1.4 正方的性质与判定（分层作业练题型）数学新教材北师大版九年级上册

**基本信息** 分层清晰，从基础巩固到思维拔高再到中考衔接，覆盖正方形性质与判定全知识点，梯度合理适配新授课教学，培养抽象能力、推理意识与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组巩固过关|正方形性质（角度、线段、面积）、判定条件、中点四边形|基础题型为主，如利用性质求角度，强化几何直观与空间观念| |B组能力进阶|特殊平行四边形关系、折叠问题、坐标系应用|综合题设计，如折叠求线段长，培养推理能力与运算能力| |C组思维拔高|十字模型、对角互补模型、规律探究|模型化题型，如一线三垂直模型应用，发展创新意识| |拓展链接中考|中考真题改编|对接中考考点，如勾股定理证明，体现应用意识|

分层作业 1.4 正方形的性质与判定 目 录 A组 巩固过关 题型01 利用正方形的性质求角度 题型02 利用正方形的性质求线段长 题型03 与正方形面积有关的计算 题型04 添加条件使四边形是正方形 题型05 证明四边形是正方形 题型06 中点四边形 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 ( 题型0 1 )利用正方形性质求角度 1．（25-26八下·浙江绍兴期末）如图，某兴趣小组需要在正方形上剪下机翼角（阴影部分），点在对角线上，若裁剪过程中满足，则“机翼角”的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．（2026·辽宁铁岭模拟）如图，点为正方形内部的一点，为等边三角形，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵四边形是正方形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴. 3．（25-26八下·江苏盐城期末）如图，点在正方形的边上，连接交对角线于点，连接．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在正方形中，，，， ， ， ， ． 4．（24-25八下·江苏淮安期末）如图，点为正方形内一点，，，连接，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵，， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴. ( 题型0 2 )利用正方形性质求线段长 5．（25-26八下·重庆沙坪坝期末）如图，在正方形中，连接，若，则的长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】四边形是正方形， ，， 在中，由勾股定理得：． 6．（2026·贵州六盘水二模）如图，在正方形中，对角线，相交于点，，则边的长是（     ） A．3 B． C． D．6 【答案】D 【解析】∵四边形为正方形， ∴，， 根据勾股定理得：， 即， 解得：，负值舍去． 7．（25-26八下·江苏镇江期末）面积分别为8和2的两个正方形按如图所示的方式放置，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，由题意得，， ∴， ∴点共线， ∴， ∴． ( 题型0 3 )与正方形面积有关的计算 8．（25-26八下·上海普陀期中）如果正方形的一条对角线长为，那么它的面积是______． 【答案】3 【解析】∵ 正方形的对角线相等，已知一条对角线长为， ∴ 另一条对角线长也为， 正方形面积 ． 9．（25-26八下·重庆永川期末）如图，中，，D为的中点，以为边作正方形，若正方形的面积为4，则的长为（     ） A． B． C．4 D．2 【答案】C 【解析】∵四边形是正方形，且面积为4， ∴， ∴， 中，，D为的中点， ∴是斜边上的中线， ∴． 10．（25-26八下·浙江宁波期末）如图，四边形与四边形均为正方形，点在上，过点作，分别交，于，，则知道以下哪条线段的长度就可以求出阴影部分的面积（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图，连接， 由题意可知，四边形为矩形，， ∵， ∴， ． 故只要知道线段的长就可以求出阴影部分的面积. ( 题型0 4 )添加条件使四边形是正方形 11．（25-26八下·广东江门期中）已知四边形中，，如果添加一个条件即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵四边形中，， ∴四边形是矩形， 若添加条件，则四边形是正方形， 若添加条件或或，无法推出四边形是正方形， ∴只有B选项符合题意． 12．（25-26八下·浙江杭州期末）如图，四边形的对角线，相交于点O，，，，则添加下列一个条件能判定四边形是正方形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形． 选项A、，这是菱形的性质，不能判定是正方形，故本选项不符合题意； 选项B、∵，∴，又四边形是菱形， ∴四边形是正方形，故本选项符合题意； 选项C、，这是菱形的性质，不能判定是正方形，故本选项不符合题意； 选项D、，这是平行四边形的性质，不能判定是正方形，故本选项不符合题意． 13．（2026·广西玉林模拟）如图，在中，对角线与相交于点．小欣同学欲添加两个条件使四边形是正方形，现有三个条件可供选择：①；②；③．则正确的组合是___________（只需填一种组合即可）． 【答案】①②或②③（填写一组即可） 【解析】当选择①，②时， ∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形， ∵， ∴菱形是正方形； 当选择②，③时， ∵四边形是平行四边形，当， ∴四边形是菱形， ∵， ∴菱形是正方形； 当选择①，③时， 由于四边形是平行四边形，若或， 均只能得到四边形是菱形，不能证明其为正方形，故不符合题意； ∴选择①②或②③均可以． ( 题型0 5 )证明四边形是正方形 14．（25-26八下·甘肃平凉期末）如图，在中，于点，于点，，求证：四边形是正方形． 【解析】证明：∵四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． ∵， ∴四边形是正方形． 15．（25-26八下·陕西榆林期末）如图，在中，，的平分线交于点D，，．试判断四边形的形状，并说明理由． 【解析】四边形是正方形，理由如下： ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∵， ∴四边形是正方形． ( 题型0 6 )中点四边形 16．（25-26八下·上海浦东新期中）以下四边形中，顺次连接四条边的中点能得到一个正方形的是（     ） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 【答案】D 【解析】平行四边形对角线仅互相平分，不满足垂直且相等； 菱形对角线互相垂直但长度不相等； 矩形对角线长度相等但不互相垂直； 只有正方形对角线既互相垂直又长度相等，符合要求． 17．（25-26八下·广西玉林期中）学校矩形操场的四条边中点各立一个篮球架，现在用绳子把四个篮球架连起来，平面示意图如图所示．则绳子围成的四边形的形状一定是（    ） A．菱形 B．正方形 C．矩形 D．对角线相等的四边形 【答案】A 【解析】连接， 因为矩形操场的四条边中点各立一个篮球架， ，， 故， 故四边形是菱形. 18．（25-26八下·陕西省安康期末）如图，E，F，G，H分别为四边形的边，，，的中点，下列说法不正确的是（     ） A．四边形一定是平行四边形 B．若，则四边形是菱形 C．若，则四边形是矩形 D．若四边形是矩形，则四边形是正方形 【答案】D 【解析】点，，，分别为四边形的边，，，的中点， 、、分别为、、的中位线， ，，，，，， ，， 四边形为平行四边形， 当时，，则平行四边形为菱形， 当时，，则平行四边形是矩形， 若四边形是矩形，则四边形是菱形，不一定是正方形， 故选：D. 1．小杭在复习几种特殊平行四边形关系时整理了如下的思维导图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（     ） A．（1）两边相互垂直 B．（2）有两条边相等 C．（3）对角线平分内角 D．（4）有三个角相等 【答案】B 【解析】A、两边相互垂直可得一个内角为直角，有一个角是直角的平行四边形是矩形， （1）处填两边相互垂直的平行四边形是矩形是正确的，故该选项不符合题意； B、一组邻边相等的矩形是正方形， （2）处填有两条边相等的矩形是正方形是错误的，故该选项符合题意； C、如图， ∵平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形． （3）处填对角线平分内角的平行四边形是菱形是正确的，故该选项不符合题意； D、有一个角是直角的菱形是正方形， ∴（4）处填三个角相等的菱形是正方形是正确的，故该选项不符合题意． 2．（25-26八下·江苏常州期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点的坐标为，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】连接交于点，如图， 四边形是正方形， ，与互相平分且相等， 点的坐标为， ，且在轴上， ，， ， 点的坐标为． 3．（25-26八下·安徽滁州期末）如图1，将四根长度相等的木条钉成一个四边形的木框架，测得，．拉动这个木框架，使它成为正方形，如图2，则此时的长为（     ） A．6 B． C． D．3 【答案】A 【解析】如图1，由题意，可知， 四边形是菱形， ， 是等边三角形， ， 如图2，四边形是正方形， ，， ． 4．（25-26八下·重庆涪陵期末）如图，四边形是边长为4的正方形，E是边的中点，，且，连接，则的长度为（     ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【解析】在上取中点，连接， ，， ， ∵E是边的中点， ∴， ∵， ， ∴， ∵， ∴， ∴． 5．（25-26八下·浙江宁波期末）如图，面积为8的正方形的对角线相交于点O，过点O的直线分别交边、于E、F两点，则阴影部分的面积是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】四边形是正方形， ，， 在和中，， ， ， 阴影部分的面积． 6．（25-26九下·湖南邵阳检测）如图，点，，，分别是四边形边，，，的中点，如果，，则四边形的面积为（     ） A．20 B．24 C．32 D．48 【答案】B 【解析】，，，分别是四边形边，，，的中点， 是的中位线，是的中位线，是的中位线，是的中位线， ∵， ， ∴四边形为菱形， 连接，交于点O，如图所示： ∴， ∵， ∴， ∴， 四边形的面积为：． 7．（25-26八下·广西贺州期末）如图，边长为4的正方形中，将线段沿着折叠，使得点B落在对角线上的点F处，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图，连接， 四边形为正方形， ，平分，， ，． 将线段沿着折叠，使得点B落在对角线上的点F处， ，，， ，， ， ， ， ． 8．（25-26八下·重庆期末）如图，在正方形中，点为边的中点，点为正方形内部一点，连接、、、，，．当时，可表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵点为边的中点， ∴， ∵，， ∴，， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 9．（25-26八下·广东广州期中）如图，在正方形中，点P，Q分别为边上的点，且，连接．则为________度． 【答案】 【解析】在正方形中，，， ∴在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 10．（2026·贵州铜仁一模）如图，在矩形中，点E、F分别在边、上，连接、、，若、分别平分和．已知，则的值为______． 【答案】50 【解析】过点A作交于点G，如图所示． 根据角平分线的性质可知，，，． ∵四边形是矩形， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴四边形是正方形，， 设，，则，，， 在中，根据勾股定理，得， 即， 整理，得， ∵， ∴． 11．（25-26八下·安徽合肥期末）如图，已知正方形的边长为，点、分别在边和上，将该正方形沿着翻折，点落在处，点恰好落在边上的点处，如果四边形的面积为，那么的长是 . A． B． C． D． 【答案】3 【解析】如图所示，连接交于点，过点作， 四边形是正方形， ，，， ，， ， 四边形是矩形， ，， 由折叠可知， ， ， ， ， ， ， 在和中，， ， ， 设，则，， 四边形的面积为， ， 即， 整理可得：， ， ， 由折叠可知， 在中，， ， 整理得：， 解得：， 的长度为． 12．（25-26八下·山西阳泉期末）综合与探究 问题情景：数学课上，老师画出一个四边形（如图1所示），并依次标记了各边，，，的中点E，F，G，H．要求同学们对以下问题进行探究． (1)探究一：四边形是平行四边形吗？说明你的理由． (2)探究二：如图2，点P是四边形内一点，且满足，，，点E，F，G，H分别为边，，，的中点，猜想四边形的形状，并证明你的猜想； (3)探究三：若改变（2）中的条件，使，其他条件不变，请说出此时四边形的形状，并写出证明过程． 【解析】(1)四边形是平行四边形． 理由：如图1中，连接． ∵点E，H分别为边，的中点， ∴，． ∵点F，G分别为边，的中点， ∴，． ∴，． ∴四边形是平行四边形． (2)四边形是菱形． 证明：如图2中，连接，， ∵， ∴，即． 又∵，， ∴， ∴． ∵点E，F，G分别为边，，的中点， ∴，． ∴， 由（1）可知，四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形． (3)四边形是正方形． 证明：如图2中，设与交于点O，与交于点M，与交于点N． ∵， ∴， ∵． ∴， ∵，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴四边形是正方形． 13．（2026·山西运城三模）综合与探究 问题情境：如图1，点E是正方形内部一点，且，将绕点C逆时针旋转，得到，延长与的延长线交于点F． 猜想证明： （1）判断四边形的形状，并说明理由； （2）探究学习小组经过深入探究发现，若在点E运动的过程中，直线与交于点O，点O始终是线段的中点，请你借助图2帮助该学习小组证明他们的发现是正确的； 拓展延伸： （3）如图3，若该正方形的边长为4，连接，在点E运动的过程中，当是等腰三角形时，直接写出的长． 【解析】(1)四边形是正方形． 理由如下：将绕点C逆时针旋转得到． ∴，，， ∴， ∴四边形是矩形． 又． ∴四边形是正方形． (2)证明：如解图，过点B作，交于点M．  ∴，，， 由（1）得四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 由旋转性质，， ∴， 又∵， ∴（）． ∴． 即点O是的中点； （3）解：∵正方形边长为4， ∴， 情况1：如解图，当时，连接． ∵， ∴， ∵， ∴点F与点B重合，与重合． ∴点E在上，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； 情况2，当时， 由（1）得四边形是正方形， ∴， ∴ ∴ 由旋转得，， ∴， 在中． ∴． 解得（负值已舍去)． 情况3-当时， ∵， ∴此种情况不存在． 综上所述，当是等腰三角形时，的长为或． 1．【十字模型】（25-26八下·浙江衢州期末）如图，在正方形中，平分交于点，点是边上一点，连接，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵四边形是正方形， ∴，，， ∵平分交于点， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴． 2．【对角互补模型】（25-26七下·河南驻马店检测）如图，正方形的顶点与正方形的对角线交点重合，正方形和正方形的边长都是，则图中重叠部分的面积是（     ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【解析】设交于点，交于点， 四边形是正方形，边长， ，，，， 四边形是正方形， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 图中重叠部分的面积是1 . 3．【规律探究】（25-26八下·广东珠海期中）如图，顺次连接矩形四边的中点得到四边形，再顺次连接四边形四边的中点得四边形，…，按此规律得到四边形．若矩形的面积为26，那么四边形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】四边形是矩形， 、， 顺次连接矩形四边的中点得到四边形， ， 四边形是菱形， ， 由此得到，顺次连接任意四边形四边中点得到的新四边形，面积是原四边形的， ， ， 当时，． 4．【一线三垂直模型】（25-26八下·北京西城期末）如图，在正方形中，点E在边上，，垂足为F，交于点G．若，的面积为4，则正方形的边长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∵的面积为4，， ∴， 整理得：， ∴在中，， 即正方形的边长为． 1．（2026·四川自贡中考）我国清代数学家李善兰不仅创译了“代数”“函数”等科学名词，还利用出入相补的原理证明了勾股定理．如图所示，图中两个阴影正方形的面积分别记作，，正方形的面积记作，则，与的关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，取点，， 根据题意可知，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 在中，， ∵，，， ∴． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 1.4正方形的性质与判定 参考答案 A组 巩固过关 斯型n1 利用正方形性质求角度 1.C 2.C 3.D 4.C 题型02 利用正方形性质求线段长 5.C 6.D 7.B 题型03 与正方形面积有关的计算 8.3 9.C 10.A 题型04 添加条件使四边形是正方形 11.B 12.B 13.①②或②③（填写一组即可） 题型05 证明四边形是正方形 14.【解析】证明：，四边形ABCD是平行四边形， ..AD BC 1/6 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AE⊥BC,CF⊥AD, .AE⊥AD,CF⊥BC, ∴.∠DAE=∠AEC=∠BCF=∠AFC=90°， ∴四边形AECF是矩形. ..AE=CE, ∴四边形AECF是正方形. 15.【解析】四边形AFDE是正方形，理由如下： .DE‖AB,DF‖AC ∴.四边形AFDE是平行四边形， ,AD平分∠BAC, .∠FAD=∠EAD, .DE AB, ∴.∠EDA=∠FAD. .∠EDA=∠EAD, ..AE=DE. ∴，平行四边形AFDE是菱形， .∠BAC=90°， ∴.四边形AFDE是正方形. 颗型0k 中点四边形 16.D17.A 18.D B组 能力进阶 1.B2.D3.A4.D5.B 6.B7.A8.C9.9010.5011.3 12.【解析】(1)四边形EFGH是平行四边形. 理由：如图1中，连接BD, 2/6 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D H G 图1 :点B,H分别为边AB,DA的中点， .EH BD.EH-BD. ,点F,G分别为边BC,CD的中点， ∴FG|BD,FG=BD, .EH‖FG,EH=FG ∴.四边形EFGH是平行四边形. (2)四边形EFGH是菱形. 证明：如图2中，连接AC,BD, D G F 图2 ,∠APB=∠CPD, ∴.∠APB+∠APD=∠CPD+∠APD,即∠BPD=∠APC. 又，AP=PB,PC=PD, .△APC≌△BPD|SAS, ..AC=BD 点E,F,G分别为边AB,BC,CD的中点， EF号AC,FGB0, ∴.EF=FG, 由(1)可知，四边形EFGH是平行四边形， ∴.四边形EFGH是菱形. (3)四边形EFGH是正方形. 证明：如图2中，设AC与BD交于点O,AC与PD交于点M,AC与EH交于点N. 3/6 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :△APC≌△BPD, ∴，∠ACP=∠BDP, .∠DMO=∠CMP ∴.∠DOC=∠CPD=90°， .EH‖BD,AC‖HG ∴.∠EHG=∠ENO=∠BOC=ㄥDOC=90°， ,四边形EFGH是菱形， ∴.四边形EFGH是正方形 13.【解析】(1)四边形ECEF是正方形. 理由如下：将Rt△DEC绕点C逆时针旋转90°得到BEC. ∴.CE=CE,∠ECE=90°，∠CEB=∠CED=90°， ∴∠CEF=90, ∴.四边形ECEF是矩形. 又CE=CE. ∴.四边形ECEF是正方形 (2)证明：如解图，过点B作BM‖DE,交EE于点M. E' ∴.∠OBM=∠ODE,∠OMB=∠OED,∠BME=∠FEE, 由(1)得四边形ECEF是正方形， ∴.∠FEE=∠FEE=45°， ∴.∠BME=∠BEM=45, ∴BM=BE, 由旋转性质，DE=BE, ∴.BM=DE, 又.∠OBM=∠ODE,∠BOM=∠DOE, .△BOM≌△DOE(ASA). 416 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ..BO=DO 即点O是BD的中点： (3)解：，正方形ABCD边长为4， ∴.BC=CD=4,BD=4V2, 情况1：如解图，当EB=BC时，连接BD E B(F) ..EF=EC, .'EF=EB, EF≤EB, ∴点F与点B重合，DF与DB重合 ∴点E在BD上，∠BEC=∠FEC=90°， ∴∠BCE=∠CBE=45, ∴.∠DCE=∠BCE=45°，∠CDE=∠CBE=45°， ∴.∠DCE=∠CDE=45°， ∴.EC=ED」 :DE=2BD=22 2 情况2，当BE=BC=4时， 由(1)得四边形ECEF是正方形， ∴，EC=EF,∠F=∠E=90°， ∴.Rt△BFE≌△Rt△BE CHL BF-BE-7FE 由旋转得，DE=BE, .DE-EC. 5/6 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E' 在Rt△DEC中DC=4,DE2+EC2=DC2. .DE2+2DE2=16. 解得DE=45 5 (负值已舍) 情况3-当CE=CB时， .CB=CD>CE, .此种情况不存在. 45 综上所述，当△BEC是等腰三角形时，DE的长为22或. C组 思维拔高 1.B 2.A 3.B 4.D 拓展 链接中考 1.B 616 分层作业 1.4 正方形的性质与判定 目 录 A组 巩固过关 题型01 利用正方形的性质求角度 题型02 利用正方形的性质求线段长 题型03 与正方形面积有关的计算 题型04 添加条件使四边形是正方形 题型05 证明四边形是正方形 题型06 中点四边形 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 ( 题型0 1 )利用正方形性质求角度 1．（25-26八下·浙江绍兴期末）如图，某兴趣小组需要在正方形上剪下机翼角（阴影部分），点在对角线上，若裁剪过程中满足，则“机翼角”的度数是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·辽宁铁岭模拟）如图，点为正方形内部的一点，为等边三角形，则的度数为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八下·江苏盐城期末）如图，点在正方形的边上，连接交对角线于点，连接．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 4．（24-25八下·江苏淮安期末）如图，点为正方形内一点，，，连接，则的度数是（     ） A． B． C． D． ( 题型0 2 )利用正方形性质求线段长 5．（25-26八下·重庆沙坪坝期末）如图，在正方形中，连接，若，则的长度为（     ） A． B． C． D． 6．（2026·贵州六盘水二模）如图，在正方形中，对角线，相交于点，，则边的长是（     ） A．3 B． C． D．6 7．（25-26八下·江苏镇江期末）面积分别为8和2的两个正方形按如图所示的方式放置，则的长为（     ） A． B． C． D． ( 题型0 3 )与正方形面积有关的计算 8．（25-26八下·上海普陀期中）如果正方形的一条对角线长为，那么它的面积是______． 9．（25-26八下·重庆永川期末）如图，中，，D为的中点，以为边作正方形，若正方形的面积为4，则的长为（     ） A． B． C．4 D．2 10．（25-26八下·浙江宁波期末）如图，四边形与四边形均为正方形，点在上，过点作，分别交，于，，则知道以下哪条线段的长度就可以求出阴影部分的面积（     ） A． B． C． D． ( 题型0 4 )添加条件使四边形是正方形 11．（25-26八下·广东江门期中）已知四边形中，，如果添加一个条件即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（   ） A． B． C． D． 12．（25-26八下·浙江杭州期末）如图，四边形的对角线，相交于点O，，，，则添加下列一个条件能判定四边形是正方形的是（     ） A． B． C． D． 13．（2026·广西玉林模拟）如图，在中，对角线与相交于点．小欣同学欲添加两个条件使四边形是正方形，现有三个条件可供选择：①；②；③．则正确的组合是___________（只需填一种组合即可）． ( 题型0 5 )证明四边形是正方形 14．（25-26八下·甘肃平凉期末）如图，在中，于点，于点，，求证：四边形是正方形． 15．（25-26八下·陕西榆林期末）如图，在中，，的平分线交于点D，，．试判断四边形的形状，并说明理由． ( 题型0 6 )中点四边形 16．（25-26八下·上海浦东新期中）以下四边形中，顺次连接四条边的中点能得到一个正方形的是（     ） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 17．（25-26八下·广西玉林期中）学校矩形操场的四条边中点各立一个篮球架，现在用绳子把四个篮球架连起来，平面示意图如图所示．则绳子围成的四边形的形状一定是（    ） A．菱形 B．正方形 C．矩形 D．对角线相等的四边形 18．（25-26八下·陕西省安康期末）如图，E，F，G，H分别为四边形的边，，，的中点，下列说法不正确的是（     ） A．四边形一定是平行四边形 B．若，则四边形是菱形 C．若，则四边形是矩形 D．若四边形是矩形，则四边形是正方形 1．小杭在复习几种特殊平行四边形关系时整理了如下的思维导图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（     ） A．（1）两边相互垂直 B．（2）有两条边相等 C．（3）对角线平分内角 D．（4）有三个角相等 2．（25-26八下·江苏常州期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点的坐标为，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八下·安徽滁州期末）如图1，将四根长度相等的木条钉成一个四边形的木框架，测得，．拉动这个木框架，使它成为正方形，如图2，则此时的长为（     ） A．6 B． C． D．3 4．（25-26八下·重庆涪陵期末）如图，四边形是边长为4的正方形，E是边的中点，，且，连接，则的长度为（     ） A．3 B． C． D． 5．（25-26八下·浙江宁波期末）如图，面积为8的正方形的对角线相交于点O，过点O的直线分别交边、于E、F两点，则阴影部分的面积是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（25-26九下·湖南邵阳检测）如图，点，，，分别是四边形边，，，的中点，如果，，则四边形的面积为（     ） A．20 B．24 C．32 D．48 7．（25-26八下·广西贺州期末）如图，边长为4的正方形中，将线段沿着折叠，使得点B落在对角线上的点F处，则的长为（     ） A． B． C． D． 8．（25-26八下·重庆期末）如图，在正方形中，点为边的中点，点为正方形内部一点，连接、、、，，．当时，可表示为（     ） A． B． C． D． 9．（25-26八下·广东广州期中）如图，在正方形中，点P，Q分别为边上的点，且，连接．则为________度． 10．（2026·贵州铜仁一模）如图，在矩形中，点E、F分别在边、上，连接、、，若、分别平分和．已知，则的值为______． 11．（25-26八下·安徽合肥期末）如图，已知正方形的边长为，点、分别在边和上，将该正方形沿着翻折，点落在处，点恰好落在边上的点处，如果四边形的面积为，那么的长是 . A． B． C． D． 12．（25-26八下·山西阳泉期末）综合与探究 问题情景：数学课上，老师画出一个四边形（如图1所示），并依次标记了各边，，，的中点E，F，G，H．要求同学们对以下问题进行探究． (1)探究一：四边形是平行四边形吗？说明你的理由． (2)探究二：如图2，点P是四边形内一点，且满足，，，点E，F，G，H分别为边，，，的中点，猜想四边形的形状，并证明你的猜想； (3)探究三：若改变（2）中的条件，使，其他条件不变，请说出此时四边形的形状，并写出证明过程． 13．（2026·山西运城三模）综合与探究 问题情境：如图1，点E是正方形内部一点，且，将绕点C逆时针旋转，得到，延长与的延长线交于点F． 猜想证明： （1）判断四边形的形状，并说明理由； （2）探究学习小组经过深入探究发现，若在点E运动的过程中，直线与交于点O，点O始终是线段的中点，请你借助图2帮助该学习小组证明他们的发现是正确的； 拓展延伸： （3）如图3，若该正方形的边长为4，连接，在点E运动的过程中，当是等腰三角形时，直接写出的长． 1．【十字模型】（25-26八下·浙江衢州期末）如图，在正方形中，平分交于点，点是边上一点，连接，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．【对角互补模型】（25-26七下·河南驻马店检测）如图，正方形的顶点与正方形的对角线交点重合，正方形和正方形的边长都是，则图中重叠部分的面积是（     ） A．1 B．2 C． D． 3．【规律探究】（25-26八下·广东珠海期中）如图，顺次连接矩形四边的中点得到四边形，再顺次连接四边形四边的中点得四边形，…，按此规律得到四边形．若矩形的面积为26，那么四边形的面积为（     ） A． B． C． D． 4．【一线三垂直模型】（25-26八下·北京西城期末）如图，在正方形中，点E在边上，，垂足为F，交于点G．若，的面积为4，则正方形的边长为（     ） A． B． C． D． 1．（2026·四川自贡中考）我国清代数学家李善兰不仅创译了“代数”“函数”等科学名词，还利用出入相补的原理证明了勾股定理．如图所示，图中两个阴影正方形的面积分别记作，，正方形的面积记作，则，与的关系是（     ） A． B． C． D． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $