微专题 利用函数单调性与奇偶性解不等式8题型（专项训练）数学人教A版2019必修第一册

微专题 利用函数单调性与奇偶性解不等式 题型一 根据简单抽象函数的单调性解不等式 利用抽象函数单调性，将不等式f(A)>f(B)转化为A>B（增函数）或A<B（减函数），结合定义域直接求解，注意单调性的单向性。 1．（25-26高一·全国·课后作业）已知为上的减函数，则满足的实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（2025高一·上海·课后作业）函数在上是严格增函数，且，则的取值范围是 ． 3．（2025高一·广东揭阳·期末）已知偶函数在区间上单调递增，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2025高一·黑龙江哈尔滨·期中）函数是定义在的增函数，则满足的x取值范围（    ） A． B． C． D． 题型二 根据简单抽象函数的单调性与奇偶性解不等式 先由奇偶性将不等式转化为f(∣A∣)>f(∣B∣)（偶函数）或f(A)>−f(B)=f(−B)（奇函数），再结合单调性与定义域解不等式。 5．（2025高一·湖北荆州·期中）已知定义在上的偶函数在上单调递增，且，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．（2025高一·海南省直辖县级单位·阶段练习）设定义在上的奇函数在区间上是减函数，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．（2025高一·河南周口·阶段练习）设是定义在上的偶函数，且在内是增函数，又，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 8．（2025高一·陕西榆林·阶段练习）若奇函数在上是增函数，且，则使得的取值范围是 . 9．（2025高一·陕西西安·期中）已知偶函数在区间上单调递减，且，若，则x的取值范围是 10．（2025高一·上海·阶段练习）已知定义域为的偶函数在区间上严格单调递减，且，则不等式的解集为 . 11．（2025高一·陕西商洛·阶段练习）已知是定义在上的奇函数，在上单调递增，，那么的解集是（    ） A． B． C． D． 12．（2025高三·海南省直辖县级单位·开学考试）已知定义在上的奇函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是 ． 13．（2025高一·云南昭通·期末）定义在上的奇函数在上单调递减，且，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．【多选】（2025高一·广西南宁·阶段练习）已知函数在R上单调递减，且为奇函数，若，则满足的x值可能为（    ） A． B．0 C．1 D．2 15．（2025高一·全国·课后作业）已知奇函数的定义域为，且在上单调递增，若实数满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型三 根据简单抽象函数的单调性、偶函数与对称性解不等式 已知函数对称轴及其左右两侧的单调性解不等式，先对函数进行平移构造偶函数，然后利用偶函数的性质，解不等式 16．（2025·陕西商洛·模拟预测）已知为偶函数，且在上单调递增，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 17．（2025高三·江苏扬州·期中）已知函数是偶函数，在上单调递增，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 18．（2025高一·江西萍乡·期末）已知定义在上的函数在上单调递增，若函数为偶函数，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 19．（2025·广西·模拟预测）已知定义在上的函数在上单调递减，且为偶函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 20．（2025高三·江西宜春·开学考试）已知定义在R上的函数在上单调递增，且为偶函数，则不等式的解集为（    ）． A． B． C． D． 21．（2025高一·重庆·阶段练习）已知函数在是增函数，关于轴对称，成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型四 根据复杂抽象函数的单调性解不等式 对复杂抽象函数，先推导单调性，再将不等式转化为自变量的大小关系，结合定义域求解。 22．（25-26高一·北京·期中）已知定义在R上的函数满足：对任意实数x，y，恒有，若，当时，，则下列结论正确的有 . ①                ②函数的最小值为 ③为R上的增函数    ④关于x的不等式的解集为 23．【多选】（25-26高一·江苏苏州·阶段练习）已知定义在R上的函数满足对任意的，都有，当时，，，则（   ） A． B． C．在R上单调递增 D．的解集为 24．【多选】（25-26高三·重庆渝北·阶段练习）已知定义在R上的函数满足对任意的x，y，均有，且当时，，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则 C．是R上的减函数 D．若，则不等式的解集是 25．（25-26高一·重庆渝中·阶段练习）定义在上的函数满足对任意的正实数、恒有，且，若对任意的、，当时都有，则不等式的解集是 26．（25-26高一·河南南阳·阶段练习）已知函数的定义域为，且，当时，． (1)求，的值． (2)证明：． (3)判断在上的单调性，并给出证明． (4)求不等式的解集． 27．（2025高一·黑龙江·专题练习）已知函数对任意的，都有，且当时，． (1)求证：是上的增函数； (2)若，解不等式． 28．（25-26高一·黑龙江大庆·阶段练习）函数满足对一切x，有，且；当时，有． (1)求的值； (2)判断并证明在R上的单调性； (3)求不等式的解集． 29．（25-26高一·黑龙江哈尔滨·阶段练习）函数的定义域为，对于，，，且当时，． (1)求的值； (2)证明：为减函数； (3)若，求不等式的解集． 30．（25-26高二·广东·阶段练习）设的定义域为，对任意，都有，且当时，，又．则下列结论中，错误的是（ ） A． B． C．在上为增函数 D．解集为或 31．（2025高一·吉林·专题练习）定义在上的函数满足，且函数在上是减函数. (1)求并证明函数是偶函数； (2)若，解不等式. 32．（25-26高一·江苏苏州·阶段练习）已知的定义域为．且当时，． (1)求的值； (2)试判断的单调性，并证明； (3)若，且，求x的取值范围． 题型五 根据单调性定义构造函数解不等式 根据单调性定义构造新函数g(x)，分析g(x)单调性，将原不等式转化为g(A)>g(B)，利用单调性解出自变量范围。 33．（2025高一·云南·期末）已知函数定义域为，对任意两个不相等的实数，都有成立.则不等式的解集为 . 34．（25-26高一·湖南长沙·阶段练习）定义在上的函数满足：对任意，且，，若，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 35．（25-26高一·全国·期中）设奇函数的定义域为，对任意的，且，都有不等式，且，则不等式的解集是 36．（2025·河南·模拟预测）已知函数的定义域为，对于任意的，都有．若，且在时恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型六 根据简单具体函数的单调性解不等式 先判断具体函数单调性（图象法、定义法等），再将不等式转化为函数值的大小关系，结合单调性与定义域解不等式，注意定义域优先。 37．（25-26高三·海南海口·阶段练习）已知函数，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 38．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，若，则实数的取值范围是 ． 39．（2026高三·全国·专题练习）设函数则不等式的解集为 . 40．（25-26高一·四川遂宁·阶段练习）已知函数， (1)用定义法证明函数在区间上是增函数； (2)若，求实数的取值范围． 41．（25-26高三·安徽淮北·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)求函数的解析式； (2)判断并证明在上的单调性； (3)解不等式． 42．（25-26高三·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）已知函数的图象经过点． (1)求的解析式； (2)探究的奇偶性； (3)求不等式的解集． 题型七 根据复杂具体函数的单调性解不等式 先判断复杂函数单调性，再将不等式转化为函数值的大小关系，结合单调性解不等式，注意定义域优先。 43．（25-26高三·内蒙古·开学考试）设函数，若关于x的不等式恒成立，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 44．【多选】（2025高一·重庆·期中）设函数，其中表示中的最小者，下列说法正确的有（    ） A．函数为偶函数 B．不等式的解集为 C．当时， D．当时， 题型八 利用函数的单调性解不等式与恒成立问题的综合 解不等式时利用单调性转化为自变量关系；恒成立问题则转化为函数最值（如f(x)min≥a），结合单调性求最值，进而求解参数范围。 45．（2025高一·广东·期中）已知是定义在R上的奇函数，且时，，若对任意，不等式恒成立，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 46．（2025高一·安徽六安·期末）已知是偶函数，且在上是增函数，若在上恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 47．（2025高一·上海·期中）已知是定义在上的偶函数，若任意且时，恒成立，且，则满足的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 48．（2025高一·全国·周测）已知函数的图象关于轴对称，且对于，当时，恒成立，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题 利用函数单调性与奇偶性解不等式 题型一 根据简单抽象函数的单调性解不等式 利用抽象函数单调性，将不等式f(A)>f(B)转化为A>B（增函数）或A<B（减函数），结合定义域直接求解，注意单调性的单向性。 1．（25-26高一·全国·课后作业）已知为上的减函数，则满足的实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为为上的减函数，且，所以，即，解得或． 2．（2025高一·上海·课后作业）函数在上是严格增函数，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据函数单调性列出不等式即可求解. 【详解】因为函数在上是严格增函数，且， 所以，解得. 故答案为：. 3．（2025高一·广东揭阳·期末）已知偶函数在区间上单调递增，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据偶函数的单调性列绝对值不等式求解即可. 【详解】因为为偶函数，且在区间上单调递增，则在区间上单调递减， 而，则，所以． 故选：C． 4．（2025高一·黑龙江哈尔滨·期中）函数是定义在的增函数，则满足的x取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的定义域与单调性将原不等式化为，从而可得答案. 【详解】因为函数是定义在上的增函数， 由，得， 解得，即， 故选：B 题型二 根据简单抽象函数的单调性与奇偶性解不等式 先由奇偶性将不等式转化为f(∣A∣)>f(∣B∣)（偶函数）或f(A)>−f(B)=f(−B)（奇函数），再结合单调性与定义域解不等式。 5．（2025高一·湖北荆州·期中）已知定义在上的偶函数在上单调递增，且，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性可判断函数在上的单调性，进而可解不等式. 【详解】由已知为上的偶函数，且在上单调递增， 则函数在上单调递减， 所以不等式， 即，解得， 故选：A. 6．（2025高一·海南省直辖县级单位·阶段练习）设定义在上的奇函数在区间上是减函数，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的奇偶性可判断函数单调性，进而可解不等式. 【详解】由已知函数为奇函数，且在上单调递减， 所以函数在上单调递减， 又， 则，解得， 即， 故选：C. 7．（2025高一·河南周口·阶段练习）设是定义在上的偶函数，且在内是增函数，又，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过分析函数的单调性结合，即可得出不等式的解集. 【详解】由题意， 在中，函数是定义在上的偶函数，且在内是增函数， ∴，函数在单调递减， ∵， ∴当和时，， 故选：B. 8．（2025高一·陕西榆林·阶段练习）若奇函数在上是增函数，且，则使得的取值范围是 . 【答案】 【分析】由的奇偶性及在上的性质，得在上的性质，解出不等式. 【详解】因为在上是增函数，， 所以时，， 又因为是奇函数，所以在上也是增函数，， 所以时，，综上，的解集为. 故答案为：. 9．（2025高一·陕西西安·期中）已知偶函数在区间上单调递减，且，若，则x的取值范围是 【答案】 【分析】由题意得函数的单调区间，进一步即可根据单调性解不等式，从而得解. 【详解】因为偶函数在区间上单调递减， 所以，所以， 解得或，所以x的取值范围是. 故答案为：. 10．（2025高一·上海·阶段练习）已知定义域为的偶函数在区间上严格单调递减，且，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】由偶函数和函数的单调性可得出，可得出，解之即可. 【详解】因为定义域为的偶函数在区间上严格单调递减， 则， 所以，即或，解得或， 即所求解集为. 故答案为：. 11．（2025高一·陕西商洛·阶段练习）已知是定义在上的奇函数，在上单调递增，，那么的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据奇函数的性质和函数单调性相关知识直接求解即可. 【详解】因为是定义在上的奇函数，在上单调递增，， 所以在上单调递增，， 所以当和时，， 当和时，， 若，则或， 所以或， 所以原不等式的解集为. 故选：B 12．（2025高三·海南省直辖县级单位·开学考试）已知定义在上的奇函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意作出示意图，结合图形可求不等式的解集. 【详解】因为是定义在上的奇函数，且在上单调递减，， 作出示意图如图所示：    由图形可知满足不等式的的取值范围是. 故答案为：. 13．（2025高一·云南昭通·期末）定义在上的奇函数在上单调递减，且，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题中条件可知当时，，当时，，进而分类讨论解求得x的取值范围. 【详解】因为定义域为的奇函数在内单调递减，且， 所以在上也是单调递减，且，， 所以当时，，当时，， 所以由，可得：，或，或， 解得或， 所以满足的x的取值范围是， 故选：C. 14．【多选】（2025高一·广西南宁·阶段练习）已知函数在R上单调递减，且为奇函数，若，则满足的x值可能为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】CD 【分析】利用奇函数的性质及其单调性可得求自变量范围，即可得答案. 【详解】由题设，且，又在R上单调递减， 所以，即，符合要求的x值为C、D. 故选：CD 15．（2025高一·全国·课后作业）已知奇函数的定义域为，且在上单调递增，若实数满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数的单调性和奇偶性可得，由此可求得的取值范围. 【详解】解：由题意得 ∵奇函数的定义域为，且在上单调递增 ∴在定义域内单调递增． 若实数满足，即 故有，解得，所以的取值范围为. 故选：D 题型三 根据简单抽象函数的单调性、偶函数与对称性解不等式 已知函数对称轴及其左右两侧的单调性解不等式，先对函数进行平移构造偶函数，然后利用偶函数的性质，解不等式 16．（2025·陕西商洛·模拟预测）已知为偶函数，且在上单调递增，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由函数的对称性、单调性即可列出不等式求解. 【详解】因为为偶函数，所以函数的图象关于对称， 又在上单调递增，， 所以，解得． 故选：B． 17．（2025高三·江苏扬州·期中）已知函数是偶函数，在上单调递增，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意的对称轴是，在上单调递增，在上单调递减，不等式等价于，求解即可. 【详解】由题意函数是偶函数，所以的对称轴是， 因为在上单调递增，所以在上单调递减， 由，有，即， 解得或，所以不等式的解集为. 故选：C. 18．（2025高一·江西萍乡·期末）已知定义在上的函数在上单调递增，若函数为偶函数，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知，函数关于对称，结合题意作出函数的大致图象，利用数形结合即可求解. 【详解】由函数为偶函数，可知函数关于对称， 又函数在上单调递增，知函数在上单调递减， 由，知，作出函数的大致图象，如下： 由图可知，当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 所以不等式的解集为. 故选：B. 19．（2025·广西·模拟预测）已知定义在上的函数在上单调递减，且为偶函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由为偶函数求得函数对称轴，再结合函数的单调性进行求解即可. 【详解】∵函数为偶函数，∴，即， ∴函数的图象关于直线对称， 又∵函数定义域为，在区间上单调递减， ∴函数在区间上单调递增， ∴由得，，解得. 故选：D. 20．（2025高三·江西宜春·开学考试）已知定义在R上的函数在上单调递增，且为偶函数，则不等式的解集为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件，可得对称轴为，且在上单调递减.根据函数的对称性与单调性，可得只需即可，解出不等式即可. 【详解】由题意可得，对称轴为，且在上单调递减.则由，可得出，即， 即，解得或. 所以，不等式的解集为. 故选：B. 21．（2025高一·重庆·阶段练习）已知函数在是增函数，关于轴对称，成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，由题意得到的性质，从而将问题转化为，从而利用的奇偶性与单调性即可得解. 【详解】令， 因为在是增函数，关于轴对称， 所以在是增函数，且在上是偶函数， 又， 所以由，得， 即，则， 所以，两边平方得，解得或. 故选：D. 题型四 根据复杂抽象函数的单调性解不等式 对复杂抽象函数，先推导单调性，再将不等式转化为自变量的大小关系，结合定义域求解。 22．（25-26高一·北京·期中）已知定义在R上的函数满足：对任意实数x，y，恒有，若，当时，，则下列结论正确的有 . ①                ②函数的最小值为 ③为R上的增函数    ④关于x的不等式的解集为 【答案】①③④ 【分析】根据给定条件，赋值推理判断①②；利用函数单调性定义推理判断③；将不等式等价转化，再利用单调性求解判断④. 【详解】对于①，令，则，而，解得，①正确； 对于②，令，则，，假设存在使得， 对任意实数x，有， 此时为常数函数，与矛盾，即不存在使得，则，②错误； 对于③，由，得， ，且，则，又当时，，则， 又恒成立，因此 ， 即，因此为R上的增函数，③正确； 对于④，，则， ，不等式 ，令，由，即， 解得或，即或，而为R上的增函数，， 于是或，不等式的解集为，④正确. 故答案为：①③④. 23．【多选】（25-26高一·江苏苏州·阶段练习）已知定义在R上的函数满足对任意的，都有，当时，，，则（   ） A． B． C．在R上单调递增 D．的解集为 【答案】ABD 【分析】令计算可得，即A正确，利用奇函数定义可证明B正确，由函数性质以及单调性定义证明可得在R上单调递减，可得C错误，根据函数单调性整理表达式并解不等式可得D正确. 【详解】对于A，令可得可得，因此A正确； 对于B，令可得，因此B正确； 对于C，取任意，且，则可得， 又因为当时，，所以 所以， 因此，所以， 可知在R上单调递减，因此C错误； 对于D，由可得， 也即，因此， 结合C中单调性可知，即，解得； 因此不等式的解集为,可得D正确. 故选：ABD 24．【多选】（25-26高三·重庆渝北·阶段练习）已知定义在R上的函数满足对任意的x，y，均有，且当时，，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则 C．是R上的减函数 D．若，则不等式的解集是 【答案】ABD 【分析】通过对合理赋值求解. 【详解】对于A：令，则，解得，A正确； 对于B：令，则，解得， 再令，则，解得，B正确； 对于C：，且，则，令， 则，即， 因为，所以，所以，即， 所以在上是增函数，C错误； 对于D：令，则，解得， 所以， 因为在上是增函数，且， 所以，即，解得， 即不等式的解集是，D正确； 故选：ABD. 25．（25-26高一·重庆渝中·阶段练习）定义在上的函数满足对任意的正实数、恒有，且，若对任意的、，当时都有，则不等式的解集是 【答案】 【分析】求得，分析函数的单调性，将所求不等式化为，结合函数的定义域可得出关于的不等式组，即可解得所求不等式的解集. 【详解】令可得， 当时都有， 不妨设，则，可得， 所以函数在上为增函数， 由可得， 所以，解得. 因此不等式的解集为. 故答案为：. 26．（25-26高一·河南南阳·阶段练习）已知函数的定义域为，且，当时，． (1)求，的值． (2)证明：． (3)判断在上的单调性，并给出证明． (4)求不等式的解集． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)在上单调递减，证明见解析 (4) 【分析】（1）根据条件，通过赋值，即可求解； （2）利用（1）中结果得，再结合条件，即可求证； （3）利用单调函数的定义，令，，结合条件，得到，再结合（2）中结果，即可求解； （4）根据函数，利用（3）中结果，得的单调性，从而将问题转化成解不等式，即可求解. 【详解】（1）令，，得． 由题意得，所以，得． 令，得，得． （2）由（1）得． 当时，，，得． 又，当时，，所以． （3）在上单调递减．证明如下， 任取，且，令，， 则，得． 因为，所以，得． 由（2）可知，由，得，所以在上单调递减． （4）设函数，因为在上单调递减，所以在上单调递减． 由，得． 由，得， 则等价于， 所以，得．故不等式的解集为． 27．（2025高一·黑龙江·专题练习）已知函数对任意的，都有，且当时，． (1)求证：是上的增函数； (2)若，解不等式． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）由已知条件，结合函数单调性的定义证明； （2）利用赋值法求得，再利用（1）所得函数单调性解不等式. 【详解】（1）设，且，则，即， ∴， ∴， ∴是上的增函数； （2）∵， 取，则， 于是等价于，即， 由（1）知是上的增函数， ∴，解得， ∴原不等式的解集为. 28．（25-26高一·黑龙江大庆·阶段练习）函数满足对一切x，有，且；当时，有． (1)求的值； (2)判断并证明在R上的单调性； (3)求不等式的解集． 【答案】(1)3 (2)单调递减，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据题意，令，可得，令，可得， ，再令，求得； （2）设且，令，得到，根据题意，结合函数单调性的定义和判定方法，即可得证； （3）根据题意，把原不等式化为，令，得到，得到，结合，，结合函数的单调性，转化为，即可求解. 【详解】（1）由函数满足对一切，且， 令，可得，令，可得， 再令， 所以，可得. （2）为上的单调递减函数. 证明如下： 设且，令，则， 所以， 因为当时，有，所以， 由 ， 即，所以为上的单调递减函数. （3）令，可得 所以，原不等式化为， 令，可得，解得，即， 又由，所以， 因为为上的单调递减函数，所以， 即，解得，所以不等式的解集为. 29．（25-26高一·黑龙江哈尔滨·阶段练习）函数的定义域为，对于，，，且当时，． (1)求的值； (2)证明：为减函数； (3)若，求不等式的解集． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用赋值法，令求解即可； （2）由，得，然后化简即可证明； （3）由和化简不等式得，结合定义域利用单调性解不等式即可. 【详解】（1）令，则，所以. （2）设，且，则，， 因为，所以， 所以为减函数. （3）因为， 所以， 由，则， 又因为在上单调递减， 所以，解得， 所以不等式的解集为. 30．（25-26高二·广东·阶段练习）设的定义域为，对任意，都有，且当时，，又．则下列结论中，错误的是（ ） A． B． C．在上为增函数 D．解集为或 【答案】C 【分析】对于A用赋值法即可求值；对于B对条件进行适当变形即可得结论；对于C根据增函数的定义证明即可；对于D对不等式进行变形，利用单调性即可求解不等式. 【详解】对于A，令，则，故A正确； 对于B，，即，故B正确； 对于C，令，则，，即，所以函数为减函数，故C错误； 对于D，由，得，所以， 于是，解得或，故D正确. 故选：C 31．（2025高一·吉林·专题练习）定义在上的函数满足，且函数在上是减函数. (1)求并证明函数是偶函数； (2)若，解不等式. 【答案】(1)，证明见解析 (2) 【分析】（1）根据函数方程，对自变量进行合理赋值即可求得函数值，同时也可以得到与之间的关系，进而证明； （2）利用函数的奇偶性和单调性，合理转化求解不等式即可. 【详解】（1）令，则， 得， 再令，，可得， 得，所以， 令，可得， 所以是偶函数，即证. （2）因为，又该函数为偶函数，所以. 因为函数在上是减函数，且是偶函数 所以函数在上是增函数. 由可得， 则 所以，等价于或， 解得或. 所以不等式的解集为. 32．（25-26高一·江苏苏州·阶段练习）已知的定义域为．且当时，． (1)求的值； (2)试判断的单调性，并证明； (3)若，且，求x的取值范围． 【答案】(1) (2)在上单调递减，证明见解析 (3)或 【分析】（1）应用赋值法计算求解； （2）先判断单调性，再应用单调性定义证明即可； （3） 先根据，再应用赋值法结合单调性化简不等式最后应用一元二次不等式求解方法计算求解. 【详解】（1）令，得，解得． （2）在上单调递减，证明如下： 不妨设， 所以 ， 又，所以，所以， 所以，即， 所以在上单调递减． （3）因为， 所以， 所以， 令，因为，得，解得， 所以， 因为，所以． 又因为（2）知为单调递减， 所以，即得， 所以或． 题型五 根据单调性定义构造函数解不等式 根据单调性定义构造新函数g(x)，分析g(x)单调性，将原不等式转化为g(A)>g(B)，利用单调性解出自变量范围。 33．（2025高一·云南·期末）已知函数定义域为，对任意两个不相等的实数，都有成立.则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】根据定义判断函数单调性，再根据单调性解不等式. 【详解】由已知对任意两个不相等的实数，都有成立， 不妨设，则， 即函数在上单调递增， 又，则， 即， 则，即， 解得， 故答案为：. 34．（25-26高一·湖南长沙·阶段练习）定义在上的函数满足：对任意，且，，若，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，判断函数的单调性，根据函数单调性解不等式，可得所求不等式的解集. 【详解】不妨设，因为，所以， 所以. 设，则， 所以在上单调递增，因为，所以， 所以的解集为， 所以的解集为. 故选：B 35．（25-26高一·全国·期中）设奇函数的定义域为，对任意的，且，都有不等式，且，则不等式的解集是 【答案】 【分析】构造函数判断奇偶性及单调性，利用其单调性解不等式即可. 【详解】对任意的，且，都有不等式， 不妨设，则， 令，则，即函数在上为增函数， 因为函数为R上的奇函数，即， 则，所以函数为偶函数， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 因为，则， 当时，即当时， 由可得， 则，解得； 当时，即当时， 由可得， 则，解得. 综上所述，不等式的解集为. 故答案为：. 36．（2025·河南·模拟预测）已知函数的定义域为，对于任意的，都有．若，且在时恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，可知在上单调递增，将所求不等式变形为，可得出在时恒成立，由此可得出关于实数的不等式组，解之即可. 【详解】因为，所以由，可得，即． 令，可得，则可知在上单调递增． ． 由，可得，即， 则在时恒成立，只需，解得. 因此，实数的取值范围是. 故选：A. 题型六 根据简单具体函数的单调性解不等式 先判断具体函数单调性（图象法、定义法等），再将不等式转化为函数值的大小关系，结合单调性与定义域解不等式，注意定义域优先。 37．（25-26高三·海南海口·阶段练习）已知函数，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先判断的单调性,再根据函数的单调性将转化为一元二次不等式求解即可. 【详解】 ， 当时,,则在时,单调递增； 当时,,根据幂函数单调性可知,在时,单调递增； 又在处,， ,是定义域为单调增函数， ， ，即 ， 解得:， 故不等式的解集为:. 故选：B. 38．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意可得，从而有为偶函数，上单调递增，据此可解不等式. 【详解】函数的定义域为，关于原点对称， 当时，则，， 当时，则，， 综上所述：对，都有， 所以为偶函数，又时，，所以在上单调递增， 由，可得， 所以，平方得， 令，可得，整理得，解得或， 又，所以或，即或， 解得或或或， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 39．（2026高三·全国·专题练习）设函数则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】把不等式化为这种形式，再利用函数单调性求解. 【详解】由函数解析式知在上单调递增， 且， 则， 由单调性知，解得. 故答案为： 40．（25-26高一·四川遂宁·阶段练习）已知函数， (1)用定义法证明函数在区间上是增函数； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)或 【分析】（1）根据单调性的定义，结合作差法即可求解， （2）根据函数的单调性，结合函数定义域，即可列不等式求解. 【详解】（1）证明：任取，且， 则 ， 又，则， 所以，故， 得到，即， 所以函数在区间上是增函数． （2）因为函数是定义在区间上的增函数，由， 得到，解得或， 所以实数的取值范围为或 41．（25-26高三·安徽淮北·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)求函数的解析式； (2)判断并证明在上的单调性； (3)解不等式． 【答案】(1)， (2)定义域内单调递减，证明见详解 (3) 【分析】（1）根据奇函数的性质及列方程求，，进而求出解析式；（2）利用单调性定义判断函数的单调性；（3）在定义域的区间内，利用奇函数的性质将不等式进行变形，再利用函数的单调性求解. 【详解】（1）因函数 是定义在上的奇函数，所以，故，即. 又因为，所以，即. 故函数的解析式为， （2）对，且，. 其中，，. 因此，，即对且，有. 所以函数在定义域内单调递减. （3）因，有意义，所以，，解得. 所以 ，即也在的定义域内. 而是定义域上的奇函数，所以. 故不等式即为. 又因在定义域内单调递减，所以，解得. 综上，. 所以不等式的解集为. 42．（25-26高三·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）已知函数的图象经过点． (1)求的解析式； (2)探究的奇偶性； (3)求不等式的解集． 【答案】(1) (2)偶函数 (3) 【分析】（1）利用代入法进行求解即可； （2）根据函数奇偶性的定义进行判断即可； （3）利用函数的单调性，结合偶函数的性质进行求解即可. 【详解】（1）把点的坐标分别代入中， 得； （2）显然函数的定义域为R，关于原点对称， 又， 所以函数是偶函数； （3）当时，函数单调递增，且， 所以此时函数单调递减， 因为函数是偶函数， 所以由 或， 因此原不等式的解集为. 题型七 根据复杂具体函数的单调性解不等式 先判断复杂函数单调性，再将不等式转化为函数值的大小关系，结合单调性解不等式，注意定义域优先。 43．（25-26高三·内蒙古·开学考试）设函数，若关于x的不等式恒成立，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数的奇偶性及解析式可得，结合对应幂函数的单调性及奇函数的对称性得在R上为增函数，则恒成立，即可求范围. 【详解】∵，且定义域为R， ∴是奇函数，故等价于. ∵，则 ∴， 当时，，易知在上单调递增， 结合奇函数对称性，知在R上为增函数，故恒成立， ∴，得. 故选：D 44．【多选】（2025高一·重庆·期中）设函数，其中表示中的最小者，下列说法正确的有（    ） A．函数为偶函数 B．不等式的解集为 C．当时， D．当时， 【答案】ACD 【分析】作出函数的图象，易判断AB，然后分类讨论确定、和的表达式，判断CD． 【详解】作出函数的图象，如图实线部分． 由图可知其图象关于轴对称，函数为偶函数，A正确； 当时，，当时，， 当时，，当时，，当时，. ，再计算得， 根据图得解集为，B错； 当时，即为，恒成立； 当，即时，即， 即，解得，故此时的范围为， 当，即，则， 即为，解得，故此时的范围为， 综上，，则，反过来同样成立，故C正确； 对D，由B选项知时，，则， 则成立，D正确． 故选：ACD． 题型八 利用函数的单调性解不等式与恒成立问题的综合 解不等式时利用单调性转化为自变量关系；恒成立问题则转化为函数最值（如f(x)min≥a），结合单调性求最值，进而求解参数范围。 45．（2025高一·广东·期中）已知是定义在R上的奇函数，且时，，若对任意，不等式恒成立，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的奇偶性结合解析式判断其单调性，将原问题转化为关于x的不等式恒成立问题，即可求解. 【详解】由题意知是定义在R上的奇函数，且时，， 此时函数在单调递增， 故时，，则，，此时函数在单调递增， 且，故，在R上单调递增； ，即，即， 即，即， 故对任意，都有，即恒成立， 由此可得，解得， 即实数m的取值范围为， 故选：B 46．（2025高一·安徽六安·期末）已知是偶函数，且在上是增函数，若在上恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对称性可得单调性，由此可将恒成立的不等式化为，根据二次函数图象讨论的方法可构造不等式组求得结果. 【详解】为偶函数，，关于直线对称， 又在上是增函数，在上是减函数， 在上恒成立，在上恒成立， 在上恒成立， 当时，，不合题意； 当时，，符合题意； 当，即时，，解得：或； 综上所述：实数的取值范围为. 故选：A. 【点睛】方法点睛：本题考查利用函数单调性、对称性求解函数不等式的问题，解决此类问题中，对称性和单调性的作用如下： （1）对称性：统一不等式两侧符号，同时根据对称性确定对称区间的单调性； （2）单调性：将函数值的大小关系转化为自变量之间的大小关系. 47．（2025高一·上海·期中）已知是定义在上的偶函数，若任意且时，恒成立，且，则满足的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由条件构造函数，依次判断函数的单调性和奇偶性，将待解不等式转化为，再利用，将其化成，即可利用单调性和奇偶性解决. 【详解】由可得，即， 设，则有，因，则在上单调递增， 又是定义在上的偶函数，，故为上的偶函数. 由可得， 而，即， 由函数的单调性和奇偶性，可得，解得. 故选：A. 48．（2025高一·全国·周测）已知函数的图象关于轴对称，且对于，当时，恒成立，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据函数的性质，把函数不等式转化为与的代数不等式，进一步转化成不等式恒成立的问题，结合基本（均值）不等式求参数的取值范围. 【详解】由已知可得，函数为偶函数， 又对于，当时，恒成立， 即，若，都有成立， 则在上单调递减， 又函数为偶函数，则在上单调递增， 又对任意的恒成立 ，则可得． 当时，不等式为显然成立； 当时，原不等式可化为恒成立，只需要式子的最小值满足即可． 因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 故选：A． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $