16.3.1 平方差公式-培优课件-2026-2027学年人教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦平方差公式，涵盖公式推导、结构特征、正逆用及解题步骤。通过“借彩纸面积比较”情境导入，衔接多项式乘多项式旧知，引导学生用多项式乘法推导公式，搭建新旧知识支架。 其亮点在于融合几何直观与推理意识，通过阴影面积变形（大正方形截小正方形）几何论证公式，结合“猜想-验证”探究过程培养数学思维。分层例题（基础计算、简便运算如102×98）与易错点提示，助力学生理解公式本质，提升运算能力，也为教师提供结构化教学资源，提高教学效率。

人教版数学8年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月3日 16.3.1 平方差公式 第16章 整式的乘法 16.3.1 平方差公式 总结与练习 一、课时核心知识点 1. 公式推导与核心公式 推导过程：多项式乘多项式展开化简 $$(a+b)(a-b)=a^2-ab+ab-b^2=a^2-b^2$$ 平方差公式（必考）： $$\boldsymbol{(a+b)(a-b)=a^2-b^2}$$ 文字口诀：两数和 × 两数差 = 大数平方 − 小数平方 精准记忆：同方减异方（相同项平方 减 相反项平方） 2. 公式适用结构（重中之重） 必须严格满足结构：(同、异)(同、异) ① 两个括号中：一项完全相同，一项互为相反数； ② 结果：相同项的平方 − 相反项的平方； ③ a、b可以是：数字、单项式、多项式（整体思想）。 3. 公式正用、逆用 正用（化简计算）：$$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$$ 逆用（因式分解、简便计算）：$$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$$ 4. 万能解题步骤（满分模板） ① 找同异：圈出相同项、相反项； ② 定公式：确认符合平方差结构； ③ 套公式：同方减异方； ④ 化简结果：去括号、整理最简。 5. 高频易错点（扣分重灾区） 1. 乱套公式：两项都相同、或两项都相反，不能用平方差； 2. 符号错误：永远是相同项平方 减 相反项平方，顺序不能反； 3. 漏括号：当a/b是多项式或负数时，必须整体加括号再平方； 错误示例：$$(-x+2y)(-x-2y) e -x^2-4y^2$$； 4. 平方漏系数：$$(2x)^2=4x^2$$，不是$$2x^2$$。 6. 简便计算经典场景 形如：$$99\times101=(100-1)(100+1)=100^2-1^2$$，快速凑整计算。 二、课时同步练习题 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 下列式子能用平方差公式计算的是（） A. $$(x+1)(x+1)$$ B. $$(x+1)(x-1)$$ C. $$(x-1)(1-x)$$ D. $$(x+2)(y-2)$$ 2. 计算$$(a+3)(a-3)$$的结果是（） A. $$a^2-9$$ B. $$a^2+9$$ C. $$a^2-6a+9$$ D. $$a^2+6a-9$$ 3. 计算$$(2x-1)(2x+1)$$正确的是（） A. $$2x^2-1$$ B. $$4x^2-1$$ C. $$4x^2+1$$ D. $$2x^2+1$$ 4. $$102\times98$$的简便计算结果是（） A. 9996 B. 10000 C. 9800 D. 10200 5. 计算$$(-m+n)(-m-n)$$结果是（） A. $$m^2-n^2$$ B. $$n^2-m^2$$ C. $$-m^2-n^2$$ D. $$m^2+n^2$$ 二、填空题（每题4分，共20分） 6. 平方差公式：$$(a+b)(a-b)=$$________。 7. $$(x+5)(x-5)=$$________。 8. $$(3a-2b)(3a+2b)=$$________。 9. $$x^2-16=$$________（逆用公式因式分解）。 10. 平方差公式的结构特征是：一项________，一项________。 三、解答题（共60分） 11.（20分）基础公式计算： （1）$$(4x+y)(4x-y)$$    （2）$$(-2a+3)(-2a-3)$$ 12.（20分）简便运算：$$9.9\times10.1$$ 13.（20分）辨析说理：“只要两个多项式相乘，都可以用平方差公式计算”，判断正误并说明理由。 三、参考答案及解析 一、选择题 1. B 解析：平方差要求一项同、一项反，只有B符合结构。 2. A 解析：$$a^2-3^2=a^2-9$$。 3. B 解析：同项为$$2x$$，反项为1，原式$$=(2x)^2-1^2=4x^2-1$$。 4. A 解析：原式$$=(100+2)(100-2)=10000-4=9996$$。 5. A 解析：同项$$-m$$，反项n，原式$$=(-m)^2-n^2=m^2-n^2$$。 二、填空题 6. $$a^2-b^2$$ 7. $$x^2-25$$ 8. $$9a^2-4b^2$$ 9. $$(x+4)(x-4)$$ 10. 相同；互为相反数 三、解答题 11. 解： （1）原式$$=(4x)^2-y^2=16x^2-y^2$$ （2）原式$$=(-2a)^2-3^2=4a^2-9$$ 12. 解： 原式$$=(10-0.1)(10+0.1)=10^2-0.1^2=100-0.01=99.99$$ 13. 解：说法错误。 理由：平方差公式有严格结构要求，只有两个多项式相乘满足「一项完全相同，一项互为相反数」时才能使用；若两项都相同、两项都相反或无对应关系，均不能套用平方差公式。 1. 理解平方差公式 ( a + b )( a - b ) = a2 - b2. (重点) 2. 经历探索平方差公式的过程，了解平方差公式的几何背景.(重点) 3.能利用平方差公式进行简单的计算和推理.进一步培养观察、类比、发现问题的能力和数学应用意识，感悟数形结合思想.(难点) 学习目标 1. 多项式乘多项式的乘法法则是什么？ 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 2.多项式乘多项式有哪些注意事项？ ① 运算中不遗漏和不重复乘任何一项； ② 多项式与多项式相乘，结果仍得多项式，但必须是最简形式，即不再含有同类项. ③ 多项式中每一项都包含它前面的符号，确定积中每一项的符号至关重要. (a + 4)(a − 4) 绘画课上，灵灵向新新借了一张边长为 a cm 的正方形彩纸.几天后还了一张宽为 (a - 4) cm， 长为 (a + 4) cm 的长方形彩纸. 两张彩纸面积相等吗？ (a + 4) (a - 4) 还的彩纸面积： = a2 − 4a + 4a − 42 = a2 − 42 答：不相等. 4 解：原正方形彩纸面积 a2 有什么特点？ ＜a2 ① ( x＋1) ( x－1)； ② (m＋2) (m－2)； ③ (2x＋1)(2x－1)； 探究1：计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ x2－12 m2－22 (2x)2－12 两数的___ 两数的___ 和 差 两数____的差 平方 探究点一：平方差公式 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 猜想 (a + b)(a − b) = = a2 − b2. 验证：对于任意数字，探究上述结果是否仍成立？ a2 − ab + ab − b2 对于任意数字 a，b 根据多项式乘多项式法则有： 探究点一：平方差公式 两个数的___与这两个数的___的积，等于 这两个数的平方差. 平方差公式 运算法则： 文字说明： 和 差 (a + b)(a − b) = a2 − b2. 探究点一：平方差公式 (a - b) b b (a + b) 如何利用几何的形式解释平方差公式？ (a + b)(a − b) = a2 − b2 探究点一：平方差公式 探究 2：如图所示，阴影部分是一个边长为 a 的大正方形的右下角截去了一个边长为 b 的小正方形.截完后阴影部分的面积是多少？ a b a b a2 - b2 = (a + b)(a - b) 成立吗？ 几何论证： 探究点一：平方差公式 问题 1：你能用含 a，b 的式子表示变形前后阴影部分的面积吗？你发现了什么规律？ 变形前阴影部分面积为： a2 - b2 变形后阴影部分面积为： (a + b)(a − b) a b a b a (a-b) b a2 - b2 = (a + b)(a - b) 规律 还有几何其他的方法吗？ 探究点一：平方差公式 a b a b a a-b b a a-b b a a b b a-b 其他方法： 算一算！ 探究点一：平方差公式 探究点一：平方差公式 点击视频观看 例1 计算：(1) (3x＋2)(3x－2)；(2) (－x＋2y)(－x－2y). 解：(1) (3x＋2)(3x－2) ＝ (3x)2－ (a ＋ b) (a － b) ＝ a2 － b2 ＝ 9x2－4. 22 探究点二： 运用平方差公式进行计算 注意：实际使用平方差公式时，a，b可以是数、字母、式子等形式. (2) (－x＋2y)(－x－2y). 解：(2) (－x＋2y)(－x－2y) ＝ (－x)2－ ＝ x2－4y2. (2y)2 相同看作 a 相反看作 b 探究点二： 运用平方差公式进行计算 (1) 左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；(2) 右边是相同项的平方减去相反项的平方；(3) 公式中的 a 和 b 可以是具体的数，也可以是单项式或多项式． 应用平方差公式计算时，应注意： (2) 符号相同看作 a ，符号相反看作 b，套用公式. 中的各项，除符号外是否完全相同)； (1) 观察该运算是否符合平方差公式 (两个多项式 探究点二： 运用平方差公式进行计算 a b a2－b2 1 x －3 a 12－x2 (－3)2－a2 a 1 a2－12 a + b 1 (a + b)2－12 (a + b)(a - b) (1 + x)(1 - x) (-3 + a)(-3 - a) (a + b - 1)(a + b + 1) (1 + a)(-1 + a) 探究点二： 运用平方差公式进行计算 【填一填】 【练一练】1.利用平方差公式计算： (1) (3x－5)(3x＋5)； (2) (－2a－b)(b－2a)； (3) (－7m＋8n)(－8n－7m)． 解：(1) 原式＝(3x)2－52＝9x2－25. (2) 原式＝(－2a)2－b2＝4a2－b2. (3) 原式＝(－7m)2－(8n)2＝49m2－64n2. 探究点二： 运用平方差公式进行计算 例2 计算： (2) (y + 2)(y – 2) – (y – 1)(y + 5) ； (3) 102×98. (1) ( x－1)( x + 1 )( x2 + 1 )； 解：(1) ( x－1)( x + 1 )( x2 + 1 ) = ( x2－1)( x2 + 1 ) = x4－1； 探究点二： 运用平方差公式进行计算 (3) 102×98 = 1002－22 = 10000－4 = (100＋2)(100－2) = 9996. (2) (y + 2)(y – 2) – (y – 1)(y + 5) = y2 – 22 – (y2 + 4y – 5) = y2 – 4 – y2 – 4y + 5 = – 4y + 1. 不符合公式条件的乘法，仍按乘法法则进行运算. 探究点二： 运用平方差公式进行计算 i 例3 利用平方差公式计算： (3x＋y－2)(3x＋2＋y)－12＝0，求 3x＋y. 解：(3x＋y)2－22＝12， (3x＋y)2＝16， (3x＋y)＝±4. 分析： (3x＋y－2)(3x＋y＋2)－12＝0 相同 相反 探究点二： 运用平方差公式进行计算 1. 下列各式能用平方差公式计算的是( ) C A. B. C. D. 2. 下列多项式中，与相乘的结果为 的是 ( ) D A. B. C. D. 返回 中考考法 21 3. 已知，则 的值为 ( ) A A. 13 B. 3 C. D. 5 4. 若，则 的值为( ) D A. 4 B. 2 C. D. 返回 中考考法 22 5. 已知，，则与 的大小关 系是( ) A A. B. C. D. 不能确定 【点拨】 ， ， . 6.若，则， 的值分别为 _________. ， 返回 中考考法 23 7. 教材P117习题 计算： （1） ; 【解】原式 . （2） . 原式 . 返回 中考考法 24 平方差公式 内容 注意 两数的___与这两数的___的积，等于这两个数的平方差 字母表示：(a + b)(a－b) = a2－b2 (1) 公式中的 a 和 b 可以是具体的数，也可以是单项式或多项式 (2)符号相同为 a，符号相反为 b 和 差 课堂小结 $