专题03 有理数的大小（专项训练）数学新教材沪科版七年级上册

**基本信息** 以数轴比较法、法则比较法、作差比较法、特殊值法为核心，构建从直观到抽象、从基础到进阶的有理数大小比较方法体系，逻辑递进且覆盖中考高频考法。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |数轴比较法|5题（选择/填空/作图）|借助数轴直观比较，体现几何直观|从形到数，建立有理数与数轴上点的对应关系| |法则比较法|5题（选择/填空/解答）|运用有理数大小比较法则，强化符号意识与运算能力|直接应用概念，巩固数的性质与符号规则| |作差比较法|2题（探究/应用）|通过差的符号判断大小，培养推理意识|从具体到抽象，构建代数比较的逻辑方法| |特殊值法|2题（规律归纳/应用）|选取特殊值简化比较，发展创新意识|针对复杂问题，提供转化与简化的解题策略|

专题03 有理数的大小 常考题型·精准突破 考点一 有理数的大小 题型1 数轴比较法（重） 题型2 法则比较法（重） 题型3 作差比较法（高频） 题型4 特殊值法（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 有理数的大小 ◆题型1 数轴比较法 1．如图，下列各数中比数轴上的 小的数是（     ） A． B．0 C．1 D．2 2．若m，n为有理数，，，且，那么m，n，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 3．画出数轴表示下列各数：3，1.5，；并按从小到大的顺序用“”号把这些数连接起来． 4．在数轴上表示、、，并将这些数用“”相连； 5．画出数轴，表示下列有理数， 并用“”将各数连接起来．   ，，0，， ◆题型2 法则比较法 6．下列不等式关系中正确的是（     ） A． B． C． D． 7．___________ 8．比较大小：______．（填“＞”、“＝”或“＜”） 9．比较 和 的大小． 10．比较下列每组数的大小 (1) (2) (3) (4)． ◆题型3 作差比较法 11．某数学学习小组在比较有理数大小时发现两个数的大小与它们差的符号之间有着密切联系，为了让同学们也发现这个规律，他们设计了如下的探究活动： (1)完成表格 比较与0的大小 比较与的大小 5 3 5 (2)发现规律：若，则________；若，则________；若，则． (3)利用数式通性，借助上面的规律比较与的大小关系． 12．根据已学知识，我们已经能比较有理数的大小，下面介绍一种新的比较大小的方法： ①，； ②，； ③，． 像上面这样，根据两数之差是正数、负数或0，判断两数大小关系的方法叫做作差法比较大小． (1)请将上述比较大小的方法用字母表示出来： 若，则______；若，则______；若，则______b． (2)请用上述方法比较下列代数式的大小（直接在空格中填写答案）． ①______； ②当时，2a______3a； ③当时，______． (3)代数式，，试比较代数式、的大小，并说明理由． ◆题型4 特殊值法 13．探索研究： (1)比较下列各式的大小（用“ ”、“”、“”连接） ①______；        ②______； ③______；        ④______． (2)通过（1）中的大小比较，猜想并归纳出与的大小关系，并说明a，b满足什么关系时，成立？ (3)根据（2）中得出的结论，当时，则x的取值范围是______． 14．请阅读材料，并解决问题． 在比较与的大小时，若利用绝对值法比较，则需要进行分数的通分，因为分母较大，所以比较繁琐．我们也可以使用如下的方法比较大小： 因为，，所以，所以． (1)填空：上述方法是先通过找中间量______来比较正数与的大小，再根据两个负数比较大小的结论“______大的负数反而小”进行判断． (2)利用上述方法比较与的大小． 综合攻坚·知能拔高 一、选择题 1．下列各数中，比小的数是（） A． B． C． D． 2．在这四个数中，最小的数是（    ） A．0 B． C． D． 3．如图，下列数轴上的点表示的数最小的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 4．下列有理数的大小关系正确的是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 5．比较大小：________．(填“”“”或“”) 6．如图，数轴上的两个点分别表示数和，则可以是_____．（写出一个即可） 7．比较下列各对数的大小： ①_________；    ②_________；    ③_________ 8．有理数a、b所表示的点在数轴上的位置如图所示，将，，，按从小到大的顺序排列，并用“”连接___________． 三、解答题 9．如图，数轴上每个刻度为1个单位长度，点表示的数是． (1)在数轴上标出原点，并指出点所表示的数是__________； (2)补全数轴，并在数轴上表示下列各数，然后用“”号把这些数按从小到大连接起来． 2.5，，，． 10．阅读下列材料： 当时，如，则，此时的绝对值是它本身； 当时，，此时的绝对值是0； 当时，如，则，此时的绝对值是它的相反数． 综上可得， 这种分析方法体现了数学中常用的分类讨论思想．请解答下列问题： (1)比较大小：_____5， _____；（填“”“”或“”） (2)请仿照上述分类讨论的方法，分析与的大小关系． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 有理数的大小 常考题型·精准突破 考点一 有理数的大小 题型1 数轴比较法（重） 题型2 法则比较法（重） 题型3 作差比较法（高频） 题型4 特殊值法（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 有理数的大小 ◆题型1 数轴比较法 1．如图，下列各数中比数轴上的 小的数是（     ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【详解】解：根据数轴可得 故比数轴上的 小的数是 2．若m，n为有理数，，，且，那么m，n，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图所示， ∴ ． 3．画出数轴表示下列各数：3，1.5，；并按从小到大的顺序用“”号把这些数连接起来． 【答案】 在数轴上表示各数如图所示， 排序结果为 【详解】略 4．在数轴上表示、、，并将这些数用“”相连； 【答案】， 【详解】解：数轴表示见答案， 则． 5．画出数轴，表示下列有理数， 并用“”将各数连接起来．   ，，0，， 【答案】， . 【详解】解 先化简各数：；， 画出数轴，在数轴上标出五个数对应的点，如图所示： 根据数轴上右边的数总比左边的数大，可得． ◆题型2 法则比较法 6．下列不等式关系中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：逐个判断各选项： 对于A选项，∵ ，，，∴ ，A错误． 对于B选项，∵ ，，， ∴ ，B正确． 对于C选项，两个负数比较大小，绝对值更大的数更小， ∵ ， ∴ ，C错误． 对于D选项，∵ 负数小于一切正数，为负数，为正数， ∴ ，D错误． 7．___________ 【答案】 【详解】解：∵，， ， ∴ . 8．比较大小：______．（填“＞”、“＝”或“＜”） 【答案】 【详解】解：，，， ． 9．比较 和 的大小． 【答案】 【详解】解：∵， ∴． 10．比较下列每组数的大小 (1) (2) (3) (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：∵，， ∵， ∴； （2）解：∵，， ∵， ∴； （3）解：∵，， ∴； （4）解：∵， ∴． ◆题型3 作差比较法 11．某数学学习小组在比较有理数大小时发现两个数的大小与它们差的符号之间有着密切联系，为了让同学们也发现这个规律，他们设计了如下的探究活动： (1)完成表格 比较与0的大小 比较与的大小 5 3 5 (2)发现规律：若，则________；若，则________；若，则． (3)利用数式通性，借助上面的规律比较与的大小关系． 【答案】(1)； (2)； (3)当时,；当时,；当时, 【详解】（1）解：当、时，； 当、时，； 故表格空缺处依次为：；． （2）解：由规律可知，若，则；若，则； 故答案为：>；<． （3）解： ． 当时，，即； 当时，，即； 当时，，即； 答：当时，；当时，；当时，． 12．根据已学知识，我们已经能比较有理数的大小，下面介绍一种新的比较大小的方法： ①，； ②，； ③，． 像上面这样，根据两数之差是正数、负数或0，判断两数大小关系的方法叫做作差法比较大小． (1)请将上述比较大小的方法用字母表示出来： 若，则______；若，则______；若，则______b． (2)请用上述方法比较下列代数式的大小（直接在空格中填写答案）． ①______； ②当时，2a______3a； ③当时，______． (3)代数式，，试比较代数式、的大小，并说明理由． 【答案】(1)；； (2)①；②；③ (3)，理由见解析 【详解】（1）解：（1）， ； ， ； ， ； 故答案为：；；； （2）解：①， ， 故答案为：； ②， ， ， ， 故答案为：； ③， ， ， ， 故答案为：； （3）解：，理由如下： 由题可知； ； 则 ， ． ◆题型4 特殊值法 13．探索研究： (1)比较下列各式的大小（用“ ”、“”、“”连接） ①______；        ②______； ③______；        ④______． (2)通过（1）中的大小比较，猜想并归纳出与的大小关系，并说明a，b满足什么关系时，成立？ (3)根据（2）中得出的结论，当时，则x的取值范围是______． 【答案】(1)；；；； (2)见解析； (3)； 【详解】（1）解：①； ∴ ； ②； ∴ ③；   ∴ ④； ∴ ； 故答案为：；；；； （2）解：根据题意得：与的大小关系：； 当、同号或、至少有一个为时，成立； （3）解：由（2）可知非负数时，成立； 故答案为：． 14．请阅读材料，并解决问题． 在比较与的大小时，若利用绝对值法比较，则需要进行分数的通分，因为分母较大，所以比较繁琐．我们也可以使用如下的方法比较大小： 因为，，所以，所以． (1)填空：上述方法是先通过找中间量______来比较正数与的大小，再根据两个负数比较大小的结论“______大的负数反而小”进行判断． (2)利用上述方法比较与的大小． 【答案】(1)；绝对值 (2) 【详解】（1）解：上述方法是先通过找中间量来比较正数与的大小，再根据两个负数比较大小的结论“绝对值大的负数反而小”进行判断； 故答案为：；绝对值； （2）解：∵，， ∴， ∴． 综合攻坚·知能拔高 一、选择题 1．下列各数中，比小的数是（） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：、，不符合题意； 、由，， ∵， ∴，不符合题意； 、由，， ∵， ∴，符合题意； 、，不符合题意． 2．在这四个数中，最小的数是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，， ∴ ∴最小的数是． 3．如图，下列数轴上的点表示的数最小的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【详解】解：由数轴可知，数轴上的点表示的数最小的是点． 4．下列有理数的大小关系正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A，，，，A错误； 选项B，，，，B错误； 选项C，，，，，C错误； 选项D，，两个负数比较大小，绝对值大的数更小， 又，，，，即，D正确． 二、填空题 5．比较大小：________．(填“”“”或“”) 【答案】 【详解】解：先化简两个数，． 计算两个数的绝对值，． 因为，可得， 根据两个负数比较大小，绝对值大的数反而小，可得，即． 6．如图，数轴上的两个点分别表示数和，则可以是_____．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：∵数轴上表示数的点在表示数的点的左侧， ∴． 取（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 7．比较下列各对数的大小： ①_________；    ②_________；    ③_________ 【答案】 【详解】解：，，， ∵， ∴，即； ∵，， ∴，， ∵， ∴； ，， ∵， ∴． 8．有理数a、b所表示的点在数轴上的位置如图所示，将，，，按从小到大的顺序排列，并用“”连接___________． 【答案】 【详解】解：由数轴可知，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 9．如图，数轴上每个刻度为1个单位长度，点表示的数是． (1)在数轴上标出原点，并指出点所表示的数是__________； (2)补全数轴，并在数轴上表示下列各数，然后用“”号把这些数按从小到大连接起来． 2.5，，，． 【答案】(1)；4； (2)， 【详解】（1）略 （2）略 10．阅读下列材料： 当时，如，则，此时的绝对值是它本身； 当时，，此时的绝对值是0； 当时，如，则，此时的绝对值是它的相反数． 综上可得， 这种分析方法体现了数学中常用的分类讨论思想．请解答下列问题： (1)比较大小：_____5， _____；（填“”“”或“”） (2)请仿照上述分类讨论的方法，分析与的大小关系． 【答案】(1)， (2)当时，；当时， 【详解】（1）解：，， 故答案为：，； （2）解：当时，， 当时，， 当时，， 综上，当时，；当时，． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题03有理数的大小 内容概览 目常考题型精准突破 考点一有理数的大小 题型1数轴比较法（重） 题型2法则比较法（重） 题型3作差比较法（高频） 题型4特殊值法（难） 目综合攻坚知能拔高 常考题型精准突破 ●考点一有理数的大小● ◆题型1数轴比较法 1.A 【详解】解：根据数轴可得-1<a<0<1<2 故比数轴上的a小的数是-1 2.C 【详解】解：如图所示， n -1m 0 m→ .n<-m<m<-n 3. 在数轴上表示各数如图所示， -4 -2 ，1.53 -5-4-3-2-1012345 排时结果为4子<15<3 1/7 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】略 3913 4. 55 →，3913 -5-4-3-2-1012345 555 【详解】解：数轴表示见答案， 3913 则555 士251102》 【详解】解先化简各数：-2.=-2.5： 画出数轴，在数轴上标出五个数对应的点，如图所示： 根据数轴上右边的数脑比左边的数大，可得-2<1<0<-(》+3， ◆题型2法则比较法 6.B 【详解】解：逐个判断各选项： 对于A选项，3到=3，-5=5,3<5，.-3<5，A错误 对于B选项，：后30530,3030 5_254_2425、24 54 ·6>5,B正确。 对于C选项，两个负数比较大小，绝对值更大的数更小， -1.333=1.333>1.3=-1.3, .-1.333<-1.3,C错误. 对于0选项，：负数小于一切正数，3号 、3 3行为负数，+3为正数， -3号+33 3 34,D错误. 7. < 5525 4_4_2425、24 【详解】解：6630厂5530’ 3030 2/7 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :54 6-5 8.> 11123_323 【详解】解：224？厂44,44' = 1.3 2>-4 9.-3.5- 2-35 【详解】解： 3.5=-7 2 0m六月 a-05>月 a0 47= 11 【详解】(1)解： _2_2 :1010:77 。12 :107' 1.2 -10>-79 > 2_2 (2)解：-0.5=0.5，厂33’ 05<号 -0.5>-2 : 0 22 (3)解： 3 2 :0<3 317 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (4)解：=7，=7， :.=1. ◆题型3作差比较法 11.(1)5>-3:-5<-3 (2)>;< (3)当a>0时，A>B:当a=0时，A=B:当a<0时，A<B 【详解】(1)解：当a=5、b=-3时，5>-3： 当a=-5、b=-3时，-5<-3； 故表格空缺处依次为：5>-3；-5<-3. (2)解：由规律可知，若a-b>0,则a>b;若a-b<0,则a<b: 故答案为：>：< (3)解：A-B=(-a2+4a+2)-(-a2+3a+2) =-a2+4a+2+a2-3a-2=a. 当a>0时，A-B>0,即A>B: 当a=0时，A-B=0,即A=B； 当a<0时，A-B<0,即A<B: 答：当a>0时，A>B;当a=0时，A=B;当a<0时，A<B. 12.(1)>;=;< (2)①>：②>：③> (3)A>B,理由见解析 【详解】(1)解：(1)a-b>0, .a>b; a-b=0, .a=b: .a-b<0. ∴.a<b. 故答案为：>；=；<； (2)解：①x+1-(x-3)=4>0, x+1>x-3, 417 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故答案为：>： ②2a-3a=-a, ra<0, .-a>0. .2a>3a, 故答案为：>： ③3x+5y-(2x+6y)=x-y, .x>y, .x-y>0, .3x+5y>2x+6y, 故答案为：>： (3)解：A>B,理由如下： 由题可知A=5(2x+1)=10x+5, B=(-2)x+2)+12x=-2x-4+12x=10x-4: 则4-B=10x+5-(10x-4) =10x+5-10x+4 =9, ∴.A>B ◆题型4特殊值法 13.(1)=;=;>；=: (2)见解析： 3)x≥0； 【详解】(1)解：①2+3=2+3=5,2+3=5 :.12+3=12+3: ②-2+-3=2+3=5：2-3=5 .2+-31=-2-3 ③2+3到=2+3=5,2-3=1 2+-3>2-3 ④l2+0l=2:2+0=2 517 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :.12+l0=2+0: 故答案为：=；=；>；=； (2)解：根据题意得：4+b与a+的大小关系：4+≥a+: 当a、b同号或a、b至少有一个为0时，la+=a+b成立： (3)解：由(2)可知x非负数时，+2024=x+2024成立： 故答案为：x≥0 14.(1)2;绝对值 品品 79 9951 【详解】(1)解：上述方法是先通过找中间量2来比较正数201与101的大小，再根据两个负数比较大小 的结论“绝对值大的负数反而小”进行判断： 故答案为：2；绝对值： 43.1791 (2)解：1263,2433 4379 .1262243' .-43<-79 .-126243 综合攻坚知能拔這 一、选择题 1.C 2.B 3.A 4.D 二、填空题 5.< 617 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6.-3(答案不唯一) 7. 1 < 8.-b<a<-a<b 三、解答题 9. 【答案】(1) B -(+2) 1.512.5 回2402号4→·号-2125 10. 【详解】(1)解：5=-(-5)=5,3=3>-3， 故答案为：=，>： (2)解：当a>0时，la=a>-a, 当a=0时，la=-a=0, 当a<0时，a=-a, 综上，当a>0时，a4>-a:当a≤0时，4=-a. 717