16.3.1平方差公式 课件 2026--2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦平方差公式，从多项式乘多项式法则回顾切入，通过具体算式引导学生观察规律，经历猜想、代数推导与几何面积验证过程，搭建新旧知识的学习支架。 其亮点在于融合数学眼光、思维与语言，借助大正方形剪拼成长方形的几何直观验证公式，通过多例变式与整体代换培养推理意识和模型意识。采用探究式学习与错误辨析，学生能提升抽象能力和运算能力，教师可利用完整流程和丰富例题提高教学效率。

16.3.1平方差公式 第十六章 整式的乘法 人教版（2024） 1 素养目标 1.理解平方差公式，能运用公式进行计算； 2.经历平方差公式的探索及推导过程，掌握平方差公式的结构特征. 重点 重点 2 知识回顾 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的 乘另一个多项式的 ，再把所得的积 . ( a + b )( p + q ) = ap + aq + bp + bq 每一项 每一项 相加 3 （1）(x + 1)(x – 1) = __________； （2）(m + 2)(m – 2) = __________； （3）(2m + 1)(2m – 1) = __________. 2.请利用多项式乘多项式计算下列算式，观察有什么规律？ x2 – 1 m2 – 4 4m2 – 1 x2 – 12 m2 – 22 (2m)2 – 12 （两个数的和）×（这两个数的差） 运算结果都是：等于这两个数的平方的差 猜想： (a + b)(a – b) =_______ 二、自学 探究1 等式的左边有什么特点？两个多项式是什么运算？ 探究2 等式的右边有什么特点？ a2 – b2 你能证明吗 4 (a + b)(a – b) = a2 –ab ab –b2 + 证明一：利用多项式乘多项式的法则验证 = a2 – b2 a b b a (a – b) 纸片剩余面积：a2 – b2 拼成的长方形面积： (a – b)(a + b) (a – b) (a – b)(a + b) = a2 – b2 证明二：利用几何图形的面积验证 如图有个边长为a的大正方形，现要剪掉边长为b的小正方形，你能求剩余部分的面积吗？ 还有其它方法吗 a b 6 知识梳理 1.平方差公式：(a＋b)(a－b)＝ . 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的 .这个公式叫作(乘法的)平方差公式. 2.结构特征：(1)左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；(2)右边是相同项的平方减去相反项的平方；(3)公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式. a2－b2 平方差 例1 下列各式中，可以用平方差公式计算的是 A.(x＋y)(x＋y) B.(－x＋y)(x－y) C.(－x－y)(y－x) D.(x＋y)(－x－y) √ 探究新知 b a b a b a-b b 面积为(a+b)(a-b) 面积为a2-b2 两个图形的面积相等，所以 (a+b)(a-b) = a2 - b2 9 探究新知 (3m+2n)(3m-2n) = 变式一 ( -3m＋2n)(-3m-2n) = 变式二 ( -3m-2n)(3m-2n) = (-3m)2-(2n)2 (-2n)2-(3m)2 (3m)2-(2n)2 对于不符合平方差公式标准形式的算式，可以先利用加法交换律，将其变成公式的标准形式后，再用公式计算. 10 新知讲解 (a+b)(a−b)= a2−b2 规律：1）左边是两个二项式相乘； 2）在两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； 3）右边为相同项的平方减互为相反数的项的平方. 同学们尝试观察总结平方差公式的特点： 例3 运用平方差公式计算 (1)(x ＋ 1)(x－1) (x2 ＋ 1) 解：原式=(x2 - 1) (x2 ＋ 1) =x4 - 1 (课本P112例1)运用平方差公式计算： (1)(3x＋2)(3x－2)； 例2 解　(3x＋2)(3x－2) ＝(3x)2－22＝9x2－4. (2)(－x＋2y)(－x－2y). 解　(－x＋2y)(－x－2y)＝(－x)2－(2y)2 ＝x2－4y2. 跟踪训练2 下列计算对不对？若不对，请在横线上写出正确结果. (1)(x－3)(x＋3)＝x2－3(　　　)，　 　　；  (2)(2x－3)(2x＋3)＝2x2－9(　　　)， 　　　；  (3)(－x－3)(x－3)＝x2－9(　　　)， 　　　；  (4)(2xy－1)(2xy＋1)＝2xy2－1(　　　)，　　 　　.  错误 x2－9 错误 错误 错误 4x2－9 9－x2 4x2y2－1 (课本P113例2)计算： (1)(x－1)(x＋1)(x2＋1)； 例3 解　(x－1)(x＋1)(x2＋1) ＝(x2－1)(x2＋1) ＝x4－1. 　　1．下面的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？ （1）(x＋2)(x－2)＝x2－2； （2）(－a－2)(a－2)＝a2－4； （3）(x＋2y)(－x－2y)＝x2－4y2 ； （4）(3a＋4b)(3a－4b)＝9a2－4b2 ． × × 原式＝x2－22＝x2－4； 原式＝(－2)2－a2＝4－a2； × 原式＝x·(－x)＋x·(－2y)＋ 2y·(－x)＋2y·(－2y) ＝－x2－2xy－2xy－4y2 ＝－x2－4xy－4y2； （4）(3a＋4b)(3a－4b)＝9a2－4b2 ． 原式＝(3a)2－(4b)2＝9a2－16b2． × 　　2．计算： （1）(a ＋3b)(a－3b)； （2）(3＋2a)(－3＋2a)； （3）(xy＋1)(x2y2＋1)(xy－1)； （4）(3x＋4)(3x－4)－(2x＋3)(3x－2)． 解：（1）(a＋3b)(a－3b) ＝a2－(3b)2 ＝a2－9b2； (3) 102×98 = 1002－22 = 10000－4 = (100＋2)(100－2) = 9996. (2) (y + 2)(y – 2) – (y – 1)(y + 5) = y2 – 22 – (y2 + 4y – 5) = y2 – 4 – y2 – 4y + 5 = – 4y + 1. 不符合公式条件的乘法，仍按乘法法则进行运算. 运用平方差公式进行计算 i 例3 利用平方差公式计算： (3x＋y－2)(3x＋2＋y)－12＝0，求 3x＋y. 解：(3x＋y)2－22＝12， (3x＋y)2＝16， (3x＋y)＝±4. 分析： (3x＋y－2)(3x＋y＋2)－12＝0 相同 相反 运用平方差公式进行计算 5. 运用平方差公式进行简便计算： 解：原式＝(2y－1)(2y+1)(4y2+1) 训练展示 （1）(2y－1)(4y2+1)(2y+1) ＝ [(2y)2-12](4y2+1) ＝ (4y2－1)(4y2+1) ＝ 16y4－1. ＝ (4y2)2-1 解：原式＝(2a)2－b2－[a2－(2b)2] 训练展示 5.（2）(2a－b)(b+2a)－(a+2b)(a－2b) ＝ 4a2－b2－(a2－4b2) ＝ 4a2－b2－a2+4b2 ＝ 3a2+3b2 对于任意的正整数n，整式(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)的值一定是10的整倍吗？ 例5 解　原式＝9n2－1－(9－n2)＝10n2－10. ∵(10n2－10)÷10＝n2－1，n为正整数， ∴n2－1为整数， 即(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)的值一定是10的整数倍. 对于平方差公式中的a和b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式，在探究整除性或倍数问题时，要注意这方面的问题. 反思感悟 $