26.4 实际问题与二次函数 第2课时 最大利润问题 学案 2026-2027学年人教版数学九年级上册

26.4 （第2课时） 二次函数的应用——最大利润问题

班级：________  姓名：________  日期：________

一、学习目标

1. 掌握销售问题中变量间的二次函数关系，能建立二次函数模型解决最大利润问题。

2. 经历探索销售中最大利润等问题的过程，体会二次函数是一类最优化问题的数学模型。

3. 理解实际问题中自变量取值范围的确定方法，能灵活运用二次函数的增减性求最值。

4. 学会分类讨论思想，在多种方案比较中得出最优方案。

二、知识梳理

1. 销售问题中的基本数量关系

2. 利用二次函数求最大利润的一般步骤

第一步：______（找出已知量和未知量，明确变量之间的关系）。

第二步：______（通常设涨价或降价的金额为自变量）。

第三步：______（用含自变量的代数式表示售价、销售量和单件利润）。

第四步：______（列出二次函数表达式，并根据实际意义确定自变量的取值范围）。

第五步：______（利用配方法或顶点公式求二次函数的最值）。

第六步：______（结合自变量的取值和实际约束条件，确定实际的最大值）。

第七步：______（回归实际问题，给出最终答案）。

3. 关键注意事项

（1）自变量的取值范围由实际意义决定，如：售价______进价，销售量______0。

（2）当顶点横坐标______自变量取值范围内时，需根据函数的______在边界处求最值。

（3）当有______种方案时，需要______讨论，分别求解后再比较，得出最优方案。

三、课堂练习

【典型例题】

某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件。市场调查反映，若调整单价（单价为整数）：每涨价1元，则每星期要少卖出10件；每降价1元，则每星期可多卖出20件。已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？最大利润是多少？

（一）涨价方案

（1）设每件涨价n元，则售价为________元，每星期销售量为________件，单件利润为________元。

（2）总利润y₁ = ________________________________。

（3）自变量n的取值范围：____________，且n为______。

（4）化简得y₁ = ________________________。

（5）配方：y₁ = ________________________。

（6）当n = ______时，y₁最大 = ______。即涨价______元，定价______元时，利润最大，最大利润为______元。

（二）降价方案

（1）设每件降价m元，则售价为________元，每星期销售量为________件，单件利润为________元。

（2）总利润y₂ = ________________________________。

（3）自变量m的取值范围：____________，且m为______。

（4）化简得y₂ = ________________________。

（5）配方：y₂ = ________________________。

（6）顶点横坐标m = ______，______（填"是"或"不是"）整数。因为m=2和m=3关于对称轴对称，所以当m = ______或______时，y₂ = ______。

（7）即降价______元或______元，定价______元或______元时，利润最大，最大利润为______元。

（三）综合比较

涨价方案：最大利润______元。降价方案：最大利润______元。因为______ > ______，所以______方案更优。

综上，该商品定价为______元时，可获得最大利润______元。

【课堂练习】

1. 某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销。据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本，且不高于100元。

(1) 求每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式。