专题02 函数的值域与最值（题型专练）高一数学人教B版必修第一册

专题02函数的值域与最值 （题型突破·举一反三） 题型01 配方法求函数的值域或最值 题型02 图象法求函数的值域或最值 题型03 分离常数法求函数的值域或最值 题型04 判别式法求函数的值域或最值 题型05 换元法求函数的值域或最值 题型06 基本不等式法求函数的值域或最值 题型07 分段函数的值域或最值 题型08 由函数的值域或最值求参 题型09 抽象函数的值域或最值 ▌题型01 配方法求函数的值域或最值 对二次函数型的详解式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域方法求函数的值域或最值. 【典例1】如果函数，那么函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高一上·河南开封·月考）已知函数，则的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2026高一·湖南长沙·期中）函数的值域为 . 【变式3】函数的定义域为 ，其最大值是 ． ▌题型02 图象法求函数的值域或最值 作出函数的图象，通过观察曲线所覆盖函数值的区域确定值域或最值. 【典例2】（25-26高一上·吉林长春·期中）定义为中的最大值，设，则的最小值为（    ）． A． B．4 C．0 D． 【变式1】函数的值域为 【变式2】（2026高一·河南·期中）已知函数的图象由如图所示的两条曲线组成，则（    ） A． B．是单调增函数 C．的定义域是 D．的值域是 【变式3】已知函数 (1)作出函数的图象； (2)写出函数的单调区间； (3)当时，求的值域. ▌题型03 分离常数法求函数的值域或最值 适用于形如的分式函数，第一步，对函数变形成形式；第二步，求出函数在定义域范围内的值域或最值. 【典例3】函数的值域（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高一上·四川遂宁·期中）函数，的最大值是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式2】（25-26高一上·安徽宣城·开学考试）已知则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高一上·河北石家庄·期中）函数的值域是（   ） A． B． C． D． ▌题型04 判别式法求函数的值域或最值 将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些“分式”函数等；此外，使用此方法要特别注意自变量的取值范围；适用于形如的函数 将函数式化成关于的方程，且方程有解，用根的判别式求出的取值范围，即得函数的值域或最值. 【典例4】（2026高一·四川成都·期中）函数的值域为 ． 【变式1】（25-26高一下·辽宁抚顺·阶段练习）已知，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．0 【变式2】函数的最大值为 ． 【变式3】（2026高一·浙江宁波·期中）函数，的值域为 ． ▌题型05 换元法法求函数的值域或最值 通过对函数的详解式进行适当换元，将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围来求函数的值域或最值. 【典例5】（25-26高二下·河北衡水·期末）若函数，则的值域是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高一上·山东济南·阶段检测）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2026高一·辽宁·期中）函数的最大值是（    ） A． B． C．4 D． 【变式3】（25-26高一上·陕西西安·期末）已知正实数满足则的最大值是（    ） A． B． C． D． ▌题型06 基本不等式法求函数的值域或最值 形如的函数，可用基本不等式法求值域，利用基本不等式法求函数的值域时，要注意条件“一正、二定、三相等”，即利用求函数的值域（或最值）时，应满足三个条件：①；②（或）为定值；③取等号的条件为，三个条件缺一不可； 【典例6】(25-26高一下·广东深圳·期末）已知函数，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C． D． 【变式1】24-25高一下·广东汕头·阶段练习）下列函数的最小值为的有（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高一上·云南昆明·期中）函数在区间上的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式3】函数的值域为 ． ▌题型07 分段函数求函数的值域或最值 1.分段函数定义域、值域的求法 （1）分段函数的定义域是各段函数定义域的并集； （2）分段函数的值域是各段函数值域的并集. 2.绝对值函数的定义域、值域通常要转化为分段函数来解决. 【典例7】（25-26高三下·辽宁铁岭·阶段检测）已知函数则的值域是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高一上·河南·阶段检测）如图所示的函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高一上·陕西延安·期中）函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高一上·湖南衡阳·阶段检测）已知 =min{},则的值域是 A． B． C． D． ▌题型08 由函数的值域或最值求参 先确定函数值域表达式，转化为方程有解问题，结合参数范围分析，利用函数单调性或图象特征，验证端点值的适配性. 【典例8】（25-26高一上·湖北武汉·期中）已知函数的值域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知函数的值域是，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26）高三上·甘肃酒泉·期末）已知函数的值域为，，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2026高二·上海·期末）若函数的定义域与值域都是，则实数 ． ▌题型09 抽象函数的值域或最值 【典例9】（25-26高二上·江西宜春·期中）若函数的定义域和值域都是，则函数的定义域和值域分别为（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式1】（25-26高三上·陕西商洛·阶段检测）已知函数的定义域和值域均为，则函数的定义域和值域分别为（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式2】（25-26高一上·贵州遵义·阶段检测）已知函数的值域为，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高一上·湖北黄冈·阶段检测）若函数的值域是，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02函数的值域与最值 （题型突破·举一反三） 题型01 配方法求函数的值域或最值 题型02 图象法求函数的值域或最值 题型03 分离常数法求函数的值域或最值 题型04 判别式法求函数的值域或最值 题型05 换元法求函数的值域或最值 题型06 基本不等式法求函数的值域或最值 题型07 分段函数的值域或最值 题型08 由函数的值域或最值求参 题型09 抽象函数的值域或最值 ▌题型01 配方法求函数的值域或最值 对二次函数型的详解式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域方法求函数的值域或最值. 【典例1】如果函数，那么函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，开口向上，对称轴为直线， 在区间上单调递增， ， 时，的值域是.故选：C 【变式1】（25-26高一上·河南开封·月考）已知函数，则的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，， 故，故函数值域为.故选：B 【变式2】（2026高一·湖南长沙·期中）函数的值域为 . 【答案】 【解析】因为二次函数的值域为， 所以的定义域是，值域为. 【变式3】函数的定义域为 ，其最大值是 ． 【答案】 ； /. 【解析】易知，解之得，所以函数的定义域为； 而，当时取得最大值. ▌题型02 图象法求函数的值域或最值 作出函数的图象，通过观察曲线所覆盖函数值的区域确定值域或最值. 【典例2】（25-26高一上·吉林长春·期中）定义为中的最大值，设，则的最小值为（    ）． A． B．4 C．0 D． 【答案】D 【解析】分别画出的图象，则函数的图象为图中实线部分. 由图知：函数的最低点为A， 由 ，解得，即. 所以的最小值为，故选D. 【变式1】函数的值域为 【答案】 【解析】因为，又因为，所以， 所以函数的值域为． 【变式2】（2026高一·河南·期中）已知函数的图象由如图所示的两条曲线组成，则（    ） A． B．是单调增函数 C．的定义域是 D．的值域是 【答案】D 【解析】对于选项A，由图象可得，所以，A错误； 对于选项B，，，，故不是单调增函数，B错误； 对于选项C，由图象可得的定义域为，C错误； 对于选项D，由图象可得的值域为，D正确． 故选：D． 【变式3】已知函数 (1)作出函数的图象； (2)写出函数的单调区间； (3)当时，求的值域. 【解】（1）， 作出函数图象，如图所示： （2）解：由图可得：函数的单调增区间为， 单调减区间为； （3）解：因为函数在上递减， 所以， 所以的值域为. ▌题型03 分离常数法求函数的值域或最值 适用于形如的分式函数，第一步，对函数变形成形式；第二步，求出函数在定义域范围内的值域或最值. 【典例3】函数的值域（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为函数的定义域为， ， 所以函数的值域为.故选：D. 【变式1】（25-26高一上·四川遂宁·期中）函数，的最大值是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【解析】函数，单调递减， 所以当时，函数的最大值是.故选：B. 【变式2】（25-26高一上·安徽宣城·开学考试）已知则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由有意义可得，设，则，， 所以，所以，故选：C. 【变式3】（25-26高一上·河北石家庄·期中）函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由已知函数定义域为， 且，则， 即，故选：C. ▌题型04 判别式法求函数的值域或最值 将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些“分式”函数等；此外，使用此方法要特别注意自变量的取值范围；适用于形如的函数 将函数式化成关于的方程，且方程有解，用根的判别式求出的取值范围，即得函数的值域或最值. 【典例4】（2026高一·四川成都·期中）函数的值域为 ． 【答案】 【解析】由解析式知：函数的定义域为R，且， 整理可得，即该方程在上有解， 当时，，显然成立； 当时，有，整理得，即， 综上，原函数值域为. 【变式1】（25-26高一下·辽宁抚顺·阶段练习）已知，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．0 【答案】D 【解析】根据题意， 若方程有解，则， 即， 所以， 当时，，此时，即， 也就是说当且仅当时，.故选D 【变式2】函数的最大值为 ． 【答案】/0.25 【解析】原函数可以化简为在时有解， 当时，， 当不等于0时，， 解得且不等于0，故所求最大值为. 【变式3】（2026高一·浙江宁波·期中）函数，的值域为 ． 【答案】 【解析】因为，整理得， 可知关于x的方程有正根， 若，则，解得，符合题意； 若，则， 可得或， 解得或且，则或或； 综上所述：或， 即函数，的值域为. ▌题型05 换元法法求函数的值域或最值 通过对函数的详解式进行适当换元，将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围来求函数的值域或最值. 【典例5】（25-26高二下·河北衡水·期末）若函数，则的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令，则． 因为，所以， 所以，所以的值域为． 【变式1】（25-26高一上·山东济南·阶段检测）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令，则，得， 所以可以转化为． 因为二次函数在上单调递增， 当时，， 所以函数的值域为．故选D． 【变式2】（2026高一·辽宁·期中）函数的最大值是（    ） A． B． C．4 D． 【答案】B 【解析】设，则， 即， 因为，所以当时，的最大值为，故选：B. 【变式3】（25-26高一上·陕西西安·期末）已知正实数满足则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，则， 因为，所以，即：， 所以，解得：， 又因为，为正实数，所以， 所以的最大值为.故选：C. ▌题型06 基本不等式法求函数的值域或最值 形如的函数，可用基本不等式法求值域，利用基本不等式法求函数的值域时，要注意条件“一正、二定、三相等”，即利用求函数的值域（或最值）时，应满足三个条件：①；②（或）为定值；③取等号的条件为，三个条件缺一不可； 【典例6】(25-26高一下·广东深圳·期末）已知函数，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C． D． 【答案】D 【解析】由题意，，在中， ， 当且仅当，即时等号成立，∴的最小值为，故选：D. 【变式1】24-25高一下·广东汕头·阶段练习）下列函数的最小值为的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】对于A，因为，，所以， 当且仅当，即时等号成立，，故A正确； 对于B，取，则，故B不正确； 对于C，，当且仅当，即时，等号成立， 因为，故不是4，故C错误. 对于D，因为，所以， 故有基本不等式可得， 当且仅当，即时等号成立，故D正确. 故选：AD 【变式2】（25-26高一上·云南昆明·期中）函数在区间上的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，则，， 令，由对勾函数的性质可知， 在上单调递减，在上单调递增， 在处取得最小值， 又因为， 因此在上的值域为， 故的值域为， 即函数在区间上的值域为，故选：C. 【变式3】函数的值域为 ． 【答案】 【解析】， 令，则时，， ，函数在上单调递减， 若，则，若，则，故函数值域为． ▌题型07 分段函数求函数的值域或最值 1.分段函数定义域、值域的求法 （1）分段函数的定义域是各段函数定义域的并集； （2）分段函数的值域是各段函数值域的并集. 2.绝对值函数的定义域、值域通常要转化为分段函数来解决. 【典例7】（25-26高三下·辽宁铁岭·阶段检测）已知函数则的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当时，单调递增，， 当时，．综上所述，的值域是． 【变式1】（25-26高一上·河南·阶段检测）如图所示的函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由图可知，值域为，故选：B 【变式2】（25-26高一上·陕西延安·期中）函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，，当，，所以， 当时，，单调递增， 所以，即， 综上，的值域为.故选：C 【变式3】（25-26高一上·湖南衡阳·阶段检测）已知 =min{},则的值域是 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， 在同一坐标系中分别作出，，的图象 则，，的图象都过点 如图所示 则由图象可知函数的值域为故选 ▌题型08 由函数的值域或最值求参 先确定函数值域表达式，转化为方程有解问题，结合参数范围分析，利用函数单调性或图象特征，验证端点值的适配性. 【典例8】（25-26高一上·湖北武汉·期中）已知函数的值域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】函数的值域为， 则有解，所以，解得或， 故实数的取值范围为.故选：B. 【变式1】已知函数的值域是，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，画出图像，如图所示，    令，则，解得或， 令，则，解得（舍去）或， 对于A：当时，结合图像，得，故A错误； 对于B：当时，结合图像，得，故B错误； 对于C：当时，结合图像，得，故C错误； 对于D：当时，结合图像，得，故D正确；故选D． 【变式2】（25-26）高三上·甘肃酒泉·期末）已知函数的值域为，，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，在上单调递减， 此时； 当时，． ①若，则在上单调递增，此时， 又函数的值域，不合题意； ②若，则，当且仅当时，等号成立， 又函数的值域，则， 解得．综上所述：．故选：C. 【变式3】（2026高二·上海·期末）若函数的定义域与值域都是，则实数 ． 【答案】5 【解析】函数的对称轴方程为， 所以函数在上为减函数， 又函数在上的值域也为， 则，即， 由①得：，代入②得：，解得：（舍），． 把代入得：． ▌题型09 抽象函数的值域或最值 【典例9】（25-26高二上·江西宜春·期中）若函数的定义域和值域都是，则函数的定义域和值域分别为（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【解析】函数的图象可以由函数的图象向左平移2个单位得到， 由于函数的定义域和值域都是， 所以函数的定义域为，值域为.故选：D 【变式1】（25-26高三上·陕西商洛·阶段检测）已知函数的定义域和值域均为，则函数的定义域和值域分别为（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【解析】函数的定义域为，则在函数中，，解得， 因此函数的定义域为； 由函数的值域为，得函数的值域为，即， 则，故函数的值域为，故选C 【变式2】（25-26高一上·贵州遵义·阶段检测）已知函数的值域为，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】函数是的水平平移变换，水平平移不改变函数值域，故的值域为. 由，对的取值范围各减2，得，即.故选：B 【变式3】（24-25高一上·湖北黄冈·阶段检测）若函数的值域是，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为函数的值域是， 所以，所以， 所以，所以， 故函数的值域是.故选：C. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $