第六周 第2天 第三章 函数的概念与性质 章末复习 暑假自学讲义 - 2026年新高一数学人教A版必修第一册

2026年暑假新高一自学讲义 56个知识点 · 75道经典例题 · 312个巩固演练 第六周 第 2天 第三章 函数的概念与性质 章末复习 章 末 复 习 构体系 · 强思维 第1部分 求函数的定义域、值域 1. 求函数定义域的常用依据是分母不为0，偶次根式中被开方数大于或等于0等；由几个式子构成的函数，其定义域是使各式子有意义的集合的交集；函数的值域是在函数的定义域下函数值的取值范围，一般是利用函数的图象或函数的单调性求值域. 2. 掌握基本集合的交、并、补运算，解简单的不等式，提升逻辑推理和数学抽象素养. 🎯例1 (1)函数f(x)=+(2x-1)0的定义域为(　　) A. B. C. D. 【解】由题意知解得x<1且x≠即f(x)的定义域是. 故选：D (2)已知函数y=f(x-1)的定义域是[-1，2]，则y=3f(1-3x)的定义域为(　　) A. B. C.[0，1] D. 【解】　由y=f(x-1)的定义域是[-1，2]，得x-1∈[-2，1]，即f(x)的定义域是[-2，1]， 令-2≤1-3x≤1，解得0≤x≤1，即y=3f(1-3x)的定义域为[0，1]. 故选C. (3)函数f(x)=的最大值和最小值分别为　　　　，　　　　　. 【解】作出f(x)的图象，如图. 由图象可知，当x=2时，f(x)取得最大值2； 当x=时，f(x)取得最小值-. 所以f(x)的最大值为2，最小值为-. 答案　2　- (4)已知函数f(x)=x2-2x+3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是 (　　) A.[1，+∞) B.[0，2] C.(-∞，2] D.[1，2] 答案　D 【解】　f(x)=(x-1)2+2，∵当x∈[0，m]时，f(x)min=2，f(x)max=3，且f(1)=2，f(0)=f(2)=3， ∴1≤m≤2. 故选D. 求函数定义域的类型与方法 (1)已给出函数解析式：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合. (2)常见求定义域的形式：根式，根号下非负；分式，分母不为0；0次幂，底数不为0. (3)复合函数问题： ①若f(x)的定义域为[a，b]，f(g(x))的定义域应由a≤g(x)≤b解出； ②若f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在[a，b]上的值域. 注意：①f(x)中的x与f(g(x))中的g(x)地位相同；②定义域所指永远是x的范围. 反思 归纳 📐跟踪训练1-1 函数f(x)＝＋(3x－1)0的定义域是(　　) A． B． C． D．∪ 解析：选D. 由题意，得解得x<1且x≠. 📐跟踪训练1-2 已知a∈R，函数f(x)＝若f(f())＝3，则a＝________． 【解】因为>2，所以f()＝6－4＝2，所以f(f())＝f(2)＝1＋a＝3，解得a＝2. 答案：2 📐跟踪训练1-3已知函数f(x)的定义域为[－2，2]，函数g(x)＝，则函数g(x)的定义域为________． 【解】由题可得解得－<x≤3，即函数g(x)的定义域为. 答案： 📐跟踪训练1-4 求下列函数的值域． (1)y＝x＋4； (2)y＝－2x，x∈. 【解】(1)设t＝≥0，则x＝1－t2，所以原函数可化为y＝1－t2＋4t＝－(t－2)2＋5(t≥0)， 所以y≤5，所以原函数的值域为(－∞，5]. (2)因为y＝－2x在上为减函数，所以ymin＝－2×＝－1. ymax＝－2×(－2)＝.所以函数的值域为. 第2部分 函数的图象及应用 1.会根据函数的解析式及性质判断函数的图象，利用函数的图象可以直观的观察函数值域、最值、单调性、奇偶性等，重点的是一次函数、二次函数、反比例函数及幂函数图象. 2.掌握简单的基本函数图象，提升直观想象和数据分析素养. 🎯例2　(1)定义运算a⊗b＝设函数f(x)＝x⊗(x＋1)，则f(x)的图象应该是(　　) 【解】选C.由a⊗b的定义，可知f(x)＝由于f(0)＝0－1＝－1，所以函数图象过点(0，－1)，排除A，B；当x＜0时，y＝x2＞0，排除D，只有C符合，故选C. (2) 对于函数f(x)＝x2－2|x|. (1)判断其奇偶性，并指出图象的对称性； (2)画出此函数的图象，并指出单调区间和最小值． 【解】(1)函数的定义域为R，关于原点对称，f(－x)＝(－x)2－2|－x|＝x2－2|x|. 则f(－x)＝f(x)，所以f(x)是偶函数，图象关于y轴对称． (2)f(x)＝x2－2|x|＝画出图象如图所示， 根据图象知，函数f(x)的最小值是－1，单调递增区间是[－1，0]，[1，＋∞)；单调递减区间是(－∞，－1]，[0，1]. 作函数图象的方法： (1)描点法——求定义域；化简；列表、描点、连线． (2)变换法——熟知函数图象的平移、对称、翻转． 反思 归纳 📐跟踪训练2-1　已知函数f(x)=|-x2+2x+3|. (1)画出函数图象并写出函数的单调区间； (2)求集合M={m|使方程f(x)=m有四个不相等的实数根}. 【解】(1)当-x2+2x+3≥0， 即-1≤x≤3时， 函数f(x)=-x2+2x+3=-(x-1)2+4， 当-x2+2x+3<0， 即x<-1或x>3时， 函数f(x)=x2-2x-3=(x-1)2-4， 即f(x)=的图象如图所示，单调递增区间为[-1，1]和[3，+∞)，单调递减区间为(-∞，-1)和(1，3). (2)由题意可知，函数y=f(x)与y=m的图象有四个不同的交点， 则0<m<4. 故集合M={m|0<m<4}. 📐跟踪训练2-2　已知函数f(x)= 方程[f(x)]2-bf(x)=0，b∈(0，1)，则方程的根的个数是(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 【解】因为[f(x)]2-bf(x)=0，所以f(x)=0或f(x)=b，作函数f(x)=的图象如图， 结合图象可知，f(x)=0有2个不同的根，f(x)=b(0<b<1)有3个不同的根，且5个根都不相同，故方程的根的个数是5. 答案　D 第3部分 函数的解析式 求解析式的方法有：待定系数法、换元法（注意求新元的范围）、方程组法、奇偶性法. 🎯例3 （1）已知f(x＋1)＝x2－5x＋4，则f(x)＝________． 【解】令x＋1＝t，则x＝t－1， 因为f(x＋1)＝x2－5x＋4，所以f(t)＝(t－1)2－5(t－1)＋4＝t2－7t＋10. 所以f(x)＝x2－7x＋10. 答案：x2－7x＋10. （2）若3f(x－1)＋2f(1－x)＝2x，则f(x)的解析式为________．　 【解】令t＝x－1，则x＝t＋1，t∈R，原式变为3f(t)＋2f(－t)＝2(t＋1)①. 以－t代替t，①式变为3f(－t)＋2f(t)＝2(1－t)②.由①②消去f(－t)得f(t)＝2t＋，故f(x)＝2x＋. 答案：f(x)＝2x＋ （3）函数f(x)是R上的偶函数，且当x<0时，f(x)＝x(x－1)，则当x>0时，f(x)＝________． 【解】设x>0，则－x<0，所以f(－x)＝－x(－x－1)＝x(x＋1).因为函数f(x)为R上的偶函数，故当x>0时，f(x)＝f(－x)＝x(x＋1)，即x>0时，f(x)＝x(x＋1). 答案：x(x＋1) 求函数解析式的题型与相应的解法： (1)已知形如f(g(x))的解析式求f(x)的解析式，使用换元法或配凑法． (2)已知函数的类型(往往是一次函数或二次函数)，使用待定系数法． (3)含f(x)与f(－x)或f(x)与f，使用解方程组法． (4)已知一个区间的解析式，求另一个区间的解析式，可用奇偶性转移法． 反思 归纳 第4部分 函数的单调性和奇偶性 1.函数的性质主要有定义域、值域、单调性和奇偶性，利用函数的单调性和奇偶性求值、比较大小、解不等式是重点考查内容，解不等式时经常结合图象，要注意勿漏定义域的影响. 2.掌握单调性和奇偶性的判断和证明，会简单的综合运用，提升数学抽象、逻辑推理和直观想象素养. 🎯例4（1）给出下列四个函数，其中既是奇函数，又在定义域上为减函数的是(　　) A．f(x)＝－x－x3 B．f(x)＝1－x C．f(x)＝－ D．f(x)＝ 【解】选A.给出的四个函数中为奇函数的是f(x)＝－x－x3和f(x)＝－，其中在定义域上为减函数的只有f(x)＝－x－x3. （2）已知函数y＝f(x)是R上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，若f(a)≤f(2)，则实数a的取值范围是(　　) A．a≤2 B．a≥－2 C．－2≤a≤2 D．a≤－2或a≥2 【解】选D.因为y＝f(x)是偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，所以y＝f(x)在[0，＋∞)上是减函数，由f(a)≤f(2)，得f(|a|)≤f(2)，所以|a|≥2，得a≤－2或a≥2，故选D. （3）已知函数f(x)＝. (1)判断函数f(x)在[0，＋∞)上的单调性，并用定义进行证明； (2)求函数f(x)在区间[2，9]上的值域． 【解】(1)函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数． 证明：任取x1，x2∈[0，＋∞)，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝－＝－＝， 因为x1，x2∈[0，＋∞)，所以(x1＋1)(x2＋1)>0， 又x1<x2，所以x1－x2<0，所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)， 所以函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数． (2)由(1)知函数f(x)在区间[2，9]上是增函数， 又f(2)＝＝，f(9)＝＝，所以函数f(x)在区间[2，9]上的值域为. (1)关于单调性的判断 ①函数的单调性可以根据观察自变量变化时，函数值的变化情况进行判断，也可以利用函数的图象直观判断； ②证明函数单调性的关键是对差式f(x1)－f(x2)的分解，只有分解到位，才能准确判断差式的符号． (2)关于奇偶性的应用 函数奇偶性的应用主要体现在图象、解析式与单调性的关系三个方面．解题时往往先利用奇偶性进行转化，再结合单调性等函数的性质解题． 反思 归纳 📐跟踪训练4-1　已知函数f(x)=. (1)判断f(x)的奇偶性并证明； (2)当x∈(1，+∞)时，判断f(x)的单调性并证明； (3)在(2)的条件下，若实数m满足f(3m)>f(5-2m)，求m的取值范围. 【解】(1)函数f(x)是奇函数. 证明：函数f(x)的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)， 因为f(-x)==-=-f(x)，所以函数f(x)是奇函数. (2) 函数f(x)在(1，+∞)上单调递增. 证明：任取x1，x2∈(1，+∞)且x1>x2，则 f(x1)-f(x2)==== 因为x1>x2>1，所以x1-x2>0，x1x2-1>0，x1x2>0， 所以f(x1)-f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)， 所以函数f(x)在(1，+∞)上单调递增. (3)由(2)知函数f(x)在(1，+∞)上单调递增，所以3m>5-2m>1，解得1<m<2， 所以m的取值范围为(1，2). 📐跟踪训练4-2　已知f(x)是定义在R上的奇函数，f(3)=0，若∀x1，x2∈(0，+∞)且x1≠x2满足>0，则不等式<0的解集为(　　) A.(-∞，-3)∪(3，+∞) B.(-3，0)∪(0，3) C.(-3，0)∪(3，+∞) D.(-∞，-3)∪(0，3) 【解】因为∀x1，x2∈(0，+∞)且x1≠x2满足>0，则f(x)在(0，+∞)上单调递增， 因为f(x)是定义在R上的奇函数，且f(3)=0，则f(-3)=0，f(x)在(-∞，0)上单调递增， 由<0，得xf(x)>0，当x>0时，由f(x)>0=f(3)，得x>3，当x<0时，由f(x)<0=f(-3)，得x<-3， 所以原不等式的解集为(-∞，-3)∪(3，+∞). 故选：A. 第5部分 函数的应用 1.以现实生活为背景，解决生活中的成本最少、利润最高等问题，一般是通过构造一次函数、二次函数、幂函数、分段函数等数学模型，能运用函数思想处理现实生活中的简单应用问题.能将实际问题转化为熟悉的数学模型，建立合适的数学模型解决简单的实际问题. 2.通过构造数学模型解决实际问题，重点提升数学建模素养和数学运算素养. 🎯例5　某蔬菜种植基地预销售一种绿色蔬菜，共14 t，如果在市场上直接销售，每吨可获利0.2万元；如果进行精加工后销售，每吨可获利0.6万元，但需另外支付一定的加工费，总的加工费P(万元)与精加工的蔬菜量x(t)有如下关系：P＝设该蔬菜种植基地将x(t)蔬菜进行精加工后销售，其余在市场上直接销售，所得总利润为y(万元).(注：总利润＝销售获利－加工费) (1)写出y关于x的函数解析式． (2)当精加工蔬菜多少吨时，总利润最大？求出最大利润． 【解】(1)由题意，知当0≤x≤8时，y＝0.6x＋0.2(14－x)－x2＝－x2＋x＋， 当8<x≤14时，y＝0.6x＋0.2(14－x)－＝x＋2， 即y＝ (2)由(1)知当0≤x≤8时，y＝－x2＋x＋＝－(x－4)2＋， 所以当x＝4时，y取得最大值，为. 当8<x≤14时，y＝x＋2为增函数，所以当x＝14时，y取得最大值，为. 因为>，所以当x＝4时，y取得最大值，为. 故当精加工蔬菜4 t时，总利润最大，最大利润为万元． 解应用题的基本步骤 (1)审题：读懂题意，分清条件与结论，理顺数量关系； (2)建模：将已知条件转化为数学语言，应用数学知识建立相应的函数模型； (3)解模：求解函数模型，得到数学结论； (4)还原：将数学方面的结论还原到实际问题中去，解释实际意义． 反思 归纳 📐跟踪训练5　某村充分利用自身资源，大力发展养殖业以增加收入.计划共投入80万元，全部用于甲、乙两个项目，要求每个项目至少要投入20万元.在对市场进行调研时，发现甲项目的收益y1与投入x(单位：万元)满足y1=乙项目的收益y2与投入x(单位：万元)满足y2=x+20. (1)当甲项目的投入为25万元时，求甲、乙两个项目的总收益； (2)问甲、乙两个项目各投入多少万元时，总收益最大？ 【解】　(1)当甲投入25万元时，乙投入55万元， 甲、乙两个项目的总收益为 (5+20)+=92.5， 故甲、乙两个项目的总收益为92.5万元. (2)设甲投入x万元，则乙投入(80-x)万元， 由解得20≤x≤60. 甲项目的收益为乙项目的收益为(80-x)+20=60-x， ∴甲、乙两个项目的总收益为f(x)= 当20≤x<36时，f(x)=--5)2+92.5， ∴当=5，即x=25时，f(x)的最大值为92.5； 当36≤x≤60时，f(x)=110-x单调递减， ∴当x=36时，f(x)的最大值为92， 综上，当x=25时，f(x)的最大值为92.5， 故甲、乙两个项目分别投入25万元、55万元时，总收益最大. 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $2026年暑假新高一自学讲义 56个知识点 · 75道经典例题 · 312个巩固演练 第六周 第 2天 第三章 函数的概念与性质 章末复习 章 末 复 习 构体系 · 强思维 第1部分 求函数的定义域、值域 1. 求函数定义域的常用依据是分母不为0，偶次根式中被开方数大于或等于0等；由几个式子构成的函数，其定义域是使各式子有意义的集合的交集；函数的值域是在函数的定义域下函数值的取值范围，一般是利用函数的图象或函数的单调性求值域. 2. 掌握基本集合的交、并、补运算，解简单的不等式，提升逻辑推理和数学抽象素养. 🎯例1 (1)函数f(x)=+(2x-1)0的定义域为(　　) A. B. C. D. (2)已知函数y=f(x-1)的定义域是[-1，2]，则y=3f(1-3x)的定义域为(　　) A. B. C.[0，1] D. (3)函数f(x)=的最大值和最小值分别为　　　　，　　　　　. (4)已知函数f(x)=x2-2x+3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是 (　　) A.[1，+∞) B.[0，2] C.(-∞，2] D.[1，2] 求函数定义域的类型与方法 (1)已给出函数解析式：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合. (2)常见求定义域的形式：根式，根号下非负；分式，分母不为0；0次幂，底数不为0. (3)复合函数问题： ①若f(x)的定义域为[a，b]，f(g(x))的定义域应由a≤g(x)≤b解出； ②若f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在[a，b]上的值域. 注意：①f(x)中的x与f(g(x))中的g(x)地位相同；②定义域所指永远是x的范围. 反思 归纳 📐跟踪训练1-1 函数f(x)＝＋(3x－1)0的定义域是(　　) A． B． C． D．∪ 📐跟踪训练1-2 已知a∈R，函数f(x)＝若f(f())＝3，则a＝________． 📐跟踪训练1-3已知函数f(x)的定义域为[－2，2]，函数g(x)＝，则函数g(x)的定义域为________． 📐跟踪训练1-4 求下列函数的值域． (1)y＝x＋4； (2)y＝－2x，x∈. 第2部分 函数的图象及应用 1.会根据函数的解析式及性质判断函数的图象，利用函数的图象可以直观的观察函数值域、最值、单调性、奇偶性等，重点的是一次函数、二次函数、反比例函数及幂函数图象. 2.掌握简单的基本函数图象，提升直观想象和数据分析素养. 🎯例2　(1)定义运算a⊗b＝设函数f(x)＝x⊗(x＋1)，则f(x)的图象应该是(　　) (2) 对于函数f(x)＝x2－2|x|. (1)判断其奇偶性，并指出图象的对称性； (2)画出此函数的图象，并指出单调区间和最小值． 作函数图象的方法： (1)描点法——求定义域；化简；列表、描点、连线． (2)变换法——熟知函数图象的平移、对称、翻转． 反思 归纳 📐跟踪训练2-1　已知函数f(x)=|-x2+2x+3|. (1)画出函数图象并写出函数的单调区间； (2)求集合M={m|使方程f(x)=m有四个不相等的实数根}. 📐跟踪训练2-2　已知函数f(x)= 方程[f(x)]2-bf(x)=0，b∈(0，1)，则方程的根的个数是(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 第3部分 函数的解析式 求解析式的方法有：待定系数法、换元法（注意求新元的范围）、方程组法、奇偶性法. 🎯例3 （1）已知f(x＋1)＝x2－5x＋4，则f(x)＝________． （2）若3f(x－1)＋2f(1－x)＝2x，则f(x)的解析式为________．　 （3）函数f(x)是R上的偶函数，且当x<0时，f(x)＝x(x－1)，则当x>0时，f(x)＝________． 求函数解析式的题型与相应的解法： (1)已知形如f(g(x))的解析式求f(x)的解析式，使用换元法或配凑法． (2)已知函数的类型(往往是一次函数或二次函数)，使用待定系数法． (3)含f(x)与f(－x)或f(x)与f，使用解方程组法． (4)已知一个区间的解析式，求另一个区间的解析式，可用奇偶性转移法． 反思 归纳 第4部分 函数的单调性和奇偶性 1.函数的性质主要有定义域、值域、单调性和奇偶性，利用函数的单调性和奇偶性求值、比较大小、解不等式是重点考查内容，解不等式时经常结合图象，要注意勿漏定义域的影响. 2.掌握单调性和奇偶性的判断和证明，会简单的综合运用，提升数学抽象、逻辑推理和直观想象素养. 🎯例4（1）给出下列四个函数，其中既是奇函数，又在定义域上为减函数的是(　　) A．f(x)＝－x－x3 B．f(x)＝1－x C．f(x)＝－ D．f(x)＝ （2）已知函数y＝f(x)是R上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，若f(a)≤f(2)，则实数a的取值范围是(　　) A．a≤2 B．a≥－2 C．－2≤a≤2 D．a≤－2或a≥2 （3）已知函数f(x)＝. (1)判断函数f(x)在[0，＋∞)上的单调性，并用定义进行证明； (2)求函数f(x)在区间[2，9]上的值域． (1)关于单调性的判断 ①函数的单调性可以根据观察自变量变化时，函数值的变化情况进行判断，也可以利用函数的图象直观判断； ②证明函数单调性的关键是对差式f(x1)－f(x2)的分解，只有分解到位，才能准确判断差式的符号． (2)关于奇偶性的应用 函数奇偶性的应用主要体现在图象、解析式与单调性的关系三个方面．解题时往往先利用奇偶性进行转化，再结合单调性等函数的性质解题． 反思 归纳 📐跟踪训练4-1　已知函数f(x)=. (1)判断f(x)的奇偶性并证明； (2)当x∈(1，+∞)时，判断f(x)的单调性并证明； (3)在(2)的条件下，若实数m满足f(3m)>f(5-2m)，求m的取值范围. 📐跟踪训练4-2　已知f(x)是定义在R上的奇函数，f(3)=0，若∀x1，x2∈(0，+∞)且x1≠x2满足>0，则不等式<0的解集为(　　) A.(-∞，-3)∪(3，+∞) B.(-3，0)∪(0，3) C.(-3，0)∪(3，+∞) D.(-∞，-3)∪(0，3) 第5部分 函数的应用 1.以现实生活为背景，解决生活中的成本最少、利润最高等问题，一般是通过构造一次函数、二次函数、幂函数、分段函数等数学模型，能运用函数思想处理现实生活中的简单应用问题.能将实际问题转化为熟悉的数学模型，建立合适的数学模型解决简单的实际问题. 2.通过构造数学模型解决实际问题，重点提升数学建模素养和数学运算素养. 🎯例5　某蔬菜种植基地预销售一种绿色蔬菜，共14 t，如果在市场上直接销售，每吨可获利0.2万元；如果进行精加工后销售，每吨可获利0.6万元，但需另外支付一定的加工费，总的加工费P(万元)与精加工的蔬菜量x(t)有如下关系：P＝设该蔬菜种植基地将x(t)蔬菜进行精加工后销售，其余在市场上直接销售，所得总利润为y(万元).(注：总利润＝销售获利－加工费) (1)写出y关于x的函数解析式． (2)当精加工蔬菜多少吨时，总利润最大？求出最大利润． 解应用题的基本步骤 (1)审题：读懂题意，分清条件与结论，理顺数量关系； (2)建模：将已知条件转化为数学语言，应用数学知识建立相应的函数模型； (3)解模：求解函数模型，得到数学结论； (4)还原：将数学方面的结论还原到实际问题中去，解释实际意义． 反思 归纳 📐跟踪训练5　某村充分利用自身资源，大力发展养殖业以增加收入.计划共投入80万元，全部用于甲、乙两个项目，要求每个项目至少要投入20万元.在对市场进行调研时，发现甲项目的收益y1与投入x(单位：万元)满足y1=乙项目的收益y2与投入x(单位：万元)满足y2=x+20. (1)当甲项目的投入为25万元时，求甲、乙两个项目的总收益； (2)问甲、乙两个项目各投入多少万元时，总收益最大？ 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $