暑假专项提升--实数 2025-2026学年初中数学人教版七年级册

**基本信息** 聚焦实数核心素养，分层设计典型题型，融合新定义与数形结合，适配暑假提升需求 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|无理数判断、估算、新运算|基础概念辨析，逻辑推理| |填空题|4|数轴应用、大小比较|数形结合，直观表达| |解答题|13|运算、规律探究、对称数|综合应用，创新拓展|

暑假专项提升--实数（典型题型归纳） 2025-2026学年 初中数学人教版（2024）七年级下学期 一、单选题 1．在下列实数中：，，，，，…（每两个1之间多一个0）其中无理数有（     ） A． B．个 C．个 D．个 2．估计的值（    ） A．在1到2之间 B．在2到3之间 C．在3到4之间 D．在4到5之间 3．设，，是互不相等的实数，且，下列式子正确的是(     ) A． B． C． D． 4．若，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 5．如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图，下面说法其中正确的是（    ） ①当输出值为时，输入值为3或9； ②当输入值为16时，输出值为； ③存在这样的正整数，输入之后，该生成器能够一直运行，但始终不能输出值； ④对于任意的正无理数，都存在正整数，使得输入后能够输出． A．①②③ B．②③ C．①③④ D．②④ 6．用“”表示一种新运算：对于任意正实数，都有，如，则的结果是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．用“”定义新运算，对于任意非负实数，都有，例如，那么（   ） A．27 B．72 C．78 D．84 8．自定义运算：，例如： ，若m，n在数轴上位置如图所示，且，则的值等于（    ） A．2025 B．2026 C．2029 D．2030 二、填空题 9．若为正整数，且满足，则_____． 10．若是的整数部分，是的小数部分，则的值______． 11．若为正整数，且满足，则数轴上表示的数的点为______．（填字母） 12．如图，半径为1的圆从表示的点开始沿着数轴向右滚动一周，圆上的点A与表示的点重合，滚动1周后到达点B，点B表示的数是________． 13．已知、、在数轴上位置如图所示，化简____________． 三、解答题 14．把下列各数填入相应的大括号内： ，，，0.5，，3.14159265，，1.3030030003…（两个3之间依次增加一个0）． 有理数：｛                                ｝； 无理数：｛                                ｝； 整数：｛                                  ｝； 负实数：｛                                ｝． 15．计算： 16．【阅读材料】，即，，的整数部分是，的小数部分是． 【解决问题】 (1)的整数部分是__________，小数部分是__________； (2)已知是的整数部分，是的小数部分，求代数式的值． (3)已知，其中是整数，且，求的值． 17．阅读下列材料： ∵．即，∴的整数部分为2，小数部分为，仿照上例回答下列问题； (1)介于连续的两个整数a和b之间，且，那么______，______； (2)x是的小数部分，y是的整数部分，求______，______； (3)在（2）的条件下求的平方根． 18．已知的平方根是，的立方根是，是的算术平方根． (1)求的平方根； (2)若的整数部分是，小数部分是，求的值． 19．实数的化简与计算．已知实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示． (1)化简：的平方根． (2)若的算术平方根为3，的立方根为和是互为相反数，求的平方根． 20．如图，把直径为1个单位长度的圆从点沿数轴向右滚动一周，圆上点到达点，点表示的数是2，则滚动前点表示的数是． (1)实数的值是 ； (2)求的值 (3)在数轴上还有、两点分别表示实数和，且与互为相反数，求的算术平方根； 21．对于代数式，我们可以引入一种新的符号表示方式：，这种符号形式称为行列式．规定．例如．按照这种规定，请解答下列问题： (1)计算：______； (2)观察这两个行列式：与，你发现它们之间的数量关系是______． (3)若，求的值． 22．观察下列等式： ， ， ， …… 根据以上规律，请完成下面问题： (1)求的值； (2)比较与2026的大小，并说明理由． 23．我们规定，若任意实数满足，则称与是关于的对称数．例如：，则5与3是关于4的对称数． 请根据上述材料，解答下列问题： (1)若数与是关于的对称数，求数的值； (2)若，判断与是否是关于7的对称数，并说明理由． 24．如图，将面积分别为和的两个正方形放在数轴上，使正方形的一个顶点和原点重合，一条边恰好落在数轴上，则另一个顶点分别落在数轴上的点和点处． (1)点表示的数为______；点表示的数为______． (2)一只蚂蚁以个单位长度/秒的速度从点沿数轴向右爬了秒到达点，设点表示的数为． ①则实数的值为______（用含的代数式表示）； ②当时，求的值． (3)在数轴上，还有，两点分别表示，，且与互为相反数，求的平方根． 25．阅读与思考 【阅读理解】 材料一：对于实数m，n，定义新运算：当时，；当时，．例如：，． 材料二：计算：． 设，则． 由得 ． 所以 【问题解决】 (1)计算：； (2)已知，求； (3)对于正数t，有，求的值． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A C D B C C C 1．B 先化简可开方的数，再根据无理数是无限不循环小数逐个判断即可． 解：先化简给出的数：，， 由整数，分数，有限小数都属于有理数，即，，，都是有理数； 无理数为无限不循环小数，是无限不循环小数，（每两个1之间多一个0）是无限不循环小数，均为无理数． 综上，无理数共有个． 2．A 本题利用夹逼法估算无理数的大小，先确定的取值范围，再计算的范围即可得到答案． 解：， ， 即 ， ， 即 ， 因此 的值在1到2之间． 3．C 本题中A，B无法确定，，的大小关系，只需利用等式的基本性质对已知等式变形，即可验证C，D选项得到结论． 解：∵， 等式两边同乘得， 验证选项C：右边，将代入得左边，因此C正确； 验证选项D：右边，因此D错误； 对于A，B：仅根据无法确定a，b，c的大小， 例如，当时，，满足，当时，，满足，因此A，B都不一定正确． 故选：C． 4．D 利用乘方法比较正数大小，带根号的正数同时乘相同次数的方去掉根号后，结果越大则原数越大，据此依次比较得到三者的大小关系． 解：∵，，均为正数，正数乘方后大小关系与原数一致， 先比较与，将两数同时平方得： ， ， ∵ ， ∴ ， 再比较与，将两数同时立方得： ， ， ∵ ， ∴ ， 综上可得 ． 5．B 根据程序运算图逐项判断即可求解． 解：①∵输出值为时， ∴输入值为或或等，故①错误； ②当时，∵是有理数， ∴重新输入， ∵是有理数， ∴重新输入， ∵是无理数， ∴输出值为，故②正确； ③当时，的算术平方根为，该生成器能够一直运行，但始终不能输出值，故③正确； ④当为正无理数时，不存在正整数，使得，故④错误； 综上，说法正确的是②③． 6．C 解：根据题中的新定义得： ． 7．C 解：∵， ∴． 8．C 首先证明，进而结合，可得，据此求解的值即可． 解：由数轴可知，，， 即，， ， ， ∴ ∴． 9．8 估算出的取值范围，确定其介于两个连续正整数之间，即可求解． 解：， ，即， 又，且为正整数， ． 10．20 夹逼法求出的值，再进行计算即可. 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴. 11． 通过平方法估算的范围即可求解． 解：，， ∵， ∴，即， ∵为正整数，且满足， ∴， ∴数轴上表示的数的点为． 12．/ 解：∵圆的周长为， ∴点B表示的数为． 13．/ 先根据数轴得到，，那么，，再化简即可． 解：由数轴可得，，， ∴， ∴ ． 14．有理数：； 无理数：； 整数： 负实数：． 根据有理数包括整数和分数，有理数和无理数统称为实数，整数包括正整数，负整数和0，负实数包括负有理数和负无理数解答． 解：有理数：； 无理数：； 整数： 负实数：． 15． 解：原式 ． 16．(1) (2) (3) （1）利用夹逼法估算无理数的大小即可； （2）夹逼法求出，再进行计算即可； （3）夹逼法求出，再进行计算即可. （1）解：∵， ∴， ∴的整数部分是6，小数部分是； （2）解：∵， ∴， ∴的整数部分，小数部分， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， 即， ∵，其中是整数，， ∴，， ∴. 17．(1)4，5； (2)，3； (3) （1）根据的范围确定出、的值； （2）求出，的范围，即可求出、的值； （3）将代入中求解平方根即可． （1）解：∵， ， ， ∵介于连续的两个整数a和b之间，， ，； （2）解：， ，， 的小数部分为：，的整数部分为3， ∴，； （3）解：，， ，64的平方根为 的平方根为． 18．(1) (2) （1）先根据平方根和立方根的定义求出a，b的值，代入求出的值，再计算它的平方根． （2）先求出，再估算无理数得到整数部分和小数部分，最后代入计算即可． （1）解：的平方根是 解得 的立方根是 解得 ∴ 的平方根是； （2）解：是的算术平方根， ， ， 的整数部分，小数部分， ． 19．(1) (2) （1）根据题意可知，，再化简得到平方根即可； （2）根据算术平方根、立方根、相反数的概念得到，再代入求平方根即可． （1）解：由实数a，b，c在数轴上对应的点的位置， 可知，， ， 则的平方根为； （2）解：，则， ，则，即，解得， ，解得， ， 则的平方根为． 20．(1) (2) (3) （1）解：由已知圆周长为，则， 则实数的值是； （2）∵ ∴原式 原式； （3）解：与互为相反数， ， ，， ，， 解得，， ； 21．(1) (2) (3) （1）根据行列式的计算方法直接列式计算； （2）根据行列式的计算方法展开两个行列式，再写出数量关系； （3）根据行列式的计算方法展开，整理成一元一次方程，解方程即可求解． （1）解：； （2）解：， ， ； （3）解：∵， ∴， 整理得， 解得． 22．(1) (2) ；见解析 （1）根据规律计算的值即可； （2）根据题意，找到前2025个等式求和，再与2026比较即可． （1）解：； （2）解：，，， ， ， ， ∵， ． 23．(1) (2)是关于7的对称数 （1）根据“对称数”的定义代入计算即可． （2）根据实数的运算得出x，y的值，然后再根据“对称数”的定义代入计算并判断即可． （1）解：∵数与是关于的对称数， ∴， ． ∴． （2）解：是关于7的对称数，理由如下： ， ∵；， ∴， ∴与是关于7的对称数． 24．(1)， (2)①；② (3) 本题主要考查了正方形的性质、数轴上点的表示、绝对值的化简、非负数的性质及平方根的计算，熟练掌握非负数的性质（几个非负数的和为0，则每个非负数均为0）是解题的关键． （1）根据正方形面积求边长，结合数轴上点的位置确定点、表示的数； （2）①根据蚂蚁爬行的速度、时间得到移动距离，结合点表示的数表示出点的数； ②代入的值得到，再计算绝对值表达式的值； （3）利用非负数的性质（算术平方根与绝对值的非负性）列方程，求解、后计算的平方根． （1）解：∵面积为的正方形边长为，点在原点左侧， ∴点表示的数为； ∵面积为的正方形边长为，点在原点右侧， ∴点表示的数为． （2）解：①∵点表示，蚂蚁向右爬了个单位， ∴． ②当时，； ∵，， ∴． （3）解：∵与互为相反数， ∴， ∴，① 且．② 解①得，则， ∴； 解②得，则， ∴． ∴， ∴的平方根为． 25．(1) (2) (3) （1）根据新定义规则判断两个数的大小关系，再代入对应法则计算； （2）利用推出，再代入对应法则化简计算； （3）先根据已知条件求出正数，再根据的大小分情况，结合材料二的求和法则计算即可. （1）解：根据新定义，， ， ， ， ． （2）解： ，即，． ． （3）解：t是正数， ， ． ，即， ． 学科网（北京）股份有限公司 $