专题03 函数模型的应用八大热点题型（高效培优专项训练）高一数学北师大版2019必修第一册

专题03 函数模型的应用八大热点题型 题型一：函数图象的实际应用 2 题型二：二次函数的实际应用 4 题型三 分段函数模型的应用 6 题型四 指数型函数模型 8 题型五 对数型函数模型 9 题型六 幂函数模型的应用 10 题型七 指数、对数、幂函数模型的增长差异 12 题型八 建立拟合函数模型解决实际问题 13 【方法指导】 1、应用函数模型解决问题的基本过程 （1）审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型． （2）建模——将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型． （3）求模——求解数学模型，得出数学模型． （4）还原——将数学结论还原为实际问题． 2、指数函数模型问题的求解策略 (1)对于人口增长、银行复利、细胞分裂等增长率问题，在实际问题中常可以用指数函数模型y＝N(1＋p)x(其中N是基础数，p为增长率，x为时间)和幂函数模型y＝a(1＋x)n(其中a为基础数，x为增长率，n为时间)的形式．解题时，往往用到对数运算，要注意与已知条件中给定的值对应求解． (2)函数y＝c·akx(a，c，k为常数)是一个应用广泛的函数模型，它在电学、生物学、人口学、气象学等方面都有广泛的应用，解决这类给出指数函数模型的应用题的基本方法是待定系数法，即根据题意确定相关的系数.　 3、对数函数应用题的基本类型和求解策略 (1)基本类型：有关对数函数的应用题一般都会给出函数的详解式，然后根据实际问题求解． (2)求解策略：首先根据实际情况求出函数详解式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入详解式求值，然后根据数值回答其实际意义． 4、建立拟合函数与预测的基本步骤 题型一：函数图象的实际应用 1．（2025高二上·山东枣庄·学业考试）某同学离家去学校，刚开始心情轻松缓慢行进，走了一段路程后，发现时间紧张，加快速度跑步前进.图中轴表示该学生离家的距离，轴表示所用的时间，下列图象与该同学走法相吻合的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·安徽黄山·开学考试）已知边长为1的正方形，为边的中点，动点在正方形边上沿运动，设点经过的路程为，的面积为，则关于的函数的图像大致为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·江西赣州·开学考试）一列快车从甲地驶往乙地，一列特快车从乙地驶往甲地，快车的速度为100千米/小时，特快车的速度为150千米/小时，甲乙两地之间的距离为1000千米，两车同时出发，则图中折线大致表示两车之间的距离y（千米）与快车行驶时间t（小时）之间的函数图象是（    ） A． B． C． D． 4．(多选)（25-26高一上·山东枣庄·月考）如图所示的四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用下列对应的图象表示该容器中水面的高度h与时间t之间的关系，其中正确的（    ） A． B． C． D． 5．（多选）（21-22高一上·安徽池州·月考）如图，在等边三角形中，.动点从点出发，沿着此三角形三边逆时针运动回到点，记运动的路程为，点到此三角形中心距离的平方为，给出下列结论正确的有（    ） A．函数的最大值为12； B．函数的最小值为6； C．关于的方程最多有6个实数根； D．当时能取得最大值. 题型二：二次函数的实际应用 6．（25-26高一上·辽宁·月考）某文旅公司设计了一款文创纪念品，打算批量生产并在旅游景区进行售卖.前期设计费和宣传费需要固定投入5万元，每件纪念品的生产成本为40元，经市场调研预估，若以60元的单价出售，则能销售1万件，在销售单价60元的基础上，每降价1元，销量在1万件的基础上增加1千件，要使得该款纪念品的利润最大，则每件纪念品的定价应为（    ） A．50元 B．52元 C．53元 D．55元 7．（25-26高一·河南南阳·开学考试）为鼓励大学毕业生自主创业，某市出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．大学毕业生袁阳按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯，已知这种节能灯的成本价为每件元，出厂价为每件元，每月的销售量（单位：件）与销售单价（单位：元）之间的关系近似满足一次函数：． (1)设袁阳每月获得的利润为（单位：元），写出每月获得的利润与销售单价的函数关系； (2)物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于40元．如果袁阳想要每月获得的利润不小于元，那么政府每个月为他承担的总差价的取值范围是多少元？ 8．（2025高一·重庆·期中）某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本.据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就减少2000本. (1)试确定杂志的定价区间使提价后的销售总收入不低于20万元？ (2)假定杂志的成本是每本1元（不计其它成本），试确定杂志提价后的价格，使杂志销售的利润最大？ 9．（2025高一·陕西西安·期末）已知某零件原来的售价为15元，可售出50万件，据市场调查，该零件的单价每提高1元，销售量就减少2万件，现该零件的销售商计划对该零件进行提价销售，设提价后的零件售价为元． (1)求提价后该零件的销售总收入（单位：万元）的最大值； (2)若提价后该零件的销售总收入（单位：万元）不低于原来的销售总收入，求的取值集合． 10．（2025高一·内蒙古赤峰·期末）甲养殖户去年购入100只羊崽，今年计划增加羊崽的购入数量，有如下两种购买方案可供选择：方案一，每只羊崽的进价均为450元；方案二，前100只羊崽的单价为500元/只，若超过100只羊崽，则每多买1只，超出部分每只羊崽的进价降低1元.设甲今年比去年购入的羊崽多只，甲按照方案一购入羊崽的消费额为元，按照方案二购入羊崽的消费额为元. (1)分别求函数，的详解式； (2)判断甲如何选择方案更经济实惠，并说明理由. 题型三 分段函数模型的应用 11．（25-26高一上·山东济宁·期中）随着市场需求和消费习惯的转变，摆摊创业正吸引着越来越多创业者．小李打算批发某种水果摆摊售卖，设他进货总费用（百元）与进货量（单位：百斤）之间的关系为（为常数），若满足“随着进货量的增大，水果每斤的平均价格逐渐减小”，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 12．（25-26高一上·浙江杭州·期中）某车企生产型汽车，每年需要固定投入100万元，此外每生产辆型汽车另需增加投资万元，当该款汽车年产量低于400辆时，，当年生产量不低于400辆时，，若该款汽车售价为每辆15万元，且生产的汽车均能售完，则该工厂生产并销售这款新能源汽车的最高年利润为（    ） A．2000万元 B．2100万元 C．2200万元 D．2300万元 13．（2025高三·全国·专题练习）某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿的市场售价与上市时间之间的关系用图甲的折线表示，西红柿的种植成本与上市时间之间的关系用图乙的抛物线段表示． (1)写出图甲表示的市场售价与上市时间的函数关系式和图乙表示的种植成本与上市时间的函数关系式； (2)若设定市场售价减去种植成本为纯收益，则何时上市的西红柿纯收益最大？ （注：市场售价和种植成本的单位：元／，时间单位：天） 14．（2025高一·吉林·阶段练习）某种农作物单株的产量（单位：kg）与肥料成本（单位：元）满足如下关系：单株产量，单株成熟除肥料成本（单位：元）外，还需其他成本（单位：元）.已知这种农作物的市场售价为5元／kg，且供不应求，记该农作物单株获得的利润为（单位：元）． (1)求的函数关系式； (2)当投入的单株肥料成本为多少元时，该农作物单株获得的利润最大？最大利润是多少元？ 15．（25-26高一·全国·期中）2025年成都世界运动会是由国际世界运动会协会主办的一项国际性体育盛会，竞赛项目以非奥运会项目为主.2025年世界运动会将于2025年8月7日至8月17日在中国四川成都举行，是中国大陆第一次举办世界运动会.据调查，国内某公司出售一款2025年成都世界运动会吉祥物，需要固定投入300万元费用.假设购进该款产品全部售出，若以80元的单价出售，可售出15万件，且每降价1元，销量增加五千件.若购进该产品数量不超过30万件，则经销商按照每件30元成本收费；若购进30万件以上，则直接与玩具公司合作，以全新方式进行销售，此时利润（万元）与销量（万件）的关系为. (1)当购进产品数量为10万件时，利润是多少？（利润销售收入成本） (2)写出利润（万元）关于购进产品数量（万件）的函数详解式； (3)购进并销售产品多少万件时，利润最大？此时利润是多少？ 题型四 指数型函数模型 16．（25-26高一上·山东青岛·期中）冬季是流行病的高发季节，大部分流行病是由病毒或细菌引起的，已知某细菌是以简单的二分裂法进行无性繁殖，在适宜的条件下分裂一次（1个变为2个）需要23分钟，那么适宜条件下1个该细菌增长到1万个该细菌大约需要（    ）（参考数据： A．3小时 B．4小时 C．5小时 D．6小时 17．（2025高一·四川泸州·期末）在不考虑空气阻力的条件下，飞行器在某星球的最大速度v（单位：）和所携带的燃料的质量M（单位：kg）与飞行器（除燃料外）的质量m（单位：kg）的函数关系式近似满足（a为常数）．当携带的燃料的质量和飞行器（除燃料外）的质量相等时，v约等于2.9，当携带的燃料的质量是飞行器（除燃料外）的质量的13倍时，v约等于5.8，则常数b的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 18．（25-26高三上·北京海淀·月考）某品牌手机在低电量模式下，电量消耗遵循指数衰减规律.设初始电量为（单位：），经过小时后，剩余电量（单位：）满足函数关系（其中为电量衰减系数）.已知该手机在低电量模式下，从初始电量衰减到用时4小时，设初始电量为，若用户希望剩余电量不低于，则该手机在低电量模式下最多可使用时间的小时数为（    ） （参考数据：，） A． B． C． D． 19．（2025高三·全国·专题练习）某地区在年底森林覆盖面积为，为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力发展植树造林活动，计划到年底森林覆盖面积为，要求每一年森林覆盖面积的年平均增长率均相同，试问到年底需要植树多少面积？（参考数据：） 20．（25-26高一·全国·课后作业）复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息，我国现行定期储蓄中的自动转存业务就是类似复利计算的储蓄．某人在银行存入本金10万元并办理了自动转存业务，已知每期利率为，若存期，本利和为11万元，若存期，本利和为12万元，若存期，求总利息为多少． 题型五 对数型函数模型 21．（25-26高一上·上海·期中）在有声世界里，声强级是表示声强度相对大小的指标，其值[单位：（分贝）]定义为，其中为声场中某点的声强度，其单位为（瓦/平方米），为基准值.则声强级为时的声强度是声强级为时的声强度的（    ）倍 A．10 B．100 C．1.2 D．12 22．（25-26高一上·上海·期中）中国的5G技术领先世界，在5G技术中，最大数据传输速率取决于信道带宽，与满足，其中称为信噪比（单位：）．若不改变带宽，初始信噪比为1000，那么为了使增加，需要将信噪比从1000提升至大约（    ） A．5000 B．6000 C．7000 D．8000 23．(多选)（2025·辽宁·模拟预测）震级是以地震仪测定的每次地震活动释放的能量多少来确定的，我国目前使用的震级标准，是国际上通用的里氏分级表，共分9个等级，其中能量（单位：焦耳）与里氏震级的对应关系为，则（    ） A．若某次地震的震级不超过2级，则产生的能量低于焦耳 B．若某次地震的震级超过4级，则产生的能量高于焦耳 C．5级地震的能量是4级地震的能量的100倍 D．3级地震的能量是7级地震的能量的 24．（2025高一·北京·期末）2024年1月11日，我国太原卫星发射中心在山东海阳附近海域使用引力一号遥一商业运载火箭，将搭载的云遥一号18-20星3颗卫星顺利送入预定轨道，飞行试验任务获得圆满成功，引力一号运载火箭首飞即采用难度较高的海上发射，刷新了全球运力最大固体运载火箭、我国运力最大民营商业运载火箭纪录，进一步丰富了我国运载火箭型谱.1903年前苏联（俄罗斯）航天之父齐奥尔科夫斯基推导出火箭的理想速度公式为：其中为火箭初始质量，为火箭燃烧完毕熄火后剩余质量，称为火箭质量比，为火箭发动机喷气速度.至今多年来所有大小火箭都遵循齐奥尔科夫斯基公式基本规律.现已知某型号火箭的发动机的喷气速度为. (1)当该型号火箭的质量比为10时，求该型号火箭的理想速度； (2)经过改进后，该火箭发动机喷气速度变为原来2倍，火箭质量比变为原来的，若使火箭的理想速度增加，求该火箭在技术和材料改进前的质量比. （两问结果均保留一位小数，参考数据：） 25．（2025高一·四川绵阳·期末）某工厂生产两种产品，产品的利润（单位：万元）与投入金额（单位：万元）的关系式为产品的利润（单位：万元）与投入金额（单位：万元）的关系式为.已知投入3万元生产产品可获利润为7万元，投入32万元生产产品可获利润为65万元. (1)求实数的值； (2)该企业现有47万元资金全部投入两种产品中，探究：怎样分配资金，才能使企业获得最大利润？并求出最大利润. 题型六 幂函数模型的应用 26．（25-26高一·全国·假期作业）某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x（万元）与药品利润y（万元）存在的关系为（α为常数），其中x不超过5万元．已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年广告费用投入5万元，预计今年药品利润为（    ） A．115万元 B．120万元 C．125万元 D．130万元 27．（2025·甘肃天水·模拟预测）科学家很早就提出关于深度睡眠问题，随着现代生活节奏的加快，睡眠成了严重影响生活的问题．经研究，睡眠中恒温动物的脉搏率f（单位：心跳次数）与体重W（单位：Kg）的次方成反比．若A、B为两个睡眠中的恒温动物，A的体重为2Kg、脉搏率为210次，B的脉搏率是70次，则B的体重为（    ） A．6Kg B．8Kg C．18Kg D．54Kg 28．【多选】（2025高一·河北·阶段练习）在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量（单位：）与管道的半径（单位：）的四次方成正比，当气体在半径为5的管道中时，流量为，则（    ） A．当气体在半径为3的管道中时，流量为 B．当气体在半径为3的管道中时，流量为 C．要使得气体流量不小于，管道的半径的最小值为4 D．要使得气体流量不小于，管道的半径的最小值为 29．（2025·全国·模拟预测）遗忘曲线（又称作“艾宾浩斯记忆曲线”）由德国心理学家艾·宾浩斯（H. Ebbinghaus）研究发现，描述了人类大脑对新事物遗忘的规律．人体大脑对新事物遗忘的循序渐进的直观描述，人们可以从遗忘曲线中掌握遗忘规律并加以利用，从而提升自我记忆能力．该曲线对人类记忆认知研究产生了重大影响．陈同学利用信息技术拟合了“艾宾浩斯遗忘曲线”，得到记忆率与初次记忆经过的时间（小时）的大致关系：，若陈同学需要在明天15时考语文考试时拥有复习背诵记忆的42%，则他复习背诵时间需大约在（    ） （参考数据: ） A．14：30 B．14：00 C．13：30 D．13：00 30．（25-26高一上·贵州遵义·月考）某校数学兴趣小组，在过去一年一直在研究学校附近池塘里某种水生植物的面积变化情况，自2025年元旦开始测量该水生植物的面积，此后每隔一个月（每月月末）测量一次，通过一年的观察发现，自2025年元旦起，该水生植物在池塘里面积增加的速度是越来越快的，最初测得该水生植物面积为，二月底测得该水生植物的面积为，三月底测得该水生植物的面积为，该水生植物的面积（单位：）与时间（单位月）的关系符合函数模型，记2025年元旦最初测量时间的值为0，1月底测量时间的值记为1，以此类推. (1)求该函数模型的解析式； (2)池塘里该水生植物面积应该在几月份起是元旦开始研究时该水生植物面积的10倍以上？（参考数据：，） 题型七 指数、对数、幂函数模型的增长差异 31．（25-26高一·全国·单元测试）下列函数中，增长速度最慢的是（    ） A． B． C． D． 32．（25-26高一·全国·单元测试）三个物体同时从同一点出发同向而行，位移关于时间的函数关系式分别为，，，则下列结论中错误的是（    ） A．当时，总走在最前面 B．当时，总走在最前面 C．不可能走在最前面，也不可能走在最后面 D．如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是 33．（2025高一·安徽安庆·期末）从甲地到乙地的距离约为，经多次实验得到一辆汽车每小时耗油（单位：）与速度（单位：的下列数据： 0 40 60 80 120 0.000 6.667 8.125 10.000 20.000 为了描述汽车每小时耗油量与速度的关系，下列四个模型中你认为最符合实际的函数模型是：（    ） A． B． C． D． 34．（2025高一·河南新乡·阶段练习）在一次数学实验中，小胡同学运用图形计算器采集到如下一组数据： 3 5 7 9 11 13 21.01 21.11 21.99 30.03 101.96 749.36 在以下四个函数模型中，为常数，最能反映间函数关系的可能是（    ） A． B． C． D． 35．【多选】（2025高一·甘肃甘南·期末）设，，，当时，对这三个函数的增长速度进行比较，下列结论中，错误的是 （    ） A．的增长速度最快， 的增长速度最慢 B．的增长速度最快， 的增长速度最慢 C．的增长速度最快， 的增长速度最慢 D．的增长速度最快， 的增长速度最慢 题型八 建立拟合函数模型解决实际问题 36．（25-26高一上·广东深圳·月考）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种普洱茶用95℃的水冲泡，等茶水温度降至60℃饮用，口感最佳．某科学兴趣小组为探究在室温条件下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1分钟测量一次茶水温度，得到茶水温度y（单位：℃）与时间（单位：分钟）的部分数据如下表所示： 时间/分钟 0 1 2 3 4 5 水温/℃ 95.00 88.00 81.70 76.03 70.93 66.33 (1)给出下列三种函数模型：①，②，③，请根据上表中的数据，选出你认为最符合实际的函数模型，并利用前2分钟的3组数据求出相应的解析式． (2)根据（1）中所求模型， （ⅰ）请推测实验室室温（注：茶水温度接近室温时，将趋于稳定）； （ⅱ）求刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间． （参考数据：lg3≈0.48，lg5≈0.7） 37．（2025高一上·福建厦门·专题练习）近几年，直播平台作为一种新型的学习渠道，正逐渐获得越来越多人的关注和喜爱.某平台从2024年初建立开始，得到了很多网民的关注，会员人数逐月增加，如下表所示： 建立平台第个月 1 2 3 4 5 会员人数（万） 2 5 6.7 8 8.9 为了描述从第1个月开始会员人数随时间变化的关系.现有以下三种函数模型供选择：①，②，③. (1)选出最符合实际的函数模型，并说明理由； (2)请选取表格中的两组数据，求出你选择的函数模型的解析式，并预测第几个月会员人数达到14万. 38．（2025高一·江苏镇江·阶段练习）汽车“定速巡航”技术是用于控制汽车的定速行驶，当汽车被设定为定速巡航状态时，电脑根据道路状况和汽车的行驶阻力自动控制供油量，使汽车始终保持在所设定的车速行驶，而无需司机操纵油门，从而减轻疲劳，促进安全，节省燃料.某汽车公司为测量某型号汽车定速巡航状态下的油耗情况，选择一段长度为的平坦高速路段进行测试，经多次测试得到一辆汽车每小时耗油量F（单位：L）与速度v（单位：）的下列数据： v 0 40 60 80 12 F 0 10 20 为了描述汽车每小时耗油量与速度的关系，经计算机拟合，选用函数模型. （1）求函数详解式； （2）这辆车在该测试路段上以什么速度行驶才能使总耗油量最少？ 1 / 33 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 函数模型的应用八大热点题型 题型一：函数图象的实际应用 2 题型二：二次函数的实际应用 6 题型三 分段函数模型的应用 10 题型四 指数型函数模型 15 题型五 对数型函数模型 17 题型六 幂函数模型的应用 21 题型七 指数、对数、幂函数模型的增长差异 24 题型八 建立拟合函数模型解决实际问题 26 【方法指导】 1、应用函数模型解决问题的基本过程 （1）审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型． （2）建模——将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型． （3）求模——求解数学模型，得出数学模型． （4）还原——将数学结论还原为实际问题． 2、指数函数模型问题的求解策略 (1)对于人口增长、银行复利、细胞分裂等增长率问题，在实际问题中常可以用指数函数模型y＝N(1＋p)x(其中N是基础数，p为增长率，x为时间)和幂函数模型y＝a(1＋x)n(其中a为基础数，x为增长率，n为时间)的形式．解题时，往往用到对数运算，要注意与已知条件中给定的值对应求解． (2)函数y＝c·akx(a，c，k为常数)是一个应用广泛的函数模型，它在电学、生物学、人口学、气象学等方面都有广泛的应用，解决这类给出指数函数模型的应用题的基本方法是待定系数法，即根据题意确定相关的系数.　 3、对数函数应用题的基本类型和求解策略 (1)基本类型：有关对数函数的应用题一般都会给出函数的详解式，然后根据实际问题求解． (2)求解策略：首先根据实际情况求出函数详解式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入详解式求值，然后根据数值回答其实际意义． 4、建立拟合函数与预测的基本步骤 题型一：函数图象的实际应用 1．（2025高二上·山东枣庄·学业考试）某同学离家去学校，刚开始心情轻松缓慢行进，走了一段路程后，发现时间紧张，加快速度跑步前进.图中轴表示该学生离家的距离，轴表示所用的时间，下列图象与该同学走法相吻合的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数图象呈上升趋势以及上升速度分析可得答案. 【详解】依题意可知，关于的函数图象呈上升趋势，故B和D都错误； 由于该同学是先走后跑，所以关于的函数图象上升速度是先慢后快，故A错误，C正确. 故选：C 2．（24-25高一上·安徽黄山·开学考试）已知边长为1的正方形，为边的中点，动点在正方形边上沿运动，设点经过的路程为，的面积为，则关于的函数的图像大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意求与的函数关系式，进而可得结果. 【详解】当动点在正方形边上沿运动时， 则的面积为； 当动点在正方形边上沿运动时， 则的面积为； 当动点在正方形边上沿运动时， 则的面积为； 所以，所以A正确，BCD错误； 故选：A. 3．（24-25高一上·江西赣州·开学考试）一列快车从甲地驶往乙地，一列特快车从乙地驶往甲地，快车的速度为100千米/小时，特快车的速度为150千米/小时，甲乙两地之间的距离为1000千米，两车同时出发，则图中折线大致表示两车之间的距离y（千米）与快车行驶时间t（小时）之间的函数图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意分析可得相遇时间为4小时，此时两车距离为0，排除B选项；再求出快车继续行驶到达乙地所需要的时间排除A选项；再分析可得当特快车停止行驶时，快车还在行驶，结合速度排除D选项. 【详解】当两车同时相向出发时，相遇时间小时， 此时两车距离为0，快车行驶时间为4小时，故排除B选项； 相遇时，快车已经行驶的路程为千米， 还需要行驶小时才能到达乙地，故排除A选项； 特快车相遇时已经行驶的路程为千米， 只需要再行驶小时才能到达甲地， 所以当特快车停止行驶时，快车还在行驶，此时直线的倾斜程度要变小一些，故排除D选项. 故选：C. 4．(多选)（25-26高一上·山东枣庄·月考）如图所示的四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用下列对应的图象表示该容器中水面的高度h与时间t之间的关系，其中正确的（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】结合几何体的结构和题意知，容器的底面积越大水的高度变化慢，反之变化的快，再由图象越平缓就变化越慢，图象陡就变化快来判断. 【详解】对于A，易知水面高度的增加是均匀的，所以A不正确； 对于B，h 随t的增大而增大，且增大的速度越来越慢，所以B正确； 对于C，h 随t的增大而增大，增大的速度先越来越慢，后越来越快，所以C正确； 对于D，h 随t的增大而增大，增大的速度先越来越快，后越来越慢，所以D正确. 故选：BCD. 5．（多选）（21-22高一上·安徽池州·月考）如图，在等边三角形中，.动点从点出发，沿着此三角形三边逆时针运动回到点，记运动的路程为，点到此三角形中心距离的平方为，给出下列结论正确的有（    ） A．函数的最大值为12； B．函数的最小值为6； C．关于的方程最多有6个实数根； D．当时能取得最大值. 【答案】AC 【分析】写出分别在上运动时的函数解析式，利用分段函数图象可解. 【详解】分别在上运动时的函数解析式，， 分别在上运动时的函数解析式，， 分别在上运动时的函数解析式，， ， 由图象可得，方程最多有6个实数根，函数的最大值为12，最小值为3，当时能取得最小值 故选：AC. 题型二：二次函数的实际应用 6．（25-26高一上·辽宁·月考）某文旅公司设计了一款文创纪念品，打算批量生产并在旅游景区进行售卖.前期设计费和宣传费需要固定投入5万元，每件纪念品的生产成本为40元，经市场调研预估，若以60元的单价出售，则能销售1万件，在销售单价60元的基础上，每降价1元，销量在1万件的基础上增加1千件，要使得该款纪念品的利润最大，则每件纪念品的定价应为（    ） A．50元 B．52元 C．53元 D．55元 【答案】D 【分析】设该款纪念品降价元，根据题意得到利润，根据二次函数的最值即可得到答案. 【详解】依题意，设该款纪念品降价元，则销售单价为元，销售量为万件， 利润为，当时，取得最大值，即定价为55元时，利润最大. 故选：D. 7．（25-26高一·河南南阳·开学考试）为鼓励大学毕业生自主创业，某市出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．大学毕业生袁阳按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯，已知这种节能灯的成本价为每件元，出厂价为每件元，每月的销售量（单位：件）与销售单价（单位：元）之间的关系近似满足一次函数：． (1)设袁阳每月获得的利润为（单位：元），写出每月获得的利润与销售单价的函数关系； (2)物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于40元．如果袁阳想要每月获得的利润不小于元，那么政府每个月为他承担的总差价的取值范围是多少元？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由总利润=销售量-每件纯赚利润，得即可求解； （2）结合（1）列不等式得出，再结合题意计算出厂价列式求参总差价即可. 【详解】（1）依题意可知每件的销售利润为元，每月的销售量为件， 所以每月获得的利润与销售单价的函数关系为； （2）由每月获得的利润不小于元，即， 即，即，解得， 又因为这种节能灯的销售单价不得高于40元，所以， 设政府每个月为他承担的总差价为p元， 则，由， 得，故政府每个月为他承担的总差价的取值范围为元． 8．（2025高一·重庆·期中）某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本.据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就减少2000本. (1)试确定杂志的定价区间使提价后的销售总收入不低于20万元？ (2)假定杂志的成本是每本1元（不计其它成本），试确定杂志提价后的价格，使杂志销售的利润最大？ 【答案】(1) (2)元 【分析】（1）设杂志提价后的价格，根据题意列出销售总收入后建立不等式，即可解得结果； （2）设杂志提价后的价格为，列出杂志销售的利润表达式，由二次函数的性质求得函数在何处取最大值. 【详解】（1）设杂志提价后的价格是每本（）元， 则， 即， 解得， 所以杂志定价位于内，能使提价后的销售总收入不低于20万元. （2）设杂志提价后的价格是每本（）元， 则  =（）， 所以当时，取得最大值. 所以杂志提价后价格为每本元时，杂志销售的利润最大. 9．（2025高一·陕西西安·期末）已知某零件原来的售价为15元，可售出50万件，据市场调查，该零件的单价每提高1元，销售量就减少2万件，现该零件的销售商计划对该零件进行提价销售，设提价后的零件售价为元． (1)求提价后该零件的销售总收入（单位：万元）的最大值； (2)若提价后该零件的销售总收入（单位：万元）不低于原来的销售总收入，求的取值集合． 【答案】(1)800 (2) 【分析】（1）先求出提价后该零件的销售总收入与的关系，再根据二次函数的性质即可得解； （2）根据题意列出不等式，解之即可. 【详解】（1）由题意可得提价后该零件的销售总收入， 因为， 所以当时，取得最大值800万元， 即该零件的售价为20元时，该零件的销售总收入取得最大值800万元； （2）由题意可得， 整理得，即， 解得，又，所以的取值集合为． 10．（2025高一·内蒙古赤峰·期末）甲养殖户去年购入100只羊崽，今年计划增加羊崽的购入数量，有如下两种购买方案可供选择：方案一，每只羊崽的进价均为450元；方案二，前100只羊崽的单价为500元/只，若超过100只羊崽，则每多买1只，超出部分每只羊崽的进价降低1元.设甲今年比去年购入的羊崽多只，甲按照方案一购入羊崽的消费额为元，按照方案二购入羊崽的消费额为元. (1)分别求函数，的详解式； (2)判断甲如何选择方案更经济实惠，并说明理由. 【答案】(1)， (2)答案见详解 【分析】（1）由题意易得函数，的详解式； （2）将两函数作差，分类讨论可求得结论. 【详解】（1）在方案一中，， 在方案二中，超出部分每只羊崽的进价为元， 所以， （2）， 当时，，所以，甲选择方案一更经济实惠； 当时，，所以，甲选择方案一和方案二的消费一致； 当时，，所以，甲选择方案二更经济实惠； 综上所述：当时，甲选择方案一更经济实惠； 当时，甲选择方案一和方案二的消费一致； 当时，甲选择方案二更经济实惠. 题型三 分段函数模型的应用 11．（25-26高一上·山东济宁·期中）随着市场需求和消费习惯的转变，摆摊创业正吸引着越来越多创业者．小李打算批发某种水果摆摊售卖，设他进货总费用（百元）与进货量（单位：百斤）之间的关系为（为常数），若满足“随着进货量的增大，水果每斤的平均价格逐渐减小”，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】表示出平均价格的函数，再利用其单调性列式求解. 【详解】设水果每斤的平均价格为， 则， 随着进货量的增大，水果每斤的平均价格逐渐减小，即函数在单调递减， 则需满足，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：C. 12．（25-26高一上·浙江杭州·期中）某车企生产型汽车，每年需要固定投入100万元，此外每生产辆型汽车另需增加投资万元，当该款汽车年产量低于400辆时，，当年生产量不低于400辆时，，若该款汽车售价为每辆15万元，且生产的汽车均能售完，则该工厂生产并销售这款新能源汽车的最高年利润为（    ） A．2000万元 B．2100万元 C．2200万元 D．2300万元 【答案】C 【分析】设该工厂生产并销售这款新能源汽车的年利润为，得出函数的解析式，结合二次函数的性质，以及基本不等式，求得函数的最大值，即可求解． 【详解】设该工厂生产并销售这款新能源汽车的年利润为（万元）， 由题意可得， 即， 当时，函数的对称轴为，则； 当时，， 当且仅当，即时，取得最大值， 因为，所以生产辆时该工厂生产并销售这款新能源汽车的最高年利润为万元， 综上可得，该工厂生产并销售这款新能源汽车的最高年利润为万元． 故选：C． 13．（2025高三·全国·专题练习）某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿的市场售价与上市时间之间的关系用图甲的折线表示，西红柿的种植成本与上市时间之间的关系用图乙的抛物线段表示． (1)写出图甲表示的市场售价与上市时间的函数关系式和图乙表示的种植成本与上市时间的函数关系式； (2)若设定市场售价减去种植成本为纯收益，则何时上市的西红柿纯收益最大？ （注：市场售价和种植成本的单位：元／，时间单位：天） 【答案】(1)， (2)第50天 【分析】（1）根据函数图象设出函数详解式，然后结合图象中的点可求出参数的值，从而可求出函数详解式；根据函数图象设出函数详解式，然后结合图象中的点可求出参数的值，从而可求出函数详解式； （2）结合（1）列出纯收益的详解式，然后求出利润的最大值． 【详解】（1）由已知条件，设， 当时，，． 当时，，． 故图甲表示的函数关系式为 . 设，则，所以． 所以图乙表示的函数关系式为 ，． （2）设时刻的纯收益为，则由题意得， 即， 当时，配方整理得， 所以当时，取得区间上的最大值100． 当时，配方整理得， 所以当时，取得区间上的最大值87.5． 综上，由可知，在区间上可以取得最大值100． 此时，即从2月1日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大． 14．（2025高一·吉林·阶段练习）某种农作物单株的产量（单位：kg）与肥料成本（单位：元）满足如下关系：单株产量，单株成熟除肥料成本（单位：元）外，还需其他成本（单位：元）.已知这种农作物的市场售价为5元／kg，且供不应求，记该农作物单株获得的利润为（单位：元）． (1)求的函数关系式； (2)当投入的单株肥料成本为多少元时，该农作物单株获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)当投入的单株肥料成本为6元时，该农作物单株获得的利润最大，最大利润是42元. 【分析】（1）由题意求出的函数即可；（2）由分段函数的性质，分和两段，分别求出最大值，取两者之中的较大者即可； 【详解】（1）由题意可得， ，所以 （2）当时，的图象为开口向上的抛物线，对称轴， 所以当时，； 当时，， 当且仅当，即时等号成立，此时； 综上，当投入的单株肥料成本为6元时，该农作物单株获得的利润最大，最大利润是42元. 15．（25-26高一·全国·期中）2025年成都世界运动会是由国际世界运动会协会主办的一项国际性体育盛会，竞赛项目以非奥运会项目为主.2025年世界运动会将于2025年8月7日至8月17日在中国四川成都举行，是中国大陆第一次举办世界运动会.据调查，国内某公司出售一款2025年成都世界运动会吉祥物，需要固定投入300万元费用.假设购进该款产品全部售出，若以80元的单价出售，可售出15万件，且每降价1元，销量增加五千件.若购进该产品数量不超过30万件，则经销商按照每件30元成本收费；若购进30万件以上，则直接与玩具公司合作，以全新方式进行销售，此时利润（万元）与销量（万件）的关系为. (1)当购进产品数量为10万件时，利润是多少？（利润销售收入成本） (2)写出利润（万元）关于购进产品数量（万件）的函数详解式； (3)购进并销售产品多少万件时，利润最大？此时利润是多少？ 【答案】(1)200万元 (2) (3)当购进并销售产品40万件时，利润最大，此时利润是910万元 【分析】（1）依题意，当购进产品数量为10万件时，是以80元的单价出售，每件30元成本，且需要固定投入300万元，由此根据利润销售收入成本计算即可； （2）依题意，分三段：当时，当时，当时，写出函数详解式，其中，当时，需要设降价元，并用含的式子表示. （3）计算出各段函数的最大值进行比较.当时，根据一次函数的单调性求解最大值；当时，根据二次函数的最值求解最大值；当时，根据基本不等式求解最大值. 【详解】（1）依题意，当购进产品数量为10万件时，利润是万元. （2）当时，； 当时，不妨设降价元，则，得到， 所以； 当时，； 所以. （3）由（2）知，当时，，函数单调递增， 当时，利润最大，此时利润是450万元； 当时，， 当时，利润最大，此时利润是500万元； 当时，， 当且仅当，即时，利润最大，此时利润是910万元. 因为，所以当购进并销售产品40万件时，利润最大，此时利润是910万元. 题型四 指数型函数模型 16．（25-26高一上·山东青岛·期中）冬季是流行病的高发季节，大部分流行病是由病毒或细菌引起的，已知某细菌是以简单的二分裂法进行无性繁殖，在适宜的条件下分裂一次（1个变为2个）需要23分钟，那么适宜条件下1个该细菌增长到1万个该细菌大约需要（    ）（参考数据： A．3小时 B．4小时 C．5小时 D．6小时 【答案】C 【分析】设大约需要分钟，则，两边取对数，根据对数运算求解即可. 【详解】设大约需要分钟， 则， 两边同时取对数得：， 所以， 所以需要小时. 故选：C. 17．（2025高一·四川泸州·期末）在不考虑空气阻力的条件下，飞行器在某星球的最大速度v（单位：）和所携带的燃料的质量M（单位：kg）与飞行器（除燃料外）的质量m（单位：kg）的函数关系式近似满足（a为常数）．当携带的燃料的质量和飞行器（除燃料外）的质量相等时，v约等于2.9，当携带的燃料的质量是飞行器（除燃料外）的质量的13倍时，v约等于5.8，则常数b的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据题意得到方程组，联立求出，进而求出. 【详解】由题意得，当时，①， 当时，②， ②-①得，，解得，负值舍去， 所以，解得. 故选：A. 18．（25-26高三上·北京海淀·月考）某品牌手机在低电量模式下，电量消耗遵循指数衰减规律.设初始电量为（单位：），经过小时后，剩余电量（单位：）满足函数关系（其中为电量衰减系数）.已知该手机在低电量模式下，从初始电量衰减到用时4小时，设初始电量为，若用户希望剩余电量不低于，则该手机在低电量模式下最多可使用时间的小时数为（    ） （参考数据：，） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数模型，代入数值，化简可得，即可得函数解析式，代入数值可得不等式，解不等式即可. 【详解】已知初始电量为，经过小时后，剩余电量， 则有即，解得， 当剩余电量不低于即，化简得， 两边同取以为底的对数即，由对数运算法则得， 解得，代入数据可得， 故选：C. 19．（2025高三·全国·专题练习）某地区在年底森林覆盖面积为，为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力发展植树造林活动，计划到年底森林覆盖面积为，要求每一年森林覆盖面积的年平均增长率均相同，试问到年底需要植树多少面积？（参考数据：） 【答案】 【分析】设每年平均增长率为，由条件可得方程，解方程求，由此可得结论. 【详解】设每年平均增长率为， 则以2020年底为基础，到2030年底的森林覆盖面积为， 故，所以， 解得， 所以到2021年底需要植树的面积为． 20．（25-26高一·全国·课后作业）复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息，我国现行定期储蓄中的自动转存业务就是类似复利计算的储蓄．某人在银行存入本金10万元并办理了自动转存业务，已知每期利率为，若存期，本利和为11万元，若存期，本利和为12万元，若存期，求总利息为多少． 【答案】3.2（万元） 【分析】根据题意，得出方程组，两式相乘，得到本利和，进而得到利息的值，得到答案. 【详解】由题意，可得，则， 即存期，本利和为，则存期，总利息为（万元）． 题型五 对数型函数模型 21．（25-26高一上·上海·期中）在有声世界里，声强级是表示声强度相对大小的指标，其值[单位：（分贝）]定义为，其中为声场中某点的声强度，其单位为（瓦/平方米），为基准值.则声强级为时的声强度是声强级为时的声强度的（    ）倍 A．10 B．100 C．1.2 D．12 【答案】B 【分析】根据声强级的定义分别求出声强级为和声强级为的声强度，然后计算它们的比值即可. 【详解】由题意得，， 当声强级为时，，； 当声强级为时，，， . 故选：. 22．（25-26高一上·上海·期中）中国的5G技术领先世界，在5G技术中，最大数据传输速率取决于信道带宽，与满足，其中称为信噪比（单位：）．若不改变带宽，初始信噪比为1000，那么为了使增加，需要将信噪比从1000提升至大约（    ） A．5000 B．6000 C．7000 D．8000 【答案】D 【分析】结合题意，借助对数运算法则计算即可得. 【详解】由题意可得， 即有， 即. 故选：D. 23．(多选)（2025·辽宁·模拟预测）震级是以地震仪测定的每次地震活动释放的能量多少来确定的，我国目前使用的震级标准，是国际上通用的里氏分级表，共分9个等级，其中能量（单位：焦耳）与里氏震级的对应关系为，则（    ） A．若某次地震的震级不超过2级，则产生的能量低于焦耳 B．若某次地震的震级超过4级，则产生的能量高于焦耳 C．5级地震的能量是4级地震的能量的100倍 D．3级地震的能量是7级地震的能量的 【答案】ABD 【分析】借助能量E与里氏震级M的对应关系计算即可判断各选项. 【详解】记表示震级为级地震的能量， 对于项，若，则，所以，故A项正确； 对于B项，若，则，所以，故B项正确； 对于C项，，则，故C项错误； 对于D项，，则，故D项正确. 故选：ABD. 24．（2025高一·北京·期末）2024年1月11日，我国太原卫星发射中心在山东海阳附近海域使用引力一号遥一商业运载火箭，将搭载的云遥一号18-20星3颗卫星顺利送入预定轨道，飞行试验任务获得圆满成功，引力一号运载火箭首飞即采用难度较高的海上发射，刷新了全球运力最大固体运载火箭、我国运力最大民营商业运载火箭纪录，进一步丰富了我国运载火箭型谱.1903年前苏联（俄罗斯）航天之父齐奥尔科夫斯基推导出火箭的理想速度公式为：其中为火箭初始质量，为火箭燃烧完毕熄火后剩余质量，称为火箭质量比，为火箭发动机喷气速度.至今多年来所有大小火箭都遵循齐奥尔科夫斯基公式基本规律.现已知某型号火箭的发动机的喷气速度为. (1)当该型号火箭的质量比为10时，求该型号火箭的理想速度； (2)经过改进后，该火箭发动机喷气速度变为原来2倍，火箭质量比变为原来的，若使火箭的理想速度增加，求该火箭在技术和材料改进前的质量比. （两问结果均保留一位小数，参考数据：） 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）将给定数据代入公式计算即得； （2）利用给定信息列出不等式求解． 【详解】（1）依题意，； （2）技术改进前的理想速度， 技术改进后的理想速度， 要使火箭的理想速率至少增加， 则，即， ，， 所以， 所以该火箭在技术和材料改进前的质量比为 25．（2025高一·四川绵阳·期末）某工厂生产两种产品，产品的利润（单位：万元）与投入金额（单位：万元）的关系式为产品的利润（单位：万元）与投入金额（单位：万元）的关系式为.已知投入3万元生产产品可获利润为7万元，投入32万元生产产品可获利润为65万元. (1)求实数的值； (2)该企业现有47万元资金全部投入两种产品中，探究：怎样分配资金，才能使企业获得最大利润？并求出最大利润. 【答案】(1)， (2)A生产线投资15万元，B生产线投资32万元时，企业获得利润最大，利润的最大值为97万元. 【分析】（1）运用代入法，结合对数的运算性质进行求解即可； （2）根据（1）的结论，结合对数的性质、对数型函数的单调性、基本不等式进行求解即可. 【详解】（1）， ， 解得. ， ， 解得. （2）设A生产线投入万元，则B生产线投入万元，企业获得利润为. 由（1），得， ， ， 整理，得， 变形得，， 即. ，当且仅当时等号成立. . ， 当且仅当时等号成立. 当A生产线投资15万元，B生产线投资32万元时，企业获得利润最大，利润的最大值为97万元. 题型六 幂函数模型的应用 26．（25-26高一·全国·假期作业）某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x（万元）与药品利润y（万元）存在的关系为（α为常数），其中x不超过5万元．已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年广告费用投入5万元，预计今年药品利润为（    ） A．115万元 B．120万元 C．125万元 D．130万元 【答案】C 【分析】根据已知代入求解得出解析式，再计算求解. 【详解】由已知投入广告费用为3万元，药品利润为27万元，代入中，得，解得， 故函数解析式为，所以当时，． 故选：C. 27．（2025·甘肃天水·模拟预测）科学家很早就提出关于深度睡眠问题，随着现代生活节奏的加快，睡眠成了严重影响生活的问题．经研究，睡眠中恒温动物的脉搏率f（单位：心跳次数）与体重W（单位：Kg）的次方成反比．若A、B为两个睡眠中的恒温动物，A的体重为2Kg、脉搏率为210次，B的脉搏率是70次，则B的体重为（    ） A．6Kg B．8Kg C．18Kg D．54Kg 【答案】D 【分析】根据给定信息求出关系式，再代入计算即得. 【详解】依题意，设，由，得，则， 当时， ，所以． 故选：D 28．【多选】（2025高一·河北·阶段练习）在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量（单位：）与管道的半径（单位：）的四次方成正比，当气体在半径为5的管道中时，流量为，则（    ） A．当气体在半径为3的管道中时，流量为 B．当气体在半径为3的管道中时，流量为 C．要使得气体流量不小于，管道的半径的最小值为4 D．要使得气体流量不小于，管道的半径的最小值为 【答案】AC 【分析】根据题意求得函数详解式，再逐项判断即可. 【详解】依题意可设，为常数． 当气体在半径为5的管道中时，流量为，所以，解得， 则．当时，，故A正确，B错误． 由，解得，故C正确，D错误． 故选：AC. 29．（2025·全国·模拟预测）遗忘曲线（又称作“艾宾浩斯记忆曲线”）由德国心理学家艾·宾浩斯（H. Ebbinghaus）研究发现，描述了人类大脑对新事物遗忘的规律．人体大脑对新事物遗忘的循序渐进的直观描述，人们可以从遗忘曲线中掌握遗忘规律并加以利用，从而提升自我记忆能力．该曲线对人类记忆认知研究产生了重大影响．陈同学利用信息技术拟合了“艾宾浩斯遗忘曲线”，得到记忆率与初次记忆经过的时间（小时）的大致关系：，若陈同学需要在明天15时考语文考试时拥有复习背诵记忆的42%，则他复习背诵时间需大约在（    ） （参考数据: ） A．14：30 B．14：00 C．13：30 D．13：00 【答案】A 【分析】利用函数模型求出需要记忆的时间，即可推断出考前复习背诵的时间在几点开始. 【详解】令，， ∵， ∴x的估计值可取0.5，即他复习背诵时间需大约在14：30. 故选：A. 30．（25-26高一上·贵州遵义·月考）某校数学兴趣小组，在过去一年一直在研究学校附近池塘里某种水生植物的面积变化情况，自2025年元旦开始测量该水生植物的面积，此后每隔一个月（每月月末）测量一次，通过一年的观察发现，自2025年元旦起，该水生植物在池塘里面积增加的速度是越来越快的，最初测得该水生植物面积为，二月底测得该水生植物的面积为，三月底测得该水生植物的面积为，该水生植物的面积（单位：）与时间（单位月）的关系符合函数模型，记2025年元旦最初测量时间的值为0，1月底测量时间的值记为1，以此类推. (1)求该函数模型的解析式； (2)池塘里该水生植物面积应该在几月份起是元旦开始研究时该水生植物面积的10倍以上？（参考数据：，） 【答案】(1)； (2)5月份. 【分析】（1）根据已知，应用待定系数求函数解析式； （2）由题设，结合指对数关系及对数的运算性质求解，即可得. 【详解】（1）由题设，解得，所以； （2）由题意得，， 解得， 所以在5月份起是元旦开始研究时该水生植物面积的10倍以上. 题型七 指数、对数、幂函数模型的增长差异 31．（25-26高一·全国·单元测试）下列函数中，增长速度最慢的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用各个函数的增长规律特点判定. 【详解】根据指数函数、对数函数、幂函数、一次函数的增长差异，可知对数函数增长速度最慢． 故选：B. 32．（25-26高一·全国·单元测试）三个物体同时从同一点出发同向而行，位移关于时间的函数关系式分别为，，，则下列结论中错误的是（    ） A．当时，总走在最前面 B．当时，总走在最前面 C．不可能走在最前面，也不可能走在最后面 D．如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是 【答案】C 【分析】画出三函数的图象，结合三种类型函数的增长速度，数形结合得到结论. 【详解】在同一坐标系内画出，，的图象，如图所示， 当时，，，，且时，指数型函数增长速度最快， 对于A，D，当时，总走在最前面，A，D正确； 对于B，当时，由图象可知总走在最前面，B正确； 对于C，当时，，，此时走在最后面，故C错误． 故选：C.    33．（2025高一·安徽安庆·期末）从甲地到乙地的距离约为，经多次实验得到一辆汽车每小时耗油（单位：）与速度（单位：的下列数据： 0 40 60 80 120 0.000 6.667 8.125 10.000 20.000 为了描述汽车每小时耗油量与速度的关系，下列四个模型中你认为最符合实际的函数模型是：（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析表中数据根据单调性和定义域即可判断出最符合实际的函数模型． 【详解】由图表中数据可知函数模型满足：第一，定义域为；第二，在定义域单调递增且单位增长率变快；第三，函数图象过原点. 函数和在定义域内单调递减，不符合条件，故AC错误； 函数中0不在函数的定义域中，故D错误； B选项：满足上述三点，故B正确. 故选：B. 34．（2025高一·河南新乡·阶段练习）在一次数学实验中，小胡同学运用图形计算器采集到如下一组数据： 3 5 7 9 11 13 21.01 21.11 21.99 30.03 101.96 749.36 在以下四个函数模型中，为常数，最能反映间函数关系的可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由不同函数模型的增长速度可知指数函数符合题意. 【详解】根据表格提供数据可知，自变量变化量相同时，函数值增长越来越快， 即函数增长非常快，所以指数增长符合，即B选项符合. 故选：B. 35．【多选】（2025高一·甘肃甘南·期末）设，，，当时，对这三个函数的增长速度进行比较，下列结论中，错误的是 （    ） A．的增长速度最快， 的增长速度最慢 B．的增长速度最快， 的增长速度最慢 C．的增长速度最快， 的增长速度最慢 D．的增长速度最快， 的增长速度最慢 【答案】ACD 【分析】做出三个函数，，的图象，结合图象，即可求解. 【详解】做出三个函数，，的图象， 如图所示：    通过图象可知三个函数，，中， 当时，增长速度最快，的增长速度最慢， 故B正确，ACD错误. 故选：ACD. 题型八 建立拟合函数模型解决实际问题 36．（25-26高一上·广东深圳·月考）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种普洱茶用95℃的水冲泡，等茶水温度降至60℃饮用，口感最佳．某科学兴趣小组为探究在室温条件下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1分钟测量一次茶水温度，得到茶水温度y（单位：℃）与时间（单位：分钟）的部分数据如下表所示： 时间/分钟 0 1 2 3 4 5 水温/℃ 95.00 88.00 81.70 76.03 70.93 66.33 (1)给出下列三种函数模型：①，②，③，请根据上表中的数据，选出你认为最符合实际的函数模型，并利用前2分钟的3组数据求出相应的解析式． (2)根据（1）中所求模型， （ⅰ）请推测实验室室温（注：茶水温度接近室温时，将趋于稳定）； （ⅱ）求刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间． （参考数据：lg3≈0.48，lg5≈0.7） 【答案】(1)选模型②，理由见解析，解析式为 (2)（i）实验室室温为，（ii）刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间为． 【分析】（1）由表格数据可知函数单调性及变化快慢，选模型②，把前3组数据代入求出，，的值，即可得到函数解析式； （2）（i）利用指数函数的性质求解；（ii）令，结合对数的运算性质求出的值即可． 【详解】（1）由表格数据可知，函数单调递减且递减速度逐渐变慢， 模型③为单调递增的函数，不符合， 模型①为直线型，不符合递减速度逐渐变慢， 故模型①③不符合，选模型②， 则，解得， 所以； （2）（i）因为当趋于无穷大时，无限接近于， 所以推测实验室室温为； （ii）令，则， 所以， 即刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间为． 37．（2025高一上·福建厦门·专题练习）近几年，直播平台作为一种新型的学习渠道，正逐渐获得越来越多人的关注和喜爱.某平台从2024年初建立开始，得到了很多网民的关注，会员人数逐月增加，如下表所示： 建立平台第个月 1 2 3 4 5 会员人数（万） 2 5 6.7 8 8.9 为了描述从第1个月开始会员人数随时间变化的关系.现有以下三种函数模型供选择：①，②，③. (1)选出最符合实际的函数模型，并说明理由； (2)请选取表格中的两组数据，求出你选择的函数模型的解析式，并预测第几个月会员人数达到14万. 【答案】(1)模型①，理由见解析； (2)，第16个月. 【分析】（1）由给定数表确定函数模型的特征，再对给定的3个模型逐一分析判断即可. （2）由（1）选择的模型，将数据组代入求出即可求得解析式，再求出时的值即可. 【详解】（1）由给定数表知，函数定义域为，会员人数增速随增大而减缓， 对于模型②，当时无意义，不符合题意； 对于模型③，会员人数增速随增大而变快，不符合题意； 对于模型①，会员人数增速随增大而减缓，符合题意， 所以最符合实际的函数模型是模型①. （2）由（1）知，选择模型①， 将数据组代入，得，解得， 因此，当时，，即，解得， 所以所求函数模型的解析式为，预测第16个月会员人数达到14万. 38．（2025高一·江苏镇江·阶段练习）汽车“定速巡航”技术是用于控制汽车的定速行驶，当汽车被设定为定速巡航状态时，电脑根据道路状况和汽车的行驶阻力自动控制供油量，使汽车始终保持在所设定的车速行驶，而无需司机操纵油门，从而减轻疲劳，促进安全，节省燃料.某汽车公司为测量某型号汽车定速巡航状态下的油耗情况，选择一段长度为的平坦高速路段进行测试，经多次测试得到一辆汽车每小时耗油量F（单位：L）与速度v（单位：）的下列数据： v 0 40 60 80 12 F 0 10 20 为了描述汽车每小时耗油量与速度的关系，经计算机拟合，选用函数模型. （1）求函数详解式； （2）这辆车在该测试路段上以什么速度行驶才能使总耗油量最少？ 【答案】（1）；（2）以的速度行驶时总耗油量最少. 【详解】（1）代入数据解方程即可得、、，即可得解； （2）表示出总耗油量的函数，由二次函数的性质即可得解. 【详解】（1）由已知数据得，解得， 所以； （2）设这辆车在该测试路段的总耗油量为y，行驶时间为t， 由题意得 ， 因为，所以当时，y有最小值30. 答：这辆车在该测试路段上以的速度行驶时总耗油量最少，最少为. 【点睛】本题考查了函数的应用，考查了运算求解能力，属于基础题. 1 / 33 学科网（北京）股份有限公司 $