专题04 函数的奇偶性（题型专练）高一数学人教B版必修第一册

**基本信息** 以“定义-图象-应用-综合”为逻辑主线，构建函数奇偶性从概念判断到综合应用的完整方法体系，通过典例变式实现解题能力迁移。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |奇偶性判断|1典例+3变式|定义法（定义域对称+f(-x)关系）、图象法|从概念本质（定义）到直观表征（图象）| |图象特征|1典例+3变式|奇函数过原点、对称区间图象特征|形数结合，强化几何直观| |求参数/解析式|各1典例+3变式|待定系数法、定义域对称原则；“求谁设谁”+奇偶性转化|性质应用，培养逻辑推理| |比较大小/解不等式|各1典例+3变式|单调性与奇偶性联动，变量转化到同一单调区间|综合应用，提升数学思维| |综合与抽象函数|各1典例+3变式|奇偶性与单调性等价结论、抽象函数赋值法|能力拔高，发展数学语言表达|

专题04函数的奇偶性 （题型突破·举一反三） 题型01 函数奇偶性的判断 题型02 函数奇偶性的图像特征 题型03 利用函数奇偶性求参数值 题型04 利用函数的奇偶性求解析式 题型05 利用函数的奇偶性比较大小 题型06 利用函数的奇偶性解不等式 题型07函数单调性与奇偶性的综合应 题型08抽象函数的综合问题 ▌题型01 函数奇偶性的判断 判断函数奇偶性的方法 （1）定义法 （2）图象法 【典例1】（25-26高一上·湖南长沙·期末）下列函数中是偶函数的是 （   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高一上·青海海南·期末）函数的奇偶性为（   ） A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 【变式2】（25-26高二下·山西·期末）若定义域均为的函数与分别为奇函数与偶函数，则一定有（     ） A．为偶函数 B．为偶函数 C．为奇函数 D．为奇函数 【变式3】（2026·宁夏石嘴山·模拟预测）已知函数的定义域为，则下列函数一定为奇函数的是（    ） A． B． C． D． ▌题型02 函数奇偶性的图像特征 奇、偶函数的图象特征的应用 （1）利用奇、偶函数的图象特征可以判断函数的奇、偶性； （2）若已知函数的奇、偶性和自变量取正值时的图象特征，可推出该函数在整个定义域内的图象特征. 提醒：若奇函数f（x）在x＝0处有定义，必有f（0）＝0，即它的图象必过原点（0，0）. 【典例2】（25-26高一上·四川广安·期末）“数缺形时少直观，形少数时难入微”，在数学的学习中，常用函数的图象来探究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数的特征，如函数的图象大致为（   ） A．B．C．D． 【变式1】（25-26高一上·四川成都·期末）函数的图象大致是（    ） A．B． C． D． 【变式2】（25-26高一上·江苏扬州·期中）函数的图象大致是（    ） A．  B．  C．  D．   【变式3】（25-26高一上·福建漳州·期中）函数的图象为（   ） A．  B．    C．    D．   ▌题型03 利用函数奇偶性求参数值 利用奇偶性求值的常见类型 （1）求参数值：若解析式含参数，则根据f（－x）＝－f（x）或f（－x）＝f（x）列式，比较系数利用待定系数法求解；若定义域含参数，则根据定义域关于原点对称，利用区间的端点和为0求参数； （2）求函数值：利用f（－x）＝－f（x）或f（－x）＝f（x）整体代换求解；有时需要构造奇函数或偶函数以便于求值. 【典例3】（25-26高一上·河南郑州·期末）已知函数是奇函数，则（   ） A．0 B．1 C．2 D． 【变式1】（2026·河北雄安·模拟预测）已知函数为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高一下·河南·阶段检测）若函数为奇函数，则（   ） A． B．0 C．1 D．2026 【变式3】（2026·辽宁抚顺·模拟预测）已知函数，是偶函数，则（   ） A． B． C．2 D．4 ▌题型04 利用函数奇偶性求解析式 利用函数奇偶性的定义求解析式的一般步骤 （1）“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设； （2）利用已知区间的解析式进行代入； （3）利用f（x）的奇偶性写出－f（x）或f（－x），从而解出f（x）. 提醒：注意f（x）定义域内含0时，解析式的特殊表示. 【典例4】（25-26高三下·河南新乡·阶段检测）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则当时，（　　） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高一上·浙江温州·期中）函数是定义在上的偶函数，当时，，则在上的表达式为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高一上·江西·期中）已知函数是上的偶函数，当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高一上·河北唐山·期末）已知是定义域为的奇函数，当时，，则当时（   ） A． B． C． D． ▌题型05 利用函数奇偶性比较大小 比较函数值大小的求解策略 奇函数在对称区间上单调性一致（相同）；偶函数在对称区间上单调性相反. （1）若自变量在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小； （2）若自变量不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较 【典例5】（25-26高一上·重庆·期末）若函数是偶函数，且，则必有（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高三下·甘肃白银·期中）已知奇函数在上单调递减，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高一下·河北张家口·阶段检测）已知函数是定义在上的偶函数，且在上是增函数，则、、的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高一下·湖南长沙·开学考试）已知函数是定义在R上的偶函数，且在上是减函数，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． ▌题型06 利用函数奇偶性解不等式 利用单调性和奇偶性解不等式的方法 （1）充分利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f（x1）＞f（x2）或f（x1）＜f（x2）的形式，再利用单调性脱掉“f”求解； （2）在对称区间上根据奇函数的单调性一致，偶函数的单调性相反，列出不等式或不等式组，求解即可，同时要注意函数自身定义域对参数的影响. 【典例6】1．（25-26高二下·安徽合肥·期末）已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若，则不等式的解集为（   ） A． B． C．[0，2] D． 【变式1】（25-26高一上·宁夏吴忠·期中）已知定义在区间上的偶函数，当时，满足对任意的，都有成立，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二下·辽宁大连·期末）设是定义在上的偶函数，且在上单调递减，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． ▌题型07 函数单调性与奇偶性的综合问题 奇函数与单调性的等价结论 ①若奇函数f（x）在R上单调递增，则a＋b≥0⇔f（a）＋f（b）≥0； ②若奇函数f（x）在R上单调递减，则a＋b≥0⇔f（a）＋f（b）≤0； ③偶函数的一个重要性质：f（｜x｜）＝f（x），它能使自变量化归到[0，＋∞）上，避免分类讨论. 【典例7】（25-26高三·全国·一轮复习）（多选）对任意两个实数a，b，定义,若，，，则 （　　） A．是偶函数 B．方程有三个不同的解 C．在区间上单调递增 D．有4个单调区间 【变式1】（25-26高一上·福建厦门·期中）已知是上的偶函数，当时，是增函数，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二下·湖北武汉·期末）函数是定义域为的偶函数， 且，恒有，若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高一下·上海·期中）已知定义在上的偶函数在上是严格增函数，若，则的取值范围为_________. ▌题型08 抽象函数的综合问题 【典例8】（25-26高一上·浙江嘉兴·期末）已知定义在上的函数的图象是一条连续不断的曲线，且对于任意的实数，，都有，，当时，，则（   ） A． B．是奇函数 C．在上单调递增 D． 【变式1】（25-26高一上·浙江温州·期末）已知定义域为的函数满足：，且，则（    ） A． B． C．是奇函数 D． 【变式2】（25-26高三上·福建龙岩·期中）已知函数对任意的，，都有，且当时，，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04函数的奇偶性 （题型突破·举一反三） 题型01 函数奇偶性的判断 题型02 函数奇偶性的图像特征 题型03 利用函数奇偶性求参数值 题型04 利用函数的奇偶性求解析式 题型05 利用函数的奇偶性比较大小 题型06 利用函数的奇偶性解不等式 题型07函数单调性与奇偶性的综合应 题型08抽象函数的综合问题 ▌题型01 函数奇偶性的判断 判断函数奇偶性的方法 （1）定义法 （2）图象法 【典例1】（25-26高一上·湖南长沙·期末）下列函数中是偶函数的是 （   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于A，函数，定义域关于原点对称， 且，则函数是偶函数； 对于B，函数，定义域为，关于原点对称， 而与不恒等，则函数不是偶函数； 对于C，函数定义域为，关于原点对称， 而与不恒等，则函数不是偶函数； 对于D，函数的定义域不关于原点对称，则函数不是偶函数. 故选：A 【变式1】（25-26高一上·青海海南·期末）函数的奇偶性为（   ） A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 【答案】A 【解析】∵的定义域为， ，所以是奇函数. 【变式2】（25-26高二下·山西·期末）若定义域均为的函数与分别为奇函数与偶函数，则一定有（     ） A．为偶函数 B．为偶函数 C．为奇函数 D．为奇函数 【答案】D 【解析】因为定义域均为的函数与分别为奇函数与偶函数， 则，. 对于A：因为， 可知为奇函数，故A错误； 对于B：例如，，则为非奇非偶函数，故B错误； 对于C：因为， 可知为偶函数，故C错误； 对于D：因为， 可知为奇函数，故D正确. 【变式3】（2026·宁夏石嘴山·模拟预测）已知函数的定义域为，则下列函数一定为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】选项A：设， 由，可知是偶函数，不能确定是奇函数，A错误. 选项B：设， 由，可知是奇函数，B正确. 选项C：设， 由，可知是偶函数，不能确定是奇函数，C错误. 选项D：设， 由，可知是偶函数，不能确定是奇函数，D错误. ▌题型02 函数奇偶性的图像特征 奇、偶函数的图象特征的应用 （1）利用奇、偶函数的图象特征可以判断函数的奇、偶性； （2）若已知函数的奇、偶性和自变量取正值时的图象特征，可推出该函数在整个定义域内的图象特征. 提醒：若奇函数f（x）在x＝0处有定义，必有f（0）＝0，即它的图象必过原点（0，0）. 【典例2】（25-26高一上·四川广安·期末）“数缺形时少直观，形少数时难入微”，在数学的学习中，常用函数的图象来探究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数的特征，如函数的图象大致为（   ） A．B．C．D． 【答案】B 【解析】易知函数的定义域为，且，所以函数关于轴对称， 当时，，综上，只有B选项符合题意.故选：B. 【变式1】（25-26高一上·四川成都·期末）函数的图象大致是（    ） A．B． C． D． 【答案】B 【解析】由解析式知，函数的定义域为R，且， 所以为偶函数，排除A、C，又恒成立，排除D.故选：B 【变式2】（25-26高一上·江苏扬州·期中）函数的图象大致是（    ） A．  B．  C．  D．   【答案】B 【解析】，且函数定义域过于原点对称， 为奇函数，图象关于原点对称，故排除D， 又且时，，故排除C， 当时，，故排除A.故选：B. 【变式3】（25-26高一上·福建漳州·期中）函数的图象为（   ） A．  B．    C．    D．   【答案】D 【解析】因为的定义域为， 又因为， 所以为偶函数，故AB不正确， 又，故C不正确，D正确.故选：D. ▌题型03 利用函数奇偶性求参数值 利用奇偶性求值的常见类型 （1）求参数值：若解析式含参数，则根据f（－x）＝－f（x）或f（－x）＝f（x）列式，比较系数利用待定系数法求解；若定义域含参数，则根据定义域关于原点对称，利用区间的端点和为0求参数； （2）求函数值：利用f（－x）＝－f（x）或f（－x）＝f（x）整体代换求解；有时需要构造奇函数或偶函数以便于求值. 【典例3】（25-26高一上·河南郑州·期末）已知函数是奇函数，则（   ） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】A 【解析】因为是分式，定义域为，又函数为奇函数， 所以定义域关于原点对称，， 所以，因为， 所以是奇函数，故. 【变式1】（2026·河北雄安·模拟预测）已知函数为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由函数为奇函数，得， 即，解得， 因此，所以. 【变式2】（25-26高一下·河南·阶段检测）若函数为奇函数，则（   ） A． B．0 C．1 D．2026 【答案】B 【解析】因为函数的定义域为，且为奇函数， 则， 结合的任意性可得． 【变式3】（2026·辽宁抚顺·模拟预测）已知函数，是偶函数，则（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【解析】根据题意得，解得，此时， 因为为偶函数，所以， 解得，经验证符合题意，故，所以. ▌题型04 利用函数奇偶性求解析式 利用函数奇偶性的定义求解析式的一般步骤 （1）“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设； （2）利用已知区间的解析式进行代入； （3）利用f（x）的奇偶性写出－f（x）或f（－x），从而解出f（x）. 提醒：注意f（x）定义域内含0时，解析式的特殊表示. 【典例4】（25-26高三下·河南新乡·阶段检测）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则当时，（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，当时，，， 又函数是定义在R上的奇函数，所以. 【变式1】（25-26高一上·浙江温州·期中）函数是定义在上的偶函数，当时，，则在上的表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为函数是定义在上的偶函数，所以， 当时，， 令，则，则， 所以当时，， 综上所述，.故选：A. 【变式2】（25-26高一上·江西·期中）已知函数是上的偶函数，当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为函数为偶函数，所以. 当时，， 所以当时，.故选：A. 【变式3】（25-26高一上·河北唐山·期末）已知是定义域为的奇函数，当时，，则当时（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，，所以， 因为函数是定义域为的奇函数，所以 .故选：C ▌题型05 利用函数奇偶性比较大小 比较函数值大小的求解策略 奇函数在对称区间上单调性一致（相同）；偶函数在对称区间上单调性相反. （1）若自变量在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小； （2）若自变量不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较 【典例5】（25-26高一上·重庆·期末）若函数是偶函数，且，则必有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为函数是偶函数，所以，，故A、B错误； 又，所以，故D正确，C错误，故选：D 【变式1】（25-26高三下·甘肃白银·期中）已知奇函数在上单调递减，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】已知奇函数在上单调递减， ，又， ，即，A正确，B错误； ，，C错误； ，，D错误． 【变式2】（25-26高一下·河北张家口·阶段检测）已知函数是定义在上的偶函数，且在上是增函数，则、、的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由是定义在上的偶函数，则， 由在上是增函数，则，所以． 【变式3】（25-26高一下·湖南长沙·开学考试）已知函数是定义在R上的偶函数，且在上是减函数，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为函数是定义在R上的偶函数，故，则， 又在上是减函数，所以，即. ▌题型06 利用函数奇偶性解不等式 利用单调性和奇偶性解不等式的方法 （1）充分利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f（x1）＞f（x2）或f（x1）＜f（x2）的形式，再利用单调性脱掉“f”求解； （2）在对称区间上根据奇函数的单调性一致，偶函数的单调性相反，列出不等式或不等式组，求解即可，同时要注意函数自身定义域对参数的影响. 【典例6】1．（25-26高二下·安徽合肥·期末）已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若，则不等式的解集为（   ） A． B． C．[0，2] D． 【答案】C 【解析】因为函数是定义在上的偶函数，且，所以． 又函数在上单调递减，所以函数在上单调递增． 所以等价于,即，解得． 【变式1】（25-26高一上·宁夏吴忠·期中）已知定义在区间上的偶函数，当时，满足对任意的，都有成立，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对任意的，都有，故在上单调递增， ，故， 解得，故实数的取值范围为. 【变式2】（25-26高二下·辽宁大连·期末）设是定义在上的偶函数，且在上单调递减，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，且是定义在上的偶函数，所以， 又因为在上单调递减，所以， 所以或，解得或， 所以不等式的解集为. 【变式3】（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为是偶函数，即关于直线对称，在上单调递增， 所以在上单调递减， 又，所以， 或，解得或． ▌题型07 函数单调性与奇偶性的综合问题 奇函数与单调性的等价结论 ①若奇函数f（x）在R上单调递增，则a＋b≥0⇔f（a）＋f（b）≥0； ②若奇函数f（x）在R上单调递减，则a＋b≥0⇔f（a）＋f（b）≤0； ③偶函数的一个重要性质：f（｜x｜）＝f（x），它能使自变量化归到[0，＋∞）上，避免分类讨论. 【典例7】（25-26高三·全国·一轮复习）（多选）对任意两个实数a，b，定义,若，，，则 （　　） A．是偶函数 B．方程有三个不同的解 C．在区间上单调递增 D．有4个单调区间 【答案】ABD 【解析】根据函数与， 画出函数的图象，如图. 对于A，由图象和函数特征可知，函数的图象关于y轴对称，故A正确； 对于B，函数的图象与x轴有三个公共点，所以方程有三个不同的解，故B正确； 对于C，D，函数在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增，在上单调递减，故C错误，D正确. 【变式1】（25-26高一上·福建厦门·期中）已知是上的偶函数，当时，是增函数，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】利用是上的偶函数可知，， 由于，又在区间上单调递增， 则,故. 【变式2】（25-26高二下·湖北武汉·期末）函数是定义域为的偶函数， 且，恒有，若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】， ， 又，且，则，， 设，则， 所以在单调递增， 又函数是定义域为的偶函数，所以也是上的偶函数， 又，所以，即， 则，解得.故选：C. 【变式3】（25-26高一下·上海·期中）已知定义在上的偶函数在上是严格增函数，若，则的取值范围为_________. 【答案】 【解析】因为为偶函数，故即为， ∵偶函数在上是严格增函数，故， 平方得，即，解得， ▌题型08 抽象函数的综合问题 【典例8】（25-26高一上·浙江嘉兴·期末）已知定义在上的函数的图象是一条连续不断的曲线，且对于任意的实数，，都有，，当时，，则（   ） A． B．是奇函数 C．在上单调递增 D． 【答案】C 【解析】对于任意的实数，都有，， 且当时，， 对于A，令，可得，可得，所以A错误； 对于B，令，可得， 所以，所以不恒成立， 所以函数不满足，所以不是奇函数，所以B错误； 对于C，任取，则，令， 则， 所以， 因为时，，所以，且， 所以，即， 所以在上单调递增，所以C正确； 对于D，取函数，此时函数满足， 且当时，，满足， 则， 所以不能恒成立，所以D错误，故选C. 【变式1】（25-26高一上·浙江温州·期末）已知定义域为的函数满足：，且，则（    ） A． B． C．是奇函数 D． 【答案】D 【解析】对A，令，则， 由，则，即，所以，故A错误； 对B，令，则， 因为，所以，解得，故B错误； 对于C，令，则， 又，所以，则， 当时，，不满足奇函数的定义， 所以不是奇函数，故C错误； 对D，由C选项知，，即， 所以，，故D正确. 故选：D. 【变式2】（25-26高三上·福建龙岩·期中）已知函数对任意的，，都有，且当时，，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，则，所以. 令，则，所以. 所以函数为奇函数. 设，且，则. 由题意知，当时，，所以. 因为，所以有. 即，所以在上是减函数. 不等式，根据单调性可得， 化简得，解得.故选：C. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $