26.4 实际问题与二次函数 第2课时 最大利润问题 学案 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学学案聚焦二次函数的应用——最大利润问题，通过知识梳理明确销售问题中的数量关系及七步解题流程，衔接二次函数性质，搭建从实际问题到数学模型的学习支架。 资料以典型例题分涨价、降价方案探究，培养分类讨论与推理意识，课堂练习结合实际情境强化模型意识，习题层次分明，助力学生用数学语言表达和解决问题，提升应用能力与核心素养。

26.4 （第2课时） 二次函数的应用——最大利润问题 班级：________ 姓名：________ 日期：________ 一、学习目标 1. 掌握销售问题中变量间的二次函数关系，能建立二次函数模型解决最大利润问题。 2. 经历探索销售中最大利润等问题的过程，体会二次函数是一类最优化问题的数学模型。 3. 理解实际问题中自变量取值范围的确定方法，能灵活运用二次函数的增减性求最值。 4. 学会分类讨论思想，在多种方案比较中得出最优方案。 二、知识梳理 1. 销售问题中的基本数量关系 数量关系 公式 单件利润 单件利润 = 售价 － 进价 总利润 总利润 = 单件利润 × 销售数量 2. 利用二次函数求最大利润的一般步骤 第一步：______（找出已知量和未知量，明确变量之间的关系）。 第二步：______（通常设涨价或降价的金额为自变量）。 第三步：______（用含自变量的代数式表示售价、销售量和单件利润）。 第四步：______（列出二次函数表达式，并根据实际意义确定自变量的取值范围）。 第五步：______（利用配方法或顶点公式求二次函数的最值）。 第六步：______（结合自变量的取值和实际约束条件，确定实际的最大值）。 第七步：______（回归实际问题，给出最终答案）。 3. 关键注意事项 （1）自变量的取值范围由实际意义决定，如：售价______进价，销售量______0。 （2）当顶点横坐标______自变量取值范围内时，需根据函数的______在边界处求最值。 （3）当有______种方案时，需要______讨论，分别求解后再比较，得出最优方案。 三、课堂练习 【典型例题】 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件。市场调查反映，若调整单价（单价为整数）：每涨价1元，则每星期要少卖出10件；每降价1元，则每星期可多卖出20件。已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？最大利润是多少？ （一）涨价方案 （1）设每件涨价n元，则售价为________元，每星期销售量为________件，单件利润为________元。 （2）总利润y₁ = ________________________________。 （3）自变量n的取值范围：____________，且n为______。 （4）化简得y₁ = ________________________。 （5）配方：y₁ = ________________________。 （6）当n = ______时，y₁最大 = ______。即涨价______元，定价______元时，利润最大，最大利润为______元。 （二）降价方案 （1）设每件降价m元，则售价为________元，每星期销售量为________件，单件利润为________元。 （2）总利润y₂ = ________________________________。 （3）自变量m的取值范围：____________，且m为______。 （4）化简得y₂ = ________________________。 （5）配方：y₂ = ________________________。 （6）顶点横坐标m = ______，______（填"是"或"不是"）整数。因为m=2和m=3关于对称轴对称，所以当m = ______或______时，y₂ = ______。 （7）即降价______元或______元，定价______元或______元时，利润最大，最大利润为______元。 （三）综合比较 涨价方案：最大利润______元。降价方案：最大利润______元。因为______ > ______，所以______方案更优。 综上，该商品定价为______元时，可获得最大利润______元。 【课堂练习】 1. 某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销。据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本，且不高于100元。 (1) 求每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式。 解：y = ________________________________（______ ≤ x ≤ ______）。 (2) 销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 解：配方得y = ________________________。当x = ______时，y最大 = ______。 答：销售单价为______元时，每天的销售利润最大，最大利润是______元。 2. 旅行社开设一旅游团，20人起组团，每人需缴费2100元，旅行社对超过20人的旅行团给予优惠：每增加1人，每人需缴费用降低30元。当旅行团的人数为多少时，旅行社可获得最大营业额？最大营业额是多少？ 解：设旅行团的人数为x人（x ≥ ______），营业额为y元。 则每人缴费：________________________元。 总营业额y = ________________________________。 化简得y = ________________________。 配方得y = ________________________。 当x = ______时，y最大 = ______。 答：旅行团的人数为______人时，旅行社可获得最大营业额______元。 3. 某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出(200-x)件，应如何定价才能使利润最大？ 解：设利润为y元。y = ________________________________（______ < x < ______）。 配方得y = ________________________。 当x = ______时，y有最大值______。即当定价为______元时，利润最大。 4. 某种文化衫以每件盈利20元的价格出售，每天可售出40件。若每件降价1元，则每天可多售10件，如果每天要盈利最多，每件应降价多少元？ 解：设每件降价x元，每天的利润为y元。 y = ________________________________（______ < x < ______）。 配方得y = ________________________。 当x = ______时，y取最大值______。即当每件降价______元时，每天盈利最多。 参考答案 二、知识梳理 2. 利用二次函数求最大利润的一般步骤 第一步：审题（找出已知量和未知量，明确变量之间的关系）。 第二步：设未知数（通常设涨价或降价的金额为自变量）。 第三步：表示关键量（用含自变量的代数式表示售价、销售量和单件利润）。 第四步：列函数表达式（列出二次函数表达式，并根据实际意义确定自变量的取值范围）。 第五步：求最值（利用配方法或顶点公式求二次函数的最值）。 第六步：检验约束（结合自变量的取值和实际约束条件，确定实际的最大值）。 第七步：作答（回归实际问题，给出最终答案）。 3. 关键注意事项 （1）自变量的取值范围由实际意义决定，如：售价≥进价，销售量≥0。 （2）当顶点横坐标不在自变量取值范围内时，需根据函数的增减性在边界处求最值。 （3）当有多种方案时，需要分类讨论，分别求解后再比较，得出最优方案。 三、课堂练习 【典型例题】 （一）涨价方案 【答案】（1）设每件涨价n元，则售价为(60+n)元，每星期销售量为(300-10n)件，单件利润为(20+n)元。 【答案】（2）总利润y₁ = (20+n)(300-10n)。 【答案】（3）自变量n的取值范围：0≤n≤30，且n为整数。 【答案】（4）化简得y₁ = -10n²+100n+6000。 【答案】（5）配方：y₁ = -10(n-5)²+6250。 【答案】（6）当n=5时，y₁最大=6250。即涨价5元，定价65元时，利润最大，最大利润为6250元。 （二）降价方案 【答案】（1）设每件降价m元，则售价为(60-m)元，每星期销售量为(300+20m)件，单件利润为(20-m)元。 【答案】（2）总利润y₂ = (20-m)(300+20m)。 【答案】（3）自变量m的取值范围：0≤m≤20，且m为整数。 【答案】（4）化简得y₂ = -20m²+100m+6000。 【答案】（5）配方：y₂ = -20(m-2.5)²+6125。 【答案】（6）顶点横坐标m=2.5，不是整数。因为m=2和m=3关于对称轴对称，所以当m=2或3时，y₂=6120。 【答案】（7）即降价2元或3元，定价58元或57元时，利润最大，最大利润为6120元。 （三）综合比较 【答案】涨价方案：最大利润6250元。降价方案：最大利润6120元。因为6250>6120，所以涨价方案更优。 【答案】综上，该商品定价为65元时，可获得最大利润6250元。 【课堂练习】 练习1 【答案】解：(1) y=(x-50)[50+5(100-x)]=-5x²+800x-27500（50≤x≤100）。 【答案】(2) 配方得y=-5(x-80)²+4500。当x=80时，y最大=4500。 【答案】答：销售单价为80元时，每天的销售利润最大，最大利润是4500元。 练习2 【答案】解：设旅行团的人数为x人（x≥20），营业额为y元。 【答案】则每人缴费：2100-30(x-20)元。 【答案】总营业额y=[2100-30(x-20)]x=-30x²+2700x。 【答案】配方得y=-30(x-45)²+60750。 【答案】当x=45时，y最大=60750。 【答案】答：旅行团的人数为45人时，旅行社可获得最大营业额60750元。 练习3 【答案】解：设利润为y元。y=(x-30)(200-x)=-x²+230x-6000（0<x<200）。 【答案】配方得y=-(x-115)²+7225。 【答案】当x=115时，y有最大值7225。即当定价为115元时，利润最大。 练习4 【答案】解：设每件降价x元，每天的利润为y元。y=(20-x)(40+10x)=-10x²+160x+800（0<x<20）。 【答案】配方得y=-10(x-8)²+1440。 【答案】当x=8时，y取最大值1440。即当每件降价8元时，每天盈利最多。 学科网（北京）股份有限公司 $