数解 6 题型四、解一元一次不等式 9 题型五、由一元一次不等式的定义求参数 13 题型六、解一元一次不等式组（常考点） 14 题型七、由一元一次不等式组的解集求参数 18 题型八、根据一元一次不等式组解的情况求参数（重点） 21 题型九、不等式组与方程组综合（难点） 26 B综合攻坚・能力跃升 32 题型建模·专项突破 A 题型一、不等式（组）的识别 1．下列式子：①；②；③；④；⑤．其中是不等式的有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】C 【分析】不等式定义为：用不等号连接表示不等关系的式子叫做不等式．根据不等式定义逐一判断式子，统计个数即可得到结果． 【详解】解： ①，用不等号连接，是不等式； ②，用不等号连接，是不等式； ③，用等号连接，是等式，不是不等式； ④，是代数式，无不等号连接，不是不等式； ⑤，用不等号连接，是不等式； ∴不等式共有3个． 2．下列按要求列出的不等式中，正确的是（   ） A．不是负数，即 B．不大于3，即 C．与4的和是负数，即 D．与3的差是非负数，即 【答案】C 【分析】本题考查了不等关系，熟练掌握根据已知信息找出不等关系是解题的关键； 根据各选项的表述列出不等式，与选项中所表示的进行比较． 【详解】解：A、 a不是负数表示, 但选项为， 错误，不符合题意； B、x不大于3表示， 但选项为， 错误，不符合题意； C、x与4的和是负数表示， 与选项一致， 正确，符合题意； D、x与3的差是非负数表示, 但选项为， 错误，不符合题意． 故选：C． 3．下列不等式中，属于一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】只含有一个未知数，未知数的最高次数为的整式不等式，称为一元一次不等式；据此逐一判断即可． 【详解】A．含有和两个未知数，故该选项不是一元一次不等式，不符合题意， B．未知数的次数为，故该选项不是一元一次不等式，不符合题意， C．分母含有未知数，不是整式不等式，故该选项不是一元一次不等式，不符合题意， D．只含有一个未知数，未知数最高次数为，且是整式不等式，故该选项是一元一次不等式，符合题意． 4．下列各式中是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式的判断，根据一元一次不等式的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1的不等式，判断各选项即可． 【详解】解：A、，只含未知数x，次数为1，且有不等号“”，故是一元一次不等式； B、，含有两个未知数x和y，故不是一元一次不等式； C、，没有不等号，故不是一元一次不等式； D、，未知数x的最高次数为2，故不是一元一次不等式； 故选：A． 5．下列不等式中，属于一元一次不等式的是______． ①；②；③；④；⑤；⑥． 【答案】②⑤/⑤② 【详解】解：①含有个未知数，不是一元一次不等式； ②是一元一次不等式； ③中是分式，不是整式，不是一元一次不等式； ④中未知数的最高次数是，不是一元一次不等式； ⑤是一元一次不等式； ⑥不是不等式，不是一元一次不等式； ∴属于一元一次不等式的是②⑤． 6．“a的9倍与b的的和是正数”可表示为______． 【答案】 【分析】先分别表示出的9倍与的，再根据和为正数的条件列出不等式． 【详解】解： 的倍为，的为，因为两个式子的和是正数，正数都大于， 因此可得不等式：． 题型二、不等式的性质 7．已知，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用不等式的性质逐项判断即可． 【详解】解：已知， A、两边同时减去1，得，则A不符合题意， B、两边同时除以2，得，则B不符合题意， C、两边同时乘以，得，则C不符合题意， D、两边同时加上1，得，则D符合题意． 8．若，且，则的值可能是（   ） A．0 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据不等式的基本性质，当两边同时乘以一个负数时，不等式方向改变，即可求解． 【详解】解：∵，且， ∴． 选项 A、C、D均非负数，只有选项 B为负数，故B符合题意． 9．下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】依据一元一次方程移项法则，不等式基本性质和等式基本性质，逐一判断各选项即可得到正确结论． 【详解】A、∵移项时，常数项移到等号右边应变号，由可得，∴A错误； B、∵，不等式两边同时减去，不等号方向不变，可得，∴B错误； C、∵，不等式两边同时除以负数，不等号方向改变，可得，∴C错误； D、∵等式中分母不为，可得，等式两边同时乘，可得，∴D正确． 10．若关于的不等式的解集为，则下列判断正确的是（    ） A．， B．， C．，异号 D．，中至少有一个负数 【答案】C 【分析】根据解集的不等号方向判断系数的符号．进而得到和的符号关系即可． 【详解】解：∵原不等式的解集为，不等号方向发生改变， ∴． ∴与异号， 选项C符合题意． 11．设可分别表示三种不同物体．现用天平称两次，情况如图所示，那么这三种物体按质量从大到小排列应为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 本题考查了二元一次方程的应用，不等式基本性质的应用，正确理解题意是关键．设为a，为b，为c，根据图形先列出方程，得到，然后列出不等式，得到，再根据不等式的传递性，即可求得三者的大小关系． 【详解】 解：设为a，为b，为c， 则由第一个图可知， ， ， 由第二个图可知， ， ， 这三种物体按质量从大到小排列应为． 故选：C． 12．如果，那么的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据不等式的性质求解即可． 【详解】解：由可知，，， ∴， 由可知，，， ∴， ∴． 13．若，则________．（填“＞”“＜”或“=”） 【答案】 【分析】本题考查不等式的基本性质，熟悉不等式的基本性质：不等式两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，是解题的关键．将原不等式两边同时乘正数，不等号方向不变，直接得到比较结果． 【详解】解：由，两边同时乘，得， 故答案为：． 14．小明说：“a一定比大．”小明的说法_____（填“正确”或“错误”）． 【答案】错误 【分析】本题考查了不等式的基本性质，掌握分类讨论思想是解题的关键． 通过讨论的取值范围，分析与的大小关系． 【详解】解：当时，； 当时，； 当时，． 因此小明的说法不总是成立， 故答案为：错误． 题型三、求一元一次不等式的整数解 15．不等式的正整数解的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】按照不等式运算法则求出解集，再统计解集中正整数的个数即可． 【详解】解：∵， 去括号得， 移项得， 化简得， ∴不等式的正整数解为，共个． 16．不等式的负整数解有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】先求解不等式得到解集，再找出解集范围内的负整数，统计个数即可得到结果． 【详解】解：不等式两边同乘2去分母，得， 移项并合并同类项，得， 不等式两边同时除以，不等号方向改变，得， ∴范围内的负整数为，共2个． 17．已知关于的不等式的最小整数解为2，则整数的值可以是（　　） A．2 B．3 C．6 D．9 【答案】C 【分析】根据解一元一次不等式的步骤，结合题意得出的取值范围即可解决问题． 【详解】解：由得，， ∵该不等式的最小整数解为2， ∴， 解得， 选项中只有C符合题意． 18．不等式的最小整数解为_______． 【答案】 【分析】根据解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答． 【详解】解： ， ， ， ， 不等式的最小整数解为． 19．已知不等式的正整数解是，则整数的值为______．（写出一个即可） 【答案】 （答案不唯一，均可） 【分析】先求解不等式得到的解集，再根据不等式的正整数解仅为，确定的取值范围，进而求出符合条件的整数． 【详解】解： 系数化为得： ∵不等式的正整数解是 ∴ ， 不等式两边同乘得：， 则满足条件的整数可以为．(答案不唯一，均可)． 20．如果不等式的正整数解是1、2、3，那么偶数的值是______． 【答案】或 【分析】本题考查一元一次不等式的整数解，先解出不等式的解集，再根据正整数解确定的取值范围，最后结合是偶数确定的值即可． 【详解】解： ∴， 不等式的正整数解是1、2、3 ，即， 又是偶数， 或， 故答案为或． 21．解不等式：，并写出它的所有非正整数解． 【答案】，所有非正整数解为：，0． 【详解】解： 去括号得， 移项、合并同类项得，， 所有非正整数解为：，0． 22．若不等式的最小整数解是方程的解，求a的值． 【答案】a的值为4． 【分析】此题可先将不等式化简求出x的取值，然后取x的最小整数解代入方程，化为关于a的一元一次方程，解方程即可得出a的值． 【详解】解：由不等式得， ， 所以最小整数解为， 将代入中，得， 解得． ∴a的值为4． 23．已知不等式． (1)求它的非负整数解； (2)若该不等式的最大整数解是方程的解，求的值． 【答案】(1)或或或 (2) 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，一元一次方程的解法，非负整数解的确定等知识点，掌握一元一次不等式的解法和方程的代入求解是解题的关键． （1）先解不等式得到解集，再在解集中找出所有非负整数； （2）先确定不等式的最大整数解，将其代入方程，解关于的一元一次方程． 【详解】（1）解：去括号，得， 移项、合并同类项，得， 它的非负整数解为或或或． （2）解：由（1）可知该不等式的最大整数解为． 把代入方程，得， 解得． 题型四、解一元一次不等式 24．解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来． (1)； (2)． 【答案】(1)，数轴表示见解析 (2)，数轴表示见解析 【分析】（1）移项即可得不等式解集； （2）先移项，再将未知数系数化为1即可得不等式解集． 【详解】（1）解：不等式两边都减去，得； 用数轴表示为： （2）解：不等式两边都减去，得，即， 将未知数的系数化为1，得． 用数轴表示为： 【点睛】用数轴表示不等式解集的方法：第一步：确定边界点，若边界点是不等式的解，则用实心圆点表示；若边界点不是不等式的解，则用空心圆表示；第二步：确定方向，相对于边界点而言，“小于向左，大于向右”． 25．解下列不等式： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次不等式的求解，熟练掌握一元一次不等式的基本解法、去分母的注意事项以及不等式两边同乘负数时不等号方向的改变规则，是解答本题的关键． （1）对于不等式，通过移项、合并同类项、系数化为，逐步求解不等式的解集； （2）对于不等式 ，先去分母消除分数，再去括号、移项、合并同类项，最后系数化为（注意不等号方向的变化），求解不等式的解集． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ． 26．利用不等式的基本性质解下列不等式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了利用不等式的基本性质解下列不等式，利用不等式的基本性质和不等式的基本性质2、3，进行求解即可． 【详解】（1）解：（不等式的基本性质1）， ， （不等式的基本性质2）， 解得． （2）解： （不等式的基本性质1）， ， （不等式的基本性质3）， 解得． 27．下面是小星同学解不等式的过程： 解：去分母，得：．．．．．．．．．．．第一步 去括号，得：．．．．．．．．．．．第二步 移项，得：．．．．．．．．．．．．第三步 合并同类项，得：．．．．．．．．．．．第四步 系数化为1，得：．．．．．．．．．．．．第五步 ①小星同学的解答过程从第_______步开始出错； ②请写出你认为正确的解答过程． 【答案】①一；②解答过程见详解 【分析】本题考查了解一元一次不等式，准确地进行计算是解题的关键．①由题可知，第一步错误；②按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解一元一次不等式即可． 【详解】①解：第一步，去分母错误， 故答案为：一； ②解：去分母，得： 去括号，得： 移项，得： 合并同类项，得： 系数化为1，得： 28．下面是小刚同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：去分母，得第一步 去括号，得第二步 移项，合并同类项，得第三步 两边同时除以，得第四步 任务一： (1)以上解题过程中，从第________步开始出现错误，这一步错误的原因是：_____________； 任务二： (2)请解该不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】(1)二；去括号时符号错误 (2)，图见解析 【分析】（1）根据解一元一次不等式的步骤及其依据逐步判断即可； （2）按照解一元一次不等式的步骤求解，再在数轴上表示即可． 【详解】（1）解：从第二步开始出现错误，这一步错误的原因是：去括号时符号错误，去第二个括号的结果常数项应该是； （2）解：去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 两边同时除以，得：． 解集在数轴上表示如下图所示： 题型五、由一元一次不等式的定义求参数 29．已知关于的不等式是一元一次不等式，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元一次不等式的定义，未知数次数为1，且未知数系数不为0，据此列条件求解即可． 【详解】解：∵原不等式是关于的一元一次不等式， ∴满足两个条件： 未知数次数为1，即； 未知数系数不为0，即； 由得，解得或， 又∵，即， ∴． 30．已知是关于x的一元一次不等式，则m的值为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式“含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式”，熟记一元一次不等式的定义是解题关键．根据一元一次不等式的定义可得，且，由此即可得解． 【详解】解：∵是关于x的一元一次不等式， ∴，且， ∴． 故答案为：4． 31．关于x的不等式是一元一次不等式，则该不等式的解集为______． 【答案】 【分析】根据一元一次不等式的定义求出的值，然后解一元一次不等式即可． 【详解】解：根据题意得，，且， ∴， ∴， 解得． 32．已知是关于x的一元一次不等式，则______． 【答案】 【分析】根据一元一次不等式的定义可得：且，然后进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：且， 解得：且， ． 33．已知是关于x的一元一次不等式，求m的值． 【答案】 【分析】此题考查了一元一次不等式的定义．利用一元一次不等式的定义判断即可确定出m的值．含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． 【详解】解：依题意得，且， 解得：或，且 ． 题型六、解一元一次不等式组（常考点） 34．解不等式组： 【答案】 【分析】分别求出两个不等式的解集，然后找出它们解集的公共部分． 【详解】解：原不等式组为， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴原不等式组的解集为． 35．解不等式组：． 【答案】 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为：． 36．解不等式组． 【答案】 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 因此，不等式组的解集为． 37．解不等式组：，并求该不等式组所有整数解的和． 【答案】 不等式组的解集为，不等式组所有整数解的和为 【分析】分别求出不等式组中两个不等式的解集，再找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，进而确定出整数解即可解答． 【详解】解： 由①得，， 整理得，， 解得，， 得，， 整理得，， 解得，， 该不等式组的解集为， 该不等式组的整数解为：，，， 不等式组所有整数解的和． 38．解不等式组，并把它的解集表示在数轴上． 【答案】，数轴表示见解析 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到，确定不等式组的解集即可． 【详解】解：， 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴原不等式组的解集为，， 在数轴上表示不等式组的解集，如图． 39．解下列不等式组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 解不等式①得：， 解不等式得：， 因此，不等式组的解集为； （2）解： 解不等式①得：， 解不等式得：， 因此，不等式组的解集为． 40．解不等式（组）并把它们的解集在数轴上表示出来． (1)； (2)． 【答案】(1)，数轴表示见解析 (2)，数轴表示见解析 【分析】分别求出不等式组中每个一元一次不等式的解集，再根据“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”的原则确定不等式组的最终解集，再将解集表示在数轴上即可． 【详解】（1）解： ， 解①得 ， 解②得 ， 因此原不等式组的解集为， 数轴表示如下： （2）解：， 解①得 ， 解②得 ， 因此原不等式组的解集为， 数轴表示如下： 41．求不等式组的所有整数解． 解：解不等式，得______， 解不等式，得______， 所以原不等式组的解集为______， 因此满足原不等式组的所有整数解为______． 【答案】；；；，，，，． 【分析】先分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，然后写出整数解即可解答． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， 所以原不等式组的解集为， 因此满足原不等式组的所有整数解为，，，，． 题型七、由一元一次不等式组的解集求参数 42．关于x的不等式组的解集是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先分别解出两个不等式的解集，再根据不等式组解集“同小取小”的规则，即可确定a的取值范围． 【详解】解：， 解不等式得∶， 解不等式得∶， ∵不等式组的解集是， ∴， 故选A 43．已知关于的不等式组的解集在数轴上的表示如图所示，则的值为__________． 【答案】6 【分析】首先表示出不等式组的解集，然后由数轴得到不等式组的解集，然后比较得到，进而求解即可． 【详解】解：解不等式组得， 由数轴得，关于的不等式组的解集为， ∴， ∴． 44．若不等式组的解集为，则的值是__________． 【答案】 【分析】根据已知的不等式组解集，建立关于，的一元一次方程，求出，的值后代入计算即可得到结果． 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②：得 因此不等式组的解集为 不等式组的解集为 ， 解得， ． 45．已知不等式组的解集为，则的值． 【答案】1 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法以及整数的乘方，根据不等式组的解集列出关于m、n的方程是解题的关键． 先求出两个不等式的解集，再根据不等式组的解集列出关于m、n的方程，然后求出m、n，最后代入代数式进行计算即可得解． 【详解】解：由不等式得， 由不等式得， 所以不等式组的解集为． 又因为不等式组的解集是， ， 解得， ． 46．已知在关于x，y的二元一次方程组中，x为非负数，y为负数． (1)求m的取值范围． (2)在（1）的条件下，若不等式的解集为，则整数m的值是多少？ 【答案】(1) (2) 整数的值是 【分析】（1）先解二元一次方程组得到用表示的，再根据为非负数，为负数列出不等式组，求解得到的取值范围； （2）整理不等式后，根据解集判断系数的符号，得到的新范围，结合（1）的范围即可求出整数． 【详解】（1）解：给定方程组， ，得， 解得； ，得， 解得． ∵为非负数，为负数， ∴， 解第一个不等式，得； 解第二个不等式，得． 因此的取值范围是． （2）解：整理不等式得， 当时，，不合题意； 当时，x不存在； 当时，， 此时， 结合（1）中，可得． 因此范围内的整数为． 题型八、根据一元一次不等式组解的情况求参数（重点） 47．若关于的不等式组恰有4个整数解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解，掌握一元一次不等式组的解法，理解一元一次不等式组的整数解的意义是正确解答的前提．根据关于x的不等式组的解集和整数解的个数确定关于m的不等式组即可． 【详解】解：解关于x的不等式组， 得， ∵关于x的不等式组恰有4个整数解， ∴， 故选：A． 48．已知关于的不等式组有三个整数解，则(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先分别解出两个一元一次不等式的解集，进而得到不等式组的公共解集；再根据“不等式组有三个整数解”这一条件，找出对应的三个整数解，最后通过分析边界情况确定的取值范围． 【详解】解：解不等式，得； 解不等式，得． ∴不等式组的解集为． ∵不等式组有三个整数解，即，，， ∴： 若，则不等式组的整数解会包含，此时共有四个整数解，不符合题意；若，则不等式组的整数解少于三个，也不符合题意． 故选：B． 49．若不等式组有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先分别解出两个不等式的解集，再根据不等式组有解即解集存在公共部分，列出关于a的不等式，求解即可． 【详解】解：， 由①得，； 由②得，； ∵不等式组有解，两个解集存在公共部分， ∴， 解得． 50．若不等式的正整数解是、、，那么实数的取值范围是_____． 【答案】 【分析】由，解得，根据题意可得，即可得实数的取值范围． 【详解】解：， 解得， ∵不等式的正整数解是、、， ∴， ∴． 51．若关于x的不等式组无解，则m的取值范围是_________． 【答案】 【分析】先求得不等式组的每个不等式的解集，根据不等式组无解，建立起新的不等式，解之即可． 【详解】解：∵， 解①得，， 解②得，， ∵不等式组无解， ∴， ∴． 52．如果一元一次不等式组无解，求m的取值范围． 【答案】 【详解】解：由，得：， ∵一元一次不等式组无解， ∴． 53．对于任意实数a、b，定义关于@的运算是：． (1)①________（填，，，，）；②若，则x的取值范围是________． (2)若不等式组恰好有3个整数解，求m的取值范围． 【答案】(1)①=；② (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，根据不等式组的解集求参数，熟知解一元一次不等式的方法是解题的关键． （1）①根据新定义计算判断即可；②根据题意可得不等式，解之即可得到答案； （2）根据新定义可得不等式，求出此不等式的解集，再根据不等式组的解集情况得出不等式求解即可． 【详解】（1）解：①根据题意得：，， ∴； 故答案为：； ②解：∵， ∴， 解得； （2）即 由①得， 有3个整数解， ， ． 54．定义：给定两个不等式组和，若不等式组的任意一个解，都是不等式组的一个解，则称不等式组为不等式组的“子集”． 例如：不等式组是不等式组：的“子集”． (1)若不等式组，不等式组，则其中不等式组________是不等式组的“子集”（填“”或“”）； (2)若关于的不等式组是不等式组的“子集”，则的取值范围是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先解出两个不等式组的解集，然后根据定义判断即可； （2）先解不等式组，然后根据定义解答即可． 【详解】（1）解：解不等式组，得， 解不等式组，得， ∵不等式组的解集为， ∴不等式组的任意一个解，都是不等式组的一个解， ∴不等式组是不等式组的“子集”； （2）解：解不等式组，得， 关于的不等式组是不等式组的“子集”， ． 55．我们定义：如果两个一元一次不等式有公共整数解，那么称这两个不等式互为“同根不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“同根不等式”． (1)不等式______的“同根不等式”（填“是”或“不是”） 不等式______的“同根不等式”（填“是”或“不是”）． (2)若关于的不等式不是的“同根不等式”，求的取值范围； (3)若，关于的不等式与不等式互为“同根不等式”．直接写出的取值范围． 【答案】(1)不是，是 (2) (3)或 【分析】本题根据新定义“同根不等式”，即两个一元一次不等式有公共整数解，分别解不等式，再结合定义判断是否满足条件，求解参数范围． （1）直接解不等式判断是否有公共整数解即可； （2）根据没有公共整数解列不等式求范围； （3）分大于和小于两种情况讨论，得到的取值范围． 【详解】（1）解：解不等式得 解不等式得 两个不等式没有公共解，因此没有公共整数解， 故不是的“同根不等式” 解不等式得 解不等式得 两个不等式的公共解为，存在无数个公共整数解， 故是的“同根不等式” （2）解不等式得 解不等式得 不是的“同根不等式” 两个不等式没有公共整数解， 解得 （3）解不等式，整理得 解不等式，整理得 ①当时，不等式化简为 要使两个不等式有公共整数解，需满足 解得，符合条件； ②当时，不等式化简为 ， 两个不等式的公共解为， 因此所有都符合条件 综上，的取值范围是或 题型九、不等式组与方程组综合（难点） 56．若x，y满足方程和不等式组，则x的范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由得，则可变形为，可变形，再分别求解即可得出答案． 【详解】解：由得， 则可变形为， 解得， 可变形为， 解得， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 57．已知，且，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解不等式（组），熟练掌握解二元一次方程组的方法是关键． 先根据加减消元法解二元一次方程组，再将值代入，求不等式组即可得出答案． 【详解】解：， ，得 解得：， 将代入①，得， 解得：， ， ， ， ． 故选A． 58．已知关于x、y的方程组的解满足，则符合条件的所有整数m的取值之和为____________ 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组和一元一次不等式，两个方程相减得到，再根据列出关于的不等式，可解得的范围，得到符合条件的所有整数m的值，最后求和即可． 【详解】解： 得， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴符合条件的所有整数m的取值为，，，，，，， ∴符合条件的所有整数m的取值之和为， 故答案为：． 59．已知关于，的方程组的解满足以下条件： (1)若，求的值； (2)若为非正数，为负数，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）两式相减得到关于的表达式，再结合求解的值； （2）先解方程组，根据方程的解满足为非正数，为负数，列不等式组求解即可． 【详解】（1）解：， 得，， ， ， ， ； （2）解：， 得，， ， 将代入得，， ， 为非正数，为负数， ， 解得． 60．【阅读材料】： 解答＂已知，且，试确定的取值范围＂有如下解法： 解：解题思想一：＂消元＂ ∵（①（用含y的代数式表示）， ∴． ∵，即②． 又∵． 解题思想二：＂配凑＂ 上式三边先同时乘2，得③， 再同时加1，得， ∴的取值范围是． 【完善材料】材料中①为，②为，③为； 【方法应用】若，且，试确定的取值范围； 【拓展提升】若（是大于3的整数），且，当的取值范围内恰有个整数时，则的值为． 【答案】[完善材料]①，②，③；[方法应用]；[拓展提升]8 【分析】本题考查了不等式的性质以及解不等式，解题的关键是熟练掌握不等式的性质进行求解． （1）根据材料中的解题思路和不等式的性质来确定①、②、③的值； （2）根据材料中的解题思想，通过消元法、配凑法确定的取值范围； （3）根据已知条件，通过消元表示出，再根据的取值范围内恰有个整数来确定n的值． 【详解】解题思想一：“消元” ，（用含y的代数式表示）， ，即， 又∵， 解题思想二：：“配凑”上式三边先同时乘2，得③， 再同时加1，得， ∴的取值范围是． 故答案为：①； ；③； [方法应用] ∵， ， ， ， 即， 又∵， ， ， ，即， ∴的取值范围是； [拓展提升] ∵， ， ， ， ， 又∵， ， ， ， ∴的取值范围是， ∵的取值范围内恰有个整数，且是大于3的整数， 故答案为：8． 61．已知方程与不等式，当时，，同时成立，则称“”是方程与不等式的“完美解”. (1)已知①，②，则方程的解是不等式 （填序号）的“完美解”； (2)若是方程组与不等式的一组“完美解”，求a的取值范围； (3)若是方程与不等式组的“完美解”，求的取值范围. 【答案】(1)② (2) (3) 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组，二元一次方程组等知识，正确理解“完美解”的含义，是解答本题的关键． （1）根据“完美解”的定义代入计算即可判断； （2）将上述两个方程相加可得：，再根据“完美解”得出关于a的一元一次不等式，解不等式即可求解； （3）根据题意可得，即可得，，问题随之得解． 【详解】（1）解：由，得：， ①，则方程的解不是不等式①的“完美解”； ②，则方程的解是不等式②的“完美解”； （2）解：， 将上述两个方程相加可得：， 即有， ∵是方程组与不等式的一组“完美解”， ∴， 解得：， （3）解：根据题意有：， 解得：，， ∴， 即的取值范围为：． 综合攻坚·能力跃升 B 1．（25-26八年级下·河南郑州·期中）已知关于x的不等式的最小整数解为10，则整数m的值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】先求解原不等式得到x的解集，再根据最小整数解为10，得到关于m的不等式组，解出m的取值范围后即可得到整数m的值. 【详解】解：解不等式， 移项得 ， ∵不等式的最小整数解为10， ∴， 不等式三边同时加3，得， 三边同时除以3，得， ∵m为整数， ∴. 2．（2026·安徽蚌埠·二模）已知实数满足，，则下列判断错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用已知等式用表示，代入不等式求出的范围，再依次推导各选项中代数式的范围，找出错误判断． 【详解】解：∵ ∴ ∵ ， ∴ ∴，因此选项A判断正确． ∴ ， ∴， ∴，因此选项B判断正确． ∵ ， 由得 ， ∴ ，因此选项C判断正确． ∵， 由 得 ， 即 ，不符合选项D给出的范围，因此选项D判断错误． 3．（25-26七年级下·上海奉贤·期中）关于的不等式组的解集是，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由不等式组解集的情况求参数，运用“同大取大”的法则即可判断a的取值范围． 【详解】解： ∵不等式组的解集是， ∴． 4．（25-26八年级下·陕西西安·期中）若关于的不等式的解集与不等式的解集相同，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求解出两个不等式的解集，再根据两个解集相同列出关于的方程，即可求解． 【详解】解：解不等式得，， 解不等式得，， ∴， 解得． 5．（25-26七年级下·上海闵行·期中）如果，下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的基本性质逐一判断即可得到正确结果． 【详解】解：A、，不等式两边同时乘负数，不等号方向改变，，A错误； B、举反例：若，满足，此时，，B错误； C、，不等式两边同时乘，不等号方向改变，得，不等式两边同时加，不等号方向不变，，C错误； D、，不等式两边同时减，不等号方向不变，，D正确． 6．（25-26七年级下·福建福州·期中）在平面直角坐标系中，若一个点的纵坐标比这个点的横坐标的2倍少2，则称这个点为“幸运点”．给出下列结论中正确的是（    ） ①“幸运点”不可能在第二象限； ②若点是“幸运点”，且在坐标轴上，则点的坐标为； ③以关于，的方程组的解为坐标的点是“幸运点”； ④无论取何值时，以关于，的方程的解为坐标的点一定存在“幸运点”． A．①② B．①③ C．②③④ D．①③④ 【答案】D 【详解】解：结论①：一个点的纵坐标比这个点的横坐标的2倍少2，即幸运点满足．若“幸运点”在第二象限，则应满足，即，此不等式组无解，因此“幸运点”不可能在第二象限，故结论①符合题意； 结论②，若“幸运点”在坐标轴上，则当在轴上时，，即，解得．当在轴上时，，此时，因此或，故结论②不符合题意； 结论③，对于方程组由①+②，得 ，整理得，因此以关于，的方程组的解为坐标的点是“幸运点”，故结论③符合题意； 结论④， ，当时，，，此时点为“幸运点”，故结论④符合题意． 综上可知，正确的结论是． 7．（25-26九年级下·重庆·自主招生）对、定义一种新运算，规定：（其中、均为非零常数），等式右边是通常的四则运算，已知，，若关于的不等式组恰好有个奇数解，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【分析】根据，，可以求出，，把转化为一元一次不等式组，可得：，解不等式组可得，根据不等式组有个奇数解，可得关于的不等式，解不等式即可求出的取值范围． 【详解】解：，， ， 解得：， 由， 可得：， 整理得：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为， 不等式组恰好有个奇数解， 这个奇数解为、、， ， 解得：． 8．（2026·重庆·模拟预测）对于任意一个四位数m，若它的千位数字与百位数字的和比十位数字与个位数字的和大2，则称这个四位数m为“大双数”，记为m的各个数位上的数字之和．例如：，，是“大双数”，；，，不是“大双数”．若与都是“大双数”，且，则“大双数”是________；已知M，N均为“大双数”，其中，，（，，，，，a，b，c，d，x是整数），已知能被6整除，且为整数，则满足条件的M的最大值与最小值之差为________． 【答案】 【分析】由“大双数”的定义可得，，再结合得出，计算即可得出、的值；由“大双数”的定义可得，，，，从而得出，，进而可得，，表示出，结合能被6整除，得出或或，表示出，结合为整数，，，分三种情况计算即可得出结果． 【详解】解：∵与都是“大双数”， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 由可得：， ∴， 将代入②可得：， ∴“大双数”是； ∵M，N均为“大双数”，其中，，（，，，，，a，b，c，d，x是整数）， ∴，，，， ∴，， ∴，， ∴ ， ∵， ∴， ∵能被6整除， ∴或或， ∴或或， ∵，且为整数，，， ∴①当时，为整数，解得或， 当时，， ∵，， ∴或， ∴此时M的值为或， 当时，， ∵，， ∴或， ∴此时M的值为或； ②当时，为整数，此时没有满足条件的的值，故不符合题意； ③当时，为整数，解得， 当时， ∵，， ∴此时没有满足条件的和的值，故不符合题意； ∴满足条件的M的值有或或或； ∵， ∴满足条件的M的最大值与最小值之差为． 9．（25-26七年级下·安徽安庆·期中）解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】，见详解 【分析】根据解一元一次不等式的步骤依次计算即可，再根据在数轴上表示方法表示出解集即可． 【详解】解： 解集在数轴上表示如下： 10．（25-26八年级下·宁夏银川·期中）解不等式组，并把它的解集表示在数轴上． 【答案】，图形见解析 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集． 【详解】解： 解不等式，得 ． 解不等式，得 ． 所以该不等式组的解集是． 11．（25-26八年级下·河南郑州·期中）解不等式组．请按下列步骤完成解答． (1)解不等式①，得_____； (2)解不等式②，得_____； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的奇数解有___个． 【答案】(1) (2) (3)图见解析 (4)2 【详解】（1）解：解不等式①，得； （2）解：不等式②，得； （3）解：在数轴上表示不等式的解集如图： （4）解：由（3）可知，， ∴原不等式组的奇数解有，共2个. 12．（25-26七年级下·上海黄浦·期中）已知关于x、y的方程组，若方程组的解满足，求的最大整数值． 【答案】4 【分析】本题考查解二元一次方程组，求一元一次不等式的整数解，先求出二元一次方程组的解，将解代入不等式中，求出不等式的解集，进而求出的最大整数值即可． 【详解】解：， 解得：， ∵， ∴， 解得：， ∴的最大整数值为． 13．（25-26七年级下·上海闵行·期中）已知关于的二元一次方程组，若方程组的解是正数，求的取值范围． 【答案】 【分析】先利用加减消元法解二元一次方程组，得到用表示的，再根据方程组的解为正数列出一元一次不等式组，解不等式组即可得到的取值范围． 【详解】解 ： 得 化简得 得 化简得 ∵方程组的解是正数 ∴，即 解不等式，得 解不等式，得 ∴不等式组的解集为，即的取值范围是． 14．（2026·重庆·模拟预测）解不等式组，并求出它的所有整数解之和． 【答案】不等式组的解集为，所有整数解之和为 【分析】先分别求出每个不等式的解集，再根据不等式组解集的确定原则得到不等式组的解集，找出解集内的所有整数后计算求和即可． 【详解】解：解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的整数解为， ∴所有整数解之和为． 15．（25-26七年级下·北京延庆·期中）给出如下定义：如果一个未知数的值使得方程和不等式（组）同时成立，那么这个未知数的值称为该方程与不等式（组）的“伴随解”． 例如：已知方程和不等式，对于未知数，当时，使得，同时成立，则称是方程与不等式的“伴随解”． (1)是否是方程与不等式的“伴随解”？___________（填“是”或“否”） (2)是方程与不等式（组）①，②，③中___________的“伴随解”．（只填序号） (3)如果是关于的方程与关于的不等式组的“伴随解”，那么___________，的取值范围是___________． (4)如果是关于的方程与关于的不等式组的“伴随解”，直接写出的取值范围． 【答案】(1)否； (2)②； (3)，； (4)． 【分析】（1）将代入方程与不等式中，看是否同时成立即可； （2）将分别代入不等式或不等式组中看是否成立即可； （3）根据题目定义得，，即可求出的值及的取值范围； （4）根据题目定义得，，可由不等式组得出的取值范围，由得到，代入的取值范围即可求出的取值范围． 【详解】（1）解：当时，，， 即方程成立，不等式不成立， 不是方程与不等式的“伴随解”； （2）解：当时，①，不成立， ②，成立， ③，不成立， 综上，②符合题意； （3）解：依题意得，， ，， ； （4）解：依题意得，，， 不等式组为，即， ， ， 即， ， ， ． 16．（25-26七年级下·湖南·期中）定义：给定两个不等式（组）和，若不等式（组）的任意一个解，都是不等式（组）的一个解，则称不等式（组）为不等式（组）的“子集”．例如：不等式是不等式的子集，不等式是不等式的子集，不等式组是不等式组的子集． (1)若不等式组：，，则其中不等式______是不等式的“子集”（填或）； (2)若不等式组的解集是的子集，求的取值范围； (3)若不等式组有解且它的解集是的子集，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据子集的定义判断即可； （2）解出不等式组的解集，由其是的子集，可得出，且，解出的取值范围即可； （3）先解不等式组不等式组，得出结果后，由其有解以及是的子集，可得，且，解出的取值范围即可． 【详解】（1）解：不等式为，不等式为， 不等式是不等式的子集， 故答案为：； （2）解：解不等式组， 解得其解集是， ∵是的子集， ∴，且， 解得：， ∴的取值范围是； （3）解：不等式组的解集为， 这个不等式组有解且它的解集是的子集， ∴，且， 解得， 的取值范围是． 17．（25-26七年级下·上海嘉定·期中）若不等式的最小整数解是关于x的方程的解，求a的值． 【答案】 【详解】解：， ， 解得， ∴不等式的最小整数解为， 把代入，得， 解得． 18．（25-26七年级下·北京房山·期中）我们把称为二阶行列式．它的运算法则为：． 例如：． (1)已知，则的值为________； (2)已知，求的取值范围； (3)已知，且，均为非负数，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据运算法则，把二阶行列式转化为一元一次方程，然后求解即可； （2）根据运算法则，把二阶行列式转化为一元一次不等式，然后解不等式即可； （3）根据运算法则，把二阶行列式转化为关于的二元一次方程组，然后解方程组，最后根据非负数的性质列不等式组求解即可． 【详解】（1）解：根据二阶行列式的运算法则，得 ． 解得 ； （2）解：根据二阶行列式运算法则，得． 解得； （3）解：根据二阶行列式运算法则，得 解得 ，均为非负数，   解得 不等式组的解集为，即的取值范围为． 【点睛】本题是新定义题型，结合二阶行列式的运算法则，考查了一元一次方程、一元一次不等式（组）、二元一次方程组等．解题关键是根据新定义将问题转化为方程（组）或不等式． 19．（25-26七年级下·北京·期中）给出如下定义：数轴上点对应的实数为，点对应的实数为，如果，将线段记作：如果，将线段记作．若点A对应的实数为，点B对应的实数为（，则称线段为线段的“平移线段”．若线段与线段有公共点（含端点），则称线段为线段的“相关平移线段” (1)写出以下线段的“平移线段”，并判断是否为线段的“相关平移线段”． ①数轴上点对应的实数为1，点对应的实数为2，； 线段的“平移线段”是（_____），_____（填“是”或“不是”）线段的“相关平移线段”； ②数轴上点对应的实数为，点对应的实数为0，； 线段的“平移线段”是（_____），_____（填“是”或“不是”）线段的“相关平移线段”： (2)数轴上点对应的实数为，点对应的实数为，如果“平移线段”是线段的“相关平移线段”，请写出的取值范围_____． (3)线段是，无论取何值，线段的“平移线段”都是线段的“相关平移线段”，则满足的条件是_____． 【答案】(1)①；是；②；是 (2) (3) 【分析】（1）根据“平移线段”及“相关平移线段”的定义判断即可； （2）分、两种情况，结合线段与线段有公共点，列不等式组求解即可； （3）分、、三种情况，结合定义判断即可． 【详解】（1）解：①根据题意，对应的实数为，对应的实数为， 是； 线段与线段有公共点， 是线段的“相关平移线段”； ②对应的实数为，对应的实数为， 是； 线段与线段有公共点， 是线段的“相关平移线段”； （2）解：对应的实数为，对应的实数为， ①当时，，， 此时线段与线段无公共点，不符合题意； ②时，是，是， 线段与线段要有公共点， ，解得； （3）解：①当时，是，是， 当时，线段与线段无公共点，不符合题意； ②时，线段是，线段是， 当时，线段与线段无公共点，不符合题意； ③当时，线段是，， 线段过点， 当，线段是，， 线段过点， 即此时线段与线段有公共点，符合题意； 当时，线段是，， 线段过点， 即此时线段与线段有公共点，符合题意； 综上，满足的条件是． 1 / 32 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 不等式与不等式组目 录 A题型建模・专项突破 题型一、不等式（组）的识别 1 题型二、不等式的性质 2 题型三、求一元一次不等式的整数解 2 题型四、解一元一次不等式 3 题型五、由一元一次不等式的定义求参数 5 题型六、解一元一次不等式组（常考点） 5 题型七、由一元一次不等式组的解集求参数 7 题型八、根据一元一次不等式组解的情况求参数（重点） 8 题型九、不等式组与方程组综合（难点） 10 B综合攻坚・能力跃升 11 题型建模·专项突破 A 题型一、不等式（组）的识别 1．下列式子：①；②；③；④；⑤．其中是不等式的有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 2．下列按要求列出的不等式中，正确的是（   ） A．不是负数，即 B．不大于3，即 C．与4的和是负数，即 D．与3的差是非负数，即 3．下列不等式中，属于一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 4．下列各式中是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 5．下列不等式中，属于一元一次不等式的是______． ①；②；③；④；⑤；⑥． 6．“a的9倍与b的的和是正数”可表示为______． 题型二、不等式的性质 7．已知，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 8．若，且，则的值可能是（   ） A．0 B． C．2 D． 9．下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．若关于的不等式的解集为，则下列判断正确的是（    ） A．， B．， C．，异号 D．，中至少有一个负数 11．设可分别表示三种不同物体．现用天平称两次，情况如图所示，那么这三种物体按质量从大到小排列应为（   ） A． B． C． D． 12．如果，那么的取值范围是______． 13．若，则________．（填“＞”“＜”或“=”） 14．小明说：“a一定比大．”小明的说法_____（填“正确”或“错误”）． 题型三、求一元一次不等式的整数解 15．不等式的正整数解的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 16．不等式的负整数解有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 17．已知关于的不等式的最小整数解为2，则整数的值可以是（　　） A．2 B．3 C．6 D．9 18．不等式的最小整数解为_______． 19．已知不等式的正整数解是，则整数的值为______．（写出一个即可） 20．如果不等式的正整数解是1、2、3，那么偶数的值是______． 21．解不等式：，并写出它的所有非正整数解． 22．若不等式的最小整数解是方程的解，求a的值． 23．已知不等式． (1)求它的非负整数解； (2)若该不等式的最大整数解是方程的解，求的值． 题型四、解一元一次不等式 24．解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来． (1)； (2)． 25．解下列不等式： (1)； (2) 26．利用不等式的基本性质解下列不等式： (1)； (2)． 27．下面是小星同学解不等式的过程： 解：去分母，得：．．．．．．．．．．．第一步 去括号，得：．．．．．．．．．．．第二步 移项，得：．．．．．．．．．．．．第三步 合并同类项，得：．．．．．．．．．．．第四步 系数化为1，得：．．．．．．．．．．．．第五步 ①小星同学的解答过程从第_______步开始出错； ②请写出你认为正确的解答过程． 28．下面是小刚同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：去分母，得第一步 去括号，得第二步 移项，合并同类项，得第三步 两边同时除以，得第四步 任务一： (1)以上解题过程中，从第________步开始出现错误，这一步错误的原因是：_____________； 任务二： (2)请解该不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． 题型五、由一元一次不等式的定义求参数 29．已知关于的不等式是一元一次不等式，则的值为（   ） A． B． C． D． 30．已知是关于x的一元一次不等式，则m的值为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 31．关于x的不等式是一元一次不等式，则该不等式的解集为______． 32．已知是关于x的一元一次不等式，则______． 33．已知是关于x的一元一次不等式，求m的值． 题型六、解一元一次不等式组（常考点） 34．解不等式组： 35．解不等式组：． 36．解不等式组． 37．解不等式组：，并求该不等式组所有整数解的和． 38．解不等式组，并把它的解集表示在数轴上． 39．解下列不等式组： (1) (2) 40．解不等式（组）并把它们的解集在数轴上表示出来． (1)； (2)． 41．求不等式组的所有整数解． 解：解不等式，得______， 解不等式，得______， 所以原不等式组的解集为______， 因此满足原不等式组的所有整数解为______． 题型七、由一元一次不等式组的解集求参数 42．关于x的不等式组的解集是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 43．已知关于的不等式组的解集在数轴上的表示如图所示，则的值为__________． 44．若不等式组的解集为，则的值是__________． 45．已知不等式组的解集为，则的值． 46．已知在关于x，y的二元一次方程组中，x为非负数，y为负数． (1)求m的取值范围． (2)在（1）的条件下，若不等式的解集为，则整数m的值是多少？ 题型八、根据一元一次不等式组解的情况求参数（重点） 47．若关于的不等式组恰有4个整数解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 48．已知关于的不等式组有三个整数解，则(　　) A． B． C． D． 49．若不等式组有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 50．若不等式的正整数解是、、，那么实数的取值范围是_____． 51．若关于x的不等式组无解，则m的取值范围是_________． 52．如果一元一次不等式组无解，求m的取值范围． 53．对于任意实数a、b，定义关于@的运算是：． (1)①________（填，，，，）；②若，则x的取值范围是________． (2)若不等式组恰好有3个整数解，求m的取值范围． 54．定义：给定两个不等式组和，若不等式组的任意一个解，都是不等式组的一个解，则称不等式组为不等式组的“子集”． 例如：不等式组是不等式组：的“子集”． (1)若不等式组，不等式组，则其中不等式组________是不等式组的“子集”（填“”或“”）； (2)若关于的不等式组是不等式组的“子集”，则的取值范围是多少？ 55．我们定义：如果两个一元一次不等式有公共整数解，那么称这两个不等式互为“同根不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“同根不等式”． (1)不等式______的“同根不等式”（填“是”或“不是”） 不等式______的“同根不等式”（填“是”或“不是”）． (2)若关于的不等式不是的“同根不等式”，求的取值范围； (3)若，关于的不等式与不等式互为“同根不等式”．直接写出的取值范围． 题型九、不等式组与方程组综合（难点） 56．若x，y满足方程和不等式组，则x的范围是（　　） A． B． C． D． 57．已知，且，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 58．已知关于x、y的方程组的解满足，则符合条件的所有整数m的取值之和为____________ 59．已知关于，的方程组的解满足以下条件： (1)若，求的值； (2)若为非正数，为负数，求的取值范围． 60．【阅读材料】： 解答＂已知，且，试确定的取值范围＂有如下解法： 解：解题思想一：＂消元＂ ∵（①（用含y的代数式表示）， ∴． ∵，即②． 又∵． 解题思想二：＂配凑＂ 上式三边先同时乘2，得③， 再同时加1，得， ∴的取值范围是． 【完善材料】材料中①为，②为，③为； 【方法应用】若，且，试确定的取值范围； 【拓展提升】若（是大于3的整数），且，当的取值范围内恰有个整数时，则的值为． 61．已知方程与不等式，当时，，同时成立，则称“”是方程与不等式的“完美解”. (1)已知①，②，则方程的解是不等式 （填序号）的“完美解”； (2)若是方程组与不等式的一组“完美解”，求a的取值范围； (3)若是方程与不等式组的“完美解”，求的取值范围. 综合攻坚·能力跃升 B 1．（25-26八年级下·河南郑州·期中）已知关于x的不等式的最小整数解为10，则整数m的值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．（2026·安徽蚌埠·二模）已知实数满足，，则下列判断错误的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·上海奉贤·期中）关于的不等式组的解集是，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·陕西西安·期中）若关于的不等式的解集与不等式的解集相同，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·上海闵行·期中）如果，下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级下·福建福州·期中）在平面直角坐标系中，若一个点的纵坐标比这个点的横坐标的2倍少2，则称这个点为“幸运点”．给出下列结论中正确的是（    ） ①“幸运点”不可能在第二象限； ②若点是“幸运点”，且在坐标轴上，则点的坐标为； ③以关于，的方程组的解为坐标的点是“幸运点”； ④无论取何值时，以关于，的方程的解为坐标的点一定存在“幸运点”． A．①② B．①③ C．②③④ D．①③④ 7．（25-26九年级下·重庆·自主招生）对、定义一种新运算，规定：（其中、均为非零常数），等式右边是通常的四则运算，已知，，若关于的不等式组恰好有个奇数解，则实数的取值范围是_____． 8．（2026·重庆·模拟预测）对于任意一个四位数m，若它的千位数字与百位数字的和比十位数字与个位数字的和大2，则称这个四位数m为“大双数”，记为m的各个数位上的数字之和．例如：，，是“大双数”，；，，不是“大双数”．若与都是“大双数”，且，则“大双数”是________；已知M，N均为“大双数”，其中，，（，，，，，a，b，c，d，x是整数），已知能被6整除，且为整数，则满足条件的M的最大值与最小值之差为________． 9．（25-26七年级下·安徽安庆·期中）解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来． 10．（25-26八年级下·宁夏银川·期中）解不等式组，并把它的解集表示在数轴上． 11．（25-26八年级下·河南郑州·期中）解不等式组．请按下列步骤完成解答． (1)解不等式①，得_____； (2)解不等式②，得_____； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的奇数解有___个． 12．（25-26七年级下·上海黄浦·期中）已知关于x、y的方程组，若方程组的解满足，求的最大整数值． 13．（25-26七年级下·上海闵行·期中）已知关于的二元一次方程组，若方程组的解是正数，求的取值范围． 14．（2026·重庆·模拟预测）解不等式组，并求出它的所有整数解之和． 15．（25-26七年级下·北京延庆·期中）给出如下定义：如果一个未知数的值使得方程和不等式（组）同时成立，那么这个未知数的值称为该方程与不等式（组）的“伴随解”． 例如：已知方程和不等式，对于未知数，当时，使得，同时成立，则称是方程与不等式的“伴随解”． (1)是否是方程与不等式的“伴随解”？___________（填“是”或“否”） (2)是方程与不等式（组）①，②，③中___________的“伴随解”．（只填序号） (3)如果是关于的方程与关于的不等式组的“伴随解”，那么___________，的取值范围是___________． (4)如果是关于的方程与关于的不等式组的“伴随解”，直接写出的取值范围． 16．（25-26七年级下·湖南·期中）定义：给定两个不等式（组）和，若不等式（组）的任意一个解，都是不等式（组）的一个解，则称不等式（组）为不等式（组）的“子集”．例如：不等式是不等式的子集，不等式是不等式的子集，不等式组是不等式组的子集． (1)若不等式组：，，则其中不等式______是不等式的“子集”（填或）； (2)若不等式组的解集是的子集，求的取值范围； (3)若不等式组有解且它的解集是的子集，求的取值范围． 17．（25-26七年级下·上海嘉定·期中）若不等式的最小整数解是关于x的方程的解，求a的值． 18．（25-26七年级下·北京房山·期中）我们把称为二阶行列式．它的运算法则为：． 例如：． (1)已知，则的值为________； (2)已知，求的取值范围； (3)已知，且，均为非负数，求的取值范围． 19．（25-26七年级下·北京·期中）给出如下定义：数轴上点对应的实数为，点对应的实数为，如果，将线段记作：如果，将线段记作．若点A对应的实数为，点B对应的实数为（，则称线段为线段的“平移线段”．若线段与线段有公共点（含端点），则称线段为线段的“相关平移线段” (1)写出以下线段的“平移线段”，并判断是否为线段的“相关平移线段”． ①数轴上点对应的实数为1，点对应的实数为2，； 线段的“平移线段”是（_____），_____（填“是”或“不是”）线段的“相关平移线段”； ②数轴上点对应的实数为，点对应的实数为0，； 线段的“平移线段”是（_____），_____（填“是”或“不是”）线段的“相关平移线段”： (2)数轴上点对应的实数为，点对应的实数为，如果“平移线段”是线段的“相关平移线段”，请写出的取值范围_____． (3)线段是，无论取何值，线段的“平移线段”都是线段的“相关平移线段”，则满足的条件是_____． 1 / 32 学科网（北京）股份有限公司 $