26.4 课时2 最大利润问题2026-2027学年九年级数学上册人教版

该初中数学课件聚焦二次函数的最大利润问题，通过“商家如何定价获利最大”的情境导入，结合衬衫销售利润关系式复习二次函数性质，为探究商品调价（涨价、降价）的利润问题搭建学习支架。 其亮点在于以真实销售问题为载体，引导学生用数学眼光抽象数量关系，通过列表分析、函数建模培养数学思维，用配方法求最值强化运算能力。归纳解题步骤并结合巩固练习，帮助学生形成模型意识，教师可借助结构化流程提升教学效率。

第二十六章 二次函数 26.4 课时2 最大利润问题 BY YUSHEN BY YUSHEN 22051 1.能从利润问题中抽象出二次函数关系，并运用二次函数及性质求商品的最大利润. 学习目标 BY YUSHEN 22051 在商品的销售过程中，利润最大化是商家最永恒的追求.如果你是商家，如何定价才能获利最大呢？ 某商店经营衬衫，已知获利以y(元)与销售单价x(元)之间满足关系式y=-x2+24x+2956，则此店销售单价定为多少时，获利多少？最多获利多少？ 新课导入 BY YUSHEN 22051 问题：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映，若调整单价(单价为整数)：每涨价1元，则每星期要少卖出10件；每降价1元，则每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？最大利润是多少？ 数量关系 （1）销售额 = 售价×销售量; （2）利润 = 销售额-总成本 = 单件利润×销售量; （3）单件利润 = 售价-进价. 探究：商品的最大利润问题 调整价格包括涨价和降价两种情况． 新知探究 BY YUSHEN 22051 （1）涨价销售 设每件涨价x元，每星期售出商品的利润y元，填空： 单件利润（元） 销售量（件） 每星期利润（元） 正常销售 涨价销售 60-40 300 (60-40+x) (300-10x) (60-40+x)(300-10x) 6000 y = (60-40+x)(300-10x) = -10(x-5) 2+6 250 (0≤x≤30) 所以当 x = 5 时，y最大，也就是说在涨价的情况下， 涨价5元，即定价65元时，利润最大，最大利润是6250元 建立函数关系式：y = (20+x)(300-10x)，即：y = -10x2+100x+6 000(0≤x≤30)． 新知探究 BY YUSHEN 22051 建立函数关系式： y = (60-40-x)(300+20x) = -20x2+100x+6 000 ( 0≤x≤20) 单件利润(元) 销售量(件) 每星期利润(元) 正常销售 降价销售 60-40 300 (60-40-x) (300+20x) (60-40-x)(300+20x) 6000 （2）降价销售 设每件降价 x 元，则每星期售出商品的利润 y 元，填空： 新知探究 BY YUSHEN 22051 y=-20x2+100x+6000 (0≤x≤20, x为整数) 根据上面的函数，填空： 当x=_______时，y最大，也就是说，在降价的情况下，降价_____元，既定价______元时，利润最大，最大利润是________元. 2或3 2或3 58或57 6120 =-20(x2-5x)+6000 =-20(x-2.5)2+6125 新知探究 BY YUSHEN 22051 思考1：根据上述结论，该如何定价才能使所获利润最大？ 定价65元，所获利润最大. 思考2：实际销售时，如果两种调价方案所获得的最大利润相差不大时，你会怎么选择？请联系实际谈一谈. 我会想尽快将商品库存清空，从而选择降价销售. 新知探究 BY YUSHEN 22051 求解最大利润问题的一般步骤： （1）建立利润与价格之间的函数解析式： 运用“总利润=总售价-总成本”或“总利润=单件利润×销售量” （2）结合实际意义，确定自变量的取值范围； （3）在自变量的取值范围内确定最大利润： 可以利用配方法或公式法求出最大利润；也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出. 归纳 BY YUSHEN 22051 进价为80元的某衬衣定价100元时，每月可卖出2000件，价格每上涨1元，销售量便减少5件，那么每月售出衬衣的总件数y(件)与衬衣售价x(元)之间的函数关系式为 _________ .每月利润w(元)与衬衣售价x(元)之间的函数关系式为 _________ _______.(以上关系式只列式不化简) y=2000-5(x-100) w=[2000-5(x-100)](x-80) 巩固练习 BY YUSHEN 22051 2.一工艺师生产的某种产品按质量分为9个档次.第1档次（最低档次）的产品一天能生产80件，每件可获利润12元.产品每提高一个档次，每件产品的利润增加2元，但一天产量减少4件.如果只从生产利润这一角度考虑，他生产哪个档次的产品，可获得最大利润？ w=[12+2(x－1)][80－4(x－1)] =(10+2x)(84－4x) =－8x2+128x+840 =－8(x－8)2+1352.(1≤x≤9，x 取正整数) 解：设生产x档次的产品时，每天所获得的利润为w元，则 当x=8时，w有最大值，且w最大=1352. 巩固练习 BY YUSHEN 22051 说说本节课学到了哪些知识？ 利润问题 建立函数关系式 确定自变量取值范围 涨价：要保证销售量≥0； 降价：要保证单件利润≥0. 确定最大利润 总利润=单件利润×销售量或总利润=总售价-总成本. 二次函数在顶点处 取最值，且自变量 x 要在取值范围内. 课堂小结 BY YUSHEN 22051 1.某鞋帽专卖店销售一种绒帽.若这种帽子每天获利y(元)与销售单价x(元)满足关系y=-x2+70x-800，要想获得最大利润，则销售单价为( ) A.30元 B.35元 C.40元 D.45元 2.便民商店经营一种商品,在销售过程中，发现一周利润y(元)与每件销售价x(元)之间的关系满足y=-2(x-20)2+1558，由于某种原因，价格只能15≤x ≤19，那么一周可获得最大利润是( ) A.1554元 B.1556元 C.1558元 D.1560元 B B 随堂小练 基础 BY YUSHEN 22051 3.某体育馆可容纳四千人同时观看比赛，现C区有座位400个，某赛事试营销售阶段发现：当票价为80元时，可售出C区票280张，若每降价1元，可多售出6张票，设降价 x元( x 取正整数)，写出总票价 y 关于 x 的函数关系式及自变量x取值范围. 解：y=(80-x)(280+6x)= -6x2+200x+22400 280+6x ≤ 400，且 x ≥ 0. 所以，0≤ x ≤20 ( x 取正整数). 随堂小练 基础 BY YUSHEN 22051 4.某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销.据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本，且不高于100元. (1)求每天销售利润y(单位:元)与销售单价x(单位:元)之间的函数关系式. (2)销售单价为多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少? 成本 (元/件) 销售单价 (元) 销售量 (件) 降价前 50 100 50 降价后 50 x 50+5(100-x) 解:(1)y=(x-50)[50+5(100-x)]=- 5x2 + 800x-27500， 即y=-5x2 +800x-27500( 50≤x≤100). (2)y=-5x2+800x-27500=-5(x-80)2+4500. 因为-5<0，50≤x≤100，所以当x=80时，y有最大值4500， 即销售单价为80元时，每天的销售利润最大，最大利润是4500元. 随堂小练 提升 BY YUSHEN 22051 $