专题14 函数的奇偶性（八类重难点题型）（压轴题专项训练）数学苏教版2019高一必修第一册

专题14 函数的奇偶性 （八类重难点题型） 目录 典例详解 类型一、函数的奇偶性-定义与判断 类型二、利用函数的奇偶性求解析式 类型三、利用函数的奇偶性求值或参数 类型四、利用函数的奇偶性解不等式 类型五、函数的奇偶性与单调性融合 类型六、函数的奇偶性与对称性融合 类型七、抽象函数的奇偶性 类型八、函数的奇偶性综合应用 压轴专练 类型一、函数的奇偶性-定义与判断 函数的奇偶性 1、奇函数：如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是奇函数，图象关于原点对称． 2、偶函数：如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是偶函数，图象关于轴对称．偶函数的性质：，可避免讨论． 【技巧方法】 判断奇偶性的常用方法： 1、定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断与之一是否相等. 注：判断与的关系时，也可以使用如下结论： （1）如果或，则函数为偶函数； （2）如果或，则函数为奇函数． 2、图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（轴）对称． 3、性质法：设，的定义域分别是，，在它们的公共定义域上，一般具有下列结论： 偶 偶 偶 偶 偶 偶 奇 不确定 奇 偶 奇 偶 不确定 奇 偶 奇 奇 奇 偶 奇 例1．判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3)． (4)； (5). 变式1-1．函数，则（    ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．既非奇函数也非偶函数 D．既是奇函数也是偶函数 变式1-2．已知函数，，则（    ） A．是奇函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是奇函数 变式1-3．设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 类型二、利用函数的奇偶性求解析式 【技巧方法】 由函数的奇偶性求函数解析式的一般步骤： （1）在哪个区间上求解析是，就设在哪个区间上； （2）把对称转化到已知区间上，代入已知区间的解析式得； （3）利用函数的奇偶性把改写成，从而求出． 例2．已知是定义在上的奇函数，当时，，则在上的表达式为__________________ 变式2-1．已知函数是定义域为的偶函数，且当时，，则当时，（   ） A． B． C． D． 变式2-2．（多选）已知是定义在R上的奇函数，当时，，则（   ） A． B．是奇函数 C． D．当时， 变式2-3．已知为偶函数，若当时， ，则的解析式是 . 变式2-4．若定义在R上的偶函数和奇函数满足．则 ． 类型三、利用函数的奇偶性求值或参数 【技巧方法】 （1）由函数的奇偶性求函数值： 由函数的奇偶性求函数值时，若所给的函数具有奇偶性，则直接利用或求解；若所给函数不具有奇偶性，一般续利用所给的函数构造一个奇函数或偶函数，然后利用其奇偶性求值． （2）由函数的奇偶性求参数： 若函数解析式中含参数，则根据或，利用待定系数法求参数；若定义域含参数，则根据定义域关于原点对称，利用区间的端点值之和为0求参数． 例3．设是定义在上的奇函数，则（    ） A． B． C． D． 变式3-1．设是定义在上的奇函数，当时，，则（    ） A． B．1 C． D． 变式3-2．已知函数是定义在区间上的奇函数，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 变式3-3．若函数是定义在上的偶函数，则（    ） A． B．3 C． D．51 变式3-4．已知函数，，则 . 类型四、利用函数的奇偶性解不等式 利用函数的奇偶性解不等式： 关键是利用奇偶性把自变量转化到函数的同一个单调区间内，然后利用单调性比较． 【技巧方法】 （1）为奇函数，定义域为，+的单调性，解不等式时， ①借助单调性得出的大小关系；②定义域： （2）为奇函数，定义域为，+的单调性，解不等式时， ①借助单调性得出的大小关系；②定义域： 例4．已知定义在上的偶函数在上为减函数，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式4-1．若函数是定义在R上单调递增的奇函数，且，则使得成立的x的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式4-2．已知函数是定义域为的奇函数，且，若对任意的，，且，都有成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 变式4-3．已知偶函数在区间上是增函数，则满足的取值范围是 . 变式4-4．已知为上的奇函数，，若且，都有，则不等式的解集为是 . 变式5-4．已知函数是定义在上的偶函数．其中、且． (1)求的表达式； (2)若，实数满足，求的取值范围． 类型五、函数的奇偶性与单调性融合 奇函数在对称区间上的单调性相同；偶函数在对称区间上的单调性相反。 例5．函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 变式5-1．已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C．在区间上单调递减 D．的解集为 变式5-2．函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 变式5-3．（多选）下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数是（    ） A． B． C． D． 变式5-4．已知函数是定义在区间内的奇函数，且在区间内的图象如图所示，则的单调递增区间为______________ 变式5-5．已知偶函数在区间上单调递减，则函数的单调增区间是 ． 类型六、函数的奇偶性与对称性融合 奇函数、偶函数图象对称性的推广： 在定义域内恒满足 的图象的对称轴（中心） 直线 直线 直线 点 点 点 对称轴：或者 关于对称 或者 关于对称 例6．（多选）定义在R上的偶函数满足，且在上是增函数，则（    ） A．的图象关于直线对称 B．在上是增函数 C．在上是减函数 D． 变式6-1．在R上定义的函数是偶函数，且，若在区间上是减函数，则（    ） A．在区间上是增函数﹐在区间上是增函数 B．在区间上是增函数，在区间上是减函数 C．在区间上是减函数，在区间上是增函数 D．在区间上是减函数，在区间上是减函数 变式6-2．函数的图象关于直线对称，那么错误的是（    ） A． B． C．函数是偶函数 D．函数是偶函数 变式6-3．若函数是奇函数，是奇函数，则函数图象可以关于点______对称. 类型七、抽象函数的奇偶性 利用奇、偶函数的定义判断抽象函数的奇偶性 【技巧方法】 通过赋值法处理，有时需要重新构造函数，判断函数的奇偶性。 例7．已知函数的定义域为，且．当时，． (1)求； (2)证明：函数在为增函数； (3)如果，解不等式． 变式7-1．若定义在上的函数满足：对于任意，有，则下列说法一定正确的是（    ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．是奇函数 D．是偶函数 变式7-2．已知函数的定义域为，且，若，则（    ） A． B． C．为增函数 D．为奇函数 变式7-3．已知函数在R上单调递增，对于任意都有． （1）求； （2）判断奇偶性并证明； （3）解不等式． 变式7-4．已知函数对任意，总有，且当时， ，， （1）求证：函数是奇函数； （2）利用函数的单调性定义证明，在R上的单调递减； （3）若不等式对于任意的恒成立，求实数的取值范围. 变式7-5．已知函数的定义域为，对任意，都满足，且，当时，且. (1)求，的值； (2)用函数单调性的定义证明在上单调递减； (3)若对任意的，恒成立，求实数的取值范围. 类型八、函数的奇偶性综合应用 奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反． 2、区间和关于原点对称 （1）若为奇函数，且在上有最大值，则在上最小值； （2）若为偶函数，且在上有最大值，则在上最大值． 例8．（1）设偶函数在区间上单调递减，则（    ） A． B． C． D． （2）设函数（）的最大值为，最小值为，则= 变式8-1．定义在上的偶函数满足：对任意的有则（    ） A． B． C． D． 变式8-2．已知函数在区间上的最大值为M，最小值为N，则的值为 ． 变式8-3．函数是定义在上的奇函数，设函数的最大值为，最小值为，则 . 1.函数的奇偶性为（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．即奇又偶函数 D．非奇非偶函数 2.已知函数和均为上的奇函数，且，，则的值为（    ） A． B． C． D．6 3.已知是定义在上的奇函数，且当时，，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 4.已知函数的最大值为，最小值为，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 5.设函数为定义在上的奇函数，且当时，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6.（多选）已知函数的定义域为，则下列说法正确的是（    ） A．可以表示为一个偶函数与一个奇函数之和 B．若是奇函数，则是偶函数 C．若是偶函数，则是偶函数 D．若是奇函数，则是奇函数 7.（多选）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列结论正确的是（    ） A． B．当时， C．是图像的一条对称轴 D．在上单调递增 8.（多选）已知函数的定义域为，对任意实数x，y满足，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．为奇函数 D．为上的减函数 9.已知函数为偶函数，则 ． 10.若函数在区间上的最大值为M，最小值为m，则 ． 11.若定义在R上的奇函数在上单调递减，且，则满足的x的取值范围是_____________ 12.已知定义在上的函数满足：对，都有，且当时，． (1)判断函数的奇偶性并用定义证明； (2)判断函数在上的单调性，并用单调性定义证明； (3)解不等式：． 13.已知函数，. (1)判断函数的奇偶性； (2)用定义法证明：函数在上单调递增； (3)求不等式的解集. 14.已知函数的定义域为，对任意，都满足，且.当时，，且. (1)求，的值； (2)用函数单调性的定义证明在上单调递增； (3)若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题14 函数的奇偶性 （八类重难点题型） 目录 典例详解 类型一、函数的奇偶性-定义与判断 类型二、利用函数的奇偶性求解析式 类型三、利用函数的奇偶性求值或参数 类型四、利用函数的奇偶性解不等式 类型五、函数的奇偶性与单调性融合 类型六、函数的奇偶性与对称性融合 类型七、抽象函数的奇偶性 类型八、函数的奇偶性综合应用 压轴专练 类型一、函数的奇偶性-定义与判断 函数的奇偶性 1、奇函数：如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是奇函数，图象关于原点对称． 2、偶函数：如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是偶函数，图象关于轴对称．偶函数的性质：，可避免讨论． 【技巧方法】 判断奇偶性的常用方法： 1、定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断与之一是否相等. 注：判断与的关系时，也可以使用如下结论： （1）如果或，则函数为偶函数； （2）如果或，则函数为奇函数． 2、图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（轴）对称． 3、性质法：设，的定义域分别是，，在它们的公共定义域上，一般具有下列结论： 偶 偶 偶 偶 偶 偶 奇 不确定 奇 偶 奇 偶 不确定 奇 偶 奇 奇 奇 偶 奇 例1．判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3)． (4)； (5). 【答案】(1)偶函数；(2)奇函数；(3)奇函数；(4)非奇非偶函数；(5)既是奇函数又是偶函数 【分析】（1）（2）（3）（4）（5）求得定义域，利用奇偶性的定义判断即可；. 【解析】（1）因为的定义域为，关于原点对称， 又， 所以为偶函数． （2）因为的定义域为，它关于原点对称， 又， 所以为奇函数． （3）由题设得：，所以函数定义域为，关于原点对称， 且，所以， 所以， 所以， 所以是奇函数． （4）非奇非偶函数，理由如下： 由解得，所以，函数的定义域为，定义域关于原点不对称， 则为非奇非偶函数． （5）既是奇函数又是偶函数，理由如下： 由，所以，其定义域为，关于原点对称. 因为对定义域内的每一个，都有，所以，， 所以既是奇函数又是偶函数. 变式1-1．函数，则（    ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．既非奇函数也非偶函数 D．既是奇函数也是偶函数 【答案】B 【分析】利用函数奇偶性的定义判断即可. 【解析】函数的定义域为， 当时，，有，； 当时，，有，； 当，，， 综上所述，对任意的，成立，所以函数为偶函数， 故选：B． 变式1-2．已知函数，，则（    ） A．是奇函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是奇函数 【答案】C 【分析】根据奇偶性的概念分别判断函数的奇偶性，再利用奇偶性的概念与性质逐项判断即可得结论. 【解析】函数的定义域为，则，所以函数是奇函数， 函数的定义域为，所以，则是偶函数， 所以，不能确定奇偶性，A错误； ，不能确定奇偶性，B错误； ，则是奇函数，C正确； ，则是偶函数，D错误． 故选：C. 变式1-3．设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据奇函数的定义即可得出判断． 【解析】对于A，，设， ，所以为奇函数，故A符合题意； 对于B，，， 定义域关于原点不对称，所以是非奇非偶函数，故B不合题意； 对于C，， 设， 则，不为奇函数，故C不合题意； 对于D，， 定义域关于原点不对称，所以为非奇非偶函数，故D不合题意； 故选：A． 类型二、利用函数的奇偶性求解析式 【技巧方法】 由函数的奇偶性求函数解析式的一般步骤： （1）在哪个区间上求解析是，就设在哪个区间上； （2）把对称转化到已知区间上，代入已知区间的解析式得； （3）利用函数的奇偶性把改写成，从而求出． 例2．已知是定义在上的奇函数，当时，，则在上的表达式为__________________ 【答案】 【分析】利用函数奇偶性求对称区域解析式，再利用绝对值的意义，把分段函数又写成含绝对值的函数即可. 【解析】当时，，即有， 再由是定义在上的奇函数，所以， 即有， 所以当时，， 当时，， 综上可得：， 故答案为： 变式2-1．已知函数是定义域为的偶函数，且当时，，则当时，（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用偶函数的性质求函数解析式即得. 【解析】当时，，则， ∵函数是定义域为的偶函数，∴， ∴. 故选：A. 变式2-2．（多选）已知是定义在R上的奇函数，当时，，则（   ） A． B．是奇函数 C． D．当时， 【答案】AD 【分析】AB选项，由奇函数得到，，进而得到，得到为偶函数，B错误；C选项，；D选项，由函数的奇偶性结合时的解析式，求出答案. 【解析】AB选项，因为是定义在R上的奇函数， 根据奇函数性质可知，，A正确； 的定义域为R，由于， 则， 即为偶函数，B错误； C选项，当时，，则， 故，C错误； D选项，当时，，则， 所以，D正确． 故选：AD． 变式2-3．已知为偶函数，若当时， ，则的解析式是 . 【答案】 【分析】由偶函数的定义求时的解析式，两式结合即可得函数的解析式. 【解析】若，则， 则当时，， 又为偶函数，则， 即当时，， 因此可得. 故答案为：. 变式2-4．若定义在R上的偶函数和奇函数满足．则 ． 【答案】 【分析】利用奇偶函数的性质求函数解析式即得. 【解析】由题意，， 则由 可得，即 由，可得 故答案为： 类型三、利用函数的奇偶性求值或参数 【技巧方法】 （1）由函数的奇偶性求函数值： 由函数的奇偶性求函数值时，若所给的函数具有奇偶性，则直接利用或求解；若所给函数不具有奇偶性，一般续利用所给的函数构造一个奇函数或偶函数，然后利用其奇偶性求值． （2）由函数的奇偶性求参数： 若函数解析式中含参数，则根据或，利用待定系数法求参数；若定义域含参数，则根据定义域关于原点对称，利用区间的端点值之和为0求参数． 例3．设是定义在上的奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用奇函数的定义域关于原点对称可求得的值，利用奇函数的定义求出的值，由此可求得的值. 【解析】因为是定义在上的奇函数， 则关于原点对称，所以，，解得， 且，即， 所以，，解得，所以，，且， 所以，. 故选：D. 变式3-1．设是定义在上的奇函数，当时，，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】根据奇函数的定义可得，求出即可. 【解析】因为是定义在上的奇函数，且当时，， 所以. 故选：D. 变式3-2．已知函数是定义在区间上的奇函数，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】C 【分析】根据奇函数得到，，解得答案，再验证即可. 【解析】函数是定义在区间上的奇函数， 则，解得，定义域为，，则， ，定义域为，，函数为奇函数，满足， 故. 故选：C 变式3-3．若函数是定义在上的偶函数，则（    ） A． B．3 C． D．51 【答案】B 【分析】根据定义域关于原点对称求得，根据偶函数定义求得，可得的解析式，进而得. 【解析】由题意，定义域关于原点对称，则，解得， 则，又是偶函数， 则，即，解得， 则，， 则. 故选：B. 变式3-4．已知函数，，则 . 【答案】 【分析】根据函数的奇偶性求函数值. 【解析】设，则，且为奇函数，即. 又 ； 所以， 所以. 故答案为： 类型四、利用函数的奇偶性解不等式 利用函数的奇偶性解不等式： 关键是利用奇偶性把自变量转化到函数的同一个单调区间内，然后利用单调性比较． 【技巧方法】 （1）为奇函数，定义域为，+的单调性，解不等式时， ①借助单调性得出的大小关系；②定义域： （2）为奇函数，定义域为，+的单调性，解不等式时， ①借助单调性得出的大小关系；②定义域： 例4．已知定义在上的偶函数在上为减函数，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据偶函数的性质，结合单调性进行求解即可. 【解析】因为为定义在上的偶函数，且，可得， 且在上为减函数，则，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：C. 变式4-1．若函数是定义在R上单调递增的奇函数，且，则使得成立的x的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据奇函数的性质，结合单调性进行求解即可. 【解析】因为函数是奇函数，所以， 由可得，即， 又因为函数是定义在R上单调递增函数， 所以. 故选：D 变式4-2．已知函数是定义域为的奇函数，且，若对任意的，，且，都有成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据奇函数的性质，结合单调性进行求解即可. 【解析】对任意的，，且，都有成立，所以在单调递增， 又因为函数是定义域为的奇函数，所以在单调递增， 由， 当时，，即； 当时，，即； 由可得. 故选：D. 变式4-3．已知偶函数在区间上是增函数，则满足的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据偶函数的性质，结合单调性进行求解即可. 【解析】因为偶函数在区间上是增函数， 所以在区间上单调递减， 不等式等价于，等价于， 即，解得，即满足的取值范围是. 故答案为： 变式4-4．已知为上的奇函数，，若且，都有，则不等式的解集为是 . 【答案】 【分析】设，由题意得到为偶函数且在上单调递增，由，将原不等式转化为，然后利用的图象与性质将问题转化为，解不等式即可得解. 【解析】设，由且, 则在上单调递增，∵为奇函数，， 故为偶函数， 而， 则，解得：， 故答案为： 变式5-4．已知函数是定义在上的偶函数．其中、且． (1)求的表达式； (2)若，实数满足，求的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）由偶函数性质得，再验证是偶函数即可； （2）由题意得的奇偶性、单调性，进一步等价转换不等式即可求解. 【解析】（1）由题意，即，解得， 当时，，此时定义域为关于原点对称， 且，即是偶函数， 故满足题意； （2）由题意，显然是偶函数， 所以也是偶函数， 当时，， 显然当时，都是增函数， 即在上单调递增，所以函数在上单调递减， 而， 所以，解得. 类型五、函数的奇偶性与单调性融合 奇函数在对称区间上的单调性相同；偶函数在对称区间上的单调性相反。 例5．函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由函数的奇偶性排除部分选项，再利用函数的单调性判断. 【解析】 函数的定义域为，且， 所以是偶函数，图象关于y轴对称，故排除BC， 当时，，在上递增，排除D， 故选：A 变式5-1．已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C．在区间上单调递减 D．的解集为 【答案】D 【分析】根据解析式和图像直接判断AB；对于C：结合奇函数性质分析判断；对于D：利用单调性解不等式即可. 【解析】对于选项A：显然函数的定义域为，故A错误； 对于选项B：由图象可知可以为负值，所以的值域不为，故B错误； 因为，可知为奇函数. 对于选项C：由图象可知：在区间上单调递增， 则在区间上单调递增，故C错误； 对于选项D：因为在区间上单调递增， 且，此时的解集为； 又因为在区间上单调递增， 且，此时的解集为； 综上所述：的解集为，故D正确； 故选：D. 变式5-2．函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定函数，由其定义域、值域排除选项A，C；探究在时，函数值的取值范围判断B，D作答. 【解析】函数的定义域为，A不满足； 因，当且仅当时取“=”，则C不满足； 函数是定义域上的偶函数，当时，，而函数在上单调递增， 当时，取一切实数，于是得当时，取尽正实数，D不满足，符合题意的是B. 故选：B 变式5-3．（多选）下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】对于A，的定义域为，且，即为奇函数，A错误； 对于B，的定义域为，， 则为偶函数， 当时，函数在上单调递增，B正确； 对于C，的定义域为，，即为偶函数， 函数在上单调递增，C正确； 对于D，的定义域为，且， 为偶函数，在上单调递减，D错误. 故选：BC 变式5-4．已知函数是定义在区间内的奇函数，且在区间内的图象如图所示，则的单调递增区间为______________ 【答案】和 【分析】根据奇函数的定义求出的值，由图象可得函数在内单调递增，根据奇函数的对称性，求出函数在内单调递增，即可得解. 【解析】因为函数是定义在区间内的奇函数， 所以，解得， 所以函数是定义在区间内的奇函数， 由图可知，函数在内单调递增，由奇函数的性质可知函数在内单调递增， 因此的单调递增区间为和． 故答案为：和 变式5-5．已知偶函数在区间上单调递减，则函数的单调增区间是 ． 【答案】 【分析】根据偶函数的对称性结合图象平移分析求解. 【解析】因为偶函数在区间上单调递减， 所以在区间上单调递增， 又因为，则函数的图象是由函数的图象向右平移2个单位长度得到， 所以函数的单调增区间是． 故答案为：. 类型六、函数的奇偶性与对称性融合 奇函数、偶函数图象对称性的推广： 在定义域内恒满足 的图象的对称轴（中心） 直线 直线 直线 点 点 点 对称轴：或者 关于对称 或者 关于对称 例6．（多选）定义在R上的偶函数满足，且在上是增函数，则（    ） A．的图象关于直线对称 B．在上是增函数 C．在上是减函数 D． 【答案】AD 【分析】由题可得分析可得，进而可判断AD，利用函数的对称性结合条件可判断BC. 【解析】因为，是偶函数， 所以，即， 所以函数的图象关于直线对称，故A正确； 由偶函数在对称区间上的单调性相反，得在上是减函数，故B错误； 因为函数的图象关于直线对称，且在上是减函数， 所以在上是增函数，故C错误； 由，可得，故D正确. 故选：AD. 变式6-1．在R上定义的函数是偶函数，且，若在区间上是减函数，则（    ） A．在区间上是增函数﹐在区间上是增函数 B．在区间上是增函数，在区间上是减函数 C．在区间上是减函数，在区间上是增函数 D．在区间上是减函数，在区间上是减函数 【答案】B 【分析】根据函数关于轴和轴对称，利用已知区间的单调性求解. 【解析】因为，所以函数关于成轴对称， 所以区间与区间，区间与关于对称， 由函数在区间上是减函数，可知函数在上是增函数， 又函数是偶函数，所以函数在上是增函数， 所以函数在上是减函数， 故选：B 变式6-2．函数的图象关于直线对称，那么错误的是（    ） A． B． C．函数是偶函数 D．函数是偶函数 【答案】D 【分析】根据函数的对称轴可直接判断A,B，结合函数图象平移的性质，可判断C,D. 【解析】由f(x)的图象关于对称可知， ，，故A,B正确； 把函数的图象向左平移个单位可得的图象， 关于对称，即为偶函数，故C正确； 把函数的图象向右平移个单位可得的图象， 关于对称，不能得到其为偶函数，故D错误， 故选：D． 变式6-3．若函数是奇函数，是奇函数，则函数图象可以关于点______对称. 【答案】(答案不唯一) 【分析】函数是奇函数，由奇函数的性质，知，图象关于对称 【解析】是奇函数，则，即，所以函数图象关于点对称. 故答案为:(答案不唯一) 类型七、抽象函数的奇偶性 利用奇、偶函数的定义判断抽象函数的奇偶性 【技巧方法】 通过赋值法处理，有时需要重新构造函数，判断函数的奇偶性。 例7．已知函数的定义域为，且．当时，． (1)求； (2)证明：函数在为增函数； (3)如果，解不等式． 【答案】(1)0；(2)证明见解析；(3) 【分析】（1）利用赋值法求值；（2）结合奇偶性定义判断即可.（2）由题意得的奇偶性、单调性，进一步等价转换不等式即可求解. 【解析】（1）∵， 令，则， ∴； （2）由，可得， 则得，， 设，由， 因时，有，依题意，，即， 所以函数在为增函数； （3）因，∴， 又由，则 ， 由可得， 即，即，因函数在为增函数 故可得，， 解得，即不等式的解集为. 变式7-1．若定义在上的函数满足：对于任意，有，则下列说法一定正确的是（    ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．是奇函数 D．是偶函数 【答案】A 【分析】利用赋值法结合奇偶性定义判断即可. 【解析】令得，所以， 令得，所以， 令得， 令得， 所以是奇函数， 故选：A 变式7-2．已知函数的定义域为，且，若，则（    ） A． B． C．为增函数 D．为奇函数 【答案】C 【分析】A、B利用赋值法求值称、结合奇偶性定义判断即可；C通过赋值法求出判断单调性；D由判断奇偶性. 【解析】对于A，令，则， 又因为，所以， 令，则，解得，故A错误； 对于B，令，则，又， 解得，故B错误； 对于C，令，则有， 又因为，所以， 所以函数为单调递增函数，故C正确； 对于D，由C可知，为非奇非偶函数，故D错误. 故选：C. 变式7-3．已知函数在R上单调递增，对于任意都有． （1）求； （2）判断奇偶性并证明； （3）解不等式． 【答案】（1）；（2）为奇函数，证明见解析；（3）或． 【分析】（1）利用赋值法求值；（2）结合奇偶性定义判断即可.（2）由题意得的奇偶性、单调性，进一步等价转换不等式即可求解. 【解析】（1）任意，都有，可令， 则，即； （2）为奇函数，证明如下：定义城为， 可令，则， 即，则为奇函数； （3），即为， 由于任意，都有，则， 即，即， 由函数在上单调递增，可得，解得或， 则不等式的解集为或． 变式7-4．已知函数对任意，总有，且当时， ，， （1）求证：函数是奇函数； （2）利用函数的单调性定义证明，在R上的单调递减； （3）若不等式对于任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(Ⅰ) 见解析；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ） 【分析】（1）令、，结合奇偶性定义即可证； （2）设有，结合已知和单调性定义即可证； （3）利用奇偶性、单调性，化不等式为，即可求解集. 【解析】(Ⅰ)令，得，所以， 令，得，即，所以， 所以函数是上的奇函数. (Ⅱ)任取,且，则， 因为当时， ，而，即，所以， 所以，所以在上的单调递减. (Ⅲ)由(Ⅰ)知是上的奇函数，所以，所以， 所以， 所以不等式可化为， 即，所以， 由(Ⅱ)知，在上的单调递减，所以， 故问题转化为对于任意的恒成立， 即对于任意的恒成立， 令，，故问题可转化为对任意的恒成立， 令，其对称轴为， 所以，所以. 变式7-5．已知函数的定义域为，对任意，都满足，且，当时，且. (1)求，的值； (2)用函数单调性的定义证明在上单调递减； (3)若对任意的，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)，；(2)证明见解析；(3) 【分析】（1）对进行赋值，计算即可求得答案； （2）利用函数的单调性定义结合题设条件推理证明即得； （3）利用（1）已得将不等式等价变形得到，再利用函数的单调性得到，求出函数的最小值，代入求解关于的一元二次不等式即可. 【解析】（1）由，取，可得：， 又当时，，则， 再取，可得：； （2）， ，且，则，依题， 则， 即在上单调递减； （3）由已知， 又由（1）得，则有， 因在上单调递减，则恒成立， 即恒成立，又， 则，解得， 故实数的取值范围为. 类型八、函数的奇偶性综合应用 奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反． 2、区间和关于原点对称 （1）若为奇函数，且在上有最大值，则在上最小值； （2）若为偶函数，且在上有最大值，则在上最大值． 例8．（1）设偶函数在区间上单调递减，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由偶函数的性质，结合单调性分析即可. 【解析】由题意，偶函数在区间上单调递减，则，结合偶函数的性质可得，故. 故选：C （2）设函数（）的最大值为，最小值为，则= 【答案】4048 【分析】利用奇函数的性质，可证明函数关于原点成中心对称图形，即可求得. 【解析】由题意 ，， 令，， 则，即为奇函数， 则， 结合函数（）的最大值为，最小值为， 得，则， 故答案为：4048 变式8-1．定义在上的偶函数满足：对任意的有则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判断函数的单调性，再利用函数的奇偶性得解. 【解析】因为对任意的有 所以函数在区间上单调递减， 所以，又因为函数是偶函数， 所以. 故选：A 变式8-2．已知函数在区间上的最大值为M，最小值为N，则的值为 ． 【答案】 【分析】利用奇函数的性质，可证明函数关于点成中心对称图形，即可求得. 【解析】因， 设，则，可得函数为奇函数， 则在区间上的最大值与最小值的和为0，故， 于是，. 故答案为：. 变式8-3．函数是定义在上的奇函数，设函数的最大值为，最小值为，则 . 【答案】2 【分析】利用奇函数的性质，可证明函数关于点成中心对称图形，即可求得. 【解析】由函数， 因为函数是定义在上的奇函数，所以有， 则， 所以可得函数关于点成中心对称图形， 因为函数的最大值为，最小值为， 所以最大值点与最小值点关于点成中心对称图形， 即， 故答案为：2. 1.函数的奇偶性为（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．即奇又偶函数 D．非奇非偶函数 【答案】A 【分析】按照判定函数奇偶性的步骤，先求函数的定义域，并判断是否关于原点对称，求，与对比，即可得出结论. 【解析】的定义域为， ， 所以是奇函数. 故选:A. 2.已知函数和均为上的奇函数，且，，则的值为（    ） A． B． C． D．6 【答案】A 【分析】代入，和，利用奇函数的性质，两式相加求值. 【解析】,①, 和 都是奇函数， 即 ② ①+②可得 . 故选：A. 3.已知是定义在上的奇函数，且当时，，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【解析】因为是定义在上的奇函数，所以， 当时，， 又，即，故，则， 则当时，，当时，， 所以，则所以． 故选：A. 4.已知函数的最大值为，最小值为，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】由题意可得，可求的值. 【解析】由，得，函数的定义域为， 令，定义域为，定义域关于原点对称， 又，所以为奇函数， 所以， 则的图象关于点对称，所以. 故选：C. 5.设函数为定义在上的奇函数，且当时，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的奇偶性以及当时的解析式，求出的解析式，解不等式，可得x的取值范围，进而结合，再分类讨论，求解相应不等式，即可求得答案. 【解析】由题意知为定义在上的奇函数，则， 当时，， 当时，， 故， 又，得或， 解得或，则； 所以时，， 当时，，解得或，则， 当时，，满足； 当时，，解得，则， 综上，a的取值范围为， 故选：C 6.（多选）已知函数的定义域为，则下列说法正确的是（    ） A．可以表示为一个偶函数与一个奇函数之和 B．若是奇函数，则是偶函数 C．若是偶函数，则是偶函数 D．若是奇函数，则是奇函数 【答案】ABD 【分析】根据给定条件，利用函数奇偶性定义逐项分析判断. 【解析】对于A，，令， 则，即是偶函数，是奇函数， 而，因此可以表示为一个偶函数与一个奇函数之和，A正确； 对于B，是奇函数，则，，是偶函数，B正确； 对于C，是偶函数，则，，是奇函数，C错误； 对于D，是奇函数，则，，是奇函数，D正确. 故选：ABD 7.（多选）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列结论正确的是（    ） A． B．当时， C．是图像的一条对称轴 D．在上单调递增 【答案】BD 【分析】根据给定区间上的函数解析式，结合奇函数的性质，逐项分析判断作答. 【解析】当时，，而函数是上的奇函数，则，A错误； 当时，，B正确； 因为，不是图像的对称轴，C错误； 因为当时，，因此函数在上单调递增，D正确. 故选：BD 8.（多选）已知函数的定义域为，对任意实数x，y满足，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．为奇函数 D．为上的减函数 【答案】ABC 【解析】A：令，代入， 得，解得，故A正确； B：令，代入， 得，又，所以； 令，代入， 得， 令，代入， 得，所以，故B正确； C：令，代入， 得，则， 所以函数为奇函数，故C正确； D：由选项AB知，，，则， 所以函数不为R上的减函数，故D错误. 故选：ABC 9.已知函数为偶函数，则 ． 【答案】 【分析】令时，则，由偶函数的定义可得出，可得出、的值，进而可得出的值. 【解析】因为函数为偶函数， 当时，，此时，， 所以，，，故. 故答案为：. 10.若函数在区间上的最大值为M，最小值为m，则 ． 【答案】4 【解析】因为， 令，则， 又因为，所以函数为奇函数， 所以，所以． 故答案为：4． 11.若定义在R上的奇函数在上单调递减，且，则满足的x的取值范围是_____________ 【答案】 【解析】由题意，定义在R上的奇函数在上单调递减，且， 则在上单调递减，且，， 所以当时，， 当时，， 所以由可得： 或或， 解得或或，即或， 所以满足的的取值范围是. 故答案为： 12.已知定义在上的函数满足：对，都有，且当时，． (1)判断函数的奇偶性并用定义证明； (2)判断函数在上的单调性，并用单调性定义证明； (3)解不等式：． 【答案】(1)函数是奇函数，证明见解析；(2)函数在上单调递减，证明见解析；(3) 【分析】（1）利用函数的奇偶性定义求解； （2）利用函数的单调性定义证明； （3）利用函的奇偶性和单调性求解即可. 【解析】（1）函数是奇函数， 证明：令，则，解得， 令，则，令，则． 为定义在上的奇函数． （2）函数在上单调递减， 证明：，设，则， ， ，，． 又，， 又当时，，由（1）知为定义在上的奇函数． 则当时，，， ，即，即， 在上单调递减； （3）因为， 由（1）知为定义在上的奇函数， 则， 的定义域为且在上是单调递减的， 解得， 不等式的解集为． 13.已知函数，. (1)判断函数的奇偶性； (2)用定义法证明：函数在上单调递增； (3)求不等式的解集. 【答案】(1)为奇函数；(2)证明见解析；(3) 【解析】（1）由，且定义域关于原点对称，故为奇函数. （2）任取，且， ， 因为，且， 故，，，，， 所以，， 故函数在上单调递增； （3）由（1）（2）为奇函数，且在上单调递增， 变形为， 则要满足，解得：， 故不等式的解集为 14.已知函数的定义域为，对任意，都满足，且.当时，，且. (1)求，的值； (2)用函数单调性的定义证明在上单调递增； (3)若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1)，；(2)证明见解析；(3) 【解析】（1）由， 则， 又当时，， 则， ； （2）令，则，即， 当时，，且， 即， 即在上恒成立， 由，可知， 令，，且，即， 则， 所以， 即在上单调递增； （3）由已知， 又由（1）得， 所以， 又函数在上单调递增， 则恒成立， 所以恒成立， 又， 即， 解得. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $