1.2《菱形的性质与判定》第1课时 课件 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦菱形的性质，从校园菱形窗格情境导入，通过回顾平行四边形性质，引导学生动手操作猜想验证，构建从一般到特殊的学习支架，形成完整探究脉络。 其亮点是以校园实际问题为载体，情境启航激发数学眼光，问题构建的动手操作与证明培养数学思维，巩固拓展的窗格计算强化数学语言应用。采用协作探究与示范结合的方法，助学生提升探究与应用能力，为教师提供生活化教学实例和完整流程。

第一章 特殊的平行四边形 第2课 菱形的性质与判定 新版北师大数学九年级上册数学 第1课时 菱形的性质 学习目标 1.通过对校园菱形文化窗格的观察、操作与猜想,经历菱形特殊性质的完整探究过程,掌握菱形区别于一般平行四边形的2个核心特殊性质. 2.通过对菱形性质的严谨证明与例题分析,能熟练运用菱形的特殊性质解决几何计算问题,掌握菱形面积的特殊计算方法. 3.通过运用菱形性质解决校园窗格设计的实际问题，体会数学与生活的深度联系，感受中式美学中的数学智慧. 情境启航 问题构建 协作破冰 教师示范 巩固拓展 当堂检测 反思总结 作业设计 目录 情境启航 同学们,咱们学校正在推进“书香校园”文化建设,后勤老师准备在教学楼走廊安装一批菱形镂空雕花窗格,这种窗格既承载了中式对称美学，又能提升校园文化氛围. 菱形作为特殊的平行四边形,具有哪些区别于一般平行四边形的特殊性质？我们如何运用这些特殊性质解决生活中的实际问题？ 问题构建 问题1:我们已经学习了平行四边形,谁能说说什么是平行四边形？它有哪些核心性质？请结合右边图形描述. 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形；核心性质:对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分、是中心对称图形. 追问:菱形是特殊的平行四边形,以上基础性质显然菱形都具有,菱形有哪些平行四边形没有的性质？根据平行四边形的学习经验,你打算怎样开始我们的研究？ 问题构建 问题2:后勤老师观察到,所有菱形窗格的四条边框长度都相等,对角线的支撑木条是互相垂直的,这是巧合吗？我们一起来动手验证、大胆猜想. 猜想1：菱形的四条边都相等； 猜想2：菱形的对角线垂直 问题构建 已知:如图,在菱形ABCD中,AB=AD,对角线AC与BD相交于点O. 求证：（1）AB=BC=CD=AD；（2）AC⊥BD 证明： （1）∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=CD,AD=BC（菱形的对边相等） 又∵AB=AD， ∴AB=BC=CD=AD （2） ∵AB=AD ∴△ABD是等腰三角形 又∵四边形ABCD是菱形 ∴OB=OD（菱形的对角线互相平分） 在等腰三角形ABD中， ∵OB=OD， ∴AO⊥BD， 即AC⊥BD 问题构建 定理 菱形的四条边相等. 定理 菱形的对角线互相垂直. 如图所示： ∵四边形ABCD是菱形 ∴AB=BC=CD=DA,AC⊥BD 追问：你是如何发现菱形的特殊性质的？与同伴交流你的经验. 动手操作是起点→画、折、量、比 同伴合作是催化剂→互问互答、分工验证 归纳推理是升华→从现象到本质，建立逻辑链 联系旧知是桥梁→菱形=特殊的平行四边形+邻边相等 问题构建 问题3:小明同学在后勤人员发现的基础上，继续对菱形进行深入的思考后发现：△ABD是等腰三角形，AD∥BC，根据八年级的学习经验，BD应该是∠ABC的角平分线，大家同意他的观点吗？你能证明吗？ 证明：∵四边形ABCD是菱形 ∴AD∥BC ∴∠ADB=∠CBD(两直线平行，内错角相等) ∵AB=AD ∴∠ABD=∠ADB ∴∠ABD=∠CBD 即BD平分∠ABC 追问：换另外一条对角线AC试一试，是否有同样的结论？ 问题构建 例1 如图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,∠BAD=60°,BD=6 （1）求AB和AC的长；（2）求菱形ABCD的面积 解：（1）∵四边形ABCD是菱形 ∴AB=AD（菱形的四条边相等） AC⊥BD（菱形的对角线互相垂直） OB=OD=BD=×6=3（菱形的对角线互相平分）。 在等腰三角形ABD中 ∵∠BAD= 60° ∴△ABD是等边三角形 ∴AB=BD=6 在Rt△AOB中,由勾股定理,得 OA²+OB²=AB² ∴OA==3 ∴AC=2OA=6菱形的对角线互相平分） 协作破冰 例1 如图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,∠BAD=60°,BD=6 （1）求AB和AC的长；（2）求菱形ABCD的面积 （2）菱形ABCD的面积 =△ABC的面积+△ADC的面积 =AC·OB+AC·OD =AC·(OB+OD) =AC·BD =×6 ×6 =18 问题4:你还有别的计算面积的方法吗？ 协作破冰 问题5:小明在自主学习的过程中,发现课本P9的第4题 证明:菱形的面积等于其对角线长的乘积的一半.你能根据例1完成证明吗？ 已知：四边形ABCD是菱形,对角线AC与BD相交于点O. 求证：菱形ABCD的面积S= ​⋅AC⋅BD 证明:菱形ABCD的面积 =△ABC的面积+△ADC的面积 =AC·OB+ AC·OD =AC·(OB+OD) =AC·BD 本例使用的证明方法：等积法 用两种不同的方式表示同一个图形的面积，是解决面积问题的常用方法. 教师示范 问题6:观察老师给出的静态图,结合几何画板操作的动态变化,你有怎样的猜想？ 猜想:对角线互相垂直的四边形面积都等于对角线乘积的一半. 教师示范 证明：对角线互相垂直的四边形面积都等于对角线乘积的一半 已知：四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O，AC⊥BD 求证：四边形ABCD的面积S= ​⋅AC⋅BD 证明:四边形ABCD的面积 =△ABC的面积+△ADC的面积 =AC·OB+ AC·OD =AC·(OB+OD) =AC·BD 巩固拓展 问题7:学校要批量制作菱形文化窗格,要求窗格边长为50cm,其中一条对角线长60cm,请计算: (1)另一条对角线的长度； (2)每个窗格的板材用量； (3)制作一个窗格的边框,需要多长的木条？ 解(1)∵四边形ABCD是菱形 ∴AC⊥BD,OA=30cm 在Rt△AOB中,OB=40cm ∴另一条对角线BD=80cm (2)窗格面积=×60×80=2400cm²=0.24m² (3)边框总长=4×50=200cm=2m 当堂检测 1.选择题 下列性质中,菱形具有但一般平行四边形不具有的是（ ） 对边平行且相等 B. 对角线互相平分 C. 对角线互相垂直 D. 对角相等 C 解析：A、B、D 都是平行四边形的基本性质，菱形作为特殊平行四边形也具备；对角线互相垂直是菱形独有的特殊性质，一般平行四边形不具备. 当堂检测 2. 填空题 已知菱形的两条对角线长分别为8cm和6cm，则这个菱形的边长为______cm，面积为______cm² 5 24 解析：菱形对角线互相垂直平分,因此对角线一半长为4cm和3cm,由勾股定理得边长为5cm；菱形面积=1/2×对角线乘积=1/2×8×6=24cm² 当堂检测 3.解答题 如图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点 O,已知AB=5cm,AO=4cm,求BD的长. 解:∵四边形ABCD是菱形 ∴AC⊥BD,OB=OD（菱形的对角线互相垂直且平分） 在Rt△AOB中,由勾股定理得： OB==3cm ∴ BD=2OB=6cm 当堂检测 4.学校制作菱形“书香校园”宣传牌,已知宣传牌的周长为40cm,其中一条对角线长10cm. 求:(1)宣传牌每个内角的度数； (2)另一条对角线的长度； (3)宣传牌的面积. 解:(1)∵四边形ABCD是菱形,周长为40cm ∴边长AB=40÷4=10cm ∵一条对角线BD=10cm ∴AB=AD=BD=10cm ∴△ABD是等边三角形,∠BAD=60° ∴菱形的四个内角度数分别为60°、120°、60°、120° (2)∵菱形的对角线互相垂直平分 ∴OB=1/2BD=5cm,AC⊥BD 在Rt△AOB中,OA==5cm ∴ 另一条对角线AC=2OA=10cm (3) 宣传牌的面积= 1/2×AC×BD=1/2×10 ×10=50cm² 反思总结 1.本节课我们探究菱形特殊性质的完整过程是什么？用到了哪些之前学过的数学知识和思想方法？ 2.菱形的特殊性质与平行四边形的性质有什么联系与区别？运用菱形性质解题时,最需要关注的核心要点是什么？ 3.今天我们用菱形的性质解决了校园窗格的设计问题,生活中还有哪些场景用到了菱形的性质？请举一例并说明用到了菱形的哪条特殊性质. 作业设计 一、基础巩固作业： 课本第7页 第1，2题 二、素养类作业 课本第9页 第4题 作业要求：书写规范、图形标准、按时上交、及时订错. $