1.2 菱形的性质与判定 第1课时 课件 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦菱形的性质，通过复习菱形定义、联系生活实例，引导学生动手将平行四边形剪成菱形，搭建从平行四边形到菱形的学习支架，探究菱形边、角、对角线及对称性的特殊性质。 其亮点在于以动手操作和推理证明为核心，用表格结构化归纳性质，结合生活情境（千斤顶原理图）和例题（60°角菱形边长与面积计算），发展学生几何直观、推理能力与应用意识。学生能主动建构知识，教师可借助多样化练习提升教学效率。

1.2 菱形的性质与判定 北师版九年级上册 第一章 特殊平行四边形 第1课时 菱形的性质 1 复习导入 菱形的定义： 有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形。 你能举出一些生活中菱形的例子吗？与同伴交流。 —— 探究新知 —— 菱形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质。菱形还有哪些特殊性质呢？ 想一想 动手操作，两人一组，将课前准备好的平行四边形剪成菱形。 边：对边平行且相等. 角：对角相等，邻角互补. 对角线：对角线互相平分. 对称性：是中心对称图形. 菱形的四条边都相等. 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角. 菱形是轴对称图形 菱形 邻边相等 边 角 对角线 对称性 四条边都相等 对边平行 对角相等 对角线互相垂直 对角线互相平分 每一条对角线平分一组对角 既是中心对称图形又是轴对称图形 从边、角、对角线、对称性四方面有条理的将结论进行归纳. 请你尝试证明这些结论。 已知：如图，在菱形 ABCD 中，AB=AD，对角线 AC 与 BD 相交于点O。 求证:（1）AB=BC=CD=AD；（2）AC⊥BD. 证明:（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴AB = CD，AD = BC（菱形的对边相等）。 又∵AB = AD， ∴AB = BC = CD = AD。 又∵四边形ABCD是菱形， （2）∵AB=AD， ∴ △ABD是等腰三角形。 ∴OB=OD（菱形的对角线互相平分）。 已知：如图，在菱形 ABCD 中，AB=AD，对角线 AC 与 BD 相交于点O。 求证:（1）AB=BC=CD=AD；（2）AC⊥BD. 在等腰三角形ABD中， ∵OB=OD， ∴ AO⊥BD，即AC⊥BD。 定理 菱形的四条边都相等。 菱形的对角线互相垂直。 ∵四边形 ABCD 是菱形 ∴AB = BC = CD = AD ∵四边形 ABCD 是菱形 ∴ BD ⊥ AC 思考·交流 你是如何发现菱形的特殊性质的？与同伴交流你的经验。 例1 如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD相交于点 O，∠BAD = 60°，BD = 6。 （1）求 AB 和 AC 的长； （2）求菱形 ABCD 的面积。 解：（1）∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AB = AD（菱形的四条边相等）， AC⊥BD（菱形的对角线互相垂直）， OB = OD = BD = = 3（菱形的对角线互相平分）。 在等腰三角形 ABD 中，∵∠BAD = 60°，∴△ABD是等边三角形。 ∴AB = BD = 6。 在Rt△AOB中，由勾股定理，得 OA2 + OB2 = AB2， ∴OA = 。 ∴AC = 2OA = （菱形的对角线互相平分）。 （2）菱形 ABCD 的面积 = △ABC 的面积 + △ADC 的面积 = = = = = 。 菱形的面积可以怎样计算？ 思考 菱形是平行四边形 A B C D 菱形的面积 = 底×高 = BC·AE 菱形的对角线互相垂直 菱形的面积 = 对角线乘积的一半 E —— 课堂小结 —— 有一组邻边相等 具有平行四边形的所有性质 特殊性质 对角线 边 轴对称图形 15 1. 如图,在菱形ABCD中,E,F分别是AD,BD的中点.若EF＝2,则菱形ABCD的周长为(　B　) A. 12 B. 16 C. 20 D. 24 B —— 课堂练习 —— 2. 新情境 生活实际 如图所示为汽车常备的一种千斤顶的原理图,其基本形状是一个菱形,中间通过螺杆连接,转动手柄可改变∠BCD的度数(菱形的边长不变).当∠BCD＝52°时,∠BAC的度数为(　A　) A. 26° B. 27° C. 28° D. 29° A 3. 数形结合思想 如图,在平面直角坐标系中,菱形ABCD的顶点D在x轴上,边BC在y轴上.若点A的坐标为(4,5),则点C的坐标为 　(0,－3) 　. (第3题) (0,－3)　 　 解:∵ 四边形ABCD是菱形, ∴ AB＝BC. ∵ AE＝CF, ∴ AB－AE＝BC－CF,即BE＝BF. 在△ABF和△CBE中, ∴ △ABF≌△CBE. ∴ AF＝CE 4. [2025泸州]如图,在菱形ABCD中,E,F分别是边AB,BC上的点,且AE＝CF. 求证:AF＝CE. (第4题) 5. 如图,在菱形ABCD中,连接AC,BD. 若∠1＝35°,则∠2的度数为(　B　) A. 65° B. 55° C. 45° D. 35° B 6. [2025常州]如图,在菱形ABCD中,AC,BD是对角线,AB＝5.若∠ABD＝30°,则AC的长是(　B　) A. 4 B. 5 C. 6 D. 10 B 7. [2025云南]如图,菱形ABCD的周长为52,对角线AC的长为24,则菱形ABCD的面积为 　120　. 120　 解:∵ E,F分别是AB,AO的中点, ∴ BO＝2EF＝4. ∵ 四边形ABCD是菱形, ∴ AC⊥BD,AO＝ AC＝3. ∴ ∠AOB＝90°. 在Rt△AOB中,由勾股定理,得AB＝ ＝5. ∴ 菱形ABCD的周长为4AB＝20 8. 教材变式题 如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,E,F分别是AB,AO的中点,连接EF. 若EF＝2,AC＝6,求菱形ABCD的周长. (第8题) 9. 数形结合思想 如图,在平面直角坐标系中,菱形OABC的顶点A的坐标为(－2,0),∠AOC＝60°.将菱形OABC先向右平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到菱形O'A'B'C',其中点B'的坐标为(　A　) A. (－2, －1) B. (－2,1) C. (－ ,1) D. (－ －1) A 10. 一题多解 [2025辽宁]如图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AC＝8,BD＝12,点E在线段OA上,AE＝2,点F在线段OC上,OF＝1,连接BE,G为BE的中点,连接FG,则FG的长为 　 　. 　 11. 如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,过点D作对角线BD的垂线,交BA的延长线于点E. (1) 求证:四边形ACDE是平行四边形; 解:(1) ∵ 四边形ABCD是菱形, ∴ AB∥CD,AC⊥BD. ∴ AE∥CD. ∵ DE⊥BD, ∴ DE∥AC. ∴ 四边形ACDE是平行四边形 (第11题) (2) 若AC＝8,BD＝6,求△BDE的周长. 解:(2) ∵ 四边形ACDE是平行四边形, ∴ DE＝AC＝8. ∵ DE⊥BD,BD＝6, ∴ BE＝ ＝ ＝10. ∴ △BDE的周长＝BD＋BE＋DE＝6＋10＋8＝24 (第11题) 12. 如图,AC是菱形ABCD的对角线,点E,F分别在CA,CB的延长线上,且A,B分别是CE,CF的中点,连接BE,EF. (1) 求证:EF＝CF; 解:(1) ∵ 四边形ABCD是菱形,A,B分别是CE,CF的中点, ∴ AB＝BC,AB是△CEF的中位线,CF＝2BC. ∴ EF＝2AB. ∴ EF＝CF (第12题) (2) 若AC＝6,BE＝ ,求菱形ABCD的面积. 解:(2) 连接BD交AC于点O. ∵ 四边形ABCD是菱形, ∴ AC⊥BD,AO＝CO＝ AC＝3,BO＝DO＝ BD. ∵ A是CE的中点, ∴ AC＝AE＝6. ∴ EO＝AE＋AO＝6＋3＝9. 在Rt△BOE中,BE＝ , ∴ BO＝ ＝ ＝2. ∴ BD＝2BO＝4. ∴ 菱形ABCD的面积＝ AC·BD＝ ×6×4＝12 (第12题) 13. 如图,在菱形ABCD中,F是线段BC上任意一点,连接AF,交对角线BD于点E,连接CE. (1) 求证:AE＝CE. 解:(1) 连接AC. ∵ BD,AC是菱形ABCD的对角线, ∴ BD垂直平分AC. ∵ 点E在BD上, ∴ AE＝CE (第13题) (2) 当∠ABC＝60°,∠CEF＝60°时,点F在线段BC的什么位置?请说明理由. 解:(2) 点F在线段BC的中点处　理由: ∵ 四边形ABCD是菱形,∴ AB＝BC. 又∵ ∠ABC＝60°, ∴ △ABC是等边三角形. ∴ ∠BAC＝60°.∵ AE＝CE,∠CEF＝60°, ∴ ∠EAC＝ ∠CEF＝30°.∴ ∠EAC＝ ∠BAC. ∴ AF是△ABC的角平分线. 又∵ AF交BC于点F,△ABC是等边三角形, ∴ AF是△ABC的边BC上的中线. ∴ 点F在线段BC的中点处. (第13题) EVCapture4.0.2软件录制 Lavf56.38.102 本视频由湖南一唯信息科技开发的EV录屏软件录制，www.ieway.cn $