1.2.1 《有理数的概念》教学设计 2026-2027学年人教版七年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦有理数的概念，通过梳理整数与分数的统一（可表示为p/q，p、q为整数且q≠0）及分类，以生活实例（温度、收支、高度）引导学生分类，衔接小学数与负数知识，搭建从具体到抽象的学习支架。 特色在于以新课标核心素养为导向，通过整数化分数的归纳培养抽象能力（数学眼光），师生互动讨论小数分类发展推理意识（数学思维），生活实例与例题结合强化模型意识（数学语言）。例1对整数、分数、循环小数等的分类判断，帮助学生深化理解，教师使用时结构清晰重点突出，助力学生构建数系框架，提升分类与抽象能力。

1.2.1 《有理数的概念》教学设计 一、教材分析 本节课系统梳理了小学及前期所学数的类型，从正整数、 、负整数引出整数概念，再结合正分数、负分数，指出整数可统一表示为分数形式，进而定义能写成 （其中 、 为整数， ）的数为有理数，并区分正、负有理数。教学过程以回顾旧知为起点，通过分类归纳与形式统一，自然引出有理数概念。本节上承小学数的认识与负数引入，下启有理数的运算及数轴表示，是构建数系扩展逻辑的关键环节；有助于学生形成结构化数感，提升抽象概括与分类思想能力，为后续学习实数、代数式及函数奠定坚实基础。 二、学情分析 学生在小学阶段已认识自然数、零、正分数及简单小数，上一节学习了负整数与负分数，初步建立了负数概念，具备整数与分数的运算基础；进入初中后，学生抽象思维逐步发展，能理解概念的归纳与分类，但对“数系扩充”的逻辑脉络和“有理数”这一统摄性概念仍缺乏系统认知，易混淆整数与分数的归属关系；本节课要求学生在已有数的认识基础上，通过观察、比较与归纳，理解整数与分数均可统一表示为 （ 、 为整数， ）的形式，从而建构有理数的概念体系，发展数感与分类思想，为后续学习数轴、相反数、绝对值及有理数运算奠定概念基础，落实《义务教育数学课程标准（2022年版）》中“数与代数”领域关于数系扩充与理性思维培养的核心要求。 三、教学目标 1.理解有理数的定义，能识别整数与分数均可写成 （ 、 为整数， ）的形式，提升数学抽象与符号意识，发展数感与分类能力。 2.掌握有理数的分类方法（正有理数、负有理数、 ），能对具体数进行准确归类，培养逻辑推理与结构化思维，增强数学表达的准确性。 3.体会数系扩充的必要性与合理性，从整数、分数到有理数的认知发展过程，提升数学建模意识与运算一致性理解，发展理性精神与学习自信心。 四、重点难点 重点：理解有理数的定义，掌握整数、分数及有理数的分类。 难点：理解整数可写成分数形式，明确有理数的本质特征。 五、课堂导入 同学们，我们先来解决几个生活中的小问题： 1. 气温表显示今天最高气温 ，最低气温 ； 2. 小明家这个月收入 元，支出 元； 3. 测量课桌高度，比标准高 米，比标准低 米。 请大家把这些数分类，你会怎么分？为什么这样分？其实这些数里，有的我们小学就认识，有的是刚接触的新数。今天我们就来给这些数做一个系统的“身份认证”，学习一类新的数的集合——有理数。 六、有理数的概念 探究新知 （一）知识精讲 同学们，在小学和上一节课中，我们已经接触了很多数。现在，让我们一起来回顾和整理一下这些老朋友。 首先，我们来看这一组数：1、2、3…，它们是我们最早认识的正整数。接着是0，它表示“没有”。然后，在引入负数后，我们还认识了-1、-2、-3…这些负整数。正整数、0、负整数，这三类数共同组成了整数。 接下来，我们再看另一类数。比如 、 、 ，以及像0.1、5.32、 这样的数，它们是正分数。还有 、 、 、-0.5、-150.5，它们是负分数。这些正分数和负分数统称为分数。 现在，让我们思考一个关键的问题：整数和分数之间有联系吗？ 仔细观察，我们可以发现，任何一个整数其实都可以写成分数的形式。例如： · 正整数2可以写成 ； · 负整数-3可以写成 ； · 0也可以写成 。 通过这种方式，我们惊喜地发现，所有我们认识的整数，其实都可以表示为分数（分母为1的分数）。这样一来，整数和分数之间就不再是完全割裂的两类数了，它们都可以统一成分数的形式。 因此，在数学上，我们把所有可以写成分数形式的数，统称为有理数。 简单来说，有理数包括整数和分数。其中，可以写成正分数形式的数称为正有理数，可以写成负分数形式的数称为负有理数。 通过引入负数，我们从小学阶段认识的正数，扩展到了现在的有理数范围。这是一个非常重要的跨越，让我们能够描述和表示生活中更广泛的现象。 （二）师生互动 教师提问： 同学们，我们刚才说，任何一个整数都可以写成分数的形式。比如2 = ，-5 = 。那么，反过来想，是不是所有像0.3、-1.7这样的小数也都可以写成分数的形式呢？如果都能写成，那它们是不是也属于有理数呢？ 学生回答： 我认为可以。因为0.3可以写成 ，-1.7可以写成 ，它们都是分数。所以它们也是有理数。反之，如果一个数不能写成分数的形式，它就不属于有理数。 教师追问： 回答得非常棒！你用一个很好的例子说明了有限小数可以转化为分数。那我们再想一想，像 （0.3333...）这样无限循环的小数，它能写成分数 吗？如果它能，那么无限循环小数也是有理数。那么，有没有什么样的数是无法写成分数形式的呢？比如圆周率 （3.1415926...），它是无限不循环小数，它能写成两个整数相除的形式吗？ 学生思考后回答： 老师，我知道像 就可以写成 ，所以无限循环小数也是有理数。但是 是无限不循环小数，它好像无法精确地写成分数的形式，所以 不是有理数。 （三）设计意图 通过引导学生回顾旧知并进行分类整理，帮助学生系统梳理数的概念，建立知识间的联系。在阐述整数可以化为分数的过程中，培养学生观察、类比和归纳的能力，感悟数学概念的统一性。通过师生互动中关于小数分类的追问，促使学生深入思考有理数的本质特征，培养严谨的思辨能力，并初步接触无限与循环的数学思想。整个过程始终围绕“数”的扩充展开，引导学生体会从具体到抽象、从有限到无限的认知过程，感受数学概念的逻辑之美与严谨之美。 新知应用 例1题目： 指出下列各数中的正有理数、负有理数，并分别指出其中的正整数、负整数： 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 解答： 我们先回顾有理数的定义： 可以写成分数形式 （其中 、 是整数，且 ）的数，叫做有理数。 注意： · 整数（如 、 、 ）都可以写成分数形式，例如 ， ， ，所以整数是有理数； · 有限小数（如 、 ）和无限循环小数（如 ）都可以化为分数，因此也属于有理数； · 百分数（如 、 ）本质是“每一百份中的份数”，即 ， ，所以百分数也是有理数（只要百分数的数值本身是有理数，而初中阶段所有百分数都对应有限小数或整数，故均为有理数）。 接下来逐个判断每个数： 数 类型判断 理由 正有理数、正整数 是正整数，可写为 ，是有理数 正有理数 有限小数， ，是有理数，且大于0 负有理数 分数形式，分子分母均为整数，分母不为0，且值为负 正有理数 ，是有理数 负有理数、负整数 整数，可写为 ，是有理数，且小于0 负有理数 ，是有理数 正有理数 分数，分子分母为整数，分母≠0，值为正 负有理数 有限小数， ，是有理数 正有理数、正整数 正整数，可写为 负有理数、负整数 负整数，可写为 正有理数 无限循环小数，可化为分数：设 ，则 ，相减得 ，所以 ，是有理数 ✅ 正有理数：所有大于0的有理数 → 、 、 、 、 、 ✅ 其中正整数：从正有理数中筛选出是整数的 → 、 （注意： 、 、 、 都不是整数） ✅ 负有理数：所有小于0的有理数 → 、 、 、 、 ✅ 其中负整数：从负有理数中筛选出是整数的 → 、 （注意： 、 、 都不是整数） ⚠️ 特别提醒： · 是有理数（ ），但本题未出现，故无需归类； · 所有给出的数均不含无理数（如 、 、 等），全部属于有理数范畴； · 百分数、小数、循环小数、整数、分数，只要能化为 （ ），就是有理数。 总结： 1.题目考查内容 ① 有理数的概念与识别：理解“能写成分数形式的数即为有理数”这一核心定义； ② 有理数的分类：能区分正/负有理数，并进一步识别其中的正/负整数； ③ 数的等价转化能力：掌握小数、百分数、循环小数向分数的转化（不要求写出具体分数，但需确认其可转化性）。 2.题目求解要点 ① 第一步：确认每个数是否为有理数——依据定义，检查是否可表示为 （ 为整数， ）； ② 第二步：判断符号——大于0为正有理数，小于0为负有理数（ 既非正也非负，本题未涉及）； ③ 第三步：在正/负有理数中筛选整数——整数是分母为1的分数，即小数点后无数字、无循环节、无百分号的纯整数值； ④ 关键辨析点： 　　• 和 是正/负有理数，不是整数； 　　• 是正有理数（无限循环小数必为有理数），不是整数； 　　• 所有有限小数、无限循环小数、整数、分数、百分数（初中范围内）都是有理数，无需怀疑。 新知巩固 题目：判断下列各数中哪些是有理数，并说明理由： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 。 解答： 我们依据有理数的定义进行逐个判断： 有理数是指可以表示为 形式的数，其中 、 都是整数，且 。 换句话说，一个数是有理数，当且仅当它能写成两个整数相除（分母不为零）的形式。 逐个分析： 1. ：可写为 ， 和 都是整数， ，所以 是有理数。 2. ：可写为 或 ，分子分母均为整数且分母非零，是有理数。 3. ：可写为 （或 等），分子为整数 ，分母为非零整数，是有理数。 4. ：分子 、分母 均为整数，且 ，是有理数。 5. ：即 ，分子分母均为整数，分母非零，是有理数。 6. ：是有限小数，可化为分数： ，分子分母为整数，分母非零，是有理数。 7. ：有限小数， ，是有理数。 8. ：表示无限循环小数 ，所有无限循环小数都可化为分数。 　　设 ，则 ，两式相减得 ，所以 ，是有理数。 9. ： ，而 ，是有理数。 10. ： 是无限不循环小数，不能表示为两个整数之比，因此不是有理数（它是无理数）。 11. ：即 ，是无限循环小数，可化为分数： 　　设 ，则 ，相减得 ，故 ，所以 ，是有理数。 12. ：分子为 ，分母为 ，结果为 ，而 是有理数（如前已证），所以 是有理数。 综上，有理数有： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 不是有理数的只有： 。 总结： 1.题目考查内容 本题考查有理数的概念理解与识别能力，具体包括： · 对有理数定义的准确把握（能表示为 ，其中 ）； · 整数、有限小数、无限循环小数均属于有理数； · 无限不循环小数（如 、 等）不属于有理数； · 特殊形式如 （ ）仍是有理数； · 含根号的数需先化简再判断（如 是有理数，而 不是）。 2.题目求解要点 · 第一步：明确判定标准——是否可写成整数之比（分母非零）； · 第二步：分类处理： 　　✓ 整数 → 直接写成分母为 的分数； 　　✓ 分数（含负分数）→ 检查分子分母是否均为整数且分母非零； 　　✓ 小数 → 区分有限小数（必可化分数）、无限循环小数（必可化分数）、无限不循环小数（不可化分数）； 　　✓ 含根号或字母的数 → 先化简或估算，再判断； · 第三步：排除法辅助验证——若无法写出分数形式，且确认为无限不循环小数，则不是有理数。 3.同类型题目解题步骤 1. 读题审数：列出所有待判别数，注意符号、小数点、根号、循环节等细节； 2. 逐个转化：尝试将每个数表示为 （ ）的形式； 　　- 整数：直接写为 ； 　　- 小数： 　　　　• 有限小数：根据小数位数写成分母为 、 、 …的分数，再约分； 　　　　• 无限循环小数：设元列方程消去循环节，解出分数形式； 　　- 根式/表达式：先计算或化简（如 ， ），再判断； 3. 验证分母非零、分子分母均为整数； 4. 归纳结论：明确标出有理数与非有理数，并简要说明理由； 5. 反思易错点：如误认为“带根号就是无理数”（反例： ），或忽略 的分数表示（ 恒为 ，是有理数）。 七、教学反思 本节课围绕有理数概念展开，通过回顾小学所学数的类型，引导学生从整数、分数出发，理解整数可化为分数形式，进而归纳出有理数定义：能写成 （ 、 为整数， ）的数。教学设计注重知识的生成性与逻辑递进，契合《义务教育数学课程标准（2022年版）》中“数与代数”领域对数系扩展的要求。整体完成度较高，学生基本能辨析有理数的内涵与外延，成功建立起整数与分数的统一认知框架；但对无限循环小数如 为何属于有理数的说理训练不足，部分学生仍存在“分数即有限小数”的迷思，后续需强化 等典型例证及代数推导，提升抽象概括与理性表达能力。 学科网（北京）股份有限公司 $