专题03 函数的奇偶性（高效培优专项训练）数学人教B版2019必修第一册

专题03函数的奇偶性 题型一：函数奇偶性的定义与判断 题型二：由奇偶性求解析式 题型三：由奇偶性求参数 题型四：由奇偶性求值 题型五：由奇偶性解不等式 题型六：抽象函数的奇偶性 题型七：函数奇偶性的应用 题型八：奇偶函数对称性的应用 题型一：函数奇偶性的定义与判断 1．判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)奇函数 (2)偶函数 (3)非奇非偶函数 【分析】（1）（2）（3）利用函数奇偶性的定义可判断出函数的奇偶性. 【详解】（1）的定义域为. 因为，所以为奇函数. （2）的定义域为，因为，所以为偶函数. （3）的定义域为，因为，且， 所以为非奇非偶函数. 2．判断下列各函数是否具有奇偶性． (1)； (2)； (3)； (4)，； (5)； (6)． 【答案】(1)奇函数 (2)偶函数 (3)非奇非偶函数 (4)非奇非偶函数 (5)非奇非偶函数 (6)非奇非偶函数 【分析】根据题意，先求得函数的定义域。判断是否关于原点对称，再由函数奇偶性的定义即可判断. 【详解】（1）定义域：  ∵对于任意且 ∴为奇函数. （2）定义域：  ∵对于任意且 ∴为偶函数. （3）定义域：，即，∴为非奇非偶函数. （4）定义域： ∴为非奇非偶函数. （5）定义域：，解得，∴为非奇非偶函数. （6）定义域：，即，∴为非奇非偶函数. 3．判断下列函数的奇偶性： (1)； (2) (3)； (4) 【答案】(1)非奇非偶函数 (2)非奇非偶函数 (3)奇函数 (4)奇函数 【分析】先求函数的定义域，然后由函数的奇偶性的定义判断即可. 【详解】（1）函数的定义域为，定义域区间关于原点不对称，所以此函数为非奇非偶函数． （2）函数的定义域为，但是，由于，，即，且，所以此函数为非奇非偶函数． （3）函数的定义域为，又，所以此函数为奇函数． （4）函数的定义域为，关于原点对称． ∵当时，，则； 当时，，则． 综上可知：对于定义域内的任意x，总有成立， ∴函数为奇函数． 4．判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)偶函数 (2)既是奇函数又是偶函数 (3)非奇非偶函数 (4)奇函数． 【分析】先求函数的定义域，如果对称，则利用奇偶性的定义判断即可；若不对称，则是非奇非偶函数. 【详解】（1）函数的定义域为R，关于原点对称， 又， ∴为偶函数． （2）函数的定义域为，关于原点对称，且， 又，， ∴既是奇函数又是偶函数． （3）函数的定义域为，不关于原点对称， ∴是非奇非偶函数． （4）函数的定义域为， ∵，都有， 且， ∴是奇函数． 题型二：由奇偶性求解析式 5．若函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时， ． 【答案】 【分析】由奇函数的性质进行求解函数的表达式即可. 【详解】当时，则，得， 因为函数是定义在上的奇函数， 所以， 故当时，. 故答案为: 6．已知函数是奇函数，当时，，则 ． 【答案】 【分析】由奇函数定义计算即可. 【详解】由函数是上的奇函数，得， 而当时，，所以有． 综上所述， 故答案为： 7．已知是定义域为的奇函数，当时，，则当时， . 【答案】 【分析】先根据奇函数性质求出，然后结合奇函数定义可求时的函数解析式． 【详解】解：是定义域为的奇函数， 当时，， , 即时，， 设，则， ， 是定义域为的奇函数， . 故答案为：. 8．已知函数对一切实数都满足，且当时，，则 ． 【答案】 【分析】根据函数的奇偶性，求函数解析式． 【详解】函数对一切实数都满足， 所以， 设，则， ， 又因为，即， 所以 所以. 故答案为：． 9．设是定义在上的奇函数，且时，，则 ；当时， ． 【答案】 2 【分析】根据函数的奇偶性求出以及当时的解析式即可． 【详解】是定义在上的奇函数，则， 则， 令，则， 故， 故当时，，又，故时也成立， 所以当时，. 故答案为：2；． 10．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，那么当时， . 【答案】 【分析】设，则，代入解析式得；再由是定义在上的奇函数，即可求得答案. 【详解】设，则：， 所以：， 又因为：是定义在上的奇函数， 所以：， 所以：. 故答案为：. 题型三：由奇偶性求参数 11．已知实数a，b满足方程组则 ． 【答案】2 【分析】构造函数，由其单调性及奇偶性即可求解. 【详解】设， 易知函数在R上单调递增，且都是奇函数， 所以为奇函数且在R上单调递增， 由题意可知：， 因此，． 故答案为：2 12．已知函数的图象关于点对称，则 ． 【答案】 【分析】由已知可得为奇函数，结合奇函数性质列方程求，由此可得结论. 【详解】因为函数的图象关于点对称， 所以函数的图象关于点对称， 所以函数为奇函数，故， 所以， 所以， 所以，， 所以. 故答案为：. 13．已知函数是定义在上的奇函数，则常数的值分别为 ． 【答案】0，0 【分析】由求出，利用奇函数的定义即可求出的值. 【详解】由题意知，故． 由是奇函数知， 即， ∴，∴. 故答案为：0，0. 14．已知函数满足为奇函数，则 ， . 【答案】 【分析】设，由奇函数的定义可得出，化简可得出，即可得出关于实数、的方程组，解之即可. 【详解】设函数. 因为为奇函数，， 所以由，可得， 所以， 所以， 整理得， 所以，解得. 故答案为：；. 15．设是定义在上的偶函数，则的值是 ； ． 【答案】 【分析】根据条件，利用偶函数的性质，即可求解. 【详解】因为是定义在上的偶函数， 所以，即，得到， 又，得到，所以， 得到，， 故答案为：． 题型四：由奇偶性求值 16．已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用奇函数的定义求出函数值. 【详解】依题意，. 故答案为： 17．已知函数的定义域为，为奇函数，当时，，则 . 【答案】 【分析】由题意可得，进而可得，计算可求. 【详解】由题意可得，所以， 所以，所以， 又，所以，所以. 故答案为：. 18．已知定义在上的偶函数，当时，，则 . 【答案】2 【分析】根据偶函数的性质，求解即可. 【详解】因为定义在上的偶函数，所以，所以. 故答案为：2. 19．已知函数且，则的值为 ． 【答案】 【分析】构造函数，根据的奇偶性计算出的值. 【详解】令，定义域为且关于原点对称， 因为，所以为奇函数， 所以，所以， 代入，可得， 故答案为：. 20．已知，且，则 ． 【答案】 【分析】设，证明函数为奇函数，结合奇函数性质可得，由此可求结论. 【详解】设，又， 所以，函数的定义域为，定义域关于原点对称， 因为， 所以函数为奇函数，故， 所以，又， 所以. 故答案为：. 题型五：由奇偶性解不等式 21．已知函数是定义在上的偶函数，若函数在上单调递增，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】不等式变形为，即，根据偶函数特征结合单调性求解即可 【详解】， 不等式可变形为，即， 函数是定义在上的偶函数，， 所以为偶函数，若函数在上单调递增， 所以函数在上单调递减， 所以，解得， 故答案为：． 22．已知定义在R上的偶函数在上是增函数，不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由偶函数的对称性确定区间单调性，将问题化为在上恒成立，即可得. 【详解】由偶函数的对称性，且在上是增函数，则在上单调递减， 所以在上恒成立，可得，则， 而，故. 故答案为： 23．已知函数是偶函数，且当时，，则不等式的解集为 ．（用区间表示） 【答案】 【分析】先利用一元二次不等式解法求得当时，不等式的解集，再利用偶函数性质求得当时不等式的解集，进而求得不等式的解集. 【详解】当时，， 则不等式可化为或， 解之得或，即， 又函数是偶函数，则当时， 由不等式可得，. 综上，不等式的解集为. 故答案为： . 24．已知定义在R上的奇函数在上单调递增，且，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由奇偶性单调性得到，求解即可. 【详解】由题意， 等价于， 又奇函数在上单调递增， 可知在R单调递增， 所以可得：， 解得：， 所以实数的取值范围是， 故答案为： 25．已知函数是定义在上的奇函数，在上单调递减，且，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】分析函数的单调性及零点，可得出或，数形结合可得出原不等式的解集. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，在上单调递减，且， 则函数在上也为减函数，且， 作出函数的草图如下图所示： 由可知， 当时，则，则或， 解得或，此时，； 当时，则，则或， 解得或，此时. 综上所述，不等式的解集为. 故答案为：. 题型六：抽象函数的奇偶性 26．定义在上的函数是单调函数，满足，且，. (1)求，； (2)判断的奇偶性，并证明； 【答案】(1)，； (2)奇函数，证明见解析； 【分析】（1）利用赋值法即求； （2）由题可得，即证； 【详解】（1）取，得，即， 所以，因为， 又，得，可得； （2）因为函数是定义在上的函数，定义域关于原点对称， 取，得，移项得， 所以函数是奇函数. 27．已知定义在上的函数，对于，恒有. (1)求证：是奇函数； (2)若是增函数，解关于x的不等式. 【答案】(1)证明见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）利用赋值法求出，再令结合奇函数的定义即可判断； （2）利用单调性，将不等式转化为，然后对进行分类讨论，分别利用一元二次不等式的解法求解即可． 【详解】（1）取，则，解得， 取，则， 所以， 故为奇函数； （2）不等式，即， 又为上的单调递增函数， 则，即， 当时，不等式的解集为； 当时，解得，不等式的解集为． 当时，解得，不等式的解集为． 28．已知函数的定义域为R，且对任意，都有，且当时，恒成立． (1)判定并证明函数在R上的单调性； (2)讨论函数的奇偶性； (3)若，求x的取值范围． 【答案】(1)单调递减，证明见解析 (2)奇函数，理由见解析 (3)或 【分析】（1）利用函数单调性定义判断函数的单调性； （2）赋值法得到，进而赋值得到，得到答案； （3）根据函数奇偶性和单调性解不等式，得到答案. 【详解】（1）在R上单调递减，理由如下： 任取，且， 因为，所以， 令， 则， 因为当时，恒成立， 又，所以， 所以，， 所以在R上单调递减； （2）令，则，解得， 令，因为， 故，所以， 所以是奇函数； （3）因为， 所以， 因为是奇函数，所以， 因为是R上的减函数，所以， 解得或，所以不等式的解集为或. 29．已知定义在上的函数满足，且当时，. (1)求的值； (2)证明为奇函数； (3)猜想函数的单调性并求的解集. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用赋值法即可求解， （2）结合奇函数的定义证明即可； （3）利用函数单调性的定义证明单调性，即可由单调性求解； 【详解】（1）令，则有，解得． （2）证明：令，则有， 所以，故函数为奇函数； （3）是R上的减函数．证明如下： 设，所以， 由， 因为当时，，所以， 即，所以是R上的减函数； ，则，故， 故不等式的解为 30．定义在上的函数满足． (1)求的值； (2)判断函数的奇偶性并证明. 【答案】(1)； (2)是偶函数；证明见解析. 【分析】（1）分别令和，即可得结果； （2）令结合偶函数的定义即可得结果. 【详解】（1）令，则． 再令，可得， ∴． （2）是偶函数； 证明：令可得， ∴是偶函数． 题型七：函数奇偶性的应用 31．已知奇函数在上单调递减，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据奇函数的性质化简不等式，然后根据函数的单调递减解关于的不等式，求出的取值范围. 【详解】因为奇函数在上有定义，所以， 所以 所以，解得. 所以的取值范围为. 故选：D. 32．（多选）已知函数对任意的都有，函数的图象关于直线对称，且对任意的，，都有．则下列结论正确的是（    ） A．是偶函数 B． C． D．的图象关于点对称 【答案】ABD 【分析】根据函数的周期性、奇偶性、单调性等知识对选项逐一进行分析，即可得出正确答案. 【详解】选项A，因为函数对任意的都有， 所以，所以是周期为4的周期函数． 因为函数的图象关于直线对称，所以的图象关于直线对称，所以是偶函数，所以A正确． 选项B，由且是以4为周期的偶函数，以替换， 得，则，所以， 所以，所以B正确． 选项C，因为对任意的，都有， 所以在区间上单调递增，又因为， 且，所以，即，所以C错误． 选项D，由选项B知，所以的图象关于点对称，所以D正确． 故选：ABD． 33．（多选）定义在上的奇函数满足，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C．是图象的一个对称中心 D．为偶函数 【答案】BCD 【分析】由奇函数性质知，根据递推式并代入判断A；且，应用周期性求函数值判断B；根据及对称中心判断C；奇偶性定义判断D. 【详解】A：是定义在上的奇函数，所以， 又满足，令，所以，错； B：由，可知， 所以， 所以，对； C：因为，所以是图象的对称轴， 又为图象的一个对称中心，所以是图象的一个对称中心，对； D：因为，所以，即为偶函数，对. 故选：BCD 34．设函数，对于任意正数都有，已知函数的图象关于点中心对称，若，则的解集为 ． 【答案】 【分析】变形后，令，则在上单调递增，又为奇函数，则为偶函数，故在上单调递减．又，则，分和两种情况，根据函数单调性，得到不等式的解集． 【详解】因为，所以， 令，则在上单调递增． 函数的图象关于点中心对称，则的图象关于原点对称， 即为奇函数，则为偶函数，故在上单调递减． ，则． 当时，，即，即，则； 当时，，即，即，则． 综上所述，． 故答案为： 35．设，为实数，且满足：，则 ． 【答案】2 【分析】根据题意，设，易知为奇函数且在上为增函数，再根据函数奇偶性及单调性求解方程即可. 【详解】构造函数，所以为奇函数，且在上为单调递增函数． 又，即， 故， 所以，即． 故答案为：2. 题型八：奇偶函数对称性的应用 36．已知函数的定义域为，，，将的图象绕原点旋转后所得图象与原图象重合，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可知的奇函数，推导出是周期函数，是的一个周期，进而可知也是周期函数，是的一个周期，求出、、、的值，结合周期性可求得的值. 【详解】根据题意，图象上的任意一点绕原点旋转后得到的点仍在的图象上， 联立消去得，所以是奇函数， 又因为函数的定义域为，故， 又，在该等式中，用替代可得， 故，因此，所以是周期函数，是的一个周期， 所以， 所以也是周期函数，是的一个周期． 又由可得，， 于是，， ，， 因为，故. 故选：B． 37．已知函数定义域是R，且是偶函数，对任意，，且，都有成立，且，则的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题设可得函数在上单调递增，函数关于直线对称，进而作出函数的大致图象，结合图象求解即可. 【详解】因为对任意，，且，都有成立， 所以函数在上单调递增， 又是偶函数，则函数关于直线对称， 则函数在上单调递减，结合， 画出函数的大致图象：    由图象可知，时，；时，；时，， 所以的解集是. 故选：A. 38．（多选题）已知函数是定义在上的增函数，则函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据函数的对称性及单调性结合平移得出函数性质判断各个选项即可. 【详解】因为是上的偶函数，又因为函数是定义在上的增函数，则是上的增函数， 所以图象是关于对称的，且在单调递增， 故选:BC． 39．已知函数是定义在R上的奇函数，当，且时，都有成立，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】根据已知 结合函数单调性定义得出单调性，再结合奇偶性及对称性列不等式计算求解. 【详解】当，且时，都有成立，则在R上单调递增． 又是定义在R上的奇函数，所以的图象关于点对称． 由不等式，可得，解得， 故不等式的解集为． 故答案为：． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03函数的奇偶性 题型一：函数奇偶性的定义与判断 题型二：由奇偶性求解析式 题型三：由奇偶性求参数 题型四：由奇偶性求值 题型五：由奇偶性解不等式 题型六：抽象函数的奇偶性 题型七：函数奇偶性的应用 题型八：奇偶函数对称性的应用 题型一：函数奇偶性的定义与判断 1．判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3). 2．判断下列各函数是否具有奇偶性． (1)； (2)； (3)； (4)，； (5)； (6)． 3．判断下列函数的奇偶性： (1)； (2) (3)； (4) 4．判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型二：由奇偶性求解析式 5．若函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时， ． 6．已知函数是奇函数，当时，，则 ． 7．已知是定义域为的奇函数，当时，，则当时， . 8．已知函数对一切实数都满足，且当时，，则 ． 9．设是定义在上的奇函数，且时，，则 ；当时， ． 10．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，那么当时， . 题型三：由奇偶性求参数 11．已知实数a，b满足方程组则 ． 12．已知函数的图象关于点对称，则 ． 13．已知函数是定义在上的奇函数，则常数的值分别为 ． 14．已知函数满足为奇函数，则 ， . 15．设是定义在上的偶函数，则的值是 ； ． 题型四：由奇偶性求值 16．已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则 . 17．已知函数的定义域为，为奇函数，当时，，则 . 18．已知定义在上的偶函数，当时，，则 . 19．已知函数且，则的值为 ． 20．已知，且，则 ． 题型五：由奇偶性解不等式 21．已知函数是定义在上的偶函数，若函数在上单调递增，则不等式的解集为 ． 22．已知定义在R上的偶函数在上是增函数，不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围是 ． 23．已知函数是偶函数，且当时，，则不等式的解集为 ．（用区间表示） 24．已知定义在R上的奇函数在上单调递增，且，则实数的取值范围是 . 25．已知函数是定义在上的奇函数，在上单调递减，且，则不等式的解集为 ． 题型六：抽象函数的奇偶性 26．定义在上的函数是单调函数，满足，且，. (1)求，； (2)判断的奇偶性，并证明； 27．已知定义在上的函数，对于，恒有. (1)求证：是奇函数； (2)若是增函数，解关于x的不等式. 28．已知函数的定义域为R，且对任意，都有，且当时，恒成立． (1)判定并证明函数在R上的单调性； (2)讨论函数的奇偶性； (3)若，求x的取值范围． 29．已知定义在上的函数满足，且当时，. (1)求的值； (2)证明为奇函数； (3)猜想函数的单调性并求的解集. 30．定义在上的函数满足． (1)求的值； (2)判断函数的奇偶性并证明. 题型七：函数奇偶性的应用 31．已知奇函数在上单调递减，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 32．（多选）已知函数对任意的都有，函数的图象关于直线对称，且对任意的，，都有．则下列结论正确的是（    ） A．是偶函数 B． C． D．的图象关于点对称 33．（多选）定义在上的奇函数满足，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C．是图象的一个对称中心 D．为偶函数 34．设函数，对于任意正数都有，已知函数的图象关于点中心对称，若，则的解集为 ． 35．设，为实数，且满足：，则 ． 题型八：奇偶函数对称性的应用 36．已知函数的定义域为，，，将的图象绕原点旋转后所得图象与原图象重合，若，则（ ） A． B． C． D． 37．已知函数定义域是R，且是偶函数，对任意，，且，都有成立，且，则的解集是（    ） A． B． C． D． 38．（多选题）已知函数是定义在上的增函数，则函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 39．已知函数是定义在R上的奇函数，当，且时，都有成立，则不等式的解集为 ． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $