专题05 函数的应用（一） （高效培优专项训练）数学人教B版2019必修第一册

专题05 函数的应用（一） 题型一：二次函数模型的应用 题型二：分段函数模型的应用 题型三：对钩函数模型 题型一：二次函数模型的应用 1．某厂家对某品牌热销按摩椅的销售情况做了统计，发现月销售量（台）与零售价（元）间满足：，已知第一、二月份销售情况如下表所示： 月份 1月 2月 零售价（元） 6000 6500 月销售量（台） 60 55 (1)若厂家某月将该按摩椅定价为6700元/台，则该厂家这个月能销售多少台按摩椅？ (2)若厂家生产一台按摩椅的成本为4000元，则该厂家应该如何定价才能使厂家每月利润最大？最大利润是多少？ 2．某种蔬菜从1月1日起开始上市，通过市场调查，得到该蔬菜种植成本（单位：元/）与上市时间（单位：10天）的数据如下表： 上市时间 5 11 25 种植成本 15 10.8 15 (1)根据上表数据，从下列函数：中（其中），选取一个合适的函数模型描述该蔬菜种植成本与上市时间的变化关系，并简要说明理由； (2)利用你选取的函数模型，求该蔬菜种植成本最低时的上市时间及最低种植成本. 3．某公司生产的某种时令商品每件成本为22元，经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的日销售量（件）与（天）的关系如表： 时间（天） 1 3 6 10 36 日销售量（件） 94 90 84 76 24 未来40天内，前20天每天的价格（且为整数），后20天每天的价格（且为整数）． (1)请利用一次函数，二次函数，反比例函数的知识，直接写出日销售量与时间（天）之间的关系式； (2)请预测未来40天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少? (3)在实际销售的前20天中，该公司决定每销售一件商品就捐赠元利润（）给希望工程．公司通过销售记录发现，前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间（天）的增大而增大，求的取值范围． 4．某商场销售型商品，已知该商品的进价是每件3元，且销售单价与日均销售量的关系如表所示： 销售单价（元） 4 5 6 7 8 9 10 日均销售量（件） 400 360 320 280 240 200 160 请根据以上数据分析，此商品如何定价（单位：元/件），该商品的日均销售利润最大？并求日均销售利润的最大值. 5．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似表示为，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元． (1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ (2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使单位不亏损？ 6．某矿物质有A、B两种冶炼方法，若使用A方法，所需费用（单位：千元）与矿物质的重量（单位：吨）的平方成正比，若使用B方法，所需费用（单位：千元）与矿物质的重量（单位：吨）成正比，已知用A方法冶炼2吨、用B方法冶炼1吨所需的总费用为14千元，用A方法冶炼1吨、用B方法冶炼2吨所需的总费用也是14千元，现有该矿物质共m吨（），计划用A方法冶炼x吨（），剩余部分用B方法冶炼，所需总费用为y千元. (1)建立y与x的函数关系： (2)求总费用y的最小值，并说明其实际意义． 7．某厂家制造一件产品的成本为元，如果一件产品的定价为元时，可卖出个；如果定价每提高元售出的个数会减少个，试将利润表示成单价的函数，并求出利润的最大值. 8．某商场试销一种进价为3元的袜子，规定试销时的销售单价不低于4元，又不高于8元，试销期间经调查发现：当销售单价为4元时，平均每天能售出50件．销售单价每增加1元，平均每天就少售出10件．设该种袜子的销售单价为x元，每天销售的利润为y元． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)根据以上数据，袜子销售单价定价为多少元时每天销售的利润最高？最高利润是多少？ 题型二：分段函数模型的应用 9．某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现，某水果的产量W（单位：千克）与施用肥料x（单位：千克）满足如下关系：，且施用肥料及其它成本总投入为元．已知这种水果的市场售价大约10元/千克，且生产的水果都能售出．记该水果利润为（单位：元）．（利润销售额成本） (1)写出利润（元）关于施用肥料x（千克）的关系式； (2)当施用肥料为多少千克时，该水果利润最大？最大利润是多少？ 10．随着人工智能的飞速进展，临港某车辆装配车间每2小时装配完成一辆车.按照计划，该车间今天生产8小时.从当天开始生产的时刻起，所经过的时间x（单位：小时）与装配完成的车辆数（单位：辆），表示为函数. (1)用分段表示法写出函数的解析式； (2)数学上，常用表示不大于的最大整数，例如，；也叫做取整函数.请用取整函数写出函数的简洁表达式. 11．佗城位于龙川县最南端，内有百岁街､越王井､赵伦故居､正相塔､越王庙､孔庙､考棚等旧址及古建筑，某开发商计划2024年在伦城景区开发新的游玩项目，全年需投入固定成本400万元，若该项目在2024年有万名游客，则需另投入成本万元，且，该游玩项目的每张门票售价为80元. (1)求2024年该项目的利润（万元）关于游客数量（万人）的函数关系式（利润=销售额-成本）. (2)当2024年游客数量为多少时，该项目所获利润最大？最大利润是多少？ 12．中美贸易摩擦不断，美国对中国科技企业进行打压，更甚的是，美国对我国华为公司的限制上升到了科技战的程度．尽管美国对华为极力封锁，百般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们压制和封锁华为，然而这并没有让华为却步．华为及中国科技者经过三年多的努力，终于在今年取得突破．今年，我国某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2024年利用新技术生产某款新手机．通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本500万元，每生产x（千部）手机，需另投入成本万元，且，由市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完． (1)求2024年的利润（万元）关于年产量x（千部）的函数关系式，（利润销售额成本）； (2)2024年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？ 13．已知某医疗器械公司生产某型号的心电监测仪，生产该心电监测仪的固定成本为4万元.月产量为台，每生产一台仪器需增加投入200元，为了积极响应政府复工复产的号召，该公司准备扩大产能，当月产量不超过800台时，总收益为元，当月产量超过800台时，总收益为25万元，（注：利润=总收益-总成本） (1)将利润表示为月产量的函数； (2)当月产量为何值时，公司所获利润最大?最大利润为多少? 14．某地区为积极推进生态文明建设，决定利用该地特有条件将该地区打造成“生态水果特色地区”.经调研发现：某珍惜果树的单株产量（单位：千克）与施用肥料（单位：千克）满足如下关系：，肥料成本投入为元，其它成本投入元.已知这种水果的市场售价大约20元/千克，且销售畅通供不应求，记该水果单株利润为（单位：元） (1)写单株利润（元）关于施用肥料（千克）的关系式； (2)当施用肥料为多少千克时，该水果单株利润最大？最大利润是多少？ 题型三：对钩函数模型 15．某工厂为提升品牌知名度进行促销活动，需促销费用万元，计划生产并销售某种文化产品万件（生产量与销售量相等）．已知生产该产品需投入成本费用万元（不含促销费用），产品的促销价格定为元/件． (1)将该产品的利润万元表示为促销费用万元的函数；（注：利润销售额投入成本促销费用） (2)当促销费用投入多少万元时，此工厂所获得的利润最大?最大利润为多少? 16．喝酒不开车，开车不喝酒.若某人饮酒后，欲从相距的某地聘请代驾司机帮助其返程.假设当地道路限速.油价为每升8元，当汽车以的速度行驶时，油耗率为.已知代驾司机按每小时56元收取代驾费，试确定最经济的车速，使得本次行程的总费用最少，并求最小费用. 17．为迎接2022年“双十一”网购狂欢节，某厂家拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行促销．经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量p万件与促销费用x万元满足：（其中，a为正常数）．已知生产该产品还需投入成本万元（不含促销费用），产品的销售价格定为元/件．假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求． (1)将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数； (2)促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大利润的值． 18．市政府招商引资，为吸引外商，决定第一个月产品免税，某外资厂该第一个月A型产品出厂价为每件10元，月销售量为6万件；第二个月，当地政府开始对该商品征收税率为 ，即销售1元要征收元）的税收，于是该产品的出厂价就上升到每件元，预计月销售量将减少p万件. （1）将第二个月政府对该商品征收的税收y（万元）表示成p的函数，并指出这个函数的定义域； （2）要使第二个月该厂的税收不少于1万元，则p的范围是多少？ （3）在第（2）问的前提下，要让厂家本月获得最大销售金额，则p应为多少？ 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 函数的应用（一） 题型一：二次函数模型的应用 题型二：分段函数模型的应用 题型三：对钩函数模型 题型一：二次函数模型的应用 1．某厂家对某品牌热销按摩椅的销售情况做了统计，发现月销售量（台）与零售价（元）间满足：，已知第一、二月份销售情况如下表所示： 月份 1月 2月 零售价（元） 6000 6500 月销售量（台） 60 55 (1)若厂家某月将该按摩椅定价为6700元/台，则该厂家这个月能销售多少台按摩椅？ (2)若厂家生产一台按摩椅的成本为4000元，则该厂家应该如何定价才能使厂家每月利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)53台 (2)当该按摩椅定价为8000元/台时，月利润最大，最大利润为160000元 【分析】（1）待定系数法得到，将代入，求出答案； （2）设月利润为元，则，从而得到最大利润. 【详解】（1）由题意知，将和分别代入 得，解得，故． 当时，，故该厂家这个月能销售53台按摩椅． （2）设月利润为元，则， 当元时，，故当该按摩椅定价为8000元/台时，月利润最大， 最大利润为160000元． 2．某种蔬菜从1月1日起开始上市，通过市场调查，得到该蔬菜种植成本（单位：元/）与上市时间（单位：10天）的数据如下表： 上市时间 5 11 25 种植成本 15 10.8 15 (1)根据上表数据，从下列函数：中（其中），选取一个合适的函数模型描述该蔬菜种植成本与上市时间的变化关系，并简要说明理由； (2)利用你选取的函数模型，求该蔬菜种植成本最低时的上市时间及最低种植成本. 【答案】(1)，理由见解析； (2)上市时间为150天时，种植成本最低为10元/. 【分析】（1）根据表格数据的变化趋势确定函数模型； （2）根据数据有，则，再把数据代入求参数，应用二次函数性质求结果. 【详解】（1）由表格数据知，种植成本随着上市时间先减后增，显然只有合适； （2）由题设是的对称轴，则， 所以，且，可得， 所以， 所以上市时间为150天时，种植成本最低为10元/. 3．某公司生产的某种时令商品每件成本为22元，经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的日销售量（件）与（天）的关系如表： 时间（天） 1 3 6 10 36 日销售量（件） 94 90 84 76 24 未来40天内，前20天每天的价格（且为整数），后20天每天的价格（且为整数）． (1)请利用一次函数，二次函数，反比例函数的知识，直接写出日销售量与时间（天）之间的关系式； (2)请预测未来40天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少? (3)在实际销售的前20天中，该公司决定每销售一件商品就捐赠元利润（）给希望工程．公司通过销售记录发现，前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间（天）的增大而增大，求的取值范围． 【答案】(1) (2)第18天的日销售利润最大，最大日销售利润为450元； (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）分和两种情况，根据“总利润=单件利润×销售量”列出函数解析式，结合二次函数的性质可得； （3）根据前20天的售价由“总利润=单件利润×销售量”列出函数解析式，并配方成顶点式结合二次函数的性质和即可. 【详解】（1）通过表格可知m与x之间的关系为一次函数， 设一次函数为，把和代入， 解得， ∴； 把代入检验，，符合题意， ∴日销售量m与时间x（天）之间的关系式为； （2）设销售利润为W元， ①当时，， ∴当时，W有最大值450， ②当时，， ∴当时，W随x增大而减小， ∴时，， ∵， ∴未来40天中第18天日销售利润最大，最大日销售利润为450元； （3）由题意知 二次函数开口向下，对称轴是， 要使日销售利润随时间x的增大而增大，则， ∴， 又， ∴． 4．某商场销售型商品，已知该商品的进价是每件3元，且销售单价与日均销售量的关系如表所示： 销售单价（元） 4 5 6 7 8 9 10 日均销售量（件） 400 360 320 280 240 200 160 请根据以上数据分析，此商品如何定价（单位：元/件），该商品的日均销售利润最大？并求日均销售利润的最大值. 【答案】当定价为8.5元时，该商品的日均销售利润最大，且最大值为1210元. 【分析】设定价为元，日均销售利润为元，则，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】由题意表格中的数据可知，当售价为4元时，日销售量为400件， 售价每增加1元，日销售量就减少40件. 设定价为元，日均销售利润为元， 则， 故当时，有最大值. 所以定价为8.5元时，日均销售利润最大，且最大值为1210元. 5．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似表示为，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元． (1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ (2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使单位不亏损？ 【答案】(1)600吨 (2)该单位每月不获利．需要国家每月至少补贴140000元才能不亏损 【分析】（1）根据题意得到二氧化碳每吨的平均处理成本表达式，结合基本不等式求解最小值即可； （2）根据题意得到该单位每月获利的表达式，结合二次函数性质求解最值即可. 【详解】（1）由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为， 当且仅当，即时等号成立， 故该单位每月处理量为600吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为400元 （2）设该单位每月获利为元， 则 ， 由题意得，，所以当时， 故该单位每月不获利．需要国家每月至少补贴140000元才能不亏损． 6．某矿物质有A、B两种冶炼方法，若使用A方法，所需费用（单位：千元）与矿物质的重量（单位：吨）的平方成正比，若使用B方法，所需费用（单位：千元）与矿物质的重量（单位：吨）成正比，已知用A方法冶炼2吨、用B方法冶炼1吨所需的总费用为14千元，用A方法冶炼1吨、用B方法冶炼2吨所需的总费用也是14千元，现有该矿物质共m吨（），计划用A方法冶炼x吨（），剩余部分用B方法冶炼，所需总费用为y千元. (1)建立y与x的函数关系： (2)求总费用y的最小值，并说明其实际意义． 【答案】(1)，； (2)答案见解析. 【分析】（1）由题设，令各方法费用，，再由已知列方程组求参数，即可得y与x的函数关系； （2）由（1）有，，讨论、确定对应总费最小对应的实际意义即可. 【详解】（1）若分别表示用A、B方法的费用，表示A、B方法使用矿物重量， 所以，可设，， 由题意，， 所以，所需总费用，且. （2）由（1）知：，， 当时，时总费用y的最小值，即全部用方法A冶炼费用最小； 当时，时总费用y的最小值，即1.5吨用方法A，剩余的用方法B，费用最小. 7．某厂家制造一件产品的成本为元，如果一件产品的定价为元时，可卖出个；如果定价每提高元售出的个数会减少个，试将利润表示成单价的函数，并求出利润的最大值. 【答案】，元 【分析】根据条件先列出关于的函数，然后根据二次函数的性质求解出的最大值即为最大利润. 【详解】由已知可得， 所以， 当时，， 所以利润的最大值为元. 8．某商场试销一种进价为3元的袜子，规定试销时的销售单价不低于4元，又不高于8元，试销期间经调查发现：当销售单价为4元时，平均每天能售出50件．销售单价每增加1元，平均每天就少售出10件．设该种袜子的销售单价为x元，每天销售的利润为y元． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)根据以上数据，袜子销售单价定价为多少元时每天销售的利润最高？最高利润是多少？ 【答案】(1) (2)当袜子销售单价定价为6元时每天销售的利润最高，且最高利润是90元． 【分析】（1）根据题意得到函数解析式，注意定义域； （2）配方，求出函数最大值，得到答案. 【详解】（1）由题意可知，则， 即 （2）， 而， 当时，取到最大值为90， 当袜子销售单价定价为6元时每天销售的利润最高，且最高利润是90元． 题型二：分段函数模型的应用 9．某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现，某水果的产量W（单位：千克）与施用肥料x（单位：千克）满足如下关系：，且施用肥料及其它成本总投入为元．已知这种水果的市场售价大约10元/千克，且生产的水果都能售出．记该水果利润为（单位：元）．（利润销售额成本） (1)写出利润（元）关于施用肥料x（千克）的关系式； (2)当施用肥料为多少千克时，该水果利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)当施用肥料为3千克时，该水果利润最大，最大利润是400元 【分析】（1）根据题目信息直接写出表达式即可； （2）根据分段函数性质，结合二次函数和基本不等式分别求解最大值并比较即可. 【详解】（1）由已知， 又， 所以， 整理得 （2）当时，， 所以当时，， 当时， ， 当且仅当，即时等号成立，， 因为，所以的最大值为400， 故当施用肥料为3千克时，该水果的利润最大，最大利润是400元 10．随着人工智能的飞速进展，临港某车辆装配车间每2小时装配完成一辆车.按照计划，该车间今天生产8小时.从当天开始生产的时刻起，所经过的时间x（单位：小时）与装配完成的车辆数（单位：辆），表示为函数. (1)用分段表示法写出函数的解析式； (2)数学上，常用表示不大于的最大整数，例如，；也叫做取整函数.请用取整函数写出函数的简洁表达式. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定的条件，利用分段函数写出函数解析式即得. （2）利用（1）的结论，结合取整函数的定义求解即得. 【详解】（1）当时，；当时，；当时，； 当时，；当时，， 所以函数的解析式为. （2）由取整函数的意义知，当，即时，； 当，即时，；当，即时，； 当，即时，；当，即时，， 所以. 11．佗城位于龙川县最南端，内有百岁街､越王井､赵伦故居､正相塔､越王庙､孔庙､考棚等旧址及古建筑，某开发商计划2024年在伦城景区开发新的游玩项目，全年需投入固定成本400万元，若该项目在2024年有万名游客，则需另投入成本万元，且，该游玩项目的每张门票售价为80元. (1)求2024年该项目的利润（万元）关于游客数量（万人）的函数关系式（利润=销售额-成本）. (2)当2024年游客数量为多少时，该项目所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)； (2)游客为40万人时利润最大，最大为370万. 【分析】（1）根据利润=销售额-成本，结合题目已知可得； （2）根据一次函数和二次函数单调性，以及基本不等式即可求解. 【详解】（1）由题意可得， ， 即. （2）当时，单调递增，所以； 当时，单调递增，； 当时，由基本不等式知， 当且仅当，即时，等号成立，故. 综上，游客为40万人时利润最大，最大为370万. 12．中美贸易摩擦不断，美国对中国科技企业进行打压，更甚的是，美国对我国华为公司的限制上升到了科技战的程度．尽管美国对华为极力封锁，百般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们压制和封锁华为，然而这并没有让华为却步．华为及中国科技者经过三年多的努力，终于在今年取得突破．今年，我国某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2024年利用新技术生产某款新手机．通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本500万元，每生产x（千部）手机，需另投入成本万元，且，由市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完． (1)求2024年的利润（万元）关于年产量x（千部）的函数关系式，（利润销售额成本）； (2)2024年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)产量千部时，利润取得最大值7750万元. 【分析】（1）利用已知条件建立函数模型即可； （2）根据二次函数的性质与基本不等式分类讨论计算即可. 【详解】（1）由题意可知， （2）当时，， 当且仅当时取得最大值7500； 当时，， 当且仅当时，取得最大值7750，显然， 综上：当时，取得最大值7750. 13．已知某医疗器械公司生产某型号的心电监测仪，生产该心电监测仪的固定成本为4万元.月产量为台，每生产一台仪器需增加投入200元，为了积极响应政府复工复产的号召，该公司准备扩大产能，当月产量不超过800台时，总收益为元，当月产量超过800台时，总收益为25万元，（注：利润=总收益-总成本） (1)将利润表示为月产量的函数； (2)当月产量为何值时，公司所获利润最大?最大利润为多少? 【答案】(1) (2)600台，140000元 【分析】（1）分别将与时的利润与关系的计算出即可； （2）分段将与时的利润最大值计算出，选其中最大的即可. 【详解】（1）当，时，； 当，时， ， 故； （2）当，时， ， 故当时，有最大值； 当，时， ， 综上所述，当时，公司所获利润最大，最大值利润为元. 14．某地区为积极推进生态文明建设，决定利用该地特有条件将该地区打造成“生态水果特色地区”.经调研发现：某珍惜果树的单株产量（单位：千克）与施用肥料（单位：千克）满足如下关系：，肥料成本投入为元，其它成本投入元.已知这种水果的市场售价大约20元/千克，且销售畅通供不应求，记该水果单株利润为（单位：元） (1)写单株利润（元）关于施用肥料（千克）的关系式； (2)当施用肥料为多少千克时，该水果单株利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)； (2)当施用肥料4千克时，单株利润取得最大值640. 【分析】（1）利用条件用销售额减去成本表示利润即可； （2）根据二次函数的单调性及基本不等式计算即可. 【详解】（1）由题意可知：； （2）根据（1）可知： 当时，， 即在上单调递减，在上单调递增， 易知， 当时，， 当且仅当，即时取得等号， 综上，当施用肥料千克时，单株利润取得最大值640. 题型三：对钩函数模型 15．某工厂为提升品牌知名度进行促销活动，需促销费用万元，计划生产并销售某种文化产品万件（生产量与销售量相等）．已知生产该产品需投入成本费用万元（不含促销费用），产品的促销价格定为元/件． (1)将该产品的利润万元表示为促销费用万元的函数；（注：利润销售额投入成本促销费用） (2)当促销费用投入多少万元时，此工厂所获得的利润最大?最大利润为多少? 【答案】(1)， (2)当促销费用投入1万元时，此工厂所获得的利润最大，最大利润为15万元 【分析】（1）依题意可得，，化简即可； （2）由（1）得，，先判断函数的单调性，从而可求解. 【详解】（1）根据题意可得销售额， 则利润，， 化简得，； （2）由（1）得，， 任取，且， 则 所以在上单调递增，   当时，， 当促销费用投入1万元时，此工厂所获得的利润最大，最大利润为15万元. 16．喝酒不开车，开车不喝酒.若某人饮酒后，欲从相距的某地聘请代驾司机帮助其返程.假设当地道路限速.油价为每升8元，当汽车以的速度行驶时，油耗率为.已知代驾司机按每小时56元收取代驾费，试确定最经济的车速，使得本次行程的总费用最少，并求最小费用. 【答案】最经济的车速为时，使得本次行程的总费用最少为元. 【分析】根据题设可得，，利用对勾函数的性质可求该函数的最小值. 【详解】设汽车以行驶时，开车时间为小时，则代驾费用为， 油耗为， 则总费用， ， 由对勾函数的性质知，函数在单调递减，在上单调递增， 因为，所以当时，取到最小值， 最小值为. 最经济的车速为时，使得本次行程的总费用最少为元. 17．为迎接2022年“双十一”网购狂欢节，某厂家拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行促销．经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量p万件与促销费用x万元满足：（其中，a为正常数）．已知生产该产品还需投入成本万元（不含促销费用），产品的销售价格定为元/件．假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求． (1)将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数； (2)促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大利润的值． 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【分析】（1）根据已知可推得，代入，化简即可得出结果； （2）当时，根据基本不等式即可求出最大值；当，先根据单调性的定义得出在上的单调性，即可得出最大值. 【详解】（1）由题意知，， 将代入化简得， ． （2）因为 当且仅当，即时，等号成立． 所以（ⅰ）当时，， 当且仅当，即时，等号成立； （ⅱ）当时， 设，，. ，且，则. 因为，且，所以，所以， 所以，函数在上单调递增， 所以，在上单调递增， 所以，在上单调递增. 所以，当时，y取最大值为． 综上，当时，促销费用投入2万元时，厂家的利润最大为17万元； 当时，促销费用投入a万元时，厂家的利润最大为万元． 18．市政府招商引资，为吸引外商，决定第一个月产品免税，某外资厂该第一个月A型产品出厂价为每件10元，月销售量为6万件；第二个月，当地政府开始对该商品征收税率为 ，即销售1元要征收元）的税收，于是该产品的出厂价就上升到每件元，预计月销售量将减少p万件. （1）将第二个月政府对该商品征收的税收y（万元）表示成p的函数，并指出这个函数的定义域； （2）要使第二个月该厂的税收不少于1万元，则p的范围是多少？ （3）在第（2）问的前提下，要让厂家本月获得最大销售金额，则p应为多少？ 【答案】（1）.定义域为.（2）（3） 【分析】（1）求出月销售收入，从而求出政府对该商品征收的税收； （2）解不等式，求出的范围即可； （3）求出厂家的销售收入为，根据函数的单调性求出的最大值以及对应的的值即可. 【详解】解：（1）依题意，第二个月该商品销量为万件， 月销售收入为 万元，   政府对该商品征收的税收 （万元）. 所以所求函数为. 由>0及得，所求函数的定义域为； （2）由得化简得， 即，解得， 所以当，税收不少于１万元； （3）第二个月，当税收不少于１万元时，厂家的销售收入为 ，因为在区间上是减函数， 所以 （万元）.   所以当时，厂家销售金额最大. 【点睛】本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查解不等式，有一定的综合性. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $